Салимов Р.Б. Математика (для студентов бакалавриата)

Подождите немного. Документ загружается.

111

функцию обратную к функции

( ).xt

Это выражение для подста-

вим во второе уравнение (27) вместо и тогда получим

(28)

Таким образом, оказывается, что зависит от т. е. является функци-

ей от К этой функции мы пришли, исходя из формул (27), следовательно,

эти формулы определяют функцию от Функция,

определяемая из (27), называется параметрически

заданной, а задание её с помощью этих формул

называется параметрическим заданием функции.

В качестве примеров приведем параметрические

уравнения окружности и эллипса.

На плоскости возьмём окружность радиуса

с центром в начале координат, – произволь-

ная точка окружности (рис. 55). Вектор



образует с осью угол изме-

ряемый в радианах. Этот угол счи-тается положительным, если он отсчиты-

вается против хода часовой стрелки от оси . Из рис. 55 видно, что

Эти соотношения представляют собой параметрические уравнения окружно-

сти, так как при изменении в интервале точка описывает пол-

ную окружность.

Теперь возьмем на плоскости эллипс с уравнением

22 22

/ / 1.xa yb+=

(29)

Уравнения

cos , sin ,0 2 ,x a ty b t t

= = ≤≤

(30)

представляют собой параметрические уравнения указанного эллипса. В са-

мом деле, точка координаты которой вычисляются по формулам

(30), лежит на эллипсе, так как её координаты (30) удовлетворяют уравнению

эллипса (29). Кроме того, точка при изменении

в указанном интервале описывает полный эллипс

(рис. 56).

Выведем теперь формулу для производной

функции от определяемой формулами (27).

Про-дифференцируем по соотношение (28) и

( )

,tx= Φ

( )

= [Φ ].

Oxy

( )

;Mxy

cos , sin .xr ty r t= =

02t

≤≤

Oxy

( )

;,Mxy

′

5354.ru

112

учтём, что в правой части (28) стоит сложная функция. Получим

x tx

′ ′′

(31)

Но – обратная функция к поэтому согласно (25)

1/ 1/ ( )

tx t

′′′

= =

и приходим к формуле

(32)

Она позволяет найти производную функции от заданной параметри-

чески в виде (27), при этом самого выражения для функции от мы не

имеем. Формулу (32) записывают и так:

§ 13. Дифференциал функции

и его применение в приближённых вычислениях

Дана функция которая дифференцируема в интервале

Пусть – произвольная фиксированная точка этого интервала, тогда в этой

точке существует производная . Это означает, что существует конечный

предел (3) (см. § 2) где есть прираще-

ние функции в точке соответствующее приращению Отноше-

ние есть функция от (здесь – фиксированная величина, а из-

меняется и стремится к ). Эта функция при имеет предел рав-

ный определённому числу, так как – фиксированная величина. Значит (тео-

рема 8 главы 4), эта функция может быть представима в виде суммы своего

предела и бесконечно малой функции: где – бесконечно

малая функция (т. е. при ). Отсюда, умножив обе части послед-

него соотношения на

,x∆

получим

(33)

Будем считать, что в рассматриваемой точке производная Тогда

при произведение есть бесконечно малая функция одного по-

рядка с бесконечно малой функцией так как предел их отношения суще-

ствует и не равен нулю. Ясно, что также является бесконечно малой функ-

цией одного порядка с бесконечно малой функцией так как предел их от-

ношения существует и не равен нулю. В формуле (33) и суть бес-

конечно малые функции одного порядка с бесконечно малой функцией

()tx= Φ

( )

,xt

( )

/ ( ).

y tt

ψϕ

′′ ′

′

( ) ( )

y yt xt

′′ ′

( )

y fx=

( )

,.ab

( )

′

( )

lim / ) ,

y x fx

∆→

′

(∆ ∆ =

( ) ( )

fx x fx y+∆ − =∆

( )

y fx=

.x∆

/yx∆∆

x∆

0x∆→

( )

,fx

′

( )

/,y x fx

′

∆ ∆= +

→

0x∆→

( )

.y fx x x

′

∆ = ⋅∆ + ⋅∆

( )

0.fx

′

≠

0x∆→

'( )fx x⋅∆

,x∆

y∆

,x∆

y∆

( )

fx x

′

⋅∆

.x∆

113

Второе слагаемое правой части этой формулы есть бесконечно малая функ-

ция более высокого порядка по сравнению с , так как предел их отношения

существует и равен нулю: В этой ситуации первое слагае-

мое правой части (33) называется дифференциалом функции и обо-

значается Итак,

(34)

Здесь – приращение аргумента, которое выбирается нами независимо от

и может не быть бесконечно малой, но если – бесконечно малая величина

( ), то дифференциал (34) есть также бесконечно малая величина одного

порядка с как и приращение входящее в (33). Указанный диффе-

ренциал отличается от приращения на величину более высокого по-

рядка малости, чем В этом случае говорят, что бесконечно малая явля-

ется главной частью бесконечно малой Формула (34) для случая, когда

, имеет вид так как . Таким образом,

дифференциал независимой переменной равен приращению этой переменной.

Поэтому формулу (34) можно записать так:

(35)

Отсюда Таким образом, производная представляет собой отно-

шение дифференциала функции к дифференциалу аргумента.

Дифференциал функции при малых отличается от приращения

функции на величину

∆

, значительно меньшую, чем , и, следователь-

но, . Последнее соотношение используется в приближенных вычисле-

ниях. Запишем его с учетом выражений для

,y dy∆

следующим образом:

( ) () () .fx x fx f x x

′

+∆ ≈ + ⋅∆

Для примера запишем это соотношение для функции

(36)

В этом соотношении положим

/ 4,x

/180.x

∆=

Тогда

/4 /180.xx

ππ

+∆ = +

Зная, что по формуле (36) найдём

приближённое значение

x∆

lim lim 0.

∆→ ∆→

⋅∆

= =

∆

( )

y fx=

.dy

( )

.dy f x x

′

= ⋅∆

x∆

0x∆→

0,x∆→

,y∆

y∆

⋅∆

.x∆

y∆

( )

y fx x= =

,dy dx x= = ∆

( ) ( )

fx x

′

= =

( )

.dy f x dx

′

( )

/.f x dy dx

′

x∆

y∆

x∆

y dy∆≈

sinyx=

( )

sin sin cos .x x x xx+∆ ≈ + ⋅∆

sin( /4)

cos( 4) 2 2,

000

sin46 sin45 cos45 ( /180) ( 2 /2)(1 /180).

ππ

≈+⋅ ≈ +

5354.ru

114

§ 14. Производные и дифференциалы высших порядков

Дана функция , дифференцируемая в интервале т. е. в каж-

дой точке этого интервала существует производная Эта производная в

свою очередь является функцией от следовательно, если она дифференци-

руема в интервале

то от неё можно взять производную по

, т. е.

Последняя называется второй производной или производной второго

порядка от функции и обозначается или

Но вторая производная есть в свою очередь функ-

ция от поэтому от неё можно взять производную по если последняя су-

ществует. Получаемая производная называется производной третьего поряд-

ка и обозначается Продолжив процесс, найдем

производную любого порядка от функции Обозначают эту произ-

водную

() ()

()

fxy=

Пусть функция дифференцируема в интервале Тогда со-

гласно (35) можно найти дифференциал этой функции . Здесь

дифференциал аргумента не зависит от но в целом есть функция

от поэтому от нее можно найти дифференциал , если в

рассматриваемом интервале существует вторая производная . Этот

дифференциал называется дифференциалом второго порядка от функции

и обозначается Имеем Но согласно (35)

дифференциал правой части равен производной по от , умножен-

ной на Итак, Здесь за знак производной

может быть вынесена постоянная величина В результате получим

( ) ( )

f x dx f x dx

′

′ ′′





и Но правая часть последнего соотноше-

ния представляет собой функцию от следовательно, от второго дифферен-

циала в свою очередь можно найти дифференциал, если существует третья

производная функции . В результате получим дифференциал третьего

порядка, обозначаемый По аналогии с предыдущим будем иметь

Продолжив процесс, найдём дифференциал любого порядка

, если у функции в интервале существует производная n-го порядка:

( )

y fx=

( )

,,ab

( )

.fx

′

( )

,,ab

( )

.fx

′





( )

y fx=

( ) ( )

fx fx

′

′′ ′





y y y d y dx

′′ ′′ ′′

= = =

( )

′′

( )

xxx

f x y y y d y dx

′′′ ′′′ ′′′ ′′′

= = = =

( )

.y fx=

( )

y d y dx= =

( )

y fx=

( )

,.ab

( )

dy f x dx

′

dx x= ∆

( ) ( )

d dy d f x dx

′





"( )fx

( )

y fx=

( )

.d y d dy=

( )

.d y d f x dx

′





( )

f x dx

′





.dx

( ) ( )

d y d f x dx f x dx dx

′

′′

= =





.dx

( )( )

.d y f x dx

′′

()fx

( )( )

.d y f x dx

′′′

(,)ab

115

В последней формуле в выражении степень пишут без

скобок, тогда Отсюда т. е. -я производная

представляет собой отношение соответствующих дифференциалов.

( )

( )( )

d y f x dx=

( )

d y f x dx=

( )

f x d y dx=

5354.ru

116

ГЛАВА 6. ФУНКЦИИ, НЕПРЕРЫВНЫЕ В ЗАМКНУТОМ

ИНТЕРВАЛЕ. ПРАВИЛО ЛОПИТАЛЯ

§ 1. Свойства функций, непрерывных в замкнутом интервале

Теорема 1. Если функция непрерывна в замкнутом интервале

то в этом интервале найдётся по крайней мере одна точка значение

функции в которой удовлетворяет условию

(1)

для всех из , и найдётся по крайней мере одна точка значение

функции в которой удовлетворяет условию

(2)

для всех из

Дадим лишь геометрическое нестрогое доказательство этой и последу-

ющих двух теорем.

На рис. 57 в плоскости изображён гра-

фик функции Так как график непре-

рывной функции является сплошной линией, то

обязательно найдутся прямые с уравнениями

и ( – постоянные),

между которыми расположены все точки гра-

фика функции, исключая точки, общие с ука-

занными прямыми, каждая из которых имеет

хотя бы одну общую точку с графиком функции. Абсциссы точек графика,

общих с прямыми и будут соответственно значениями ар-

гумента в которых имеют место соотношения (1) и (2) для соответствую-

щих значений функции.

На рис. 57 – точки, значения функции в которых удо-

влетворяют неравенству (1). Имеется одна точка значение функции

в которой удовлетворяет неравенству (2). Значение функции в точ-

ке удовлетворяющее неравенству (1), называется наибольшим значением

( )

y fx=

[ ]

;,ab

( )

( ) ( )

fx fx≥

[ ]

;ab

( )

( ) ( )

fx fx≤

[ ]

;.ab

Oxy

( )

.y fx=

yM=

ym=

,Mm>

,Mm

yM=

,ym=



( ) ( )

fx fx=



( )

fx M=

117

функции в интервале Значение функции в точке т. е.

удовлетворяющее неравенству (2), называется наименьшим значе-

нием функции в интервале

Функция непрерывна в полуоткрытом интервале

при , и не существует такой точки , значение

функции в которой было бы больше для всех из Этот

факт связан с тем, что рассматриваемая функция непрерывна в полуоткрытом

интервале т. е. не выполнено условие теоремы 1 (о непрерывности

функции в замкнутом интервале).

Теорема 2. Если функция непрерывна в замкнутом интервале

и на концах интервала принимает значения разных знаков, то в этом ин-

тервале найдется по крайней мере одна точка в которой значение

функции обращается в нуль, т. е.

Пусть, например, т. е. значение на левом конце отрица-

тельно, а на правом положительно. Значит, точка графика рассмат-

риваемой функции лежит ниже оси а точка лежит выше этой

оси (см. рис. 58).

Так как график непрерывной функции – сплошная линия, то он, соединяя

точки и пересекает ось в некоторой точке следовательно, ордина-

та точки пересечения

( )

[ ]

;.ab

( )

,fx m=

( )

[ ]

;.ab

( )

1fx x=

0 1;x<≤

( )

fx→ +∞

0 ( 0)xx→>

( )

1fx x=

1 x

(0,1].

(0,1],

( )

y fx=

[ ]

;ab

( ),ca c b<<

( )

0.fc=

( ) 0,fa<

( )

0,fb>

( )

,Aaf a

,Ox

( )

,Bbf b

( )

0.fc=

Рис. 59

5354.ru

118

Теорема 3. Пусть функция непрерывна в замкнутом интервале

и величины – соответственно наименьшее и наибольшее значения

этой функции в интервале Тогда для любого числа заключённого

между

и (

≤≤

), найдётся по крайней мере одна точка

значение функции в которой равно этому числу

т. е.

() .fc

Так как – наименьшее и наибольшее значения функции на

то ясно, что график функции лежит между прямыми и

ym=

(см. рис. 59). Возьмём число

(

≤≤

) и рассмотрим прямую

Так как график функции – сплошная линия, расположенная между

прямыми

и то ясно, что прямая пересечёт этот график по

крайней мере в одной точке. На чертеже таких точек две, их абсциссы равны

и Ясно, что ординаты указанных точек графика и равны

Таким образом, значение функция принимает в точках и

§ 2. Теоремы Ферма и Ролля

Теорема Ферма. Если функция

()fx

определена в интервале

( , ),ab

при-

нимает в точке ( ) своё наибольшее (наименьшее) значение в

[,]ab

и дифференцируема в точке

,xc=

то в этой точке производная обраща-

ется в нуль, т. е.

Доказательство. Пусть

()fc

– наибольшее значение. Возьмём точку

лежащую достаточно близко к точке считая, что – величина малая. Эта

точка лежит правее при и левее при Так как есть

наибольшее значение функции в интервале то ясно, что

как для так и для , что можно переписать в виде

для всех и Это неравенство умножим на число

, положительное при и отрицательное при При этом знак

неравенства не изменится при и изменится на обратный при . В

результате получим

В этих неравенствах перейдём к пределу при и согласно теории преде-

лов (теорема 14 главы 4) будем иметь

( )

y fx=

[ ]

;ab

,mM

[ ]

;.ab

µ,

( ),ca c b≤≤

,mM

( )

[ ]

;,ab

( )

y fx=

yM=

( )

y fx=

yM=

,ym=

y = µ



( )



( )

y fx=



xc=

acb<<

( )

′

( )

0.fc

′

,cx+∆

x∆

0x∆>

0.x∆<

( )

[ ]

;,ab

( )

fc x+∆

( )

fc≤

0,x∆>

0x∆<

( ) ( )

0fc x fc+∆ − ≤

0x∆>

0.x∆<

1 x∆

0x∆>

0.x∆<

0x∆>

0x∆<

( ) ( )

0 0,

fc x fc

при x

+∆ −

≤ ∆>

∆

( ) ( )

0 0.

fc x fc

при x

+∆ −

≥ ∆<

∆

0x∆→

119

По условию теоремы функция дифференцируема в точке

Это зна-

чит, что существует производная Но производная равна пределу, вхо-

дящему в предыдущие неравенства. Этот предел является обычным двусто-

ронним и существует независимо от знака . Следовательно, в двух преды-

дущих неравенствах пределы одинаковы и равны

Поэтому предыдущие

неравенства можно переписать так:

() 0fc

′

≤

при

0,x∆>

() 0fc

′

≥

при

0.x∆>

Неравенства должны выполняться одновременно, а это возможно, если

Теорема Ферма доказана.

Теорема Ролля. Если функция непрерывна в замкнутом интер-

вале , дифференцируема во всех внутренних точках этого интервала и,

кроме того, на концах интервала принимает одинаковые значения, то в этом

интервале найдётся хотя бы одна точка

,acb<<

в которой значение

производной обращается в нуль.

Доказательство. Если функция не

изменяется, т. е. остаётся постоянной (

( ) constfx=

то

() 0fx

′

и теорема для этого случая доказана.

Пусть теперь функция с изменением

изменяется. Пусть, например, начиная от точки

с увеличением значение увеличива-

ется, как показано на рис. 60. Тогда значение

функции не является наиболь-

шим ее значением на следовательно, по теореме 1 своё наибольшее

значение функция примет в некоторой точке лежащей внутри ин-

тервала Следовательно, значение будет наибольшим значением

функции в интервале т. е. для всех

из

По теореме Ферма

( ) 0,fc

′

что и требовалось доказать.

Условие геометрически означает, что касательная к кривой

в её точке с абсциссой параллельна оси В самом деле, вычис-

( ) ( )

lim 0 0,

fc x fc

при x

∆→

+∆ −

≤ ∆>

∆

( ) ( )

lim 0 0.

fc x fc

при x

∆→

+∆ −

≥ ∆<

∆

( )

.fc

′

x∆

( )

.fc

′

( )

0.fc

′

( )

y fx=

[ ]

;ab

,xc=

( )

′

( )

y fx=

( )

y fx=

,xa=

( )

( ) ( )

fa fb=

( )

[ ]

;,ab

( )

,xc=

[ ]

;.ab

( )

[ ]

;,ab

( ) ( )

fc fx≥

[ ]

;.ab

( )

0fc

′

( )

y fx=

.Ox

5354.ru

120

ляемая в точке производная равна тангенсу угла наклона к оси абс-

цисс касательной к кривой в её точке с абсциссой Если эта

производная равна нулю, то и т. е. касательная параллель-

на оси

§ 3. Теоремы Коши и Лагранжа

Теорема Коши. Если функции и непрерывны в замкнутом ин-

тервале и дифференцируемы во всех внутренних точках этого интерва-

ла, причём всюду в этом интервале то в найдется хотя бы одна

точка ( ), для которой справедлива формула

(3)

Доказательство. Возьмём функцию

(4)

Она удовлетворяет следующим условиям:

• непрерывна на действительно, непрерывна в этом интервале

по условию, поэтому произведение дроби и также есть непрерывная

функция на этом интервале согласно теореме о произведении непрерывных

функций;

• разность, стоящая в правой части (4), – непрерывная функция согласно

теореме о разности непрерывных функций;

• дифференцируема во всех внутренних точках интервала и

имеет производную

(5)

так как производные и существуют согласно условию теоремы;

• значения функции на концах равны, т. е. Чтобы

непосредственно убедиться в этом, надо подставить в (4) сначала затем

и сравнить выражения.

( )

′

( )

y fx=

.xc=

( )

tg 0fc

′

= =

.Ox

( )

[ ]

;ab

( )

0,x

′

≠

[ ]

;ab

xc=

acb<<

( ) ( )

( )

fb fa f c

ba c

ϕϕ ϕ

′

−

′

−

( ) ( )

( )

fb fa

Fx fx x

ϕϕ

−

=−⋅

−

[ ]

;,ab

( )

[ ]

;ab

( ) ( )

( )

fb fa

Fx fx x

ϕϕ

−

′′ ′

=−⋅

−

( )

′

( )

′

( )

[ ]

;ab

( ) ( )

.Fa Fb=

,xa=

xb=