Салимов Р.Б. Математика (для студентов бакалавриата)

Подождите немного. Документ загружается.

131

§ 3. Достаточные признаки экстремума функции

Теорема 4 (первый достаточный признак экстремума функции). Кри-

тическая точка

является точкой экстремума дифференцируемой всюду

за исключением, быть может, точки

функции

( )

,fx

если её производная

( )

′

изменяет знак при переходе

через

(с увеличением

). При перемене

знака с «+» на «-»

– точка максимума функции, а при перемене с «-» на

«+»

– точка минимума функции

( )

.fx

Доказательство. Пусть, например, производная

( )

′

изменяет знак с «+»

на «-» при переходе

через критическую точку

с увеличением

Это

означает, что при

xx<

имеем

( )

0,fx

′

а при

xx>

выполняется неравенство

( )

0.fx

′

Но тогда согласно достаточному признаку

возрастания и убывания функции слева от

имеется

интервал возрастания функции, а справа от

имеется

интервал убывания функции. Следовательно, график

функции имеет вид, представленный на рис. 65. Это

означает, что

– точка мак-симума функции

( )

.fx

Вторая часть теоремы доказывается аналогично.

Рассмотрим схему исследования функции на экстремум. Чтобы найти

экстремум функции

( )

y fx=

, нужно:

• найти критические точки этой функции, т. е. точки, в которых произ-

водная

( )

′

обращается в нуль или не существует;

• каждую критическую точку исследовать с помощью достаточного при-

знака экстремума;

• найти экстремальные значения функции, подставив вместо

в выра-

жение

( )

точки экстремума.

Пример 1. Найдём экстремумы функции

yx=

(ее график показан на рис. 66). Здесь

( )

,fx x=

тогда

( )

2.fx x

′

Следуя описанной схе-

ме, получим:

• производная этой функции

( )

20fx x

′

= =

точке

0x =

(это единственная критическая

точка функции);

5354.ru

132

• исследуем эту точку с помощью достаточного признака экстремума:

при 0x <

имеем

( )

2 0,fx x

′

= <

при 0x >

имеем

( )

2 0,fx x

′

= >

т. е.

( )

′

изменяет знак с «-» на «+», поэтому

0x =

есть точка минимума функции

( )

;

• находим минимальное значение функции

( )

0 0.f =

Если критическая точка является точкой разрыва функции

( )

и в ней

функция обращается в бесконечность, то эта критическая точка не будет точ-

кой экстремума функции, если даже при переходе через неё изменяется знак

производной

( )

.fx

′

Например, для функции

( )

1/fx x=

точка

0x =

является критической

точкой, так как в ней производная

( )

2/fx x

′

= −

не существует. Знак этой произ-

водной изменяется с «+» на «-». При этом

точка

0x =

не является точкой максимума,

так как в ней функция имеет разрыв: при

0x →

( )

fx→ +∞

. График этой функции пока-

зан на рис. 67.

Теорема 5 (второй достаточный признак экстремума функции). Пусть

– критическая точка дважды дифференцируемой функции

( )

,fx

т. е.

( )

0.fx

′

Тогда, если

( )

0,fx

′′

≠

то

является точкой экстремума

( )

,fx

именно, точкой максимума при

( )

0fx

′′

и точкой минимума при

( )

0.fx

′′

Доказательство. Докажем теорему для случая, когда

( )

0.fx

′′

Нужно

показать в этом случае, что критическая точка

– точка минимума. При до-

казательстве дополнительно предположим, что

( )

′′

непрерывна в точке

Это означает, что

( ) ( )

lim .

fx fx

→

′′ ′′

Возьмём число

равное

( )

/2.fx

′′

Это число положительное согласно

условию. Для этого числа согласно определению предела функции

( )

′′

при

xx→

найдётся такое число

что для всех точек интервала

x xx

δδ

−<< +

будет выполняться неравенство

( ) ( ) ( )

/2fx fx fx

′′ ′′ ′′

−<

или

равносильное ему неравенство

( ) ( ) ( ) ( )

0 00

/2 /2,fx fx fx fx

′′ ′′ ′′ ′′

− <− <

т. е.

( ) ( )

/2fx fx

′′ ′′

( )

3 /2.fx

′′

Итак, для всех

из интервала

x xx

δδ

−<< +

133

выполняется неравенство

( ) ( )

0 /2 .fx fx

′′ ′′

Значит,

( )

0fx

′′

или

( )

0.fx

′

Отсюда ясно, что в указанном интервале производная

( )

′

возрастает, так

как её производная

( ) ( )

( )

0fx fx

′

′′ ′

= >

. Поэтому большему значению аргумента

отвечают большие значения функции:

( ) ( )

0fx fx

′′

при

,xx<

( ) ( )

0fx fx

′′

при

.xx>

Итак, знак

( )

′

изменяется с «-» на «+» при пере-

ходе

через

с увеличением

Согласно первому достаточному признаку

экстремума приходим к выводу, что

– точка минимума. Вторая часть тео-

ремы доказывается аналогично.

Пример 2. Найдём экстремум функции

sinyx=

в интервале

0.x

Здесь

( )

sin ,fx x=

( )

cos ,fx x

′

( )

sin .fx x

′′

= −

При исследовании функции

sinyx=

воспользуемся вышеуказанной схемой:

•

( )

cosfx x

′

обращается в нуль только в точке

интервала

0 x

;

• исследуем эту точку с помощью второго достаточного признака экс-

тремума, здесь

( )

2 sin 2 1 0f

ππ

′′

=− =−<

; следовательно,

– точка

максимума;

• находим максимальное значение

( )

2 sin 2 1.f

ππ

= =

Рассмотрим одну из задач на нахождение наибольшего значения функции

в интервале.

Дан квадратный жестяной лист со стороной

По углам листа выреза-

ют одинаковые квадраты и, сгибая лист по линиям выреза, образуют короб-

ку. Какова должна быть длина

сторон вырезанных квадратов, чтобы объ-

ём

коробки был наибольшим?

Основанием коробки служит квадрат со стороной

2,ax−

высота коробки

равна

поэтому объём коробки равен

( )

2.V a xx= −

(2)

Ясно, что в (2) аргумент

изменяется в интервале

0 2.xa≤≤

Нужно найти

точку, в которой функция принимает наибольшее значение в этом интервале.

На концах интервала, т. е. при

0x =

2,xa=

функция (2) обращается в нуль,

а внутри интервала принимает положительные значения. Следовательно,

наибольшее значение функция принимает внутри интервала

( )

0, 2 .a

Найдём в

этом интервале точки максимума рассматриваемой функции. Производная

5354.ru

134

( )( )

V a xa x

′

=−−

этой функции обращается в нуль в единственной точке

/6xa=

интервала

( )

0, 2 .a

Ясно, что она является точкой максимума функции

(2), в которой эта функция принимает наибольшее значение в интервале

( )

0, 2 .a

Таким образом, получен ответ:

/6.xa=

§ 4. Выпуклость линии. Точки перегиба кривой

Кривая

( )

y fx=

называется выпуклой вверх в

интервале

( )

,,ab

если она лежит ниже любой сво-

ей касательной в точках, абсциссы которых лежат

в этом интервале (см. рис. 68).

Кривая

( )

y fx=

называется выпуклой вниз

(вогнутой) в интервале

( )

,,ab

если она лежит

выше любой своей касательной в точках, абсцис-

сы которых лежат в этом интервале (см. рис. 69).

Точка кривой, отделяющая выпуклую вверх

часть от выпуклой вниз, называется точкой пере- ги-

ба. Ясно, что касательная к кривой в точке пере- гиба

пересекает кривую, т. к. выпуклая вверх часть ле- жит

ниже касательной, а выпуклая вниз – выше каса-

тельной (см. рис. 70).

Здесь и далее будем считать, что функция

()y fx=

дважды дифференцируема всюду в обла-

сти определения.

Известно, что вычисленная в точке

производная

( )

′

равна тангенсу

угла

образованного с осью

касательной к кривой в её точке с абсцис-

сой

Для выпуклой вверх кривой (см. рис. 68) с

увеличением

угол

убывает, следовательно,

убывает

( )

tg ,fx

′

значит, производная

( )

0fx fx

′

′ ′′

= ≤

согласно необходимому при-

знаку убывания функции. Аналогично убедимся

в том, что если кривая

( )

y fx=

выпуклая вниз,

то

( )

0.fx

′′

≥

Итак, пришли к теореме.

135

Теорема 6 (необходимые признаки выпуклости кривой). Если кривая

( )

y fx=

является выпуклой вверх на

( )

,,ab

то в этом интервале

( )

0fx

′′

≤

; ес-

ли кривая

( )

y fx=

является выпуклой вниз на

( )

,,ab

то в этом интервале

( )

0.fx

′′

≥

Теорема 7 (достаточные признаки выпуклости кривой). Если

( )

0fx

′′

всюду в интервале

( )

,,ab

то в этом интервале кривая

( )

y fx=

выпуклая

вверх. Если

( )

0fx

′′

всюду в интервале

( )

,,ab

то в этом интервале кривая

( )

y fx=

выпуклая вниз.

Доказательство. Докажем первую часть теоремы. Пусть

( )

0fx

′′

всюду

в интервале

( )

,.ab

Тогда, согласно достаточному признаку убывания функ-

ции, в этом интервале

( )

′

убывает с увеличением

Значит,

( )

tgfx

′

убывает всюду в интервале

( )

,.ab

Следовательно, кривая

( )

y fx=

является

выпуклой вверх, что очевидно геометрически. Теорема доказана.

Теорема 8 (необходимый признак точки перегиба). Если

– абсцисса

точки перегиба кривой

( )

,y fx=

то

( )

0.fx

′′

Доказательство. Точка перегиба отделяет выпуклую вверх часть от вы-

пуклой вниз, следовательно, она одновременно принадлежит обеим указан-

ным частям кривой. Будем считать, что вторая производная

( )

′′

существует

и непрерывна в точке

. Для выпуклой вверх части кривой

( )

,y fx=

согласно

необходимому признаку выпуклости кривой,

( )

0,fx

′′

≤

поэтому

( ) ( )

lim 0.

fx fx

→

′′ ′′

= ≤

Для выпуклой вниз части кривой

( )

,y fx=

согласно не-

обходимому признаку выпуклости кривой,

( )

0,fx

′′

≥

поэтому

( ) ( )

lim 0.

fx fx

→

′′ ′′

= ≥

Но эти два соотношения должны выполняться одновре-

менно, следовательно,

( )

0.fx

′′

Теорема доказана.

Абсциссой точки перегиба может служить и

значение

при котором

( )

′′

не существует.

Покажем это на примере кривой

.yx=

Здесь

() ,fx x=

( )

(1/ 3) ,fx x

−

′

= ⋅

( )

(2/9) .fx x

−

′′

=−⋅

Отметим, что при

0x =

вторая производная

( )

′′

не существует, т. е. не существует

( )

′′

5354.ru

136

Кроме того, видим, что

( )

0fx

′′

при

0x <

, а при

0x >

имеем

( )

0.fx

′′

Зна-

чит, по теореме 7 при

0x <

кривая выпуклая вниз, при

0x >

- выпуклая вверх.

Это означает, что

0x =

есть абсцисса точки перегиба рассматриваемой кри-

вой. Это также очевидно из графика функции (см. рис. 71).

Теорема 9 (достаточный признак точки перегиба). Точка

(,)xy

кривой

()y fx=

является точкой перегиба, если

()fx

′′

обращается в нуль или не су-

ществует при

xx=

и знак второй производной

( )

′′

изменяется при пере-

ходе

через

(с увеличением

). При перемене знака с «-» на «+» участок

выпуклости вверх сменяется участком выпуклости вниз, а при перемене с

«+» на «-» участок выпуклости вниз сменяется участком выпуклости вверх.

Доказательство. Пусть знак

( )

′′

изменяется с «-» на «+» при переходе

через

с увеличением

т. е. при

xx<

имеем

( )

0,fx

′′

а при

xx>

полу-

чим

( )

0.fx

′′

Тогда, согласно достаточному признаку выпуклости кривой,

слева от

лежит участок выпуклости вверх кривой, а справа от

– участок

выпуклости вниз. Следовательно,

– абсцисса точки перегиба кривой

( )

.y fx=

Вторая часть теоремы доказывается аналогично.

Для нахождения точек перегиба кривой

( )

y fx=

требуется:

• найти точки, в которых

( )

′′

обращается в нуль или не существует;

• каждую такую точку исследовать с помощью достаточного признака

точки перегиба;

• найти ординаты точек перегиба, подставив их абсциссы в выражение

( )

y fx=

вместо

Пример. Найти точку перегиба линии

.yx=

Здесь

( )

,fx x=

( )

3,fx x

′

( )

6.fx x

′′

Далее,

• производная

( )

6fx x

′′

существует всюду и обра-

щается в нуль в единственной точке

0x =

;

• исследуем точку

0x =

с помощью достаточного

признака точки перегиба: при

0x <

имеем

( )

6 0,fx x

′′

= <

при

0x >

( )

6 0,fx x

′′

= >

т. е. знак «-» изменяется на «+»,

следовательно,

0x =

есть абсцисса точки перегиба;

• найдём ординату точки перегиба, подставив

0x =

137

уравнение кривой, получим

0.y =

Итак, точкой перегиба кривой является точка

( )

0; 0 .

Эта кривая имеет

график, представленный на рис. 72.

§ 5. Асимптоты кривой

Прямая называется асимптотой кривой, если расстояние от точки этой

кривой до прямой стремится к нулю, когда указанная точка неограниченно

удаляется от начала координат. Рассмотрим два вида асимптот.

Вертикальные асимптоты. Дана кривая с урав-

нением

( )

.y fx=

Если

( )

lim ,

→

= ∞

– заданное

число, то кривая имеет вертикальную асимптоту с

уравнением

.xx=

Здесь график функции будет

иметь вид, указанный, например, на рис. 73.

На кривой

( )

y fx=

возьмём точку

с абсцис-

сой

и ординатой

( )

.fx

Пусть точка

– основание

перпендикуляра, опущенного из точки

на пря-

мую

.xx=

Тогда расстоя-ние от точки

до прямой с уравнением

xx=

рав-

но

.MN x x= −

По условию при

,xx→

когда

x x MN−=

стремится к нулю, имеем

( )

,fx→∞

а точка

кривой неограниченно удаляется от начал координат.

Иначе говоря, когда точка

неограниченно удаляется от начала координат,

расстояние

стремится к нулю. Это значит, что прямая с уравнением

xx=

есть асимптота линии

( )

.y fx=

Наклонные асимптоты. Пусть кривая

( )

y fx=

имеет наклонную асимптоту с уравнени-

ем

,y kx b= +

где

– угловой коэффициент асимп-

тоты, т. е.

tgk

= ,

угол

образован с осью

асимптотой (рис. 74). На кривой

( )

y fx=

возьмём

точку

с координатами

( )

, , ( ).xy y fx=

На пря-

мой

y kx b= +

(асимптоте рассматриваемой кривой)

возьмём точку

с той же абсциссой, что и у

точки

Её ордината равна

.kx b+

Поэтому

5354.ru

138

( ) ( )

.MM f x kx b= −+

(3)

Так как мы рассматриваем наклонную асимптоту, то считаем, что угол

не равен

Это означает, что

cos

≠ 0.

Пусть точка

– основание перпен-

дикуляра, опущен-ного из точки

на асимптоту. Получили прямоугольный

треуголь-ник

NMM

. Из него найдем выражение

cosMN MM

= ,

поэтому, учи-

тывая, что

cos ,

≠0

будем иметь

/cos .MM NM

(4)

Прямая

y kx b= +

есть асимптота линии

( )

,y fx=

следовательно, расстоя-

ние

от точки

до прямой стремится к нулю, когда точка

неограни-

ченно удаляется от начала координат, т. е. её абсцисса

стремится к беско-

нечности.

Итак,

0MN →

при

,x →∞

значит, согласно (4)

0MM →

при

,x →∞

т. е.

lim 0.

→∞

Подставим сюда вместо

выражение (3) и получим

( ) ( )

lim 0.

f x kx b

→∞

−+=





(5)

Из (5) видно, что выражение под знаком предела – бесконечно малая функ-

ция, которую обозначим через

()px

. Тогда

( ) ( )

()p x f x kx b= −+

или

() (),f x kx b p x= ++

где

()px→0

при

.x →∞

Это соотношение поделим на

пе-

рейдем к пределу при

x →∞

и учтем, что предел суммы есть сумма пределов.

Получим

( )

()

lim lim lim lim .

x xx x

b px

x xx

→∞ →∞ →∞ →∞

=++

Поскольку

10x →

при

,x →∞

произведение постоянной

на

1 x

есть беско-

нечно малая величина, а её предел равен нулю. Аналогично

lim( ( )/ ) 0.

px x

→∞

Предел постоянной

равен

поэтому

( )

lim[ / ].

k fx x

→∞

(6)

Соотношение (5) запишем так:

( )

lim 0.

f x kx b

→∞



− −=



Учтём, что слева предел

разности равен разности пределов и

lim .

→∞

Поэтому

( )

lim lim 0,

f x kx b

→∞ →∞

−− =

( )

lim 0,

f x kx b

→∞

− −=

( )

lim .

b f x kx

→∞

= −

(7)

139

Итак, мы показали, что если линия

( )

y fx=

имеет наклонную асимптоту

,y kx b= +

то обязательно существуют два конечных предела (6) и (7) для чи-

сел

входящих в уравнение асимптоты. И наоборот, если для линии

( )

y fx=

существуют два конечных предела (6), (7), то эта линия имеет

наклонную асимптоту

.y kx b= +

В этом можно убедиться, проведя изложен-

ные выше рассуждения в обратном порядке.

Пример. Возьмём кривую с уравнением

( )

y fx=

, где

( )

/(1 ).fx x x= +

Эта

кривая имеет вертикальную асимптоту с уравнением

1.x = −

В самом деле,

lim[ /(1 )] .

→−

+=∞

Найдём наклонную асимптоту этой линии. Вычислим сначала предел (6):

( )

lim lim .

→∞ →∞

= =

Последний предел найдём по правилу Лопиталя, так как

здесь и числитель, и знаменатель стремятся к бесконечности. Получим

( )

lim lim lim1 1.

xx x

→∞ →∞ →∞

′

= = =

′

Итак,

1.k

Теперь найдём предел (7):

( )

lim lim 1 lim

xx x

b f x kx x

→∞ →∞ →∞



= − = − =−⋅





Последний предел равен 1, следовательно,

1.b = −

Зная

, запишем урав-

нение наклонной асимптоты

1.yx= −

§ 6. Общая схема исследования функций

и построения графиков

Общая схема исследования функции

( )

y fx=

заключается в следующем:

• находим область определения функции и ее точки разрыва;

• отыскиваем сначала критические точки, в которых производная

( )

′

обращается в нуль или не существует; затем находим интервалы возрастания

и убывания функции, в которых

( )

′

сохраняет знак, точки максимума и

минимума, максимальное и минимальное ее значения;

• определяем точки, в которых вторая производная

( )

′′

обращается в

нуль или не существует, затем находим интервалы выпуклости вверх и вы-

пуклости вниз функции

( )

,fx

в которых

( )

′′

сохраняет знак, и точки пере-

гиба;

5354.ru

140

• отыскиваем асимптоты кривой.

При построении графика целесообразно сначала изобразить асимптоты.

Пример. Исследуем функцию

( ) /(1 )y fx x x= = +

. Имеем

( ) ( )( )

21 ,f x xx x

−

′

=++

( ) ( )

21 .fx x

−

′′

= +

Далее следуем вышеуказанной схеме.

Функция определена всюду, кроме точки

1,x = −

которая является точкой

разрыва, и

( )

fx→∞

при

1.x →−

Областью определения является совокуп-

ность интервалов

( )

; 1,−∞ −

( )

1; .− +∞

Производная

( )

′

обращается в нуль в

точках

2x = −

0x =

и не существует в точке

1.x = −

Итак, критическими точ-

ками являются

2,x = −

1,x = −

0.x =

Ими определяются интервалы возраста-

ния и убывания функции:

( ) ( ) ( ) ( )

;2,2;1,1;0,0;−∞ − − − − + ∞

. На них соответ-

ственно

( )

0,fx

′

( )

0,fx

′

( )

0,fx

′

( )

0,fx

′

т. е.

( )

сначала возрастает,

потом убывает, опять убывает и снова возрастает. Точка

2x = −

является точ-

кой максимума, так как знак первой производной изменяется с «+» на «-»;

( )

max

y fx

=−

= = −

Точка

1x = −

не является точкой

экстремума, так как она – точка разрыва функции. Точка

0x =

– точка мини-

мума функции

( )

,fx

так как при переходе через неё первая производная из-

меняет знак с «-» на «+», и

( )

min

y fx

= =

Вторая производная

( )

′′

не существует в точке

1;x = −

на интервале

( )

;1−∞ −

она отрицательна, зна-

чит, кривая выпукла вверх, а на интервале

( )

1;− +∞

кривая выпукла вниз, так как здесь

( )

0.fx

′′

Точка

1x = −

не является абсциссой точки перегиба, по-

скольку функция в этой точке не определена. Кри-

вая имеет асимптоты: вертикальную

1x =

и наклон-

ную

1.yx= −

График исследуемой функции пред-

ставлен на рис. 75.

Рис. 75