Салимов Р.Б. Математика (для студентов бакалавриата)

Подождите немного. Документ загружается.

121

Таким образом, функция удовлетворяет всем условиям теоремы

Ролля, согласно которой на интервале найдется хотя бы одна точка

,acb<<

в которой Это значит, что выражение (5) при обраща-

ется в нуль, т. е.

Учтя, что по условию теоремы, и поделив последнее соотноше-

ние на придём к формуле (3).

Теорема Лагранжа. Если функция непрерывна в замкнутом интер-

вале и дифференцируема во всех внутренних точках этого интервала, то

в найдется хотя бы одна точка ( ), для которой справедлива

формула

(6)

Доказательство. Кроме функции указанной в теореме, возьмём

ещё одну функцию Она дифференцируема всюду в интервале ,

так как имеет производную причём Кроме того,

Таким образом, эта функция вместе с функцией

удовлетворяют всем условиям теоремы Коши. Запишем формулу (3) для

этих функций: Здесь Умножив это соотношение

на , получим (6). Теорема доказана.

Теорема Лагранжа имеет простой геометрический смысл. Пусть –

,AB

точки графика функции

()y fx=

с абсциссами

,ab

соответственно. Запишем

формулу (6) в виде

() ()

( ).

fb fa

−

′

−

Но

()f c tg

′

–угловой коэффициент касательной к указанному графику в его

точке с абсциссой

,xc=

левая часть последней формулы

() ()

fb fa

−

где

- угол наклона хорды

к оси

.Ox

Так как

,tg tg

αα

хорда

парал-

лельна вышеуказанной касательной.

( )

[ ]

;ab

,xc=

( )

0.Fc

′

xc=

( )

( ) ( )

( )

fb fa

fc c

ϕϕ

−

′′

− ⋅=

−

( )

′

≠

( )

′

( )

[ ]

;ab

[ ]

;ab

xc=

acb<<

( ) ( ) ( ) ( )

.fb fa f c b a

′

− = ⋅−

( )

,fx

( )

.xx

[ ]

;ab

( )

′′

= =

( )

0.x

′

≠

( ) ( )

,.aa bb

ϕϕ

= =

( )

( ) ( ) ( )

fb fa f c

′

−

.acb<<

( )

ba−

5354.ru

122

Отметим, что фигурирующая в теоремах Ролля, Коши, Лагранжа точка

( ) неизвестна, известно лишь, что такая точка существует. По-

этому формулы Лагранжа и Коши для вычислений не используются, но они

имеют большое теоретическое значение.

§ 4. Правило Лопиталя

Теорема. Пусть функции и одновременно стремятся к нулю

или к бесконечности при ( – заданное число) или при Если

при этом отношение производных имеет предел, то отношение

функций также имеет предел, равный пределу отношения производных, т. е.

(7)

Доказательство. Докажем теорему для случая, когда при обе

функции имеют пределы, равные нулю, и непрерывны в точке , т. е.

В теореме говорится о пределе отноше-

ния производных и при Это означает, что указанные про-

изводные мы предполагаем существующими всюду вблизи как слева, так и

справа.

Возьмём интервал , считая, что – некоторое фиксированное зна-

чение, достаточно близкое к Тогда в этом интервале, включая всюду

существуют производные и Следовательно, в интервале

функции и являются непрерывными, поскольку они дифференци-

руемы. Кроме того, функции непрерывны и в точке Таким об-

разом, функции и непрерывны в замкнутом интервале и

дифференцируемы всюду внутри него. Дополнительно предположим, что

нигде в этом интервале не обращается в нуль (это предположение явля-

ется естественным, т. к. в формуле (7) стоит в знаменателе). Таким об-

разом, эти две функции удовлетворяют всем условиям теоремы Коши. По-

этому для них и интервала справедлива указанная теорема, когда в ней

и Итак,

xc=

acb<<

( )

xx→

.x →∞

( )

()fx x

′′

( )

() ()

lim lim .

fx f x

ϕϕ

′

xx→

( )

lim

→

( )

0,fx =

( ) ( )

lim 0.

ϕϕ

→

= =

( )

′

( )

′

.xx→

(

]

,xx

( )

′

( )

′

(

]

,xx

( )

,fx

( )

[ ]

,xx

( )

′

( )

′

[ ]

,xx

xa=

.xb=

( ) ( )

( )

fx fx fc

x cx

xx c

ϕϕ ϕ

′

−

= <<

′

−

123

Но и Следовательно, эта формула примет вид

(8)

Согласно условию теоремы существует предел отношения производных

Отсюда согласно определению предела заключаем, что суще-

ствует и предел Этот предел будет равен предыду-

щему, и получим

(9)

В соотношении (8) перейдём к пределу, когда и учитывая,

что предел правой части существует. Тогда будет существовать и предел ле-

вой части, равный первому:

(10)

Сравнив формулы (9) и (10), придем к формуле (7). Теорема для указанного

случая доказана. Случай, когда приводится к рассмотренному заменой

при этом Доказательство, когда , , опускаем.

Замечание. Может оказаться, что функции и одновременно

стремятся к нулю или к бесконечности при или Тогда к пределу

отношения производных вновь можем применить правило Лопиталя, т. е.

Пример. Требуется найти предел

1 cos

lim .

→

−

Поскольку

при

то согласно правилу Лопиталя

1 cos sin

lim lim ,

→→

−

если существует последний предел. Здесь снова и числи-

тель, и знаменатель стремятся к нулю при поэтому для нахождения по-

следнего предела снова можем воспользоваться правилом Лопиталя. Поэтому

окончательно

sin cos

lim lim 1/ 2

→→

= =

1 cos

lim 1/ 2.

→

−

( )

0fx =

( )

0.x

( )

fx fc

x cx

ϕϕ

′

= <<

′

( )

lim[ ( )/ ].

fx x

→

′′

( )

lim[ ( )/ ], .

fc c x c x

→

′′

( )

() ()

lim lim .

cx xx

fc fx

ϕϕ

→→

′′

xx→

,cx→

( )

() ()

lim lim .

xx cx

fx fc

ϕϕ

→→

′

,x →∞

1,xx=



0.x →



( )

→∞

( )

fx→∞

( )

′

( )

′

xx→

.x →∞

( ) ( )

() ()

lim lim

xx xx

fx f x

ϕϕ

→→

′ ′′

cos 1x →

0,x →

5354.ru

124

Замечание к теореме. Если предел отношения производных

не существует, то правило Лопиталя не применимо. Сказанное

покажем на примере. Рассмотрим предел отношения функций

(11)

Возьмём предел отношения производных этих функций

но этот предел не существует, так как при неограниченном изменении угла

измеренного в радианах, функция принимает значения, заключённые

между –1 и 1, следовательно, ни к какому пределу не стремится. Итак,

предел отношения производных не существует. Однако предел (11) отноше-

ния функций существует. Убедимся в этом.

Предел (11) запишем так: Согласно теореме о пределе

суммы он равняется сумме пределов, а предел постоянной равен ей самой.

Следовательно, Здесь второй предел равен нулю,

так как т. е. является бесконечно малой функцией при а

является ограниченной функцией при так как Но произведе-

ние бесконечно малой функции и ограниченной функции есть снова беско-

нечно малая функция. Итак, предел в правой части последней формулы равен

нулю, и мы получили

Таким образом, предел (11) отношения функций существует и равен 1, в

то время как предел отношения их производных не существует.

§ 5. Раскрытие неопределённостей

Всюду в настоящем параграфе будем рассматривать предел, когда

( – заданное число) или когда В дальнейшем это условие указывать

не будем. Пусть при этом и стремятся к нулю, и требуется найти

предел отношения Чтобы найти этот предел, мы не можем

воспользоваться теоремой о пределе частного, так как предел знаменателя ра-

( )

lim[ ( )/ ]

fx x

→

′′

sin

lim .

→∞

( )

sin

1 cos

lim lim lim 1 cos ,

x xx

→∞ →∞ →∞

′

= = +

′

cos x

1 cos x+

( )

lim 1 (sin )/ .

→∞

sin 1

lim 1 1 lim sin .

→∞ →∞

  

+=+⋅

  

  

1 0,x →

,x →∞

sin x

,x →∞

sin 1.x ≤

sin sin

lim lim 1 1.

xx x

→∞ →∞



=+=





xx→

.x →∞

( )

( ) ( )

lim[ / ].fx x

125

вен нулю. Говорят, что здесь имеется неопределённость типа Эта не-

определённость раскрывается по правилу Лопиталя.

Пусть теперь одновременно стремятся к бесконечности, и тре-

буется найти предел их отношения Говорят, что здесь имеется

неопределённость типа Эта неопределённость также раскрывается с

помощью правила Лопиталя. Рассмотрим другие виды неопределённостей.

Требуется найти

(12)

когда а Тогда говорят, что имеется неопределённость типа

Эту неопределённость можно привести к одному из двух предыдущих

видов неопределённости. Предел (12) можно записать так: , и по-

лучаем неопределённость типа







так как

( )

→

Предел (12) можно за-

писать и так: Здесь как и поэтому получаем не-

определённость типа т. е. остаётся применить правило Лопиталя.

Пример 1. Требуется найти . Здесь , и имеем неопре-

делённость типа Согласно предыдущему утверж-дению

(13)

Получили неопределённость типа Для нахождения предела в правой

части применим правило Лопиталя:

lim

→

(14)

Здесь снова и числитель, и знаменатель стремятся к бесконечности при

и для нахождения этого предела снова можно воспользоваться правилом Ло-

питаля. Тогда вновь придем к неопределённости так как в числителе

появится дробь а в знаменателе дробь Этот процесс можно про-

должать, никогда не доходя до конца. Поэтому к (14) правило Лопиталя при-

менять не нужно, а достаточно просто преобразовать предел. Он будет равен

( )

00.

( ) ( )

,fx x

( ) ( )

lim[ / ].fx x

( )

.∞∞

( ) ( )

lim ,fx x

⋅





( )

0,fx→

( )

→∞

( )

0.⋅∞

( )

lim

[1/ ]

( )

lim .

[1/ ]

( )

1,fx→∞

( )

,∞∞

( )

lim ln

→

⋅

ln x → −∞

( )

0.⋅∞

( )

lim ln lim .

→→

⋅=

( )

.∞∞

( )

lim lim .

→→

′

−

′

0,x →

( )

,∞∞

1,x

1.x

5354.ru

126

Искомый предел функции (13) также равен нулю. Таким образом,

Рассмотрим предел

(15)

в котором Говорят, что здесь имеется неопределённость

типа Если требуется найти предел (15), когда а то го-

ворят, что имеется неопределённость типа

Если а и нужно найти (15), то говорят, что имеется не-

определённость типа Все эти неопределённости раскрываются одним ме-

тодом. Рассмотрим первый случай.

Пусть Искомый предел обозначим

Пока будем искать не сам предел а Согласно предыдущему соотно-

шению имеем Но логарифм, как основная элементарная

функция, является непрерывной функцией, поэтому знак логарифма и знак

предела можно переставить местами, и получим В правой

части воспользуемся свойством логарифмов: Но здесь

по условию а так как т. е. получили неопре-

делённость типа которую раскрывать умеем. Раскрыв ее, найдём пре-

дел правой части последнего соотношения, который обозначим тогда

– найденное число. Отсюда

Пример 2. Вычислить предел

Здесь имеем неопределённость типа Искомый предел обозначим через

Будем пока искать Возьмём от последнего соотношения нату-

ральный логарифм: В правой части знаки логарифма и предела

поменяем местами и получим , отсюда Предел

правой части, как было показано выше, равен нулю, т. е. поэтому

Итак, искомый предел

( )

lim .

→

−

( )

lim ln 0.

→

⋅=

( )

lim ,





( )

0,fx→

( )

0.x

→

( )

,fx→∞

( )

0,x

→

.∞

( )

1,fx→

( )

→∞

∞

( )

0,fx→

( )

0.x

→

( )

lim .

A fx





ln .A

( )

ln lnlim .

A fx





( )

ln limln .

A fx





( ) ( )

ln lim ln .A x fx

= ⋅





( )

0,x

→

( )

ln ,fx→ −∞

( )

0,fx→

( )

0,⋅∞

ln ,Aa=

Ae=

lim .

→

lim .

→

ln .A

ln lnlim .

→

ln limln

→

ln lim( ln ).

A xx

→

= ⋅

ln 0,A =

1.Ae= =

lim 1.

→

127

ГЛАВА 7. ИССЛЕДОВАНИЕ ПОВЕДЕНИЯ ФУНКЦИИ

ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО

§ 1. Возрастание и убывание функции

Функция называется возрастающей в интервале, если большему значе-

нию аргумента отвечает большее значение функции, а интервал называется

интервалом возрастания функции.

Функция называется убывающей в интервале, если большему значению

аргумента отвечает меньшее значение функции, а

интервал называется интервалом убывания функ-

ции.

Интервалы возрастания и убывания функции

называются интервалами монотонности, а сама

функция называется монотонной.

Ясно, что график возрастающей функции

( )

y fx=

на плоскости

Oxy

является восходящей

линией (рис. 61), так как ордината

( )

y fx=

точки графика

функции увеличивается с увеличением абсциссы

этой точки (график убы-

вающей функции является нисходящей линией).

Теорема 1 (необходимый признак возрастания и убывания функции).

Если дифференцируемая функция

( )

возрастает в интервале, то всюду в

этом интервале

( )

0fx

′

≥

; если она убывает в интервале, то всюду в нём

( )

0.fx

′

≤

Доказательство. Пусть функция

( )

возрастает в интервале, тогда по

определению при

0x∆>

имеем

( )

( ) 0.fx x fx+∆ − >

Поэтому

( )

( ( ))/ 0.fx x fx x+∆ − ∆ >

Отсюда согласно теореме 14 главы 4 имеем

( )

'( ) lim{[ ( )]/ } 0.

f x fx x fx x

∆ →

= +∆ − ∆ ≥

Для убывающей функции доказательство

аналогично.

Теперь получим достаточный признак возрастания и убывания функции.

Теорема 2. Если производная

( )

′

от функции

( )

всюду в интервале

положительна (отрицательна), то функция

( )

в этом интервале возрас-

тает (убывает). Если всюду в интервале производная

( )

′

от функции

( )

Рис. 61

5354.ru

128

равна нулю, то функция

( )

в этом интервале остаётся постоянной вели-

чиной, т. е.

( )

const.fx=

Доказательство. Докажем одно из утверждений теоремы (остальные до-

казываются аналогично).

Пусть всюду в интервале

( )

0fx

′

,xx

– две произвольные точки этого

интервала, причём

,xx<

т. е.

0.xx−>

Возьмём интервал

[ ]

,.xx

Для него и

рассматриваемой функции

( )

запишем формулу Лагранжа:

( ) ( ) ( )( )

2 1 21 1 2

,.fx fx fcx x x c x

′

− = − <<

(1)

По условию

( )

0fx

′

всюду, поэтому

( )

0,fc

′

а так как

0,xx−>

в правой

части формулы (1) выражение положительное, т. е.

( ) ( )

0fx fx−>

или

( ) ( )

fx fx>

для любого

.xx>

Это означает, что

( )

– возрастающая функ-

ция в рассматриваемом интервале.

§ 2. Точки экстремума функции.

Необходимый признак экстремума.

Наибольшее и наименьшее значения функции

в замкнутом интервале

Пусть

– внутренняя точка области определения функции

.()fx

Точка

называется точкой максимума функции

( )

,fx

если для всех отличных от

точек некоторой окрестности точки

(другими словами, некоторого малого

интервала, содержащего внутри себя точку

), выполняется неравенство

( ) ( )

fx fx>

Точка

называется точкой минимума функции

( )

,fx

если для всех отлич-

ных от

точек некоторой окрестности точки

выполняется неравенство

( ) ( )

fx fx<

Точки максимума и минимума функции назы-

ваются точками экстремума этой функции, а

значения функции в этих точках – экстремаль-

ными (максимальными или минимальными) значе-

ниями.

Возьмём, например, непрерывную в интервале

[,]ab

функцию, график которой изображён на

Рис. 62

129

рис. 62. Для этой функции

– точка максимума, так как значение

( )

больше значений функции

( )

во всех соседних точках, т. е. оно является

наибольшим значением функции

( )

в некоторой окрестности точки

Аналогично

– точка максимума функции

( )

.fx

Кроме того,

являют-

ся точками минимума функции

( )

.fx

В то же время для функции с графиком,

указанным на рисунке, минимальное значение

( )

больше

( )

– макси-

мального значения этой функции.

Отметим также, что максимальное значение функции, как и минимальное

ее значение, определяются для достаточно малого интервала, содержащего

точку максимума или минимума функции. Эти значения нельзя путать с

наибольшим и наименьшим значениями функции на интервале

[ ]

,.ab

Дело в

том, что последние значения функция может принять на концах интервала.

Эти значения могут также совпадать с максимальным и минимальным значе-

ниями функции. Например, для функции, график которой указан на рис. 62,

наибольшим значением функции в интервале

[ ]

,ab

является

( )

– значение

на правом конце интервала, а наименьшее значение функции здесь совпадает

с одним из минимальных значений

( )

.fx

Из сказанного следует, что для нахождения наибольшего и наименьшего

значений функции

( )

на

[ ]

,ab

нужно поступить так:

• найти все максимальные и минимальные значения функции в интервале

[ ]

,ab

;

• вычислить значения

( )

,fa

( )

этой функции на концах интервала

[ ]

,ab

;

• из всех найденных значений выбрать наибольшее, а затем наименьшее.

Эти значения будут соответственно наибольшим и наименьшим значениями

функции

( )

на интервале

[ ]

,.ab

Теорема 3 (необходимый признак экстремума функции). Если диффе-

ренцируемая функция

( )

в точке

имеет экстремум, то её производная

( )

′

в этой точке обращается в нуль, т. е.

( )

0.fx

′

Доказательство. Пусть

– точка экстремума функции

( )

,fx

например,

точка ее максимума. Это означает, что значение

( )

функции в этой точке

является наибольшим значением функции в некотором, достаточно малом

5354.ru

130

интервале, содержащем внутри себя точку

Но тогда согласно теореме

Ферма производная

( )

′

в точке

равна нулю, т. е.

( )

0.fx

′

Теорема дока-

зана.

Однако в точке экстремума производная

функции

( )

может не существовать. Покажем

это на примере функции

( )

.fx x=

В точке

0x =

она принимает значение, равное нулю, ко-

торое является минимальным значением

( )

,fx

так как значения функции положительны во всех

соседних точках

Производная этой функции

( )

1/3

2 /3fx x

−

′

в точке

0x =

не существует. График функции показан на

рис. 63.

Заметим, что не всякая точка, в которой производная функции обращается

в нуль или не существует, является точкой экстремума. Покажем это на при-

мере функции

( )

,fx x=

производная которой

( )

3.fx x

′

В точке

0x =

произ-

водная обращается в нуль. Но эта точка не является точкой экстремума функ-

ции. В самом деле, для всех

, отличных от нуля, производная

( )

′

положи-

тельна. Отсюда согласно доста-точному признаку возрастания функции полу-

чаем, что функция

( )

возрастает и слева, и справа от

точки

0,x =

следовательно,

0x =

не есть точка экстре-

мума. Эта функция имеет график, показанный на

рис. 64.

Точки, в которых производная

( )

′

функции

( )

обращается в нуль или не существует, называются

критическими точками функции

( )

.fx

Как мы видели,

не всякая критическая точка является точкой экстремума

функции

( )

.fx

На вопрос о том, будет критическая точка точкой экстремума

функции или нет, отвечают достаточные признаки экстремума функции.