Щелкачев В.Н. Основы и приложения теории неустановившейся фильтрации: Часть 1

Подождите немного. Документ загружается.

с дебитом (Q\ - Q2) . Результирующий темп отбора (добычи)

жидкости с момента tj оказывается равным [ Q{ - (Qx - ], т.е.

равным Q2, что и соответствует условию задачи.

Понижение давления Ар' в любой точке пласта (на расстоянии

г от точечного стока) и в любой момент времени t, вызванное

пуском в начальный момент стока с дебитом Qh опять определяется

по формуле (4.14) или (6.68), т.е.

С|Ц

4пЬк

-Ei

4к*

\ J

(7.3)

Повышение давления Ар" в любой точке пласта и в любой

момент времени t>ti, вызванное воображаемым пуском источника

в момент t = ti с дебитом (Qi — <Эг)» определяется аналогичной

формулой:

Ар" =

(Q\

—

Qa) М-

4 пЫс

■Ei

4к (t-ti)

(7.4)

Истинное (результирующее) понижение пластового давления

Ар

подсчитывается по методу суперпозиции с помощью равенства

(7.1), т.е. как разность величин, определяемых формулами (7.3) и

(7.4). Следовательно, для момента t > t\

Ар =

4лЬк

-Ei

4к?

I ~

Qa)

4яЬк

-Ei

4к (t-tt)

(7.5)

Конечно, и в формуле (7.5) величины Qj и Q2 следует

считать, как это было оговорено по отношению к формуле (7.2),

дебитами линейного стока и линейного источника в пласте

толщиной <Ьъ.

Если бы в момент t = t\ дебит стока был не уменьшен, а

увеличен до величины Q2i то в формуле (7.4) вместо величины

(Q\ ” Q2) следовало бы написать (Q2 - Q\) и говорить не о

повышении, а о понижении давления Ар ", считая, что в момент

t = tx пущен не источник с дебитом (Q\ - Q2), а сток с дебитом

(Qi~Q 1). При этом понижение Ар" следовало бы прибавить к

понижению Ар

Если бы в момент t2>tx дебит стока был вторично изменен

и установлен равным Q3i то, основываясь на методе суперпозиции,

пришлось бы принять, что с момента t2 в той же точке, где работал

сток, начал непрерывно работать еще один источник с постоянным

дебитом ((?2~ Qi)» если Qi> 0з» или начал работать еще один сток

с постоянным дебитом (Q3 - Q£ , если Q3 > Q2 . Соответствующее

новому источнику или стоку повышение или понижение давления

надо было бы отнять или прибавить к подсчитываемому по формуле

Допустим, что на плоскости работают п произвольно распо

ложенных точечных стоков С\, С2 , ... , Сп с постоянными деби

тами Q\, Q2}..., Qn (рис. 7.1). Требуется определить понижение

давления в любой точке и в любой момент. Обозначим через

>t2) ... >tn моменты включения в работу каждого из стоков;

р0 — невозмущенное статическое пластовое давление, которое

было в начальный момент t = 0; р — давление в какой-то

точке М плоскости при одновременной работе стоков. Через

ri > г2 * • • • > гп обозначены расстояния точки М от стоков;

Ар = (Ро - Р) — понижение давления в точке М. Через р v

обозначим давление в точке М, какое могло бы быть, если бы

на всей плоскости работал только один сток C v с номером

v ; соответствующее понижение давления Apv=Po“ P v Число v

может быть равно 1 ,2 ,..., п .

На основании метода суперпозиции понижение давления Ар

должно быть равно ^сумме понижений давления Ар v, т.е.

Величина Дру может быть определена по формуле (4.14) или

(6.68):

(7.5).

§ 4. Группа произвольно расположенных

стоков и источников

(7.6)

Ар = Api + Др2 + • • • + ДРп = X •

(7.7)

Следовательно,

Рис. 7.1. Точка наблюдения М с полярными координатами г, 6;п стоков

С\, Сг, .. ■ Сп. Для стока Cv полярные координаты /?v, ctv и расстояние rv до точки М

Если на плоскости действуют не только стоки, по и источники,

то им будут соответствовать не понижЪния, а повышения давления,

определяемые той же формулой (7.7). Соответствующие повышения

давления надо брать в равенстве (7.6) со знаком минус, т.е. в

правой части равенств (7.6) и (7.8) суммы будут не арифметиче

скими, а алгебраическими*.

При использовании формул (7.7) и (7.8) дебиты Qv следует

считать относящимися не к точечным стокам на плоскости, а к

линейным стокам в пласте толщиной «£».

Выберем за полюс некоторую точку О плоскости и проведем

через нее полярную ось Полярными координатами точки М

будут г , 9, а полярные координаты точечного стока или источника

С v обозначим так: R v, a v .

Из LOMC v имеем:

Метод суперпозиции и формулы (7.6)—(7.8) широко использовал И. Г. Пермя

ков [497]— [499] для построения карт изобар в начальной стадии разработки место

рождения в условиях упругого режима.

(7.8)

rl = r2+Rl~2rRvcos (0 - а*).

(7.9)

Учитывая равенства (7.8)—(7.9), понижение давления в точке

М будет определяться формулой:

V = 1

г 2 + R у - 2rRy cos (9 - gv)

4 кг (f - tv)

(7.10)

Если суммарный дебит стоков больше суммарного дебита

источников, то для каждой точки плоскости наступит такой момент,

начиная с которого давление в ней будет только понижаться.

Исключением будут лишь особые точки плоскости, в которых

расположены стоки или источники; в этих особых точках понижения

или повышения давления бесконечно велики.

Наоборот, если суммарный дебит стоков меньше суммарного

дебита источников, то для каждой точки плоскости наступит такой

момент, начиная с которого давление в ней будет только

повышаться.

Если же суммарный дебит стоков равен суммарному дебиту ис

точников, то, независимо от их расположения и времен пуска,

давление в каждой точке плоскости будет стремиться к стабилизации.

Все эти утверждения физически очевидны, но строгое их

доказательство будет приведено в последующих главах.

§ 5. Обоснование метода зеркального отображения

стоков и источников

Начнем с простейшего случая взаимодействия только двух

равнодебитных стоков на плоскости. Будем считать, что стоки

одновременно пущены в работу с одинаковыми и постоянными

дсбитами Q. На рис. 7.2 стоки расположены в точках Су и С2\

расстояние C2Cj между стоками обозначим через 2Rt Линию,

проходящую через стоки, примем за ось абсцисс Jt, а перпендику

лярную к ней линию, проходящую посередине между стоками, —

за ось ординат у.

Понижение давления в какой-либо точке Л/ плоскости опреде

лится по формулам, которые получаются как частные случаи

формул (7.8) и (7.10):

Ар

__2iL

Anbk

( 2 >

Г f

( г 2 ^

Г 2

-Ei

4Kt

-Ei

v /

(7.11)

Рис. 7.2. Точка наблюдения М с полярными координатами г, 0 и два стока Ci

и С2 на полярной оси х

Из физических соображений очевидно, что в рассматриваемом

случае равнодебитных и одновременно пущенных в работу стоков

неустановлвшееся иоле давлений в каждый момент времени будет

симметрично относительно оси у. То же, конечно, следует к пз

формул (7.11) и (7Л2). Действительно, для точки плоскости,

симметричной с точкой А/, величины радиусов-векторов г{ п г2

обменяются местами и полярный угол 0 надо будет заменить па

(я -0 ). Совершенно очевидно, что при такой замене правые части

равенств (7.11) и (7.12) сохранят свои величины, т.е. понижение

давления Ар не изменится при переходе от точки М к точке, ей

симметричной по отношению к оси у.

Благодаря симметрии поля давлений и потоков жидкости к

стокам ни одна частица жидкости не будет при своем движении

пересекать оси у; слева от этой оси жидкость будет притекать к

стоку а справа —■ к стоку С/. Поэтому если мысленно

представить, что вдоль оси у проведена непроницаемая граница

для потоков жидкости, то такая граница не нарушила бы поле

(7.12)

давлений и распределение потоков. Следовательно, можно считать,

что формулы (7.11) и (7.12), определяющие поле давлений при

работе двух взаимодействующих равнодебитных стоков, одновре

менно могут служить и для определения поля давлений при работе

одного стока в полуплоскости, ограниченной прямолинейной

непроницаемой границей.

Сказанное служит обоснованием «метода зеркального отобра

жения стока стоком»: для определения поля давлений одного стока

в полуплоскости с непроницаемой прямолинейной границей доста

точно зеркально отобразить сток в этой границе стоком же и

использовать формулы для поля давлений двух равнодебитных

стоков, расположенных на неограниченной плоскости. Конечно,

метод зеркального отображения будет справедлив и тогда, когда

по одну сторону от непроницаемой прямолинейной границы

работают не один, а несколько стоков: каждый из них надо

зеркально отобразить в прямолинейной границе стоками, равноде-

битными заданным.

Основываясь на методе зеркального отображения, можно сде

лать еще и такой вывод: понижение давления в любой точке при

работе стока в неограниченной плоскости будет менее интенсивным,

чем понижение давления в той же точке, но когда сток работает

вблизи непроницаемой границы. Чем ближе сток к непроницаемой

границе, тем более интенсивно понижение давления, вызванное

его работой; ведь приближение стока к прямолинейной непрони

цаемой границе равносильно приближению его к отображенному

взаимодействующему с ним стоку.

В том случае, когда вблизи непроницаемой границы работают

источники, тогда их надо отображать в этой границе источниками

же, равнодебитными заданным, т.е. пользоваться «методом зеркаль

ного отображения источников источниками».

Подсчитаем по формуле (7.11) понижение давления в любой

точке А на оси у, для которой rl=r2 = rAt где гА — величина

одинакового расстояния от точки А до стоков Су и С2:

Др = -р^~2

Anbk

-Ei

4 Kt

(7.13)

Судя по формуле (7.13), понижение давления в любой точке

А оси у оказывается таким же, как если бы работали не два

равнодебитных стока, расположенных на одинаковых расстояниях

Га от точки Л, а как если бы работал один сток, но с дебитом

2<2, расположенный на том же расстоянии гА.

Допустим, что один сток работает с дебитом nQi а другой —

с дебитом Q. Тогда в любой точке А на оси у, проходящей

посередине между стоками, понижение давления:

Ар- ^ <п+1)

-Ei

л л

4к1

(7Л4)

Следовательно, понижение давления в любой точке А оси у

оказывается таким же, как если бы работал один сток с дебитом

(л + 1) Q, расположенный на том же расстоянии гА от точки А.

Рассмотрим теперь случай, когда на неограниченной плоскости

сток работает с равнодебитным и одновременно пущенным источ

ником. Одинаковые дебиты стока и источника обозначим через Q

и, сохраняя рис. 7.2, будем считать, что в точке Су работает сток,

а в точке С2 — источник.

Очевидно, что изменение (понижение или повышение) давления

в любой точке плоскости можно определить с помощью той же

формулы (7.11) или (7.12), но только изменив знак перед вторым

слагаемым правой части, т.е.

Ар-.

_2iL

4лМ

-Ei

л л

4к*

(7.15)

Если положительное первое слагаемое* больше отрицательного

второго (а это всегда будет при < г2), то величина Ар=р0-р

будет положительной, т.е. /?0 >р в соответствующей точке плоско

сти, и будет наблюдаться именно понижение давления. Если же

положительное первое слагаемое меньше отрицательного второго

(а это всегда будет при г{ > г2), то будет Ар < 0, Ро<Р> и в

соответствующей точке будет наблюдаться именно повышение

давления. Итак, во всех точках правой полуплоскости (где

расположен сток) давление будет только понижаться, а во всех

точках левой полуплоскости (где расположен источник) — только

повышаться.

При /*у = г2 правая часть равенства (7.15) обращается в нуль

при любом значении t Следовательно, на оси у, точки которой

находятся на одинаковых расстояниях от стока и источника,

понижение (или повышение) давления Ар = 0, т.е. р = р0 и,сле

довательно, на оси у давление сохраняет начальное значение во

По самому определению упрощенной интегральной показательной функции

(см. § 3 П) величина этой функции [-£/(-*)] положительна при любом значении

х>0. Величина этой функции убывает при увеличении абсолютного значения

аргумента.

все время работы одновременно пущенных равнодебитных стока и

источника.

Этим обосновывается метод зеркального отображения стока

источником. Именно если сток работает в полуплоскости, ограни

ченной прямолинейной (и проницаемой) границей, на которой

поддерживается постоянное давление, то сток можно зеркально

отобразить в этой границе равнодебитным источником и считать

их работающими на неограниченной плоскости. Поле давлений,

вызванное одновременной работой равнодебитных и пущенных в

один и тот же момент стока и источника на неограниченной

плоскости, будет таким же, как и поле давлений, вызванное работой

только одного стока (или только одного источника) на полупло

скости, ограниченной прямолинейной проницаемой границей, вдоль

которой поддерживается одно и то же постоянное давление. Эту

проницаемую границу, на которой поддерживается постоянное

давление, будем называть, как принято в подземной гидродинамике,

«контуром питания»*.

Приближение стока с зафиксированным дебитом к контуру

питания «облегчает» его работу, уменьшает его воздействие на

все поле, т.е. уменьшает понижение давления во всех точках

плоскости. Объясняется это именно тем, что приближение стока

к контуру питания равноценно его сближению с зеркально

отображенным в контуре источником, взаимодействующим со

стоком.

§ 6. Выводы по поводу плотности размещения скважин,

основанные на теории взаимодействия стоков и источников

На основании выводов предшествующего параграфа можно

утверждать, что если имеется несколько взаимодействующих стоков

и к ним приближается контур питания, то взаимодействие между

стоками уменьшается (становится менее интенсивным), так как они

сближаются с зеркально отображенными источниками.

Этот факт чрезвычайной важности для решения весьма

актуальной проблемы размещения скважин. Именно необходимо

учитывать, что взаимодействие (интерференция) добывающих сква

жин зависит не только от расстояний между ними, но и от

расстояний до контура питания. На этот факт впервые было

обращено особое внимание в книге автора [715], в которой для

иллюстрации влияния близости контура питания на взаимодействие

Впервые этот термин был введен автором в книге [715], опубликованной в

1939 г.

добывающих скважин были приведены соответствующие примеры,

таблицы, графики. К сожалению, не только ни в одном курсе

разработки нефтяных месторождений, но и почти и ни в одном

курсе подземной гидравлики* до сих пор на это обстоятельство

совсем не обращали внимания, т.е. явление взаимодействия

добывающих скважин рассматривали в зависимости только от

расстояний между ними и их взаимного расположения. Поэтому

появились грубейшие ошибки в теории и практике разработки

нефтяных месторождений. Без всяких оговорок утверждалось, что

при более плотном расположении добывающих скважин их сум

марный дебит будет обязательно меньше, чем при более редком

расположении. Такая формулировка совершенно неверна и именно

она была одной из главных причин ошибок, допущенных при

разработке многих нефтяных месторождений.

Ведь на самом деле вполне возможно при размещении

добывающих скважин, которое может быть названо относительно

плотным, получить суммарный дебит значительно больший, чем

(в тех же пластовых условиях) при значительно более редком

расположении такого же количества скважин. Достигается это за

счет того, что при более плотном расположении скважин к ним

должны быть значительно более приближены контуры питания,

которые ослабляют взаимодействие добывающих скважин.

Здесь следует сделать оговорку: когда в 1939 году автор данной

книги вводил понятие контура питания и исследовал влияние его

близости на работу добывающих скважин, то под контуром питания

подразумевалась естественная граница продуктивного нефтеносного

пласта в условиях водонапорного режима; в частности, например,

подразумевалась та граница, которая имитировала выход пласта в

ту область, где пласт мог получать питание водами поверхностными

или речными. Теперь же, когда с конца сороковых годов в нашей

стране широко внедрено поддержание пластового давления с

помощью метода законтурного или внутриконтурного заводнения,

под контуром питания можно (и нужно) понимать линию распо

ложения (или очаги) нагнетательных скважин, имитирующих

источники, через которые жидкость (закачиваемая вода) поступает

в пласт.

Интересно отметить, что в США, начиная с 70-х годов, широко

внедряется метод уплотняющего бурения («infill drilling») добыва

ющих скважин для увеличения уровней добычи (суммарного дебита)

и нефтеотдачи. При этом в современной литературе, опубликован

В новом издании курса [56] влияние контура питания на взаимодействие сква

жин учтено по совету автора данной книги.

ной в США и посвященной уплотняющему бурению добывающих

скважин, совершенно верно подчеркивается, что уплотняющее

бурение всегда должно сопровождаться усилением процесса под

держания давления с помощью искусственного заводнения, т.е. с

помощью бурения или освоения дополнительных нагнетательных

скважин («источников»), которые ослабляют эффект взаимодейст

вия дополнительно пробуренных уплотняющих скважин с ранее

пробуренными.

Сказанное поясняет, насколько бывает важно правильно пони

мать и учитывать на практике те закономерности, которые

устанавливаются в подземной гидродинамике, в частности, и в

связи с теорией взаимодействия стоков и источников.

§ 7. Окружная батарея непрерывно действующих стоков

Сначала придется сделать оговорку, имеющую значение для

всего последующего изложения по поводу применяемого термина

«окружная батарея». Обычно используют термины: «круговая

батарея» или «кольцевая батарея», «круговая галерея» или «коль

цевая галерея». Однако при решении плоских задач подземной

гидродинамики галерею, расположенную вдоль окружности, за

меняют линейным стоком или источником, который недопустимо

называть круговым, ибо стоки распределяются не по площади, а

вдоль линии. Такую галерею автор считает более правильным

называть окружной. Так как окружную галерею часто рассматривают

как предельный переход от батареи скважин (или от батареи

точечных стоков на плоскости), расположенных вдоль окружности,

при неограниченном увеличении числа скважин, то и батарею

правильнее называть окружной, а не круговой.

В общей теории стоков — источников отличают, конечно,

площадной круговой сток от линейного окружного; отличают

поверхностный цилиндрический или сферический сток от объ

емного цилиндрического или шарового стока.

Чтобы не вступать в противоречие с терминологией теории

стоков — источников, используемой и в теории поля, надо и в

подземной гидродинамике принять предложенную здесь более

правильную терминологию.

Рассмотрим неустановившееся взаимодействие точечных сто

ков окружной батареи на неограниченной плоскости [733], [738].

Будем считать, что все

п непрерывно действующих стоков

равнодебитны, расположены на окружности на одинаковом рас

стоянии друг от друга, пущены в работу одновременно.

Пусть число стоков /г, дебит каждого из них Q, радиус