Сергеев В.Л. Интегрированные системы идентификации

Подождите немного. Документ загружается.

В результате получаем систему линейных алгебраических уравнений

()( )

+⋅= +⋅FWF КαFWy K α (4.1.4)

относительно параметров α.

Решение системы линейных уравнений представим в виде

*1*

() ( ) ( ).

−

=+⋅ +⋅α FWF K FWy K α (4.1.5)

Следует отметить, что при выборе управляющего параметра

h →∞

непараметрическая оценка (4.1.5) совпадает с оценкой параметров ли-

нейной системы, полученной по методу наименьших квадратов, а при

h → и α 0, 1,

m== оценка (4.1.5) совпадает с Ridge – оценкой (2.1.7).

В качестве примера рассмотрим интегрированную систему моделей

111 1

222 2

αα()ξ ,1,,

αφ(α ) η ,

yxxin

⎧

⎪

⎨

⎪

⎩

=+ −+ =

(4.1.6)

которая следует из (4.1.1) при

m = 2 с матрицей

1, 1, . . . 1

, ,...

xx x x x

⎛⎞

⎜⎟

⎝⎠

−− −

F ,

∑

В силу симметричности уравнения регрессии

αα()yxx

+− матри-

ца

()

+FF К

диагональная (предполагаем, что

W )

αα

() 0

αα

0()()

xx K

⎛⎞

⎜⎟

⎝⎠

−

−+

∑

FF K (4.1.7)

и обратная матрица

()

−

+FF K и матрица

()

⋅Fy K α принимают

простой вид

αα

()

αα

()( )

xx K

−

⎛⎞

⎜⎟

⎝⎠

−

−+

∑

FF K , (4.1.8)

αα

()α

() .

αα

() ( )α

xxyK

⎛⎞

⎜⎟

⎝⎠

−

+⋅

+⋅=

−

−+

∑

Fy K α

(4.1.9)

Перемножая матрицы (4.1.8) и (4.1.9), получим оптимальные значе-

ния оценок параметров интегрированной системы моделей (4.1.6)

αα

()( )

αα

()α

α ()

αα

()

αα

() ( )α

α ()

xx K

xxyK

−

−+

−

+⋅

∑

(4.1.10)

которые зависят от управляющего параметра

h и начальных приближе-

ний параметров

α , α

. В качестве начальных приближений параметров

могут быть использованы оценки уравнения регрессии

αα()yxx=+ −,

полученные по методу наименьших квадратов

=⋅

∑

()

−

∑

либо Ridge – оценки вида

()β

()

α () ,α .

iii

yxxy

−

∑

∑∑

Рассмотрим линейную непараметрическую интегрированную сис-

тему моделей, где дополнительная априорная информация о параметрах

исходного объекта получена с

объектов-аналогов

ψ () , 1,,

kk k

⎧

⎪

⎨

⎪

⎩

=+=

yFαξ

ααη

(4.1.11)

(α ,1,, 1,)

kjk

mk l===α – матрица дополнительных априорных данных

о параметрах

α ,1,

m= .

Нетрудно показать, что для интегрированной системы (4.1.11) при

использовании комбинированного критерия качества

() () ()

=+ =− + −

∑

Φα J α Q α yFααα

параметры

α также определяются путем решения системы линейных

уравнений вида:

()( )

hj hj

jj==

+= +⋅

∑∑

FWF Кα FW

K α ,

где матрица весовых функций равна

( ( ), 1, ).

kkj

diag K k m

−

==K

В качестве примера интегрированной системы моделей (4.1.11)

рассмотрим уравнения:

α + α ()ξ ,1,,

αφ(α ) η ,

αφ(α ) η ,1,.

yxxin

⎧

⎪

⎨

⎪

⎩

=−+=

=+=

(4.1.12)

В данном случае оценки параметров уравнения регрессии

αy =+

α ()

x+− определяются из выражений:

αα

()α

α () ,

αα

()

αα

() ( )α

α ()

αα

() ( )

xxy K

xx K

−

−+ ⋅

−

−+

∑∑

∑

∑∑

(4.1.13)

Рассмотрим комбинированную линейную непараметрическую ин-

тегрированную систему, в которой используется дополнительная апри-

орная информация о параметрах и выходе исходного объекта, получен-

ная с

l объектов-аналогов:

φ () ,

φ () , 1,,

⎧

⎪

⎨

⎪

⎩

=+=

yFαξ

ααη

yyγ

(4.1.14)

где

(, 1,, 1,

kik

yi nk l===y – матрица дополнительных априорных дан-

ных о выходной переменной

в моменты времени

,1,

ti n

заданных с

ошибками

,1,

γ ;

φ (), 1,

y – неизвестные однозначные функ-

ции, связывающие значения выходной переменной исследуемого объек-

та с соответствующими значениями выходной переменной объектов-

аналогов.

В качестве оценок параметров

α по аналогии с (4.1.3) будем ис-

пользовать приближение

.() argmin( ()

==−+−+−

∑∑

αΦαyFααα yy (4.1.15)

Для данной интегрированной системы моделей решение оптимиза-

ционной задачи (4.1.15), по аналогии с (4.1.4), сводится к решению сис-

темы линейных алгебраических уравнений вида:

12 2 2

11 1 1

()( )

ll l l

jj j j

jj j j== = =

++ = + +

∑∑ ∑ ∑

FWF K K α FW

K α K

, (4.1.16)

где

αα

(( ), 1,)

kkj

diag K k m

−

==K ,

(,1,.

iij

diag K i n

⎛⎞

⎜⎟

⎝⎠

−

Линейные динамические непараметрические интегрированные

системы идентификации, где в качестве моделей исследуемых объек-

тов используются интегральные либо дифференциальные уравнения,

проектируются по аналогии с приведенными выше интегрированными

системами.

Рассмотрим для примера линейную динамическую непараметриче-

скую интегрированную систему моделей вида:

φ() ,

ttt

⎧

⎪

⎨

⎪

⎩

yFx

uuη

(4.1.17)

где F – некоторый линейный интегральный оператор с ядром ()tu ;

u –

вектор дополнительных априорных данных о ядре; φ()

u – неизвестная

однозначная функция либо функционал.

При использовании в качестве модели исследуемой системы дис-

кретного аналога интегрального уравнения свертки (1.2.9) имеет место

интегрированная система моделей

φ() , 1,,

tt t

ttt

⎧

⎪

⎨

⎪

⎩

=+=

yFhξ

uuη

(4.1.18)

где

(( τ ) 1, , 1, )

tjmtn=− = =F (1,)

uj m

=u – импульсная переходная

функция, определенная в моменты времени

τ ,1,

; u – вектор до-

полнительных априорных данных об импульсной переходной функции.

Алгоритм адаптации интегрированной системы моделей по опре-

делению импульсной переходной функции h при использовании квад-

ратичных критериев качества по аналогии с (4.1.5) сводится к решению

системы линейных уравнений вида

*1*

ββ

(β)( ) ( )

−

=+⋅ +⋅hFWFKFW

Kh (4.1.19)

где

((( ),1,)

diag K j m

−

==K – диагональная матрица весовых

функций,

– управляющий параметр.

4.2. Нелинейные непараметрические интегрированные

системы идентификации

Нелинейные непараметрические интегрированные системы иден-

тификации основаны на нелинейной параметрической модели исходно-

го объекта и непараметрической модели

l объектов-аналогов, представ-

ляющих дополнительную априорную информацию о параметрах иссле-

дуемого объекта

(, ) ,

φ () , 1,,

kk k

⎧

⎪

⎨

⎪

⎩

=+ =

yxαξ

ααη

(4.2.1)

где

*** *

(, , )

yy y=y …

– вектор измеренных значений выхода объекта,

( , ) ( ( , ), ( , ), ( , ))

fff f=x α x α x α x α… – вектор известных с точностью

до параметров α нелинейных функций (, )

x α , вычисленных в точках

, 1,

in=x

; , 1,

α – вектор дополнительных априорных данных;

φ (), 1,

kl=α – неизвестные однозначные функции, , , 1,

kl=ξη – век-

торы случайных величин.

В общем случае для рассмотренной интегрированной системы моделей

задача идентификации сводится к решению трех оптимизационных задач:

() argmin ((), )hhf

αΦα,

arg min ( ( ), )

hhf= Φα

, (4.2.2)

***

arg min ( ( ), ),

hf= Φα

где

() () () (,) ,

=+ =− + −

∑

Φα J α Q α yxααα

αα

((( ),

diag K

−

1, ) ,

h – управляющий параметр.

В данном параграфе рассмотрим решение первой оптимизационной

задачи по определению неизвестных параметров с использованием ме-

тода Гаусса–Ньютона. Для этой цели, как и в параграфе 3.1, разложим

функцию

f(x, α) в ряд Тейлора (3.1.3) и перейдем к линейной интегри-

рованной системе моделей вида

000

,1,,

⎧

⎪

⎨

⎪

⎩

Δ+

Δ=Δ+ =

eDαξ

ααη

(4.2.3)

где

0* 0

(, ),=−eyfxα

(,)

, 1, , 1,

injm

⎛⎞

⎜⎟

⎝⎠

∂

===

∂

fx α

– матрица частных

производных по параметрам

α , 1, , ( )

Δ=−ααα,

Δ=−ααα и,

соответственно, к функционалу качества вида

0000 0

() .

Δ=−Δ +Δ−Δ

∑

Φα eDααα (4.2.4)

Далее определим приращение вектора параметров

Δα относитель-

но начального приближения

α путем вычисления и приравнивания к

нулю производных от функционала

()

Φαпо параметрам

Δα :

0000

()

()2 ( )

()0.

∂Δ

=∇ Δ =− − Δ −

−Δ−Δ=

Φα

Φα DW e D α

K αα

(4.2.5)

В результате получим систему линейных уравнений относительно при-

ращений вектора параметров

α :

()( ).

+Δ= +ΔDWD K α DWe K α (4.2.6)

С учетом (4.2.6) задача определения параметров α сводится к последо-

вательному решению системы линейных уравнений вида:

11 1

()( ),

ii i

Tii i

−−

−

−−

⎧

⎪

⎨

⎪

⎩

=+Δ

+Δ= +Δ

αα α

DWD K α DWe K α

(4.2.7)

где

αα

(,1,)

diag K j m

⎛⎞

⎜⎟

⎝⎠

−

∑

K , α

– некоторое начальное при-

ближение параметров α.

Для комбинированной нелинейной непараметрической интегриро-

ванной системы моделей с учетом дополнительной априорной инфор-

мации о параметрах исследуемого объекта и его выходе:

(, ) ,

φ ()

φ () , 1,

kk k

⎧

⎪

⎨

⎪

⎩

=+=

yxαξ

ααη

yyγ

(4.2.8)

нетрудно получить аналогичные (4.2.7) алгоритмы адаптации, исполь-

зуя метод Гаусса–Ньютона и квадратичные критерии качества

222

0000 0 00

()

Δ=−Δ +Δ−Δ + −

∑∑

Φα eDαααeDα (4.2.9)

где

αα

( ( ), 1, );

kkj

diag K k m

−

==K

(,1,.

kkj

diag K k n

⎛⎞

⎜⎟

⎝⎠

−

==K

В данном случае алгоритм адаптации по определению параметров α

подобен алгоритму (4.2.7):

()

().

ii i

TTii

TTi

−−

−

⎧

⎪

⎨

⎪

⎩

=+Δ

++ Δ=

+Δ+ Δ

∑∑

αα α

DWD K D K D α

DWe K α DK y

(4.2.10)

Для нелинейных динамических непараметрических интегрирован-

ных моделей вида:

(, ,, , , , 1,, 1, )ξ ,

( ), ( ), 1, , 1, , 1, ,

φ () , 1, ,

φ () , 1, , ,

tt t t

ti t j

kk k

ll l

yFyyt i rj r

yyti tjirjrtn

lssss

−−

⎧

⎪

⎨

⎪

⎩

===+

=− =− = = =

=+=

=+= =+

α xx

ααη

yyν

(4.2.11)

алгоритм адаптации по определению параметров α сводится к по-

следовательному решению систем линейных уравнений вида (4.2.9),

где под

D следует понимать матрицу частных производных

(, ,,, , , 1,, 1, )

, 1, , 1,

ti t j

fyy t i r j r

mt n

−−

⎛⎞

⎜⎟

⎝⎠

∂==

===

∂

α xx

от нелиней-

ной по параметрам функции (•)F , являющейся конечно-разностным

аналогом обыкновенного дифференциального уравнения (1.4.10). По-

добным образом проектируются алгоритмы адаптации и для нелиней-

ных уравнений в частных производных.

Для интегрированной динамической нелинейной непараметриче-

ской системы, где модель исследуемого объекта представлена в форме

интегрального уравнения вида,

((τ)( τ) τ,1,

φ () , 1, ,

φ () , 1, , ,

kk k

ll l

yfhxt dt n

lssss

∞

⎧

⎪

⎨

⎪

⎩

=−=

=+=

=+= =+

∫

ααη

yyν

(4.2.12)

а импульсная переходная функция представлена в виде суперпозиции из-

вестных функций

(τ) αφ(τ)

∑

, задача определения вектора парамет-

ров α с учетом дополнительной априорной информации о параметрах и

выходе исследуемого объекта, представленная непараметрической моде-

лью объекта-аналога, сводится к алгоритмам вида (4.2.7) и (4.2.10).

4.3. Непараметрические интегрированные системы идентификации

Рассмотрим задачу идентификации стохастических систем в усло-

виях непараметрической априорной неопределенности о структуре мо-

дели объекта и структуре дополнительной априорной информации. Ос-

тановимся на статической непараметрической интегрированной модели

двух черных ящиков

() ,

φ() η , 1, ,

iii

yy in

⎧

⎪

⎨

⎪

⎩

=+=

x ξ

(4.3.1)

где

y – измеренные значения выхода объекта; (), 1,)

x – неизвест-

ные однозначные функции f(x), вычисленные в точках

, 1,

in=x

; φ()y –

неизвестная однозначная функция, отражающая взаимодействие иссле-

дуемого объекта с объектом-аналогом;

В качестве критерия качества будем использовать комбинирован-

ный функционал вида:

02 02

()

(,β) ( ()) ( ()),

yf К yf

⎛⎞

⎜⎟

⎝⎠

−

Φ= − + −

∑∑

hK x x

(4.3.2)

где

⎛⎞

⎜⎟

⎝⎠

−xx

()

⎛⎞

⎜⎟

⎝⎠

−x

– некоторые весовые функции – ядра,

введенные по аналогии с непараметрическими оценками плотности рас-

пределения вероятностей и регрессии, приведенными в приложении 5;

12 2

( , , ..., ), βhh h=h – управляющие параметры;

()r x

– некоторая на-

чальная оценка (начальное приближение) функции регрессии.

В качестве оптимальной оценки искомой функции в точке

∈x

будем использовать величину

()argmin(,β).

(x )

x Φ h (4.3.3)

В данном случае оценку функции регрессии можно представить в

явном виде (полагая x

= x)

()

yK y

⎛⎞

⎜⎟

⎝⎠

⎛⎞

⎜⎟

⎝⎠

−

∑∑

(4.3.4)

При β = 0 из (4.3.4) следует непараметрическая оценка функции

регрессии (приложение 3), которую можно использовать в качестве на-

чального приближения функции r(x).

По аналогии с приближением (4.3.4) проектируются оценки для непа-

раметрических динамических интегрированных систем, где под x

пони-

мается расширенный вектор, состоящий из компонент

,,,,

ti t j

−−

1, , 1,irjr==.

При ошибках измерения выхода объекта и ошибок задания допол-

нительных априорных данных, существенно отличающихся от нор-

мального закона, комбинированный функционал качества следует вы-

бирать в виде

(,β)(())

()

( ( )),

zy f

К zy f

⎛⎞

⎜⎟

⎝⎠

⎛⎞

⎜⎟

⎝⎠

−

Φ= − +

−

+−

∑

hK x

(4.3.5)

где вид функций

,zz – определяется в зависимости от априорной ин-

формации о статистических характеристиках ошибок. Методы выбора

функций

,zz изложены в приложении 3.

Завершающим этапом адаптации рассмотренных непараметриче-

ских интегрированных моделей при заданных весовых функциях явля-

ется определение оптимальных значений управляющих параметров

12 2

(, ,..., ), βhh h=h , доставляющих минимум функционалу вида

(,β)( (, ))

JyfiM

∈

=−∈

∑

, (4.3.6)

где

,1,

Mn∈

– подмножества индексов,

(, )

∈

x оценка неиз-

вестной функции ()

x вида (4.3.4), вычисленная в точке

M∈ . Про-

стейшим случаем данного функционала является критерий, в котором

исходная выборка разбивается на две равные части. Первая часть ис-

пользуется для построения оценки функции

)(xf , а вторая для расчета

среднего квадрата ошибок. Допустимые варианты разбиения исходной

выборки рассмотрены в главе 5.

Глава 5

КАЧЕСТВО ИНТЕГРИРОВАННЫХ СИСТЕМ ИДЕНТИФИКАЦИИ

5.1. Качество интегрированных систем идентификации

в условиях их нормального функционирования

В данном параграфе рассмотрим вопросы точности и эффективно-

сти оценок параметров линейных интегрированных моделей в условиях

их нормального функционирования.

Под точностью будем понимать среднеквадратичную ошибку ап-

проксимации (СКОА)

** * ** *

δ ()() ( )( )

MDMM=− −=+− −α αααα α αα αα, (5.1.1)

где M, D – символы математического ожидания и дисперсии оценок па-

раметров α

Под эффективностью оценки

α по отношению к оценке

α , будем

понимать выражение

(, ) ,

e =

αα

(5.1.2)

где

δ , δαα

– СКОА оценок

Вопросы точности и эффективности рассмотрим на примерах ли-

нейных и нелинейных статических интегрированных систем идентифи-

кации, приведенных во второй и третьих главах.

Остановимся на простой линейной интегрированной системе моде-

лей с учетом дополнительной априорной информации о параметрах вида

⎧

⎪

⎨

⎪

⎩

yFαξ

ααη

(5.1.3)

где

ξη

– ошибки измерения выхода объекта и ошибки дополнительных

априорных данных с плотностью распределения вероятностей Р

и Р

соответственно.

Сформулируем стандартные (классические) условия нормального

функционирования системы (5.1.3).

Условие 1. Случайные величины ξ в модели исследуемого объекта

независимы с нулевыми математическими ожиданиями (Мξ = 0) и огра-

ниченными дисперсиями (

σσ 1,

∀= ), с плотностью Р

Условие 2. Случайные величины

в модели объекта-аналога неза-

висимы с нулевыми математическими ожиданиями (Мη = 0), ограни-

ченными дисперсиями (

σσ,1,

=∀=), с плотностью Р