Щеглова И.Ю., Печенов В.В. Виртуальный физический практикум

Подождите немного. Документ загружается.

Изучение свободных электрических колебаний в колебательном контуре.

С= 20 мкФ

R=50 Ом

Изучение свободных электрических колебаний в колебательном контуре.

С=20 мкФ

L=1 Гн

Изучение свободных электрических колебаний в колебательном контуре.

Замечание

: Установка визиров соответствует амплитудным значениям напряжения на

активном сопротивлении. Для каждого случая указано также значение одного из параметров

контура.

R=10 Ом

С=10 мкФ

Изучение вынужденных колебаний в последовательном колебательном контуре. Резонанс напряжений.

Лабораторная работа № 2.7.

ИЗУЧЕНИЕ ВЫНУЖДЕННЫХ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ КОЛЕБАНИЙ В

ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОМ КОЛЕБАТЕЛЬНОМ КОНТУРЕ. РЕЗОНАНС

НАПРЯЖЕНИЙ.

1. Основные сведения о вынужденных колебаниях.

Как видно из предыдущей работы, колебания в реальном контуре всегда

будут затухать из-за наличия в нем активного сопротивления, т.е. из-за потери

энергии на нагревание проводников. Для получения незатухающих колебаний

необходимо извне подводить энергию, компенсируя эти потери. Такие колеба-

ния будут вынужденными. Для осуществления подобных колебаний в колеба-

тельный контур включают источник напряжения, э.д.с. которого изменяется по

гармоническому закону, например, по закону косинуса:

вo

ω⋅= cosEE

, (1)

где

ω - циклическая частота э.д.с. включенного в контур источника тока.

Уравнение такого колебательного контура можно получить, проводя ана-

логичные рассуждения, что и в случае затухающих колебаний. В результате по-

лучим:

=++

, (2)

где величина Е описывается формулой (1). Нетрудно видеть, что в левой части

формулы (2) стоит сумма падений напряжений на отдельных элементах контура

в каждый момент времени (так называемые мгновенные значения), т.е. ее можно

переписать в виде

CRL

UUU

. Здесь

LILU

E =

′

⋅=−=

RIRU

=⋅=

= . Разделим обе части равенства на L:

qqq

=ω+

′

β+

′′

. (3)

Аналитическое решение уравнения (3) еще более сложно, чем для случая

затухающих колебаний. В зависимости от ряда факторов (в частности, от вели-

чины активного сопротивления контура; соотношения частот

ω и

ω ) оно мо-

жет иметь несколько решений. Воздействие на колебательную систему внеш-

ней периодически изменяющейся силы (в нашем случае это э.д.с. источника,

меняющаяся по гармоническому закону) приводит к возбуждению в контуре

двух видов колебаний:

1) так называемых

вынужденных колебаний, которые всегда происходят

с частотой внешней возбуждающей силы

(ее называют внешней, или вы-

нуждающей

, в отличие от э.д.с. самоиндукции, возникающей в катушке). Эти

колебания будут гармоническими, причем их амплитуда зависит только от па-

Если источник обладает внутренним сопротивлением, то вместо его э.д.с. (мгновенного или амплитудного

значения) здесь и далее необходимо указывать разность потенциалов (мгновенную или амплитудную, соответ-

ственно) на его зажимах: U или U

Изучение вынужденных колебаний в последовательном колебательном контуре. Резонанс напряжений.

раметров контура, а не от начальных условий;

2) собственных колебаний, которые с течением времени затухают. Про-

цесс затухания свободных колебаний называется установлением колебаний

, а

время

τ, в течение которого амплитуда свободных колебаний уменьшается в е

раз, называется временем затухания или временем установления. Если

τ>>

то свободные колебания практически совсем прекратятся, и останутся только

вынужденные колебания. Как правило, наибольший интерес представляют

именно установившиеся вынужденные колебания.

Таким образом, результирующее колебание представляется суперпозици-

ей незатухающей и затухающей синусоид. Амплитуда колебаний в контуре в

процессе установления колебаний будет изменяться до тех пор, пока свободные

колебания не затухнут полностью.

Характер установления колебаний может быть разным в зависимости от

соотношения частоты ω

собственных колебаний и вынуждающей частоты ω

, а

также от коэффициента затухания.

Рассмотрим только такой случай, когда вынуждающая э.д.с. начинает

действовать в контуре, в котором не происходит никаких процессов. Это также

упрощает картину.

Наиболее простой вид процесс установления колебаний будет иметь при

совпадении частот (ω

=ω

). В этом случае свободные колебания затухают экс-

поненциально, поэтому амплитуда вынужденных колебаний будет нарастать

также по экспоненциальному закону.

Если же частоты собственных и вынужденных колебаний не совпадают,

то разность фаз между ними не остается постоянной, следовательно, амплитуда

результирующих колебаний также будет изменяться, т.е. наблюдаются биения.

Изучение вынужденных колебаний в последовательном колебательном контуре. Резонанс напряжений.

Установившиеся вынужденные электрические колебания можно рассмат-

ривать, как протекание в цепи, обладающей емкостью, индуктивностью и со-

противлением R, переменного тока.

Характерной особенностью вынужденных колебаний является, как из-

вестно, тот факт, что амплитуда колебаний тока (а также напряжения на раз-

личных элементах контура) в значительной степени зависит от частоты внеш-

ней э.д.с. При определенных условиях может возникать явление, называемое

резонансом. Резонанс в колебательном контуре играет чрезвычайно большую

роль – полезную или вредную, смотря по условиям – в электро- и радиотехни-

ке. В зависимости от способа включения элементов контура возможны два раз-

личных резонансных режима: режим резонанса напряжений и режим резонанса

токов.

2. Резонанс напряжений в последовательном колебательном контуре.

Контур, состоящий из последовательно соединенных конденсатора, ка-

тушки, резистора и источника переменной э.д.с., изменяющейся по закону (1),

называют

последовательным. Амплитуда тока для случая установившихся ко-

лебаний в такой цепи:













−ω+

. (4)

Максимального значения она достигает в момент, когда разность













−ω

обращается в нуль, т.е. в том случае, когда частота ω

вынуж-

дающей силы совпадает с собственной частотой колебательного контура

=ω

. Это явление называется резонансом напряжений. Частота внешней

э.д.с., при которой наблюдается резонанс (т.е. резкое возрастание амплитуды

вынужденных колебаний тока), называется резонансной ω

рез

. Зависимость ам-

плитуды вынужденных колебаний от частоты внешней э.д.с. называется

резо-

нансной кривой

(или амплитудной резонансной кривой). Различают резонанс-

ные кривые для амплитуд тока, заряда, напряжений на различных элементах.

Используя связь между амплитудным и действующим значениями сину-

соидального тока, перепишем (4) в виде:













−ω+

эфф

. (5)

Как видно из формулы, одна и та же цепь будет иметь различное сопротивле-

ние для постоянного (ω

=0) и переменного (ω

≠0) тока. Величины

ω= получили название реактивного сопротивления - соответственно

Изучение вынужденных колебаний в последовательном колебательном контуре. Резонанс напряжений.

емкостнόго и индуктивного, в отличие от сопротивления R, называемого ак-

тивным

, которым обладает любая цепь постоянного тока. Величина, стоящая в

знаменателе, называется

полным сопротивлением контура переменному то-

ку

. Формулы (4) и (5) выражают закон Ома для переменного тока. Он спра-

ведлив только для амплитудных или действующих значений тока.

Таким образом, цепь, состоящая из последовательно соединенных ин-

дуктивности, емкости и активного сопротивления, представляет для прохо-

дящего через нее переменного тока тем меньшее сопротивление, чем бли-

же частота тока к резонансной.

С учетом результатов (теоретических и экспериментальных) предыдущей

работы, соотношение между напряжениями на различных элементах контура

можно получить с помощью векторной диаграммы (рис. 1):

ось

токов

R o

L o

C o

Рис. 1.

Векторная диаграмма после-

довательного колебательного

контура

(

)

CoLoRoo

UUU −+= .

Сдвиг фаз между током и э.д.с. источника (или

разностью потенциалов на входе цепи):

CoLo

−ω

−

=ϕ

(6)

зависит от соотношения напряжений на индук-

тивности и емкости, или, что то же самое, от со-

отношения реактивных сопротивлений.

Нетрудно также видеть, что резонанс наступает, когда напряжения на

индуктивности и емкости равны по величине (напомним, что колебания на-

пряжения на этих элементах происходят в противофазах), а, следовательно, при

резонансе напряжение на входе цепи (или э.д.с. источника) совпадает с на-

пряжением на резисторе. При этом ток в контуре определяется только актив-

ным сопротивлением и совпадает по фазе с напряжением входного сигнала, т.е.

с колебаниями вынуждающей э.д.с. Его максимальная величина

, а ам-

плитуды напряжений на индуктивности и емкости:

oooo

oooL

LLIU

CRC

IU =⋅⋅ω=⋅ω⋅=

⋅= ;

;

При резонансе напряжения на индуктивности и емкости могут в несколь-

ко раз превышать напряжение входного сигнала (в нашем случае – Е). Отсюда

становится понятным название явления – резонанс напряжений. Объясняется

это тем, что напряжение источника при резонансе идет только на покрытие по-

терь в контуре. Напряжение на катушке и конденсаторе обусловлено накоплен-

ной в них энергией, значение которой тем больше, чем меньше потери в конту-

ре. Обозначим через Q отношение амплитуды напряжения на индуктивности

или емкости при резонансе к амплитуде вынуждающей э.д.с. (или амплитуде

входного напряжения):

Изучение вынужденных колебаний в последовательном колебательном контуре. Резонанс напряжений.

Эта безразмерная величина, показывающая, во сколько раз напряжение на ин-

дуктивности или емкости при резонансе превосходит входное напряжение

контура, называется

добротностью. Преобразуем приведенную формулу:

Из последнего выражения видно, что добротность контура связана с его пара-

метрами: она возрастает с увеличением индуктивности L и уменьшением со-

противления потерь R и емкости контура С. Добротность контура связана также

с логарифмическим декрементом затухания:

ОПИСАНИЕ УСТАНОВКИ.

Рассмотрим возбуждение вынужденных колебаний в контуре, а также не-

которые закономерности такого процесса на смоделированной в Electronics

Workbench схеме. На рис. 2 представлена схема колебательного контура, а на

рис. 3 – электрическая цепь, собранная в программе Electronics Workbench.

На вход Y

осциллографа

Рис. 2. Схема для изучения вынуж-

денных колебаний в контуре.

Схему можно выполнить на основе созданной в предыдущей лаборатор-

ной работе. Различие между ними заключается в том, что в цепь включается ис-

точник вынуждающей э.д.с., в качестве которого можно использовать функ-

циональный генератор (форма сигнала – синусоида; смещение (

Offset) – 0; ам-

плитуда напряжения на выходе (

Amplitude), например, 10 В; скважность (Duty

cycle) – любая, т.к. данная установка неприменима к синусоидальным колебани-

ям).

Как видим, в рабочей схеме задействованы оба канала осциллографа: на

вход канала

А подается напряжение с резистора, а на вход В – напряжение с

выхода генератора. Такое подключение не является обязательным – достаточно

наблюдать только сигнал, подаваемый с одного из элементов контура (R, L или

С); но очень удобно для сравнения входного и выходного сигналов (цвет ос-

циллограмм совпадает с цветом проводников) и особенно - для наблюдения из-

менения величины выходного напряжения, т.к. напряжение генератора в про-

цессе работы не изменяется.

Изучение вынужденных колебаний в последовательном колебательном контуре. Резонанс напряжений.

Рис. 3. Установка для наблюдения и изучения некоторых закономерностей вы-

нужденных колебаний и внешний вид окна функционального генератора с при-

мерами установок.

Подготовка окна программы Electronics Workbench проводится так же,

как и в предыдущей работе (см.

Задание № 1, п. 1)

Порядок выполнения работы.

Задание № 1. Изучение зависимости амплитуды вынужденных колебаний

от частоты внешней э.д.с.

и величины активного сопротив-

ления контура.

Построение резонансных кривых для ампли-

туды напряжения и тока на активном сопротивлении.

1. Собрать цепь по рис. 2 (или 3). Для выбранных параметров контура (их

можно взять из предыдущей лабораторной работы) рассчитать собственную

(резонансную) циклическую частоту колебаний ω

и соответствующую ей час-

тоту

ν , а также критическое сопротивление (все вычисления выполняются в

ЭТ MS Excel).

2. Для построения резонансной кривой необходимо получить 30-40 точек

(ν

внеш

;

). Амплитуда напряжения на исследуемом элементе при заданной

частоте сигнала генератора определяется с помощью осциллографа. Интервалы

между точками выбирают так, чтобы наибольшее их количество приходилось

на область вблизи предполагаемого максимума (т.е. вблизи резонансной часто-

ты); при этом минимальное значение частоты генератора должно быть не более

1 Гц, а максимальное - в 3-4 раза больше резонансной.

Необходимо также помнить, что вынужденные колебания устанавлива-

ются не сразу, а спустя некоторое время. Нас же будут интересовать только ус-

тановившиеся колебания. Поэтому каждый раз при выборе новой частоты не-

обходимо добиваться установки процесса, для чего после включения питания

схемы (запуска симуляции) несколько раз нажимают кнопку

Resume, пока ам-

плитуда вынужденных колебаний не перестанет изменяться

Перед выполнением задания необходимо проверить работу схемы при резонансной частоте: если амплитуда

напряжения отличается от теоретического значения, следует попытаться изменить число анализируемых точек

(Analysis/Analysis Options…, вкладка Instruments, поле Minimum number of time points).

Изучение вынужденных колебаний в последовательном колебательном контуре. Резонанс напряжений.

100

3. Для данного активного сопротивления R1<<R

кр

провести измерение ам-

плитуды вынужденных колебаний для различных значений частоты выходного

напряжения генератора, начиная с

Гц1

min

и заканчивая выбранным в соот-

ветствие с п. 2 максимальным значением частоты. Занести полученные данные

в таблицу.

U , В

, А

№

п/п

внеш

Гц

R1=____Ом R2=____Ом R3=____Ом R1=____Ом R2=____Ом R3=____Ом

…

4. Повторить измерения для двух других значений сопротивления

(R1<R2<<R

кр

и R3<R

кр

, но того же порядка).

5. По полученным данным построить резонансные кривые для амплитуды

напряжения на активном сопротивлении на одной диаграмме (тип диаграммы –

Точечная или Точечная со значениями, соединенными сглаживающими линия-

ми).

6. Учитывая, что амплитудные и мгновенные значения тока и напряжения

на резисторе подчиняются закону Ома, выполнить расчет и построить резо-

нансные кривые для амплитуды тока. Объяснить различие полученных в п.п. 5

и 6 резонансных кривых.

Задание № 2.

Определение частоты вынужденных колебаний.

1. Для 4-5 значений частоты вынуждающей э.д.с. рассчитать частоту ус-

тановившихся вынужденных колебаний. Результаты занести в таблицу. Вы-

бранные значения частот не должны совпадать с резонансной для установлен-

ных параметров контура.

№ п/п

Частота внешней э.д.с.

внеш

, Гц

Период затухающих колебаний,

Частота вынужденных

колебаний, Гц

…

Задание № 3. Построение резонансных кривых для амплитуд напряжений

на емкости и индуктивности.

1. Изменить схему установки так, чтобы на один из каналов осциллографа

подавалось напряжение с конденсатора С. Активное сопротивление контура

необходимо выбрать достаточно большим (того же порядка, что и критическое

сопротивление: R3 из

Задания № 1).

2. Получая установившиеся вынужденные колебания

для тех же значений

частоты сигнала генератора, что и в

Задании № 1, изучить поведение ампли-

туды напряжения на конденсаторе в зависимости от частоты вынуждающей

э.д.с.