Щелкачев В.Н. Основы и приложения теории неустановившейся фильтрации: Часть 1

Подождите немного. Документ загружается.

Первая сумма в правой части последнего равенства представляет

собой разложение в ряд экспоненциальной функции; поэтому это

равенство можно переписать так:

Арг =

Anbkt

(7-57)

4к1

- + У Ы*1

’■ + R2)

2\ о - 2 X

(rR)

2Х

(X !) 2 (а - 2 X.)!

Полагая в формуле (7.57) г - 0, найдем понижение давления

в центре мгновенно подействовавшей окружной галереи:

Лрр (0, t) =

УгЦ -Д5 (7-58)

4лШ

Если принять радиус R окружной галереи равным нулю, то

получим формулу (3.29) для определения понижения давления в

окрестности мгновенного точечного стока.

Полагая в равенстве (7.57) г = Ry получим следующую формулу

для определения понижения давления на стенке мгновенно

подействовавшей окружной галереи:

Арг (Д, t) = -

V r\i

R 2 ~

C- S .y (-l)a

Anbkt

<j" 2 2X(A.!)2(ct-2X) !

2 K t

V >

(7.59)

Воспользуемся разложениями в ряды экспоненциальной функ

ции и модифицированной функции Бесселя нулевого порядка

первого рода (см.формулу (П. 135):

r2+R2 „

, 1 r2 + R2 1

е — 1 — -н

1 ! AKt 2 !

r2 + R‘

AKt

^r 2 + j ? ^ 3

4icf

_ v . t i l !

o = 0

с !

r2 + R2 4,0

4k#

(7.60)

' rR_ 4

2к1

= 1 +

1 !

(rR'

2 1 rrR'

4*3

(2!)2

4кt

V у

(3!)'

4к/

Y1 1 I «L

Перемножая равенства (7.60) и (7.61), получим:

r*+RJ

4кг

2\ о - 2 X

M i

a = 0^ ) <

(Xl)2(o-2X)\

(7.62)

Учитывая равенство (7.62), формулу (7.56) для понижения

давления в окрестности мгновенно подействовавшей окружной

галереи (т.е. для мгновенного поверхностного цилиндрического

стока) можно переписать еще и так:

гг Г +К / _ \

Л / "гЦ Г ( rR]

АРг(л0 = Т1Гг:е /0

4nbkt

2кt

(7.63)

В такой форме формула впервые была другим способом

выведена Рэлеем [944] и приводится во многих монографиях

(см., например, [117], [350], [427])*.

Учитывая, что /0 (0) = 1 (см.равенство (П. 135), полагая в

формуле (7.63) г = 0, получим, конечно, ту же формулу (7.58).

При достаточно больших значениях времени t ряды в формулах

(7.56), (7.57) и (7.59) сходятся быстро; наоборот, при малых

значениях времени они сходятся медленно и упомянутые формулы

становятся неудобными для подсчетов. В последующих главах

будут выведены другие формулы с асимптотическими представле

ниями величин понижения давления; ими удобно будет пользоваться

при малых значениях времени t Кроме того, будет решена более

общая задача о притоке жидкости к окружной галерее, дебит

которой не постоянный (как считалось в условиях данного

параграфа), а переменный.

В главе 8 формула (8.21), аналогичная формуле (7.63), выведена тем же спо

собом, как и у Рэлея, а в главе 10 ее вывод проведен с помощью операционного

исчисления (см.формулу (10.29).'

§ 11. Использование формул, выведенных предельным

переходом, для определения расходов жидкости через

окружные сечения, концентричные окружной галерее

Рассмотрим непрерывно действующую окружную галерею, пу

щенную с постоянным дебитом Qr, и определим расходы жидкости

через окружные сечения, концентричные галерее.

Внешним притоком будем называть расход жидкости через

окружность радиуса г>Л , где R — радиус окружной галереи.

Расход жидкости через окружность радиуса r<R будем называть

внутренним притоком.

Через Qzr и Qir будем обозначать соответственно внешний

(Exterior) и внутренний (Interior) притоки. По закону Дарси, сохраняя

принятые обозначения,

^ * * Эр „ .кд(Ар) (7.64)

0 , г ~ 2ю Ъ * -Ь .2*Ь *-Ц *. (765)

^ ц Эг |i Эг

Если в равенства (7.64) и (7.65) подставить значение Ар из

формулы (7.46), то после дифференцирования и небольших

преобразований получим:

( - 1)0' 1

= 1С(4Л)° (7.66)

\rR)2X (r2 + .R2) q~2>-[(o-2X )/-2(r2 + .R2) - |+X] j

(X!)2 (a - 2 X)!

IziII

О — 1

*1?

x=o

~ a (4 «)a

irR)2X(r2 + /g2)a~2^K q -2 X )r2(r2+j?2)~1 +A.]

(X!)2 (o - 2 X)!

(7.67)

Перепишем равенство (7.67) в упрощенной форме, раскрыв

значения нескольких последовательных членов ряда:

Qir - Qt

г2 г2 (г2 + 2R2)

4кt 2 (4к7)2 +

(7.68)

r2(r* + 6r2R2 + 3RA) г2 (г6+12rAR2+ l8r2R* + 4R6)

+ 6 (4й)3 24 (4к*)4 + " '

Полагая г ш R в формулах (7.66)—(7.68), получим возможность

определить внешний Qer и внутренний притоки жидкости к самой

окружной галерее:

Л2

Qer(R,t) = Qr

R2 зГR2

1 4к* + 2

4кt

'д 2 >

' R2 V

4Kf

\ J

241

, 4

(7.69)

Qir(R

241 4кГ

( r 2

4кt

+...

(7.70)

Сравнивая формулы (7.69) и (7.70), легко заметить, что, как и

следовало ожидать,

QcR + QlR-Qv

(7.71)

Если в равенства (7.64) и (7.65) подставить значение Ар не из

формулы (7.46), а из формулы (7.49), то получим:

1- -

Г2 + Д '

1 - е

AKt

- I

o-l

а (4к/)1

о =2 (772)

г/г)2Х(г2+/г2)°~2Х[(о -2 Х )г 2(г2+/г2) - 1 + Х] 1

(X!)2 (а - 2 X)!

r2 + R'

4tf

Jl=l

0=2 7 (7.73)

rR) 2X(r2+jg2) g~2X[(q-2X)r2(r2 + .R2)-1 + M 1

(A,!)2 (o - 2 X,)!

Перепишем равенство (7.73) в упрощенной форме, раскрыв

значения нескольких последовательных членов ряда:

Qir = Qr

Г2 + Д

1 - е

4к/

(rR)2

2 (4к*):

(rR)2 (2г 2+ R2) (rR) 2 (3rA + 5r2R2 + R4)

+ 3 (4к*)3 8 (4к#)4 +‘“

Полагая г = R в равенствах (7.72)—(7.74), получим:

(7.74)

<2E,(/?,0 = Qr 1 -^

4icf

IR2

2 4кГ

4к1

• 9

+ I

AKt

4kt

1-е"4й

Д 2Г 1 R2

4к* [ 2 4k#

R 2

4kt

■ 9

+ I

p2 \3

4kt

2 ''l

4k#

(7.75)

}■

(7.76)

Сравнивая формулы (7.75) и (7.76), обнаруживаем справедли

вость того же равенства (7.71).

Формулы (7.75) и (7.76) имеют при числовых подсчетах

некоторое преимущество перед формулами (7.69) и (7.70). Именно

если, например, ограничиваться при подсчетах величинами третьего

R 2

порядка малости по сравнению с величиной , то в формуле

(7.76) достаточно сохранить лишь два члена ряда, а в формуле

(7.70) — три члена ряда.

Здесь, как и в предыдущих параграфах, необходимо отметить,

что формулами (7.66)—(7.76) удобно пользоваться лишь при

достаточно больших значениях времени t (лучше сказать: при

R 2 г 2

малых значениях величин и ), когда входящие в эти

формулы ряды сходятся достаточно быстро. При малых значениях

времени этими формулами пользоваться неудобно. В статье автора

[733] приведены и проанализированы формулы, удобные при малых

значениях времени. В последующих главах соответствующие фор

мулы будут выведены.

При f —>оо из формул (7.66)—(7.76) следует, что

<2/г-> 0 > Qjr-> О, Qz r ^ Qr у (7.77)

причем Qcr^ Qr т^м быстрее, чем меньше г отличается от R. Сле

довательно, при достаточно больших значениях t внутренние прито

ки ко всем внутренним окружностям, концентричным окружной га

лерее, практически прекращаются; внешний приток к галерее, а так

же притоки ко всем ближайшим внешним концентричным окружно

стям становятся практически установившимися и равными постоян

ному дебиту галереи Qr .

Формулы (7.66)—(7.76) получены из равенств (7.64), (7.65)

при подстановке в них значений понижения давления из формул

(7.46) и (7.49) применительно к пуску непрерывно действующей

окружной галереи с постоянным дебитом. Естественно, что для

исследования пуска окружной галереи лишь на одно мгновение

следовало бы подставить в равенства (7.64), (7.65) значения

понижения давления из формулы (7.56) или (7.63). Тогда можно

было бы получить формулы для определения расходов жидкости

через окружные сечения, концентричные галерее. Ради крат

кости не будем приводить этих формул, а ограничимся

указанием способа их вывода, аналогичного способу вывода

формул (7.66)—(7.76).

§ 12. Неограниченная по длине прямолинейная батарея

непрерывно действующих стоков; сопоставление

с прямолинейной галереей

Рассмотрим неограниченную по длине прямолинейную батарею

непрерывно действующих точечных стоков, расположенную на

неограниченной плоскости. Требуется определить понижение дав

ления Ар = (р0 ~р) в любой момент в любой точке плоскости,

<2а>

kУ

2а 2а 2о

- W

СО

Рис. 7.5. Прямолинейная батарея равноудаленных стоков

считая, что все стоки были пущены одновременно в начальный

момент t = 0, когда поле давлений было невозмущенным, т.е. во

всех точках поля давление было одинаковым и равным /?0. Стоки

расположены на одинаковых расстояниях 2а друг от друга и имеют

одинаковые дебиты (рис. 7.5).

Точечные стоки на плоскости будем рассматривать как

сечение линейных стоков применительно к условиям плоской

задачи о притоке жидкости к линейным стокам в горизонтальном

пласте конечной толщины с непроницаемыми кровлей и подо

швой. Толщину пласта обозначим через «6» и будем

считать дебит

Q каждого стока отнесенным ко всей толщине

пласта «Ь*.

Поместим начало координат 0 в одном из точечных стоков,

и номера стоков 1, 2, 3, ... будем отсчитывать от начала

координат. На рис. 7.5 номера стоков проставлены только с

одной стороны от начала координат; в ту же сторону направлена

вдоль линии стоков ось координат дг; ось у перпендикулярна

линии стоков.

Строгое решение задачи о процессе перераспределения давле

ния после пуска в работу прямолинейной и неограниченной по

длине батареи непрерывно действующих стоков было впервые

получено, используя математический аппарат «тэта-функций»,

С. Н. Нумеровым [485], [486], причем применительно как к

гидродинамически совершенным, так и к гидродинамически несо

вершенным скважинам.

Затем иным способом решение той же задачи было получено

в совместных работах Г. П. Гусейнова и И. А. Насруллаева

[210], [212]. Формула, выведенная этими авторами, имеет

такой вид, сохраняя обычные обозначения, принятые в данной

работе:

Ар=ш { ^ ^ Г С ^ " ^ ”егГсЛШ ~ +

+ X

V = 1

~ COS | УЛд

V71

“ erfc| 2 У a2

M _vn f

С о V

- e erfc

Г_М_ vn Л/1ЕГШ

V4tcf 2 ’ a 2 I '

V 7-iJ

Эту формулу можно несколько упростить, если выражение

в первой квадратной скобке заменить интегральной дополни

тельной функцией ошибок, определяемой равенством (П.33).

Кроме того, ради краткости обозначим через Н всю величину

суммы, т.е.

COS

ул-

V71

e tJ^ erfcf J zL _ v5 J M '

e erfc| Ш 2 ' a2

- e

(7.79)

erfc

JlL . V5 Л[Ш

Тогда формулу (7.64) можно переписать так:

* * егГсЛ£ _+аЯ ]•

(7.80)

Полагая в формуле (7.78) х = 0, 2а, 4а, 6а, ... , получим

понижения давления на главных линиях тока; они проведены

пунктиром на рис. 7.5.

Если в формуле (7.78) примем х = а, За, 5а, ... , то получим

понижения давления на нейтральных линиях тока — прямых

линиях, проходящих посередине между главными линиями тока.

Допустим, что вместо неограниченной батареи стоков вдоль

гой же прямой расположена прямолинейная галерея, т.е. неогра

ниченный прямолинейный сток на плоскости. Поток жидкости к

прямолинейному стоку на плоскости будет прямолинейно-парал

лельным (рис. 7.6).

г >

Г 0 >

f >

f У

г х►

k i

k jк j

к к

к < i

ь *

Рис. 7.6. Прямолинейно-параллельный поток к прямолинейной галерее

Пусть прямолинейный сток пущен в работу в начальный момент

t = О, когда поле давлений на всей плоскости было невозмущенным.

Дебит прямолинейной галереи считаем постоянным и равным Q на

каждом участке длиной 2а при толщине потока (толщине пласта) Ь.

Т.е. Q — расход жидкости при двухстороннем ее притоке в галерею

на участке с площадью а = 2ab .

При сформулированных условиях понижение давления

(Ар) гал в любой момент и в любой точке плоскости после пуска

галереи в работу определяется равенством (4.13):

(АР) гал = Abtk ^ 1 CrfC • (7,81)

Учитывая равенство (7.81), формулу (7.80) для определения

понижения давления Ар при работе батареи можно переписать так:

Легко убедиться в том, основываясь на равенстве (7.79), что

Н —> 0 при у —> °о } а следовательно,

&Р -> (ДР) гал ПРИ у ~ . (7.83)

Т.е., как и следовало ожидать, на достаточно большом

расстоянии от батареи стоков понижение давления будет таким

же, как и при работе галереи с таким же дебитом на участке

длиной 2а.

В статье [212] авторы отмечают, что при достаточно большой

величине второе слагаемое в квадратной скобке формулы

(7.79) можно принять равным нулю, ^первое слагаемое в той же

квадратной скобке — равным 2 е v* а * Поэтому при достаточно

. 4кг

большом значении величины —^ авторы цитированнои статьи

получили:

'v * * '

-c o s V 7 t- _VKM г _ям (784)

Я = - У -----^

-------

U а = --ln 1 - 2 е ° +е

К V К L J

v = 1

Если подставить найденное приближенное значение величины

Н в равенства (7.80) и (7.82), то получатся более простые формулы

для определения понижения давления Ар при достаточно больших

4к*

значениях величины —г .

а 1

В последующих статьях Г. П. Гусейнова и И. А. Насрулла-

ева [213], [216], [220] решенная ими рассмотренная выше задача

о работе неограниченной по длине прямолинейной батареи стоков

была обобщена на некоторые случаи неравнодебитности стоков

в батарее, неоднородности пласта и учета гидродинамического

несовершенства скважин (заменяющих стоки). В цитированной

выше статье [210] приведено еще решение для неограниченной

по длине батареи мгновенных точечных стоков на плоскости.

Н. С. Пискуновым [515] было получено решение задачи о

работе на плоскости прямолинейной галереи конечной длины.

Для этого автор воспользовался формулой Рэлея (4.4 бис) для

точечного стока на плоскости и, расположив точечные стоки

непрерывно вдоль отрезка конечной длины, выполнил интегри

рование стокообразного решения по длине отрезка.

Развитие и обобщение формул, характеризующих работу

одной из взаимодействующих прямолинейных батарей стоков и

галерей, широко проведено при решении разнообразных проблем

гидротехники и гидрогеологии в статьях и монографиях

Ф. М. Бочевера, Н. Н. Веригина, В. М. Шестакова [91], [97],

[98], [123], [701], [704].