Седалищев В.Н. Методы и средства измерений электрических величин

Подождите немного. Документ загружается.

изучении метрологических характеристик датчика необходимо

выяснить зависимость результатов от влияния различных

дестабилизирующих факторов.

• Уточняющий эксперимент, когда уточняются лишь некоторые

параметры математической модели, при этом механизм явления

неизвестен.

• Экстремальный эксперимент проводится с целью выяснения условий,

при которых изучаемый объект удовлетворяет некоторому критерию

оптимальности.

• Сравнительный эксперимент заключается в выборе из ряда возможных

такого объекта, процедуры или метода, который дает наилучший

эффект. Например, сравнение нескольких методов измерений одной и

той же величины в заданном диапазоне внешних условий.

• Отсеивающий эксперимент проводится с целью оценки значимости

независимых переменных при изучении сложных процессов и

исключения из рассмотрения тех из них, влияние которых на

процесс

несущественно.

• Контрольный эксперимент осуществляется с целью оценки

соответствия параметров продукции заданным требованиям на нее.

Выбор исходных данных заключается в определении зависимых и

независимых переменных.

Зависимые переменные – это те, которые исследуются, они формируют

отклик системы, т.е. выходной параметр. По причине возможной

разнородности входных величин их принято называть факторами

. Область

возможных или допустимых значений факторов называется областью

определения. Область определения двух независимых переменных –

факторов является частью плоскости. Такая область называется

двухфакторным пространством, а эксперимент – двухфакторным. По

аналогии эксперименты могут быть однофакторными и многофакторными.

Планирование эксперимента – это процесс, при котором:

• устанавливается последовательность проведения опытов,

• определяется число и возможные

значения (уровни) независимых

переменных, влияние которых необходимо учесть,

• оценивается точность задания независимых переменных, число

повторных опытов и объем выборки экспериментальных данных,

• проводится выбор условий проведения опытов, необходимых для

решения поставленной задачи с требуемой точностью.

При этом стремятся к минимизации общего числа опытов и получению

простого алгоритма обработки информации

. При выборе оборудования не

следует стремиться к максимальной его точности. Точность используемых

приборов должна соответствовать требуемой достоверности результатов.

Математическая обработка результатов позволяет повысить точность

конечного результата. В процессе анализа результатов принимаются решения

в соответствии с целями эксперимента, при этом все возрастающую роль

играет использование ЭВМ.

Задача выбора числа независимых переменных поддается формализации

только с учетом априорной информации, определяемой опытом и интуицией

исследователя. Планирование и проведение эксперимента с учетом всех

влияющих факторов может привести к неоправданно большим затратам

времени и средств при низкой

их эффективности. Поэтому экономические и

метрологические аспекты экспериментов являются определяющими на этапе

его планирования.

Обработка результатов проводится, как правило, с помощью

статистических методов. На основе анализа обработанных результатов

делается вывод о достижении цели эксперимента.

В теории планирования эксперимента любой сложности реальный

технологический объект представляется в виде «черного ящика». В

технической

кибернетике под ним подразумевается объект, о котором

известны лишь внешние воздействия на его входе и выходная реакция

объекта, но неизвестно, что происходит внутри объекта. «Серый ящик» - это

объект, у которого известны некоторые процессы, происходящие внутри, но

полные сведения о нем отсутствуют.

Объект при этом описывается следующими параметрами: X – входные

факторы (контролируемые

или не измеряемые); Y – выходной параметр

(может быть качественным и количественным); C – фактор случайности или

возмущения, не поддающиеся качественному и количественному контролю.

Случайные возмущения называют шумами. Зависимость отклика на

воздействующий фактор называется функцией отклика. При изучении

механизма явления стремятся получить математическую модель объекта.

Она может отражать объект или процесс и в общем

случае представляет

собой систему алгебраических или дифференциальных уравнений,

связывающих выходные переменные с контролируемыми входными

переменными в пределах заданных ограничений. Обычно стремятся

получить наиболее простое математическое описание процесса, включающее

только наиболее существенные входные переменные. Применяется два

подхода к решению задачи о получении математической модели объекта:

Детерминистский подход, заключающийся во всестороннем

исследовании

физико-химического механизма процесса и свойств веществ,

участвующих в процессе, в детальном изучении кинетики частиц в ходе

процесса, материального, энергетического баланса и т.д. Но такой подход

обычно очень сложен, а физические процессы вообще не поддаются

изучению при таком подходе. Теоретическими методами часто невозможно

учесть все разнообразие факторов в реальных

процессах, поэтому

математические модели, полученные теоретически, часто теряют свою

эффективность при применении к реальным объектам.

Экспериментально-статистический подход, базирующийся на

статистической обработке данных о процессе и на системе уравнений,

представляющих математическую модель в виде разложения в ряд Тейлора

(если функция не имеет бесконечных разрывов). На предварительной стадии

исследования процесса обычно ограничиваются линейной моделью. Если

такая модель оказывается неадекватной, тогда в нее включают члены парного

взаимодействия, а при необходимости и квадратичные члены. Наличие

случайных помех приводит к тому, что уравнение в виде разложения в ряд

Тейлора дает не функциональную,

а регрессионную зависимость. Способы

нахождения коэффициентов разложения Тейлора и их статистическая оценка

представляют важную задачу теории планирования эксперимента. Главная

особенность экспериментально-статистической модели заключается в том,

что такая модель не может абсолютно точно описать поведение объекта в

любом конкретном опыте. В практике инженерных исследований существует

два основных способа накопления исходного статистического

материала для

последующей получения математической модели: пассивный и активный

эксперименты.

Пассивный эксперимент заключается в наблюдении и регистрации

входных и выходных переменных процесса без активного вмешательства

исследователя в ход технологического процесса, без внесения в него

преднамеренных возмущений.

Активный эксперимент состоит в регистрации переменных процесса

после внесения в него преднамеренных возмущений.

Он ведется по

целесообразно составленной программе, называемой матрицей

планирования, где предусматриваются нужные исследователю диапазоны

варьирования управляемых технологических переменных.

В реальных производственных условиях чаще используют пассивный

эксперимент, в связи с тем, что:

• невозможно применить достаточно широкий диапазон варьирования

управляемых переменных, нужный для выявления исследуемых

эффектов на фоне сильного шума;

•

при активном эксперименте уровни управляемых факторов должны

задаваться в соответствии с планом эксперимента, а все неуправляемые

входные переменные приходится относить к шумовому полю;

• шумовое поле, вместе со всеми неуправляемыми переменными, может

оказаться настолько большим, что математическая модель будет

неадекватной;

• случайные помехи могут накладываться даже на управляемые

факторы, так, что

их не удается стабилизировать на необходимое время

на уровнях, предусмотренных планом. Это приводит либо к росту

погрешности во всех расчетах, либо данные активного эксперимента

приходится обрабатывать по общей методике регрессионного анализа,

как при пассивном эксперименте.

14.2 Организация проведения измерений

Применение методов пассивного эксперимента может быть вполне

успешным, если соблюдаются некоторые

условия при проведении

эксперимента и при обсчете полученных данных. К таким условиям

относятся:

• правильное определение точек съема данных и учет погрешностей

изменения по каждой контролируемой переменной;

• правильный учет динамики объекта;

• обеспечение независимости входных переменных друг от друга;

• обеспечение независимости соседних измерений посредством учета

времени корреляции каждой входной переменной;

• обеспечение

достаточного объема экспериментальных данных.

Целесообразно строить исследования сложного технологического

объекта по следующим основным этапам.

• Ознакомление с технологией и аппаратурным оформлением

производственного процесса, изучение текущей технической

документации и результатов проведенных ранее экспериментов. На

основе полученных данных оцениваются числовые характеристики

случайных переменных, автокорреляционные и взаимные

корреляционные функции, строятся двухмерные поля корреляции

т.д.; на основе этого оцениваются сведения организации основного

эксперимента. По виду законов распределения строится

предположение о необходимом методе обработки данных и

статистической оценки полученных результатов. По

автокорреляционным и взаимным корреляционным функциям

оцениваются времена корреляции и времена эквивалентного

запаздывания. По двумерным полям корреляции и двумерным линиям

регрессии оценивается характер

многомерной связи на линейность.

• Планирование и проведение основного эксперимента, сбор и обработка

основного массива экспериментально-статистических данных с целью

получения математического описания. На этом этапе уточняются точка

съема данных, включаются в рассмотрение новые переменные,

выбирается центр основного эксперимента, определяется интервал

времени для обеспечения независимости соседних измерений,

оценивается необходимое время эксперимента

и объем статистических

данных.

• Анализ и интерполяция полученной математической модели. Здесь

выявляются существенные переменные, отсеиваются несущественные

переменные, оценивается работоспособность математической модели.

• Совершенствование математического описания с целью повышения его

работоспособности.

• Использование усовершенствованной и работоспособной

математической модели для непосредственного управления процессом.

Условия правильной организации пассивного эксперимента во времени

следующие

• одновременные замеры всех намеченных переменных выполняются во

всех намеченных точках объекта;

• последовательные измерения должны осуществляться строго через

равные промежутки времени.

В зависимости от решаемых экспериментальным путем задач

используются различные приемы организации эксперимента и методы

обработки данных. В связи с этим методы планирования эксперимента

можно условно выделить несколько видов.

Отсеивающий эксперимент используется на стадии предварительных

исследований для выявления существенных факторов,

т.е. для определения,

какие из множества входных факторов оказывают влияние на выходной

параметр, а какие нет. Несущественные факторы при дальнейших

исследованиях могут быть исключены из рассмотрения. Для такого

эксперимента не предъявляются требования к точности полученных

результатов, но зато предъявляются требования высокой разрешающей

способности, т.е. проводится проверка на влияние как

можно большего

числа факторов.

Дисперсионный анализ – это математический метод, предназначенный для

изучения объектов с факторами качественного типа. Он позволяет разложить

общую дисперсию выходной величины на отдельные компоненты,

обусловленные влиянием отдельных факторов. При дисперсионном анализе

решаются вопросы о влиянии определенных факторов на интересующий нас

показатель и какова сила влияния этого

факторов.

Факторный анализ (определяет главные компоненты) относится к

методам пассивного эксперимента. Суть метода заключается в переходе от

пространства коррелированных входных факторов к пространству

независимых переменных, называемых главными компонентами.

Изучение механизма явлений. Используется анализ для определения

зависимости выходных параметров объекта исследования от входных

факторов. Выделяют следующие группы планов регерессионного анализа

простейшая модель в виде полинома первой степени – линейной модель,

планы второго порядка; планы третьего порядка и прочие планы не

полиномиальных моделей, например, в виде ряда Фурье, а также

ортогональные полиномы.

Корреляционный анализ применяют, если один из факторов

качественный, а другие количественные.

Дискриминантный анализ применяют для разделения (классификации)

выходного параметра

на классы; используют в теории распознавания

образов. Решение задачи дискриминантного анализа связано с ситуациями,

когда выходной параметр имеет качественный характер.

Поиск оптимальных условий имеет основной целью найти условие, т.е.

значения входных факторов, при которых выходной параметр объекта

принимает экстремальные значения. Экстремальные планы делятся на

одномерные и многомерные, градиентные и

не градиентные.

Адаптивная оптимизация (эволюционное планирование) используется в

тех случаях, когда под влиянием процессов старения, изменения свойств

сырья, дрейфа и других неконтролируемых причин оптимум в области

управляющих факторов может смещаться. Поиск оптимума нередко

усложняется недопустимостью варьирования факторов в широких пределах

из-за опасности раскачивания процесса и риска получения бракованной

продукции. Следовательно, нужно получить информацию о дрейфе

оптимума при слабых отклонениях процесса, т.е. необходимо

приспосабливаться к изменению условий, выделяя слабый полезный сигнал

на фоне помех.

Планы

промышленных экспериментов учитывают специфику

производства, где надо проводить эксперимент и обеспечивать при этом

выпуск готовой продукции, что накладывает определенные ограничения на

степень варьирования уровней факторов. При этом полезный сигнал мал, а

уровень помех по сравнению с лабораторным экспериментом большой.

Планы для диаграмм «состав - свойство» используются, например, в

химии при

изучении сплавов.

В зависимости от информации об объекте исследования методы

планирования эксперимента разделяют на две большие группы:

• методы, основанные на изучении механизма рассеяния выходного

параметра (дисперсионный анализ, метод главных компонент,

дискриминантный анализ);

• методы, основанные на оптимальном использовании пространства

входных факторов (планирование экстремальных и отсеивающих

экспериментов, планирование эксперимента при

изучении механизма

явления, адаптивная оптимизация).

Под функцией влияния подразумевается зависимость погрешности

средства измерения от внешних воздействий. В данном случае входными

параметрами прибора являются факторы (х), выходным параметром - (у),

фактором случайности (с) является совокупность не учитываемых внешних

воздействий.

На языке планирования эксперимента эта задача, является задачей

изучения механизма явления и может

быть сформулирована следующим

образом. Объект исследования характеризуется несколькими входными

факторами (х), фактом случайности (с) и выходным параметром (у).

Требуется экспериментальным путем определить зависимость выходного

параметра от входных факторов, т.е. найти вид функции отклика:

()

õõõó ,...,,

. Если ставится более простая задача, например,

экспериментальным путем выявить, какие внешние факторы влияют на

погрешность прибора, то эта задача относится уже к отсеивающему

эксперименту.

Рассмотрим пример настройки электронного прибора. Как известно,

аналоговые милливольтметры включают в себя масштабный

преобразователь, усилитель переменного напряжения, детектор и индикатор

магнитоэлектрической системы. Для того, чтобы погрешность

прибора

меньше зависела от изменения частоты измеряемого напряжения,

масштабный преобразователь необходимо согласовать на каждом пределе с

усилителем. В процессе проектирования паразитные емкости и

индуктивности точно учесть невозможно, поэтому после изготовления

прибор настраивают индивидуально, подстраивая резисторы и емкости.

На языке планирования эксперимента объектом исследования является

милливольтметр, выходным параметром – погрешность прибора, зависящая

от частоты входного сигнала. Входными факторами являются элементы, с

помощью которых будет производиться минимизация погрешности. Это есть

задача оптимизации.

Принципы, положенные в основу

теории планирования эксперимента.

Направлены на повышение эффективности проводимых работ, т.е. на

получение необходимой информации при минимуме опытов.

Отказ от полного перебора возможных входных состояний.

Для получения исчерпывающей информации о свойствах выходного

параметра (функции отклика) необходимо проведение бесконечного числа

опытов во всех точках области планирования эксперимента. Указанную

разновидность эксперимента

можно назвать экспериментом с полным

перебором всех входных состояний. Этот вариант является гипотетическим,

так как для однофакторного эксперимента еще можно представить седее

эксперимент, близкий к полному перебору всех возможных вариантов

состояний объекта, то для многофакторного эксперимента – это не реально.

Поэтому сознательно отказываются от полного перебора всех входных

состояний. Выбор числа уровней

варьирования по каждому фактору

непосредственно связан с выбором вида функции отклика.

Принцип постепенного усложнения математической модели (принцип

последовательного планирования).

При отсутствии априорной информации о свойствах функции отклика

нет смысла сразу строить сложную модель объекта. Получение такой модели

требует большого числа опытов, поэтому рекомендуется начинать с

простейшего, например, с линейной

модели, если нет никакой информации

об объекте, или с квадратичной, если ожидается, что функция отклика

должна быть нелинейной.

Принцип сопоставления с шумом.

Например, для однофакторной модели вполне достаточной для

предсказания функции отклика может оказаться простейшая линейная

модель. При значительной случайной помехе не имеет смысла использовать

сложную модель. При малых уровнях

шумов, наоборот, более точной будет

являться сложная модель. Так как многие реальные объекты характеризуются

высоким уровнем шумов, наиболее распространены полиномиальные

регрессионные модели первой и второй степени. С увеличением числа

факторов, соответственно, степень аппроксимирующего полинома

уменьшается.

Принцип рандомизации (приведения к случайности).

Этот принцип состоит в такой организации эксперимента, которая

позволяет

сделать случайным систематически действующие переменные, не

поддающиеся контролю, для того, чтобы можно было рассматривать их как

случайные величины и, следовательно, учитывать статистически. Для

реализации данного принципа предусматривается случайный порядок

реализации опытов.

Последовательность проведения эксперимента.

Последовательность эксперимента может быть двух основных типов. В

первом случае сначала задаются граничные значения независимой

переменной, а затем последовательно переходят от одной экспериментальной

точки к другой, пока не будет достигнуто граничное значение. Такой план

называется последовательным. Во втором – тип

значения независимой

переменной чередуются случайным образом. Такой план называется

случайным или рандомизированным. Основные аргументы в пользу

рандомизированных планов базируется на том, что в процессе проведения

эксперимента могут меняться внешние контролируемые условия и

работоспособность оператора, а на величину независимой переменной могут

влиять мелкие необнаруженные неисправности.

Если при построении плана не накладываются

никакие ограничения на

рандомизацию, то планы подобного типа называют полностью

рандомизированными. В ряде случаев осуществление полной рандомизации

может оказаться невозможным. Тогда рандомизацию проводят с

ограничением по блокам.

14.3 Вопросы оптимизации проведения измерительного эксперимента

План эксперимента должен быть наилучшим с точки зрения некоторых

критериев оптимальности. Эти критерии могут быть

сформулированы по-

разному. Вид критерия зависит от решаемой задачи и от назначения плана.

Фактически в таких критериях в строгой математической форме

представлены и формализованы те или иные интуитивные соображения

экспериментаторов о качественном эксперименте, при этом общая

направленность на уменьшение опытов сохраняется. Критерии

оптимальности являются сложными функциями точек плана эксперимента.

Существует несколько

основных критериев оптимальности:

• Ф-оптимальный план решает задачу построения непрерывного

планирования;

• D-оптимальный план применяют при минимизации обобщенной

дисперсии;

• G - характеризуется наименьшей дисперсией предсказания в заданной

области планирования;

• А - минимизирует среднюю дисперсию лучших линейных оценок

параметров и т.д.

Автоматизация эксперимента.

Автоматизация эксперимента с использованием управляющей ЭВМ

включает в себя выбор средств измерений и осуществление взаимосвязи их с

центральным управляющим модулем.

В зависимости от цели автоматизации различают три типа экспериментов:

1. Повышающие производительность обработки результатов без

изменения методик их реализации;

2. Улучшающие метрологические и информационные характеристики

процесса;

3. Реализующие принципиально новые методики исследования.

Эксперименты первого типа обычно применяются в случаях, когда

исследования проводятся на серийно выпускаемом оборудовании по

стандартным методикам с большим объемом информации. Эксперименты

второго и третьего типа требуют

более совершенной аппаратуры с

ориентацией на автоматическое измерение, управление и обработку

информации.

Автоматизация эксперимента требует включения экспериментатора в

общую систему управления, что предъявляет к нему повышенные

требования, с точки зрения понимания принципов функционирования всех

элементов автоматических систем, и возможности творческого подхода при

работе на современном оборудовании.

Автоматизированный эксперимент открывает новые

возможности при

использовании роботов для выполнения работ в труднодоступных или

опасных для человека местах.

В общем случае система автоматизации научно-технического эксперимента

состоит из:

• подсистемы взаимосвязи с исследуемым объектом, предназначенной

для преобразования выходной величины объекта в унифицированную

форму для ввода в ЭВМ, а также для передачи на объект воздействий

соответствии с планом эксперимента;

• подсистемы реализации алгоритма эксперимента, позволяющей

следить за ним и активно вмешиваться в его ход;

• подсистемы регистрации и хранения результатов и программ

проведения эксперимента;

• подсистемы предварительной обработки результатов для контроля

правильности хода эксперимента;

• подсистемы полной обработки результатов и принятия решения с

представлением информации

в требуемой форме.

Системы автоматизации строятся по принципам централизации и

децентрализации. При централизованном принципе вся информация от

объектов поступает непосредственно в центральный модуль ЭВМ. Однако

такие системы ограничены вычислительной мощностью ЭВМ, что не всегда

позволяет получить данные в реальном масштабе времени. При

децентрализованном принципе это Проше сделать, так как вычислительная

мощность распределена по нескольким нижним уровням. При этом

эффективным методом взаимодействия экспериментатора с ЭВМ является

интерактивное общение. Такой диалог позволяет быстро оценивать

текущую ситуацию и принимать оперативные решения. При этом вся

система имеет повышенную гибкость, способна перестраивать свою работу в

соответствии с изменившимися условиями.

14.4 Регрессионный анализ и планирование эксперимента

При пассивном эксперименте исследователь не имеет возможности

воздействовать на изучаемый объект. Вследствие того, что на значение

выходного параметра помимо входного фактора влияет фактор случайности.

Эта зависимость не является однозначно определенной и

в простейшем виде

может быть представлена аддитивной математической моделью:

ExFy

)(

, (14.1)

где Е – случайные отклонения.

Если экспериментальные данные нанести на график, то значимость (у)

от (х) будет диффузной (расплывчатой). Такая не вполне определенная

зависимость называется регрессионной, а зависимость приведенного вида

представляет собой регрессию. Линия, наилучшим образом выравнивающая

зависимость средних значений называется уравнением регрессии. Регрессия –

это закон изменения условного математического ожидания

выходной

величины в зависимости от изменения входной величины. Для линейного

случая уравнение регрессии имеет вид:

()

, (14.2)

где α – коэффициенты регрессии.

Задача изучения механизма явления считается решенной, если найдена

регрессионная модель и оценены статистические характеристики случайных

отклонений. Регрессионная модель является приближенной оценкой

истинной функциональной зависимости. Регрессионную модель принято

записывать в виде:

)

, (14.3)

где

)

- оценки рассчитанных коэффициентов.

Регрессионная модель – это аналитическое описание линии регрессии.

Если экспериментальные данные нанести на график, то линии регрессии

можно аппроксимировать прямой, участком синусоиды, параболы, эллипса и

т.п. Большую трудность при подборе вида аппроксимирующих функций

оказывает разброс экспериментальных данных относительно предполагаемой

кривой. Этот разброс определяется фактором случайности на выходной

параметр.

Когда зависимости плохо интерпретируемы, используют быстрые и

простые графические методы, например, метод контура, метод медианных

центров.

Метод наименьших квадратов (МНК) – более строгий метод подбора

эмпирических зависимостей – является общей частью корреляционного и

регрессионного анализов, задача которых получение коэффициентов

уравнения регрессии.