Салимов Р.Б. Математика (для студентов бакалавриата)

Подождите немного. Документ загружается.

211

( )

f t dt

∫

До сих пор мы считали, что , и понятие определённого интеграла бы-

ло дано для случая, когда верхний предел больше нижнего. Если же верхний

предел будет меньше нижнего то по определению примем

Из этой формулы видно, что при перестановке пределов определённый инте-

грал изменяет свой знак на противоположный.

Если то по определению

( ) 0.

f x dx =

∫

Наконец, отметим, что при всюду в будем иметь

(6)

В самом деле, в этом случае (5) даёт

Здесь мы учли, что сумма длин всех частичных интервалов равна –

длине интервала и предел постоянной есть сама эта постоянная.

§ 3. Свойства определённого интеграла

При доказательстве свойств определённых интегралов пределы берутся

при и далее эти условия указываться не будут.

• Постоянный множитель можно вынести за знак определённого интегра-

ла, т. е. если

const,A =

то

() () .

Af x dx A f x dx=

∫∫

• Определённый интеграл от алгебраической суммы конечного числа

функций равен алгебраической сумме определённых интегралов от слагаемых

функций. Например, для суммы из двух слагаемых

[() ()] () () .

b bb

a aa

f x x dx f x dx x dx

ϕϕ

+= +

∫ ∫∫

(7)

( )

f x dx =

∫

ab<

( )

,ba<

( ) ( )

f x dx f x dx= −

∫∫

,ab=

( )

1fx=

[ ]

,ab

dx b a= −

∫

( ) ( )

max 0 max 0

lim lim .

fxdx x ba ba

→∞ →∞

∆→ ∆→

= ∆= − =−

∑

∫

( )

ba−

[ ]

,,ab

n →∞

max 0,

x∆→

5354.ru

212

Докажем это свойство (предыдущее доказывается аналогично). Заменив в

формуле (5) на сумму

,() ()fx x

получим

( ) ( ) ( ) ( )

lim .

i ii

f x x dx f x

ϕ ξ ϕξ

+ = +∆

  

  

∑

∫

В правой части соберём отдельно члены, содержащие

, и отдельно члены,

содержащие

( ) ( )

f x x dx





∫

( ) ( ) ( ) ( )

( )

11 11

lim ...

nn nn

fx x fx x

ξ ϕξ ξ ϕξ

= ∆+ ∆+ + ∆+ ∆ =

( ) ( )

lim .

ii ii

fx x

ξ ϕξ

= =



= ∆+ ∆





∑∑

Предел в правой части последней формулы, согласно теории пределов, равен

сумме пределов первой и второй сумм. Но предел первой суммы равен

() ,

f x dx

∫

а предел второй равен

() .

x dx

∫

Таким образом, свойство доказано.

• Если всюду в ( ), то

(8)

Доказательство. Согласно условию имеем, что всюду в ин-

тервале Запишем определённый интеграл от разности со-

гласно (5):

( ) ( ) ( ) ( )

lim .

i ii

f x x dx f x

ϕ ξ ϕξ

− = −∆

  

  

∑

∫

Так как все длины и все разности , значит, интегральная

сумма под знаком предела будет неотрицательной. Как известно из теории

пределов, если функция неотрицательная, то и её предел обязательно будет

неотрицательным. Итак,

[() ()] 0.

f x x dx

−≥

∫

Согласно предыдущему свойству

интеграл от разности равен разности интегралов, поэтому

() () 0.

f x dx x dx

−≥

∫∫

Отсюда получаем (8).

• Если и суть наибольшее и наименьшее значения функции в

интервале ( ), то

( )

( ) ( )

fx x

≥

[ ]

,ab

ab<

( ) ( )

f x dx x dx

≥

∫∫

( ) ( )

0fx x

−≥

[ ]

,.ab

( ) ( )

fx x

−

x∆>

( ) ( )

ξ ϕξ

−≥

( )

[ ]

,ab

ab<

213

. (9)

Доказательство. Так как есть наименьшее значение функции в интер-

вале то всюду в Следуя предыдущему свойству, имеем

() .

f x dx mdx≥

∫∫

Согласно первому свойству постоянный множитель в

правой части вынесем за знак определённого интеграла, а оставшийся инте-

грал

dx b a= −

∫

и получим

( ) ( ).

f x dx m b a≥−

∫

Аналогично

( ) () .

M b a f x dx−≥

∫

Объединив последнее соотношение с предыдущим, при-

дем к (9).

• Следующее свойство запишем в виде теоремы.

Теорема 2 (о среднем значении). Если функция непрерывна в

то в этом интервале найдётся по крайней мере одно значение

для которого справедлива формула

(10)

Доказательство. Пусть и – соответственно наибольшее и наимень-

шее значения функции в интервале тогда для рассматриваемой

функции справедливо соотношение (9). Умножим все части этого соотноше-

ния на положительное число (при этом знаки неравенств сохранятся)

и получим Обозначив

(11)

имеем Так как функция непрерывна в замкнутом интервале

то в этом интервале найдётся по крайней мере одна точка

которой функция принимает значение , т. е. Подставим в

правую часть (11) , полученное при этом соотношение умножим на

Тогда придём к формуле (10).

Это свойство важно в теоретических исследованиях, но для вычисления

определённого интеграла формула (10) не может быть использована, так как

( ) ( ) ( )

mba fxdxMba−≤ ≤ −

∫

[ ]

,,ab

( )

fx m≥

[ ]

,.ab

( )

[ ]

,,ab

,ab<

,ab

≤≤

( ) ( )( )

f x dx f b a

= −

∫

( )

[ ]

,,ab

( )

1 ba−

( )

() .

m b a f x dx M

−

≤− ≤

∫

( )

() ,

b a f x dx

−

−=

∫

.mM

≤≤

( )

[ ]

,,ab

,ab

≤≤

( )

ξµ

( )

.ba−

5354.ru

214

значение в правой части этой формулы не из-

вестно (как и в формулах Коши и Лагранжа).

Известно лишь, что такая точка существует.

Два последних свойства имеют простое

геометрическое истолкование в случае, когда

в Пусть кривая с уравнением

имеет вид, указанный на рис. 110.

Из геометрического смысла интеграла следует, что площадь криволиней-

ной трапеции а площади показанных на рис. 110 прямоуголь-

ников

aA B b

Из coотношений (9) и

(10) следует, что

• Для любых чисел справедливо равенство

Здесь предполагается, что функция

()fx

определена и непрерывна в каждом

из трех интервалов, концами которых являются числа

,,abc

, поэтому все три

интеграла существуют.

Доказательство. Будем различать два случая: 1. 2. лежит вне

интервале

[ , ].ab

По определению интеграла

( ) ( )

lim .

f x dx f x

= ∆

∑

∫

Мы зна-

ем, что предел правой части последней формулы не зависит от способа разби-

ения интервала Используя это свойство, при

acb<<

разбиение интер-

вала будем проводить так, чтобы всегда была точкой деления. Иначе гово-

ря, будем делить отдельно интервал и отдельно Далее в указанной

интегральной сумме соберём отдельно слагаемые, относящиеся к интервалу

и отдельно слагаемые, относящиеся к В результате получим

( ) ( ) ( )

lim .

ac ii cbii

fxdx fx fx

ξξ



= ∆+ ∆





∑∑

∫

Здесь в правой части под знаком

предела первая сумма содержит слагаемые, относящиеся к а вторая

сумма – слагаемые, относящиеся к Предел правой части равен сумме

пределов первой и второй сумм. Но согласно определению определённого

( )

0fx≥

[ ]

,.ab

( )

y fx=

( )

aABb

S f x dx=

∫

( )

aA B b

S mb a= −

( )

aA B b

S Mb a= −

( )( )

.f ba

= −

11 22

aA B b aABb aA B b

S SS<<

aABb aA B b

SS=

,,abc

( ) ( ) ( )

b cb

aac

f x dx f x dx f x dx= +

∫∫∫

;acb<<

[ ]

,.ab

[ ]

,ac

[ ]

,.cb

[ ]

,,ac

[ ]

,.cb

[ ]

,,ac

[ ]

,.cb

Рис. 110

215

интеграла предел первой суммы равен

() ,

f x dx

∫

а предел второй суммы равен

() .

f x dx

∫

Таким образом, получили нужное нам соотношение.

Теперь рассмотрим второй случай.. Пусть точка лежит вне интервала

, например, правее точки т. е. Тогда по доказанному выше

имеем

() () () .

cbc

aab

f x dx f x dx f x dx= +

∫∫∫

Во втором интеграле правой части пере-

ставим местами пределы интегрирования. При этом знак интеграла изменится

на противоположный, и получим

Перенесем второй интеграл правой части влево и выведем требуемое соот-

ношение.

§ 4. Производная от определённого интеграла по верхнему

переменному пределу. Формула Ньютона – Лейбница

Возьмём интеграл

() .

f x dx

∫

Зафиксируем его нижний предел . Верхний

же предел будем считать величиной переменной. В этом случае рассматрива-

емый интеграл изменяется с изменением и является функцией от верхнего

предела Обозначим эту функцию

() () .

b f x dxΦ=

∫

Поясним сказанное гео-

метрически.

Согласно геометрическому смыслу определённого интеграла, когда

всюду в указанный интеграл

()bΦ

равен площади криво-

линейной трапеции, основанием которой служит интервал (см.

рис. 111). Из рис. 111 видно, что с изменением площадь изменится,

следовательно, изменится рассматриваемый ин-

теграл, значит, он является функцией своего

верхнего переменного предела.

Обозначим теперь переменный предел че-

рез

Получим

() () .

x f x dxΦ=

∫

Здесь под знаком

интеграла стоит переменная интегрирования

Чтобы её не путать с верхним переменным пре-

делом переменную интегрирования обозначим

[ ]

,ab

.abc<<

( ) ( ) ( )

c bb

a ac

f x dx f x dx f x dx= −

∫∫∫

( )

0fx>

[ ]

,,ab

aABb

[ ]

,.ab

aABb

Рис. 111

5354.ru

216

буквой Таким образом,

( ) ( )

x f t dtΦ=

∫

(12)

Для этой функции справедлива следующая

Теорема 3. Если – непрерывная функция и

( ) ( )

x f t dtΦ=

∫

то

или

( )

() .

f t dt f x

′

∫

Иначе говоря, производная от определённо-

го интеграла по верхнему переменному пределу равна подинтегральной

функции, взятой при значении аргумента, равном .

Доказательство. В выражении для вместо возьмем

xx+∆

, тогда

получим

( ) () ,

x x f t dt

+∆

Φ +∆ =

∫

считая для определённости Теперь ин-

тервал интегрирования разделим точкой на два и запишем интеграл в по-

следней формуле в виде

( ) () () .

x xx

x x f t dt f t dt

+∆

Φ +∆ = +

∫∫

Первый интеграл в

правой части есть согласно (12), поэтому

(13)

Интеграл в правой части этой формулы запишем, согласно теореме 2 пара-

графа 3 настоящей главы следующим образом:

Теперь формула (13) примет вид Поделив на

,x∆

по-

лучим

[ ( ) ( )]/ ( ).x x x xf

Φ +∆ −Φ ∆ =

Перейдём здесь к пределу при тогда

и получим

( ) ( ) ( )

lim[( )/ ] lim .

xx x x f

∆→ →

Φ +∆ −Φ ∆ =

Заметим, что

левая часть этой формулы равна производной По условию теоремы

– непрерывная функция, значит,

( ) ( )

lim .

f fx

→

Итак, Тео-

рема доказана.

Мы показали, что если подинтегральная функция в формуле (12) яв-

ляется непрерывной, то производная от интеграла в этой формуле по пере-

менному верхнему пределу есть Это означает, что указанный инте-

грал, равный является первообразной (неопределённым интегралом)

( )

( ) ( )

x fx

′

Φ=

( )

xΦ

0.x∆>

( )

xΦ

( ) ( ) ( )

x x x f t dt

+∆

Φ +∆ −Φ =

∫

( ) ( )( )

ftdtf xxxx xx

ξξ

+∆

= +∆ − ≤ ≤ +∆

∫

( ) ( ) ( )

.xx xf x

Φ +∆ −Φ = ∆

0,x∆→

,xxx+∆ →

→

( )

′

( )

( ) ( )

.x fx

′

Φ=

( )

.fx

( )

,xΦ

217

для функции Таким образом, попутно мы доказали, что для любой не-

прерывной функции существует её первообразная. Эту первообразную

всегда можно записать по формуле (12), т. е. в виде определённого интеграла

с переменным верхним пределом, хотя эту первообразную не всегда можно

выразить через элементарные функции.

Теорема 4. Если – первообразная для непрерывной функции

интервале т. е. для всех из то справедлива форму-

ла Ньютона – Лейбница

(14)

Доказательство. По условию – первообразная для функции в

интервале но, как мы видели, функция (12) также является первообраз-

ной для функции Согласно теореме 1 параграфа 1 главы 11 две перво-

образные одной и той же функции могут отличаться лишь на постоянное сла-

гаемое, следовательно, для всех из

( ) ( )

f t dt F x C= +

∫

(15)

где

.C const=

Эта формула справедлива для всех из значит, и для

следовательно,

() ( ) .

f t dt F a c= +

∫

Левая часть последней формулы равна нулю,

поэтому и Подставим это выражение в формулу (15):

() () ().

f t dt F x F a= −

∫

Эта формула справедлива для всех из а потому и

для следовательно,

( ) ( ) ( ).

f t dt F b F a= −

∫

Так как переменная интегриро-

вания может быть обозначена любой буквой, заменим на Теорема дока-

зана.

Правую часть формулы (14) коротко записывают так:

отсюда

( ) ( ) ( )

() .

f x dx F x F b F a= = −

∫

Формула (14) показывает, что вычисление определённого интеграла при-

водится к нахождению первообразной для подинтегральной функции

т. е. к вычислению неопределённого интеграла. Например,

/3 1/3 0 1/3.x dx x= = −=

∫

( )

.fx

( )

[ ]

,,ab

( ) ( )

Fx fx

′

[ ]

,,ab

( ) ( ) ( )

f x dx F b F a= −

∫

( )

[ ]

,,ab

( )

.fx

[ ]

,ab

[ ]

,,ab

,xa=

( )

0 Fa c= +

( )

.c Fa= −

[ ]

,,ab

,xb=

( ) ( ) ( )

Fx Fb Fa= −

( )

,fx

5354.ru

218

§ 5. Замена переменной в определённом интеграле.

Интегрирование по частям

Теорема 5. Пусть дан интеграл

() ,

f x dx

∫

где – непрерывная функ-

ция в интервале Пусть переменная интегрирования заменена по

формуле причём:

• (иначе говоря, значения и отвечают соот-

ветственно и – верхнему и нижнему пределам интеграла);

• непрерывна в интервале ;

• функция монотонна в интервале т. е. в этом интервале

производная сохраняет знак.

Тогда справедлива формула

(16)

Доказательство. Пусть есть первообразная для – подинте-

гральной функции исходного интеграла. Тогда согласно формуле (14) запи-

шем

(17)

С другой стороны, рассмотрим функцию получаемую из заме-

ной Она является сложной функцией от . Возьмём производную от

этой функции по получим

( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

Ft Ftfx tf t t

ϕ ϕ ϕ ϕϕ

′

′′ ′

= = =

 

 

Таким

образом, эта производная равна подинтегральной функции в правой части

формулы (16), т. е. для этой подинтегральной функции выражение

( )





есть первообразная, поэтому интеграл в правой части формулы (16), согласно

формуле Ньютона – Лейбница, равен

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

.f t t dt F F F b F a

ϕ ϕ ϕβ ϕα

′

=−=−

   

   

∫

Правая часть этой формулы совпадает с правой частью формулы (17), следо-

вательно, их левые части также равны, т. е. получаем формулу (16). Теорема

доказана.

Итак, при замене переменной в определённом интеграле по формуле

( )

мы должны положить в интеграле и Кроме того,

( )

[ ]

,.ab

( )

,xt

( )

ϕα

( )

ϕβ

xa=

xb=

( )

′

[ ]

αβ

( )

[ ]

αβ

( )

′

( ) ( ) ( )

f x dx f t t dt

ϕϕ

′





∫∫

( )

( ) ( ) ( )

f x dx F b F a

= −

∫

( )

,Ft





( )

.xt

( )

.dx t dt

′

219

пределы и исходного интеграла для должны заменить соответствую-

щими пределами для переменной а именно, и Чтобы установить

пределы и для новой переменной, целесообразно выразить из формулы

переменную через , т. е. найти функцию обратную к

Тогда и После интегрирования возвращаться к ста-

рой переменной необходимости уже нет.

Пример. Вычислить

Чтобы избавиться от корня, сделаем замену Тогда

Нужно найти пределы для Для этого выразим через и получим

При будем иметь

arctg0 0,

= =

а при получим

arctg1 /4.

βπ

= =

Учтем, что

1 tg 1 cos ,

тогда

( ) ( )

1 /4 /4

22 2 2

00 0

1 cos 2

cos sin .

1 1 1 tg 1 tg

dx tdt

tdt t

xx t t

ππ

= = = =

++ + +

∫∫ ∫

Интегрирование по частям

Даны две функции и которые имеют непрерывные про-

изводные в Производная произведения равна

поэтому

(18)

По формуле Ньютона – Лейбница будем иметь Подставим

последнее выражение в левую часть (18) и учтём, что по-

лучим Отсюда придем к формуле интегрирования по ча-

стям определенного интеграла:

(19)

Пример. Вычислить

Положим Тогда Тогда форму-

ла (19) даёт

( )

,t tx=

( )

.xt

( )

= .

( )

xx++

∫

tg .xt=

1 cos .dx t dt=

arctg .tx=

0x =

1x =

( )

U Ux=

( )

,V Vx=

′

[ ]

,.ab

( )

UV U V UV

′

′′

⋅ = ⋅+⋅

( )

b bb

a aa

U V dx U Vdx U V dx

′

′′

⋅ = ⋅+⋅

∫ ∫∫

( ) ( )

U V dx UV

′

⋅=

∫

U dx dU

′

V dx dV

′

( )

UV VdU UdV= +

∫∫

( )

UdV UV VdU= −

∫∫

ln .x xdx

∫

ln ,Ux=

.dV xdx=

2,V xdx x= =

∫

1.dU xdx=

5354.ru

220

( )

22 2

1 11 3

ln ln 2ln 2 ln1 2ln2 .

2 2 2 22 4

xx x

x xdx x dx

= − =−− =−

∫∫

§ 6. Применение определённого интеграла к вычислению пло-

щадей плоских фигур

Пусть кривая задана уравнением

изменяется в интервале в котором

()fx

не-

прерывна, где и – абсциссы точек и соот-

ветственно (рис. 112). Пусть в интервале

поэтому расположена выше оси В

этом случае

(20)

где – площадь криволинейной трапеции, основанием которой является

отрезок Сверху эта трапеция ограничена кривой .

Пусть теперь задана уравнением на

интервале причём всюду в указанном

интервале (рис. 113). Тогда лежит ниже оси

Поступив в этом случае, как и в § 1, 2, нетрудно по-

казать, что где – площадь кри-

волинейной трапеции, ограниченной сверху отрезком

а снизу – кривой

Эти формулы используются для вычисления площадей плоских фигур.

Пусть, например, требуется найти площадь заштрихованной фигуры,

ограниченной сверху кривой с уравнением

снизу – кривой с уравнением

причём в обоих случаях а также

отрезками и параллельными оси (см.

рис. 114), при этом

()fx

непрерывны в ин-

тервале

[ , ].ab

Ясно, что искомая площадь

Площади в правой части, со-

( )

,y fx=

[ ]

,,ab

( )

0fx>

[ ]

,,ab

.Ox

( )

aABb

f x dx S=

∫

aABb

.ab

( )

y fx=

[ ]

,,ab

( )

0fx<

.Ox

( )

aABb

f x dx S= −

∫

aABb

,ab

.AB

2112

AABB

( )

,y fx=

( )

,y fx=

,axb≤≤

,BB

2112 11 2 2

A A B B aA B b aA B b

S SS= −

Рис. 114

Рис. 112

Рис. 113