Сергеев В.Л. Интегрированные системы идентификации
Подождите немного. Документ загружается.
31
Оптимизационную задачу (2.1.16) можно свести к последовательно-
му решению системы линейных уравнений. Алгоритмы определения
управляющих параметров рассмотрены в пятой главе.
В качестве примера рассмотрим интегрированную систему моделей
вида:
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
η+α=α
η+α=α
=ξ+−α+α=
,
,
,,1,)(
222
111
21
*
nixxy
iii
(2.1.17)
где
12
αα()yxx=+ −
– уравнение линейной регрессии;
∑
=
=
n
i
i
x
n
x
1
1
– выбо-
рочное среднее;
1
α
и
2
α – дополнительные априорные данные сведения
о параметрах
1
α и
2
α , ξ,
,,1 ni =
12
η , η – ошибки измерения выхода объ-
екта и ошибки задания априорных данных о параметрах модели объек-
та. Данная интегрированная система моделей следует из (2.1.1) при
R = I и m = 2.
Предполагая, что ошибки измерений и ошибки задания дополни-
тельных априорных данных независимы и одинаково распределены
(
IWW
y
==
α
), из (2.1.4) получим оценки параметров
1
α
и
2
α
)β()β()β(
*1*
αyFFFα ++=
− TT
I
, (2.1.18)
где
.
...,,
1...,1,1
21
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−−−
=
xxxxxx
n
T
F
Алгоритм получения оценок параметров заключается в выполне-
нии последовательности действий:
1) вычисление произведения матриц
FF
T
;
2) получения обратной матрицы
1
)β(
−
+ I
T
FF
;
3) расчета вектора свободных членов
)β(
*
αyF +
T
;
4) вычисление произведения
)β()β(
*1
αyFFF ++
− TT
I
.
В силу симметричности уравнения регрессии матрица
FF
T
диаго-
нальная
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−
=
∑
=
n
i
i
T
xx
n
1
2
)(0
0
FF
.
Тогда соответствующая обратная матрица
1
)β(
−
+ I
T
FF
также диаго-
нальная.
32
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
+−
+
=+
∑
=
−
β)(
1
0
0
β
1
)β(
1
2
1
n
i
i
T
xx
n
IFF
. (2.1.19)
Матрица
*
yF
T
равна
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
−
=
∑
∑
=
=
n
i
i
n
i
i
T
yxx
y
1
1
1
*
)(
yF
.
Соответственно
1
1
*
2
1
βα
( β )
()βα
n
i
i
T
n
ii
i
y
xxy
=
=
⎛⎞
+
⎜⎟
⎜⎟
+=
⎜⎟
−+
⎜⎟
⎝⎠
∑
∑
Fy α
. (2.1.20)
Перемножая матрицы (2.1.19) и (2.1.20), получим
1
*
1
1
βα
α (β),
β
n
i
i
y
n
=
+
=
+
∑
2
*
1
2
2
()βα
α (β).
()β
n
ii
i
i
xxy
xx
=
−+
=
−+
∑
∑
(2.1.21)
Следует отметить, что полученные оценки можно вычислять при
1≥n
(проводится прямая через одну точку).
При
0β = полученные оценки параметров совпадают с соответст-
вующими оценками метода наименьших квадратов, которые можно ис-
пользовать при объеме измерений
2≥n
, поскольку при
1=n
определи-
тель матрицы
FF
T
равен нулю.
Следует отметить, что при матрице планирования
FF
T
большой раз-
мерности, решение соответствующих систем линейных уравнений осущест-
вляется одним из итерационных методов последовательных приближений.
2.2. Линейные интегрированные системы идентификации
с учетом априорной информации о выходе объекта
Рассмотрим линейную интегрированную систему моделей, в которой
используется дополнительная априорная информация о выходе объекта
⎩
⎨
⎧
+=
+=
,
,
*
ηRyyГ
ξFαy
(2.2.1)
где
ГR,
– известные матрицы;
T
n
yyy ),...,,(
**
2
*
1
*
=
y
,
T
n
y
y
y
),...,(
21
=
y
–
векторы столбцы измеренных значений выхода объекта и дополнитель-
ных априорных данных, матрица
F и векторы α, ξ, η определены в 2.1.1.
33
Введем обозначения
RFFFF ==
21
,
и представим интегрированную
систему моделей (2.2.1) в виде:
⎩
⎨
⎧
+=
+=
,
,
2
1
*
ηαFyГ
ξαFy
(2.2.2)
где
1
F
– матрица известных функций
mjf
ij
,1),( =x
, вычисленных в точ-
ках
,,1, ni
i
=x
Г
– диагональная индикаторная матрица для указания от-
сутствующих значений компонент вектора дополнительных априорных
данных
y
.
Например, при
)1,1,1,,0( =−===
nnij
znjizГ
, априорная информа-
ция задана одним значением
n
y в точке
n
x и интегрированная система
моделей при
I
=
R
примет вид
*
1
,
η ,
nnn
yy
⎧
=
+
⎨
=+
⎩
yFα
ξ
Следует отметить, что измерения выхода объекта и дополнитель-
ные данные могут быть получены при разных значениях входных пере-
менных, принадлежащих их разным областям. Например, измерения
выхода объекта
niy
i
,1, ∈
могут быть определены в точках
1
xΔ∈
i
x
, а
дополнительные данные
njy
j
,1, ∈
в точках
,
2
xΔ∈
j
x
причем области
Δ
х
1
и Δх
2
не пересекаются. В этой связи в качестве дополнительной ап-
риорной информации могут быть использованы и экспертные оценки
прогнозных значений выхода объекта, в том числе и прогнозные значе-
ния выхода по косвенным измерениям, где в качестве
y
и y понимаются
разные переменные.
В случае использования частных квадратичных функционалов ка-
чества и комбинированного критерия качества вида
2
2
*
12
()
W
W
β
Φ=− + −
y
y
α yFαГyFα (2.2.3)
решение оптимизационной задачи определения оптимального вектора
параметров
α:
*
(
β)argmin()
=
Φ
α
αα
сводится (по аналогии c линейной интегрированной системой моделей
(2.1.1)) к решению системы линейных уравнений вида
)β()β(
2
*
2211
yГWFyWFαFWFFWF
y
T
y
T
y
T
y
T
⋅+=⋅⋅+
(2.2.4)
и оптимизационной задаче по определению оптимального управляюще-
го параметра
34
22
****
2
β argmin( ( *()) () () )
y
R∈
==−+−
y
WW
β
Φα β yFαβ yFαβ
. (2.2.5)
Рассмотрим интегрированную систему моделей для случая
d объек-
тов-аналогов, т. е. дополнительная априорная информация в выходе
объекта формируется с
d объектов-аналогов:
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
=+=
+=
,,1,
,
2
1
*
dk
k
k
kk
ηαFyГ
ξαFy
(2.2.6)
где матрицы
F
1
, F
2k
, Г
k
известные матрицы.
По аналогии (2.1.15) и (2.2.4) алгоритм адаптации данной интегри-
рованной системы сводится к решению оптимизационной задачи
2
2
**
12
1
(β)argmin(() β )
d
ykkkky
k
WW
=
=Φ=− + −
∑
α
ααyFαГyFα
(2.2.7)
и, соответственно, к решению систем линейных уравнений вида
)()(
1
2
*
22
1
1 kk
d
k
y
T
kky
T
ky
T
k
d
k
ky
T
yZWFyWFαFWFFWF
∑∑
==
β+=β+
(2.2.8)
и оптимизационной задаче по определению оптимального вектора
управляющих параметров
2
***
2
*
2
1
β arg min( ( *( )) ( )
β () ), 1, .
y
j
R
d
kk
k
k
jd
∈
=
==−+
+− =
∑
y
W
β
W
Φα β yFαβ
yFαβ
(2.2.9)
2.3. Комбинированные линейные интегрированные
системы идентификации
Рассмотрим линейную интегрированную систему моделей, в кото-
рой одновременно используется априорная информация о параметрах и
выходе исследуемого объекта
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
+=
+=
+=
,
,
,
222
111
*
ηyRyГ
ηαRαГ
ξFαy
(2.3.1)
где
12
,,FR R
– известные матрицы;
21
,ГГ
– диагональные индикатор-
ные матрицы.
Для определения вектора неизвестных параметров
α будем исполь-
зовать комбинированный функционал качества
,ββ)(
222
2
111
2
1
*
y
y
WW
W
αFyГαRαГαFyα −+−+−=Φ
α
(2.3.2)
где
RFFFF ==
21
,
;
1
β
и
2
β
– управляемые параметры.
35
По аналогии с (2.1.2), (2.2.3) алгоритм адаптации данной комбини-
рованной интегрированной системы моделей сводится к оптимизацион-
ной задаче
*
12
ββ( , ) arg min ( ),
=
Φ
α
αα
и решению системы линейных уравнений
1111 122
*
11 1 22 2
( ββ)
( ββ )
TTT
yy
TTT
yy
α
++ =
=++
FWF RWR FWF α
FWy RГα FWГ
y
(2.3.3)
относительно вектора неизвестных параметров
α и оптимизационной
задаче по определению управляющих параметров
1
β
и
2
β
12
**
12
β , β
βββ arg min ( ( , )), 1,2
j
j=Φ =α
.
(2.3.4)
Рассмотрим интегрированную систему моделей, в которой допол-
нительная информация о параметрах α получена с d
1
объектов-аналогов,
а дополнительная информация о выходе получена с d
2
объектов-
аналогов:
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎨
⎧
=+=
=+=
+=
.,1,
,,1,
,
2222
1
1111
1
*
dk
dj
kkkk
jjjjj
ηαFyГ
ηαZRαГ
ξαFy
(2.3.5)
Для данной системы соответствующим образом формируется ком-
бинированный функционал качества как сумма взвешенных частных
критериев качества исследуемого объекта и объектов-аналогов
2
22
1
2
2
1
1
1
2
1
*
21
ββ)(
y
y
kkk
d
k
kijijjj
d
j
j
W
W
W
αFyГαZRαГαFyα −+−+−=Φ
∑∑
=
=
α
. (2.3.6)
Тогда задача оптимизации функционала
)(α
Φ
по параметрам
α
сводится
к решению системы линейных уравнений вида
12
12
11 1 1
22
1
1
*
11 1
22 2
1
1
( ββ)
( ββ).
dd
TT T
yy
j
jj
kk k
j
k
dd
TT T
yy
jj j
kk k
j
k
W
=
=
=
=
++ =
=+ +
∑∑
∑∑
α
α
FWF R WR F WF α
FWy R Гα FWГ y
2.4. Линейные динамические интегрированные системы идентификации
Рассмотрим линейные динамические интегрированные системы
идентификации на основе интегрированной системы моделей вида:
*
,
,
ttt
ttt
⎧
=+
⎪
⎨
=+
⎪
⎩
yFx
ξ
hRhη
(2.4.1)
где F – некоторый интегральный оператор с ядром h
t
;
t
h
– вектор до-
полнительных априорных данных о ядре, заданный с ошибкой η
t
;
x
t
*
,
tt
y
x
– векторы входных и выходной переменной объекта;
R
– из-
вестная матрица.
36
В качестве примера рассмотрим нелинейный интегральный опера-
тор Гаммерштейна
0
(τ)(( τ)) τhft d
∞
−
∫
x
,
в котором ядро представим в виде ряда известных функций
mjz
tj
,1),( =x
с точностью до параметров
mj
j
,1,
=
α
:
zαxh =α=
∑
=
)(
1
tj
m
j
jt
z
. (2.4.2)
Тогда система (2.4.1) примет вид, подобный линейной интегрированной
системе моделей (2.1.1) с учетом априорной информации о параметрах
модели объекта
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
=+=
+=
,,1,
,
2
1
*
nt
tt
ttt
ηαFh
ξαFy
(2.4.3)
где матрица
1
0
(((τ)) ( ( τ)) τ, 1, , 1, )
j
zftdtnjm
∞
=−==
∫
Fxx
;
α
– вектор не-
известных параметров,
.
2
RzF =
При использовании частных квадратичных критериев качества и
комбинированного функционала качества вида:
2
2
2
1
*
β)(
h
αFhαFyα
W
t
W
tt
y
−+−=Φ
,
алгоритм адаптации интегрированной системы моделей (2.4.3), по ана-
логии с (2.1.2), сводится к решению системы линейных уравнений
)β()β(
2
*
12211
hWFyFαFWFFWF
h
y
h
T
T
T
y
T
W
+
=
⋅
+
(2.4.4)
и решению соответствующей оптимизационной задачи по определению
управляющего параметра β.
Следует отметить, что при
),()(
t
t
h
δ
=
где
)(
t
δ
– дельта – функция
Дирака, линейная динамическая интегрированная система моделей пе-
реходит в статическую линейную интегрированную систему моделей
*
,
,1,
ttt
ttt
yh
hh t n
ξ
η
⎧
=
+
⎪
⎨
=+ =
⎪
⎩
с учетом априорной информации о выходе объекта.
Рассмотрим линейные динамические интегрированные системы
идентификации на основе модели объекта в форме обыкновенного диф-
ференциального уравнения
),()(
)(
0
)(
0
21
txbtza
j
m
j
j
k
m
k
k
∑∑
==
=
(2.4.5)
37
где
()
k
k
k
dt
zd
tz
)(
)(
= – производная порядка
k
от выхода объекта;
j
j
i
t
dt
txd
x
)(
)(
= –
производная j порядка
j
от входа объекта;
()
0
( ) , 0,1,...
,
k
k
zt zk==
,
1
1m −
,
()
02
() , 0,1,...,
1
j
j
xt xj m== −
– начальные условия.
Часто систему (2.4.5) представляют в виде конечно-разностного
уравнения
)),(())(()(
21
00
jtxfbktzfatz
k
m
j
kk
m
k
k
−+−=
∑∑
==
(2.4.6)
где
(•)
k
f
– известная функция, аппроксимирующая производную по-
рядка k.
Динамическую интегрированную систему моделей с учетом (2.4.6)
и априорной информации о параметрах
kk
ba ,
можно представить в виде:
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎨
⎧
+=
+=
==
++=
,
,
,)(,)(
,
22
11
0
)(
0
)(
*
21
ηbRb
ηaRa
xxzz
ξbFaFy
tt
mm
txyt
(2.4.7)
где
1
( ( ( )), 1, , 1, );
yk
f
zt k t nk m=−==F
2
( ( ( )), 1, , 1, );
xk
f
xt j t n j m=−==F
ba,
– векторы дополнительных априорных данных о параметрах;
21
,RR
– известные матрицы;
1
()
01
( ) ( , 0,1,..., 1) ,
m
T
k
tzk m== −z
2
()
0
()
m
t
=
x
2
( , 0,1,..., 1)
T
j
xj m== −– векторы начальных условий.
Для интегрированной системы моделей (2.4.7) приведем решение
оптимизационной задачи по определению параметров a и b
**
,argmin(,)=
a,b
ab Φ ab , (2.4.8)
используя комбинированный критерий качества
2
22
2
11
*
ββ(
b
a
y
bRbaRabFaFyb)a,Φ
W
W
W
xyt
−+−+−−=
.
Введем обозначения
1
12
2
⎡⎤
⎢⎥
⎢⎥
⎣⎦
=
R
R
R
;
ab
⎡⎤
⎢⎥
⎣⎦
=
a
α
b
;
[];
yx y x
=FFF
;
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
=
b
a
α
ab
1
2
()
0
0
0
()
() ; ;
()
m
m
k
t
t
t
⎡⎤
⎡⎤
⎢⎥
⎢⎥
⎢⎥
⎣⎦
⎣⎦
==
z
z
UU
x
x
и представим интегрированную систему (2.4.7) в виде
38
*
10
12
,() ,
,
tyxab
ab ab
t
⎧
=+ =
⎪
⎨
=+
⎪
⎩
yFα
ξ
UU
α R αη
(2.4.9)
где
12 0
,,,,(),
уxabab
tRFααUU – совмещенные матрицы и вектора модели
объекта, моделей дополнительной априорной информации и начальных
условий.
Для данной интегрированной системы моделей при использовании
квадратичных критериев качества и комбинированного функционала
качества
2
2
*
12
β
b
tyxab ab ab
W
W
Φ= − + −
α
y
α
yFααR α
,
алгоритм адаптации по аналогии с системой (2.1.2) сводится к решению
системы линейных уравнений
*
12 12 12
( β )( β )
TT T T T
yx yx ab yx y t ab
ab ab
+⋅=+⋅
y
FWF RWR α FW
y
RWα
(2.4.10)
и решению соответствующей оптимизационной задачи по определению
управляющего параметра β.
По аналогии с (2.4.7) имеют место динамические интегрированные
системы идентификации, в основе которых используются дифференци-
альные уравнения в частных производных и дополнительная априорная
информация.
В качестве примера рассмотрим интегрированную систему иден-
тификации с использованием уравнения теплопроводности вида [24]
2
0
2
10
(,) (,)
(,) , ( 0,) (),
( , ) ( ), , ( , 0) ( ).
yxt yxt
axt yx t y t
t
x
yx lt y t t l yxt y x
∂∂
===
∂
∂
== ≥ ==
(2.4.11)
где
∑
=
α=
m
j
jj
txftxa
1
),(),(
;
mjiR
jjij
j
,1,, =η+α=α
;
mjtxf
j
,1),,( =
– из-
вестные функции;
mj
j
,1=α
– неизвестные параметры;
mj
j
,1, =α
–
дополнительная априорная информация о параметрах, заданная с ошиб-
ками
mj
j
,1, =η
;
mjiR
ij
,1,, =
– известная матрица.
Задача идентификации заключается в определении параметров
1,
j
j
mα=
по результатам измерений выходной переменной
),( txy
в мо-
менты времени ,0,1,2,...
s
tsts=Δ = , при значениях переменной x, рав-
ных
,0,1,...,/
k
x
kxk l x=Δ = Δ,
1
1
1
(,) (, ) α (,)(( ,)
m
sss
jj
s
kk kk
j
yx t yx t f x t yx t
−
+
=
=
+⋅−
∑
1
2( , ) ( , )) ξ(,)
s
ss
kk k
yx t yx t x t
−
−+ +
и сводится к оценкам вида (2.1.4).
39
Глава 3
НЕЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРИРОВАННЫЕ СИСТЕМЫ ИДЕНТИФИКАЦИИ
3.1. Нелинейные интегрированные системы идентификации
с учетом априорной информации о параметрах модели объекта
Рассмотрим интегрированную систему моделей, основанную на не-
линейной статической модели исследуемого объекта и линейной стати-
ческой модели объекта-аналога, представляющего дополнительную ап-
риорную информацию о параметрах исходного объекта:
*
*
1
1
11
11
*
*
22
22
2
2
*
(,) ,
,
αη
(,) ξ
α
αη
(,) ξ
α
(,) , ,,,,,
αη
(,) ξ
α
mm
nn
m
n
y
f
f
y
f
y
⎧
⎪
⎨
⎪
⎩
⎡⎤
⎡⎤
⎡⎤ ⎡⎤
⎡
⎤⎡⎤
⎢⎥
⎢⎥
⎢⎥ ⎢⎥
⎢
⎥⎢⎥
⎢⎥
⎢⎥
⎢⎥ ⎢⎥
⎢
⎥⎢⎥
⎢⎥
⎢⎥
⎢⎥ ⎢⎥
⎢
⎥⎢⎥
⎢⎥
⎢⎥
⎢⎥ ⎢⎥
⎢
⎥⎢⎥
⎢⎥
⎢
⎥⎢⎥
⎢⎥
⎢⎥ ⎢⎥
⎣
⎦⎣⎦
⎣⎦ ⎣⎦
⎣⎦
⎣⎦
=+
=+
======
yfxaξ
α Rαη
x α
x α
fxα y ααξη
x α
(3.1.1)
где
),( αxf
– вектор известной с точностью до вектора параметров α
нелинейной функции
),( αxf
, вычисленной в точках
ni
i
,1, =x
;
*
y
– век-
тор измеренных значений выхода объекта;
α – вектор дополнительных
априорных данных;
),1, ,( mjir
ij
==R
– известная матрица;
ηξ,
– век-
торы случайных факторов (помех).
Для проектирования оптимальной структуры интегрированной сис-
темы идентификации необходимо определить частные критерии качест-
ва с учетом априорной информации о вероятностных характеристиках
ошибок измерения выходной переменной объекта ξ, ошибок задания
априорной информации
η. Будем предполагать, что ошибки распреде-
лены по нормальному закону.
Тогда, по аналогии с рассмотренными во второй главе линейными
интегрированными системами идентификации, задачу идентификации
можно свести к оптимизационной задаче
),(minarg)β(
*
αΦα
α
=
(3.1.2)
2
2
*
() () β () (,) β ,
W
W
=+⋅ =− +⋅−
y
α
Φα J α Q α yfxααRα
где
)(αJ
и
)(αQ
– частные квадратичные формы с положительно оп-
ределенными матрицами
y
W
и
α
W
, связанные с вероятностными ха-
рактеристиками случайных ошибок ξ,
η и вероятностными характери-
40
стиками ошибок ν измерений входных переменных
νxx +=
*
(в слу-
чае, если входные переменные измеряются с ошибкой
ν).
Алгоритм адаптации, основанный на методе Гаусса–Ньютона.
Рассмотрим алгоритм решения оптимизационной задачи (3.1.2) на осно-
ве метод Гаусса–Ньютона, приведенного в приложении 2, суть которого
заключается в разложении нелинейной функции
),( αxf
в ряд Тейлора в
окрестности некоторой точки
α
0
(начальное приближение параметров),
ограничиваясь членами первого порядка малости:
0
000
1
0
0
(, )
(, ) (, ) (αα)(,)
α
((,)) .
m
jj
j
j
T
f
ff f
f
α
=
⎛⎞
∂
=+ −=+
⎜⎟
⎜⎟
∂
⎝⎠
+∇ Δ
∑
x α
x α x α x α
x αα
(3.1.3)
С учетом разложения критерия качества (3.1.3) модели исследуемого
объекта
)(αJ
представим в виде:
,)(
2
000
y
W
αDeαJ Δ−=
где
),,(
0*0
αxfye −=
0
0
,1 , ,1 ,
),(
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
==
α∂
∂
= mjni
j
i
αxf
D
– матрица ча-
стных производных по параметрам
00
α , 1, , ( ).
j
jm=Δ=−ααα
Используя разложение (3.1.3), перейдем от нелинейной интегриро-
ванной системы моделей (3.1.1) к линейной интегрированной системе
моделей
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
+Δ=Δ
+Δ=
,
,
0
000
ηαRα
ξαDe
(3.1.4)
относительно приращения вектора параметров
0
αΔ
;
0
Rααα −=Δ
,
T
m
j
jij
mir ),1,α(
1
00
∑
=
=⋅=⋅αR
.
Линеаризованной интегрированной системе моделей (3.1.4) соот-
ветствует комбинированный критерий качества
.β)(
2
0
2
0000
α
y
αRααDeαΦ
W
W
Δ−Δ⋅+Δ−=Δ
(3.1.5)
Далее определим приращение вектора параметров
0
αΔ
относитель-
ного начального приближения
0
α
и получим последующие приближе-
ния параметров по схеме Ньютона
11
, 1, 2, 3, ...
ii i
i
hi
−−
=+Δ =αα α (3.1.6)