Сергеев В.Л. Интегрированные системы идентификации

Подождите немного. Документ загружается.

Для этой цели необходимо вычислить производные от функционала

Ф(Δα

) по параметрам Δα

и приравнять их к нулю

0000

()

()2 ( )

2( )0.

∂Δ

=∇ Δ =− − Δ −

−Δ−Δ=

Φα

Φα DW e D α

RW α R α

(3.1.7)

В результате получим систему линейных уравнений

111

)β()β(

−−−

Δ⋅+=Δ⋅+

TiiT

αWReWDαRWRDWD

αα

, (3.1.8)

относительно приращений вектора параметров

−

на шаге 1,i

−

1, 2, 3, ...i = Индекс

1−i

означает, что все переменные системы линей-

ных уравнений вычислены при значениях

, 1, 2, 3, ...

−

=αα

Для обеспечения сходимости процедуры определения параметров

(3.1.6), (3.1.8), необходимо выполнение условия

() ( )

−

<Φα Φα , 1, 1, 2, 3, ...ii

−

= (3.1.9)

на каждом шаге итерационного процесса.

Для этой цели существует ряд методов, приведенных в приложении 3.

В методе Гаусса–Ньютона выполнение условия сходимости (3.1.9) осу-

ществляется дроблением шага ( 1, 1, 2, 3, ...)

hh i

∀= пополам

/ 2 , 1, 2, 3, ...

hh i

−

==.

Рассмотрим интегрированную систему моделей, в которой априор-

ная информация о параметрах модели объекта представлена системой

нелинейных уравнений

⎪

⎩

⎪

⎨

⎧

,)(

,),(

ηαα

ξαxfy

(3.1.10)

где r(

α) – вектор нелинейных функций

( ( ), ( ), ..., ( ))

rr rαα α

Используя разложение функции

),( αxf

)(αr

в ряд Тейлора вида

(3.1.3), перейдем к линейной, относительно параметров

αΔ

, интегри-

рованной системе моделей вида:

⎪

⎩

⎪

⎨

⎧

+Δ=

000

ηαDe

ξαDe

(3.1.11)

где

,1, ,

)(

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

∂

= mji

– квадратная матрица частных производных

функции r(

α) по параметрам α,

),,(

0*0

αxfye −=

),(

ααe r

−=

, αD Δ

–

определены в (3.1.3).

Для интегрированной системы моделей (3.1.11) по аналогии с

(3.1.5) имеет место комбинированный критерий качества

0000 000

() β .

ff rr

Δ=−Δ +⋅−Δ

Φα eDα eDα

(3.1.12)

В данном случае алгоритм адаптации с использованием метода

Гаусса–Ньютона по аналогии с (3.1.6), (3.1.8) сводится к итерационной

процедуре вида:

11 0 01

( β )( β ), 1,2,3,....

ii i

TTiiTTi

yrr yrr

ff ff

−−

−− −

⎧

⎪

⎨

⎪

⎩

=+Δ

+⋅ Δ = +⋅ =

αα

αα α

DWD DWD α DWe DWe

(3.1.13)

Важным моментов в алгоритмах адаптации (3.1.6) и (3.1.13) являет-

ся определение управляющего параметра, который (в упрощенном ва-

рианте) может быть определен на первом шаге итерационного процесса

путем решения оптимизационной задачи вида

**1 1

β arg min( ( , (β) β (β).

=− +⋅−

yfxααRα

Полученное значение управляющего параметра β

может быть исполь-

зовано на последующих шагах.

Рассмотрим интегрированную систему моделей, в которой априор-

ная информация о параметрах модели объекта формируется на основе

использования l объектов-аналогов:

(, ) ,

, 1, ,

⎧

⎪

⎨

=+ =

⎪

⎩

yfxαξ

α R αη

(3.1.14)

где

– известная матрица для k объекта-аналога;

(

α ,α ,..., α )

kkkmk

α –

вектор дополнительных априорных данных для k объекта-аналога.

Поставим в соответствие данной интегрированной системе моделей

квадратичный функционал качества, предполагая, что случайные вели-

чины

ξ и η распределены по нормальному закону

β),()(

αRααxfyαΦ

−+−=

∑

. (3.1.15)

Тогда алгоритм определения параметров

α при использовании ме-

тода Гаусса–Ньютона по аналогии с (3.1.6), (3.1.8) сводится к рекур-

рентной процедуре

11 1

, 1, 2, 3, ...

( β )( β ).

ii i

TTiiTTi

kk kk k k k

−−

−− −

⎧

⎪

⎨

⎪

⎩

=+Δ =

+Δ=+Δ

∑∑

αα

αα α

DWD RW R α DWe RW α

(3.1.16)

Алгоритм адаптации, основанный на методе Ньютона–Рафсона.

Для решения оптимизационной задачи часто используется метод Нью-

тона, приведенный в приложении 2, основанный на использовании вто-

рых частных производных при разложении функционала качества

)(αΦ

в ряд Тейлора в окрестности точки α

000000

)())(()()( αHαααΦαΦαΦ

∇

, (3.1.17)

где H

– матрица Гессе вторых частных производных с элементами

),1,/)(( mi,

=α∂α∂∂ αΦ

)(

ααα

−

, а индекс «0» означает, что

частные производные вычислены при

αα

Необходимым условием минимума функционала (3.1.17) является

равенство нулю частных производных по

000

)( ()) 0,

∇=∇ +Δ=

Φ(αΦαH α

(3.1.18)

где

00 0

(())( β )

∇=∇⋅+⋅Δ

αα α

Φα fWe RW α

02 0

(

∇⋅ +∇⋅∇+

ααα

HfWeff

β )

+⋅

RWR

(()/α , 1, )

im∇=∂ ∂ =

ffα

(()/αα, 1, )

i, j m

∇

=∂ ∂ ∂ =

ffα

0* 0

(, ),

=−eyfxα

=−ααRα

Процесс определения параметров α в данном случае проводится по

схеме:

20 11

( β )

( β ).

ii i

TTii

TTi

−−

−

⎧

⎪

⎨

⎪

⎩

=+Δ

∇⋅ +∇⋅ ∇+⋅ Δ =

=∇ ⋅ +⋅ Δ

αααα

αα

αα α

fWe fW f RWR α

fWe RW α

(3.1.19)

Преимуществом метода Ньютона–Рафсона (3.1.19) по сравнению с

методом Гаусса–Ньютона является то, что он обеспечивает более высо-

кую скорость сходимости. Недостатком является трудоемкость при вы-

числении матрицы вторых производных

∇

Следует отметить, что в последнее время широкое практическое

применение получили квазиньютоновские методы оптимизации (мето-

ды переменной метрики), приведенные в приложении 2, позволяющие

строить различные аппроксимации матрицы Гессе.

3.2. Нелинейные интегрированные системы идентификации

с учетом априорной информации о выходе объекта

Рассмотрим интегрированную систему моделей, основанную на не-

линейной статической стохастической модели объекта и нелинейной

модели дополнительной априорной информации о его выходе

(, ) ,

() ,

⎧

⎪

⎨

⎪

⎩

yfxαξ

ГyLy η

(3.2.1)

где L – известный оператор (функция, функционал и т. д.); y

– векторы

измеренных значений выхода объекта;

– дополнительные априорные

данные, полученные с «объекта-аналога»; ( , )fxα – вектор нелинейной

функции ,)

( x α вычисленной в точках ,1,

x ;,

η – векторы случай-

ных величин; L – диагональная индикаторная матрица.

Введем обозначения

, ( , )

x α , с учетом которых интег-

рированную систему моделей (3.2.1) представим в виде:

(, ) ,

(, ) .

⎧

⎪

⎨

⎪

⎩

yfxα

ygxαη

(3.2.2)

Алгоритм адаптации, основанный на методе Гаусса–Ньютона.

Используя прием разложения нелинейных функций (, )

x α и (, )g x α

в ряд Тейлора с точностью до членов первого порядка малости:

000

(, ) (, ) (, ) ,

ff f

gg g

=+∇ Δ

x α x α x αα



(3.2.3)

приведем решение оптимизационной задачи

(β)argmin()

() β () (,) β (, )

=+ =− + −

αΦα

J α Q α yfxα ygxα

(3.2.4)

с использованием итерационной процедуры Гаусса–Ньютона по анало-

гии с алгоритмом адаптации (3.1.13). Для этой цели линеаризуем интег-

рированную систему (3.2.2)

000

⎧

⎪

⎨

⎪

⎩

Δ+

eDα

eDαη

где

(, )

=−eygxα ,

(,)

, 1, , 1,

injm

⎛⎞

⎜⎟

⎝⎠

∂

===

∂

x α

и перейдем к ре-

шению оптимизационной задачи

*0000000

arg min( ( ) β

Δ= Δ = − Δ +⋅ − Δ

αΦαeDα eDα

для определения оптимального вектора приращений параметров

Δα .

В данном случае процедура уточнения параметров (по аналогии с про-

цедурой (3.1.13)) имеет вид:

11 1

( β )( β ),

1, 2, 3, ... .

ii i

TTiiTTi

ygyq ygyg

ff ff

−−

−− −

⎧

⎪

⎨

⎪

⎩

=+Δ

+⋅ Δ = +⋅

αα α

DWD DWD α DWe DWe

(3.2.5)

Для получения (3.2.5) достаточно взять производные от функцио-

нала

(ΔΦα) по параметрам

α и приравнять их к нулю.

Для интегрированной системы моделей, в которой априорная ин-

формация о выходе объекта получена с l объектов-аналогов

(, ) ,

(, ) , 1,,

Гk

⎧

⎪

⎨

⎪

⎩

=+=

yfxαξ

ygxαη

(3.2.6)

процедура уточнения параметров (по аналогии с (3.2.5)) примет вид

( β )

( β ) , 1, 2, 3, ... .

ii i

TTii

ff gk gk

TTi

f f gk gk

−−

−

⎧

⎪

⎨

⎪

⎩

=+Δ

+⋅ Δ=

=+⋅ =

∑

αα α

DWD D W D α

DWe D We

(3.2.7)

На основе приведенных в приложении 2 методов оптимизации

функций для интегрированной системы моделей (3.2.2) и (3.2.6) можно

получить различные процедуры адаптации вектора неизвестных пара-

метров α. Например, для интегрированной системы моделей (3.2.2) ме-

тод Ньютона–Рафсона (по аналогии с алгоритмом (3.1.19)) приводит к

итерационной процедуре вида

20 11

( β )

( β ).

ii i

TTii

yygg

TTi

−−

−

⎧

⎪

⎨

⎪

⎩

=+Δ

∇⋅ +∇⋅ ∇+⋅ Δ =

=∇ ⋅ +⋅

αααα

αα α

fWe fW f DWD α

fWe DWe

(3.2.8)

3.3. Нелинейные комбинированные интегрированные

системы идентификации

Рассмотрим интегрированную систему моделей, основанную на не-

линейной статической стохастической модели объекта и моделей объек-

тов-аналогов, дающих дополнительную априорную информацию о па-

раметрах и выходной переменной модели. Рассмотрим также класс объ-

ектов-аналогов, представляющий дополнительную априорную инфор-

мацию о выходе объекта в интегральном виде. Остановимся на интег-

рированной системе моделей

вида:

(, ) ,

() ,

,) ,

(, ) () ,

sz d s

⎧

⎪

⎨

⎪

⎩

=+=+

∫

yfxαξ

α r αη

yg(xαη

x α x αη

(3.3.9)

где (,), (), (,),(,)

ff zx ααx α x α – известные нелинейные функции (в об-

щем виде функционалы);

,,y α

– соответственно, векторы измерен-

ных значений выхода объекта и априорных дополнительных данных о

параметрах модели объекта и его выходе;

– дополнительная априор-

ная информация о выходе объекта, заданная в интегральной форме;

123

,, ,ξη η η – векторы случайных величин.

От интегрированной системы моделей (3.3.9) перейдем к линеари-

зованной интегрированной системе моделей относительно приращений

Δα

, где все нелинейные функции представлены рядом Тейлора в окре-

стности точки α

с точностью до членов первого порядка малости:

000

⎧

⎪

⎨

⎪

⎩

⋅Δ +

=⋅Δ+

eDα

eDαη

eD αη

eDαη

(3.3.10)

где

DD – матрицы частных производных от функций f, g соответст-

венно по параметрам

α , 1,

в точках ,1,

x при начальных зна-

чениях α = α

;

DD – векторы частных производных от функции r и

функционала

s по параметрам α , 1,

;

0* 0

(, )

−eyfxα ;

()

=−e α r α

;

(, )

−eygxα ;

()

−e α

Интегрированной системе моделей (3.3.10) поставим в соответст-

вие комбинированный взвешенный критерий качества, основанный на

частных квадратичных функционалах качества:

00 0

()() ()

Δ=Δ+ Δ

∑

Φα J α Q α

, (3.3.11)

где

000

()

Δ= −ΔJ α eDα ;

000

=−ΔQeDα ;

000

=−ΔQeDα

;

000

=−ΔQeDα .

В качестве оптимальных значений Δα

приращения параметров Δα

используем величину

arg min ( ).Δ= Δ

Δα

αΦα (3.3.12)

Для решения задачи (3.3.12) достаточно вычислить производные от

()ΔΦαдо

Δα и приравнять их к нулю

00 00

()2 2

220,

yrr

zg sss

Δ=− − −

−−=

Φα DWE DWE

DWE DWE

(3.3.13)

где

000

()

fff

=−ΔEeDα ;

000

()

rrr

=−ΔEeDα ,

00 0

()

ggg

−⋅ΔEeDα ,

000

()

sss

−ΔEeDα .

Собирая члены c

Δα из (3.3.13), получим систему линейных урав-

нений, которую запишем для произвольного вектора приращений

−

Δα

на шаге

i – 1, начиная с

, 1,2,3...iΔ=α ,

11 1ii i

−

−−

=A α B , (3.3.14)

где

1 1

123

10 0 0 01

123

( ββ β)

( ββ β),

iTTTTTi

yrrggsss

iT T T Ti

yrrzgsss

− −

=+ + +

A D WD D WD D WD D WD

B DWe DWe DWe DWe

индекс

1−i

означает, что все переменные вычислены при

1i−

=αα

Основываясь на схеме Ньютона с учетом (3.3.13), процедура уточ-

нения параметров α примет вид

11 1

, 1, 2, 3, ... .

ii i

−−

−− −

⎧

⎪

⎨

⎪

⎩

=+Δ

Δ= =

αα α

A α B

(3.3.15)

Отметим, что при значениях управляющих параметров

123

β = β = β = 0

=WI, алгоритм определения параметров (3.3.14)

совпадает с методом Гаусса–Ньютона для идентификации модели

объекта (, ).

x α

Для интегрированной системы моделей вида:

(, ) ,

() , 1,,

(, ) , 1, ,

() , 1, ,

kk k

rkl

ss k l

⎧

⎪

⎨

⎪

⎩

=+ =

=+=

=+ =

yxαξ

ααη

ygxαη

αη

, (3.3.16)

в которой дополнительная априорная информация получена c

123

lll++

объектов-аналогов, процедура уточнения параметров проводится по

схеме, аналогичной (3.3.14), где

10 0 0 01

123

11 1

( ββ

β )

( ββ β).

iTT T T

ygg

ff krkkrk

sss

iT T T Ti

yrrzgsss

kk k

−

− −

== =

=+ + +

∑∑

∑

∑∑∑

ADWD DWD DWD

DWD

B DWe DWe DWe DWe

(3.3.17)

Следует отметить, что дополнительные априорные данные могут

быть известны только по некоторым компонентам векторов

α и

3.4. Нелинейные динамические интегрированные системы идентификации

Нелинейные динамические интегрированные системы идентифика-

ции рассмотрим на примере нелинейной динамической интегрирован-

ной системы моделей вида:

( ) , (0) (0),

tt t

Fyy

⎧

⎪

⎨

⎪

⎩

=+ =

y αξ

α Rαη

yHyν

(3.4.1)

где

– вектор измеренных в моменты времени t значений выхода объ-

екта

() ( ( , ,, , ), 1,)

ttt

yyt t n

−

==F ααx – вектор функция, полученная в

результате конечно-разностной аппроксимации нелинейного дифферен-

циального уравнения первого порядка (1.4.10);

( , , ..., )

tmt

– зна-

чения входных переменных объекта в момент времени t, α – вектор не-

известных параметров;

R,H

– известные матрицы; , ,

ην – векторы

ошибок измерений выхода исследуемого объекта и ошибок задания ап-

риорной информации соответственно.

Представим в (3.4.1) функцию ()

F α рядом Тейлора в окрестности

точки

α с точностью до членов первого порядка малости. В результате

получим линеаризованную интегрированную систему моделей относи-

тельно приращений Δα

000

⎧

⎪

⎨

⎪

⎩

Δ+

=Δ+

Δ+

eDα

α R αη

eDα v

(3.4.2)

0010 0 000

121

,(α ,1,), (), ,

ij j

rim

Δ=− ⋅ = ⋅ = =− =

∑

ααRα R α e

HF α DHD

(,,,,)

, 1, , 1,

fy yt

tnjm

−

⎛⎞

⎜⎟

⎝⎠

∂

===

∂

α x

При использовании комбинированного критерия качества

22 2

0000 0 000

11 22

() ββ

WW W

Δ=−Δ +⋅Δ−Δ +⋅−Δ

y α

Φα eDααR α eDα

алгоритм адаптации по определению вектора параметров α по аналогии

с (3.1.6) , (3.2.7) сводится к итерационной процедуре вида:

111 222

11 21

, 1, 2, 3, ....

( ββ)

( ββ).

ii i

TTTii

TT Ti

−−

−

⎧

⎪

⎨

⎪

⎩

=+Δ =

++ Δ=

=+Δ+

αα α

DWD RWR DWD α

DWe RW α DWe

(3.4.3)

По аналогии с (3.4.3) проектируются алгоритмы адаптации для ин-

тегрированных систем идентификации, где в качестве модели объекта

используются нелинейные интегральные уравнения вида (1.2.11).

Глава 4

НЕПАРАМЕТРИЧЕСКИЕ ИНТЕГРИРОВАННЫЕ

СИСТЕМЫ ИДЕНТИФИКАЦИИ

4.1. Линейные непараметрические интегрированные системы идентификации

Рассмотрение непараметрических интегрированных систем иден-

тификации начнем с простой интегрированной системы моделей перво-

го уровня вида

αφ(α ) η , 1, ,

jjj j

⎧

⎪

⎨

⎪

⎩

=+=

yFαξ

(4.1.1)

где

F – вектор известных функций ,,1 ),( mjf

=x вычисленных в точках

,1,;

in=x

*** *

(, , , )

yy y=y …

– вектор измеренных значений выхода

объекта у; α – вектор неизвестных параметров;

α , 1,

– дополни-

тельные априорные данные;

φ (α ), 1,

– неизвестные однозначные

функции, связывающие параметры исследуемого объекта с выходными

значениями объекта-аналога;

, η , 1, ,

ξ – случайные величины,

представляющие ошибки измерения выхода объекта и ошибки задания

априорной информации; Т – символ транспонирования.

Задача идентификации заключается в оценивании неизвестных па-

раметров, когда относительно функций

φ (), 1,

α известны лишь

общие предположения, такие как непрерывность, ограниченность, су-

ществование производных и т. д.

В данных условиях модель (4.1.1) представляет линейную, интег-

рированную систему, где дополнительная информация задана в непара-

метрической форме. Существует достаточно широкий класс объектов с

непараметрическими моделями априорной информации:

Системы, где априорные данные неоднородны.

Системы, где недостаточно изучен механизм взаимодействия

исследуемого объекта и объекта-аналога.

Системы с нестабильным взаимодействием исследуемого объек-

та и объекта-аналога (при одних условиях есть взаимодействие, при

других условиях – нет) и т. п.

В условиях непараметрической априорной неопределенности о

структуре моделей объектов-аналогов, когда функции

φ (), 1,

l=α не-

известны, встает вопрос о методике формирования комбинированного

функционала качества. Сформулируем критерии, необходимые для кон-

струирования комбинированного функционала качества [12].

1. Критерий огрубления моделей объектов-аналогов

Действие критерия заключается в замене неизвестной функции

φ ()

α известной в окрестности некоторой точки α

. В простейшем случае

в качестве φ ()

α может быть выбран вектор неизвестных параметров α.

2. Критерий значимости дополнительной информации

Данный критерий предусматривает введение правила «менее зна-

чимой дополнительной информации – меньший вес», что связано с вве-

дением некоторых весовых функций с центром в окрестности точки

убывающих в зависимости от увеличения значений

αα

−

→∞.

3. Критерий компенсации

В качестве компенсации за огрубление моделей дополнительных

априорных данных, выбора начального приближения

параметра

вводится весовая функция с управляющим параметром

αα

⎛⎞

⎜⎟

⎝⎠

−

таким образом, чтобы выполнялись условия 0, 0, , .

hKCh→→ →<∞→∞

В качестве комбинированного функционала качества с учетом вве-

денных выше критериев, будем использовать приближение

() () () ,

=+ =− +−

Φα J α Q α yFααα

(4.1.2)

где ()

J α – взвешенный с матрицей

частный критерий среднего квад-

рата ошибок измерений выхода объекта и выбора модели; ( )

Q α – частный

критерий качества модели объекта-аналога;

αα

((( ),

diag K

−

1, )

m= – диагональная матрица весовых функций, h – управляющий

параметр.

Следует отметить, что аналогом данных весовых функций являют-

ся ядра в непараметрических оценках плотности распределения вероят-

ностей и регрессии, приведенных в приложении 3.

Задача определения параметров

α с учетом критерия (4.1.2) сводит-

ся к задаче оптимизации вида

() argmin ().h

αΦα (4.1.3)

Для решения задачи (4.1.3) необходимо взять производные от

функционала ()

Φα по параметрам α, используя формулы для производ-

ных по векторному аргументу, приведенные в приложении, и прирав-

нять их к нулю:

2( )2()0.

∂

=∇ =− − − − =

∂

Φ FW y Fα K αα