Салимов Р.Б. Математика (для студентов бакалавриата)

Подождите немного. Документ загружается.

191

cos

dx tgx C

= +

∫

10.

arctgx C

= +

∫

Покажем, например, справедливость формулы 2. В самом деле, например,

для имеем поэтому

§ 2. Свойства неопределённого интеграла

Из формулы (2), т. е. из определения неопределённого интеграла, вытека-

ют следующие утверждения.

• Производная от неопределённого интеграла равна подинтегральной

функции, т. е.

(3)

Действительно,

( )

( ) ( )

fxdx Fx C Fx fx

′

= += =

∫

• Дифференциал от неопределённого интеграла равен подинтегральному

выражению, т. е.

(4)

Убедимся в этом:

( )

( ) ( )

() .

d f x dx d F x C F x C dx F x dx f x dx

′

= += + = =

∫

• Неопределённый интеграл от дифференциала некоторой функции ра-

вен сумме этой функции и произвольной постоянной:

( ) ( )

.dFx Fx C= +

∫

(5)

Справедливость этой формулы становится ясной после того, как мы, учи-

тывая, что запишем ее в виде

( )

.Fx C= +

Из (5) в

случае, когда есть получим

.dx x C= +

∫

• Неопределённый интеграл от алгебраической суммы конечного числа

функций равен алгебраической сумме неопределённых интегралов от слагае-

мых функций. Например, для двух функций

[() ()] () () .f x x dx f x dx x dx

ϕϕ

+= +

∫ ∫∫

(6)

0x <

|| ,xx= −

( ) ( )

( )

ln | | ln .

xx x

′

′′

= − =−− =

( )

.fxdx fx

′

∫

( ) ( )

.d f x dx f x dx=

∫

( ) ( )

,dF x F x dx

′

( )

F x dx

′

∫

( )

5354.ru

192

Для доказательства этого свойства запишем производную левой части

этой формулы. Согласно формуле (3) будем иметь

( )

).()()]()([ xxfdxxxf

ϕϕ

′

∫

(7)

Теперь запишем производную правой части формулы (6), учитывая формулу

(3), а также принимая во внимание, что производная от суммы равна сумме

производных:

( ) (

) ( )

).()()()()()( xxfdx

xdxxfdxxdxxf

xxx

ϕϕϕ

′

∫∫∫ ∫

Сравнив последнее выражение с формулой (7), заключаем, что левая и правая

части формулы (6) имеют одну производную. По доказанной выше теореме 1

имеем, что разность этих частей есть константа, следовательно, левая часть

формулы (6) отличается от правой на постоянное слагаемое. В этом смысле и

понимается равенство (6), как и любое другое равенство, связывающее не-

определённые интегралы.

• Постоянный множитель можно вынести за знак неопределённого инте-

грала, т. е. если то

∫ ∫

= .)()( dxxfAdxxAf

Доказательство проведите самостоятельно аналогично предыдущему.

• Если

( ) ( )

,f x dx F x C= +

∫

то справедливо соотношение

( ) ( )

,f U dU F U C= +

∫

где есть дифференцируемая функция с непре-

рывной производной

Доказательство. Нам дано, что

( ) ( )

,f x dx F x C= +

∫

т. е. согласно (2)

Отметим, что Нужно доказать, что

( ) ( )

,f U dU F U C= +

∫

т. е. что

( )

FxC

= +





или

( ) ( ) (

)

.f x x dx F x C

ϕϕ ϕ

′

= +

 

 

∫

(8)

Это соотношение имеет место согласно (2). Действительно, так как

то эта производная равна подинтегральной

функции формулы (8).

Таким образом, формулы интегрирования остаются справедливыми и то-

гда, когда переменная интегрирования не является независимой переменной,

а является дифференцируемой функцией. Этот факт используется при инте-

грировании для того, чтобы рассматриваемые интегралы привести к извест-

ным.

const,A =

( )

′

( ) ( )

.Fx fx

′

( ) ( )

.FU fU

′

( ) ( )

[]f xd x

ϕϕ

∫

( )

[]

F x FU

′

′′

=⋅=

( ) ( )

[] ,fx x

ϕϕ

′

193

Например, возьмём интеграл Поскольку то

исходный интеграл можно записать так:

( )

22 2

xx x

xedx edx e C= = +

∫∫

здесь =

Теперь вычислим интеграл Умножим и поделим этот интеграл

на 2: Учтём, что поэтому

§ 3. Замена переменной в неопределённом интеграле

Дан интеграл который непосредственно не вычисляется. Пере-

менную интегрирования заменим по формуле где – дифферен-

цируемая функция, имеющая непрерывную производную. Пусть

( )

t tx=

есть

функция, обратная к при этом

(9)

Тогда справедлива формула замены переменной в неопределённом интеграле:

( ) ( ) ( )

[] ,

f x dx f t t dt

ϕϕ

′

∫∫

( ).t tx=

(10)

Докажем это утверждение. Производная левой части формулы (10) равна

Запишем производную по от правой части, которая явля-

ется функцией от поскольку В результате по формуле для произ-

водной сложной функции с учетом (9) имеем

( ) ( )

( )

( ) ( )

( )

( ) ( )

[] [] []

[] .

ft tdt ft tdttft tt

f t fx

ϕϕ ϕϕ ϕϕ

′′

′ ′′

= = =

= =

∫∫

Итак, производная от правой части формулы (10) равна производной по

от ее левой части, следовательно, эти части отличаются лишь на постоянное

слагаемое, что и требовалось доказать.

Пример. Вычислить интеграл

Избавимся от корня, для этого сделаем замену Тогда и

исходный интеграл примет вид Выра-

зим через косинус двойного угла, получим

xe dx

∫

( ) ( )

2,d x x dx xdx

′

= =

cos(2 ) .x dx

∫

cos(2 ) (1/ 2) 2cos(2 ) .x dx x dx=

∫∫

( )

(2 ) 2 2 ,d x x dx dx

′

= =

( )

cos(2 ) (1/ 2) cos(2 ) 2xdx xd x= =

∫∫

(1/ 2)sin 2 .xc+

( )

,f x dx

∫

( )

,xt

( )

,xt

( )

′′

( )

.fxdx fx

′

∫

( )

.t tx=

1.x dx−

∫

sin .xt=

cosdx tdt=

1 x dx−=

∫

1 sin cos cos .t tdt tdt=−=

∫∫

cos t

5354.ru

194

1 cos2 1 1 1 1

cos cos2 sin 2 .

2 2 2 24

tdt dt dt tdt t t C

= =+ =++

∫ ∫ ∫∫

Подставив это выражение в предыдущую формулу, будем иметь

( ) ( )

1 1/2 1/4 sin2 ,x dx t t C−= + +

∫

где согласно замене .

§ 4. Интегрирование по частям

Даны две функции и которые имеют непрерывные про-

изводные Мы знаем, что производная произведения равна

'' '

()

xx x

UV U V UV= +

, поэтому

' ''

( ) ( ).

x xx

UV dx U V UV dx= +

∫∫

Справа интеграл от суммы равен сумме интегралов слагаемых, следователь-

но,

'' '

() .

xx x

UV dx U Vdx UV dx= +

∫ ∫∫

(11)

По определению дифференциала функции имеем

Поэтому формулу (11) можно записать так:

() .d UV VdU UdV= +

∫ ∫∫

(12)

Из формулы (5) следует

( )

,.dUV UV C dV V C⋅ = ⋅+ =+

∫∫

В этих соотношени-

ях константы возьмём равными нулю, учитывая, что равенство (12) выполня-

ется с точностью до постоянного слагаемого. Теперь (12) запишем в виде

(13)

Формула (13) называется формулой интегрирования по частям. Такое

название объясняется тем, что вычисление интеграла левой части при-

водится к нахождению двух интегралов и

Успех интегрирования по частям зависит от того, насколько удачно вы-

браны множители и в подинтегральном выражении левой части. Одна-

ко нельзя указать правила, годные для всех случаев. Отметим только, что

обычно за принимают функцию, которая упрощается при дифференциро-

вании.

arcsintx=

sinxt=

( )

U Ux=

( )

,V Vx=

′

( )

U V dx

′

⋅=

( )

,dUV= ⋅

U dx dU

′

V dx dV

′

.UdV U V VdU= ⋅−

∫∫

UdV

∫

VdU

∫

.dV V=

∫

195

Примеры.

1. Вычислить

Возьмём тогда Отсюда По фор-

муле (13) имеем

xxxxx

xe dx xe e dx xe e C= − = −+

∫∫

2. Вычислить

Возьмём

dV e dx=

тогда По формуле (13)

имеем

22 2

2 2.

x xx xx

x e dx x e xe dx x e xe dx=−=−

∫∫ ∫

Последний интеграл вновь вычис-

ляется интегрированием по частям, его вычислили в предыдущем примере. В

итоге получим

( )

x x xx

xedx xe xe e C= − −+

∫

3. Рассмотрим интеграл Положим тогда

Согласно (13)

cos sin sin

x xx

e xdx e x e xdx= −

∫∫

(14)

Последний интеграл проинтегрируем по частям, положив

Тогда Имеем

Полученное выражение для интеграла левой части подставим в (14). Придём

к соотношению, которое содержит искомый интеграл в обеих своих частях:

cos sin cos cos .

x xx x

exdxexexexdx

=+−

∫∫

Отсюда

2 cos sin cos .

x xx

exdxexexC=++

∫

§ 5. Интегрирование простейших рациональных дробей

Простейшими рациональными дробями называются дроби следующего

вида:

I. II. III. IV.

Здесь все величины, кроме суть постоянные действительные числа, – це-

лое число, Будем считать, что не имеет действительных кор-

ней, т. е. не разлагается на произведение линейных множителей. Это утвер-

ждение имеет место, когда Обозначим

/4m qp= −

. Вычислим ин-

тегралы от указанных дробей.

xe dx

∫

,Ux=

dV e dx=

dU U dx dx

′

= =

V e dx e

= =

∫

x e dx

∫

,Ux=

2,dU xdx=

V e dx e= =

∫

cos .

e xdx

∫

Ue=

cos ,dV xdx=

dU e dx=

cos sin .V xdx x= =

∫

, sin .

U e dV xdx= =

dU e dx=

sin cos .V dx x= = −

∫

( )

sin cos cos .

x xx

e xdx e x e x dx=− −−

∫∫

;

xa−

( )

;

xa−

;

Ax B

x px q

( )

Ax B

x px q

2.k ≥

x px q++

4 0.

−<

5354.ru

196

I. За знак интеграла вынесем постоянный множитель , учтём,

что

( ) ( )

d x a x a dx dx

′

−=− =

и будем иметь

( )

ln | | .

dx a

dx A A x a C

xa xa

−

= =⋅ −+

−−

∫∫

II. Совершенно аналогично вычисляется интеграл от дроби II:

()

−+

−

−+

Прежде чем вычислить интеграл от третьей дроби, рассмотрим интеграл

2 21

( ),J t m dt

−

= +

∫

где – введённая ранее величина. Здесь вынесем за

скобки, затем одну степень вынесем за знак интеграла, а другую отнесём к

дифференциалу , учитывая, что

(/)(/) (1/).

d t m t m dt m dt

′

= =

Таким образом,

получим

( )

dtm

dt t

J arctg C

tm m m m

= = = +

∫∫

(15)

III. Интеграл от третьей дроби обозначим Запишем сна-

чала дифференциал знаменателя, получим

Учитывая, что в числителе подынтегрального выражения стоит двучлен, со-

держащий постараемся в числителе образовать дифференциал знаменателя

подынтегрального выражения, т. е. С этой целью в числителе выне-

сем за скобки после этого интеграл умножим и разделим на 2. Двойку в

числителе внесём под знак интеграла. Далее в числителе прибавим и вычтем

В результате получим

( /2)(2 ) /2

Ax B A x p B Ap

M dx dx

x px q x px q

+ + +−

= =

++ ++

∫∫

Дробь под знаком интеграла запишем в виде суммы двух дробей и интеграл

представим в виде суммы интегралов от этих дробей. Тогда

( /2) ( /2) .

x p dx

M A dx B Ap

x px q x px q

= +−

++ ++

∫∫

xa−

∫

( )

( ) ( )

dx Axa dxa

−

= − −=

−

∫∫

Ax B

M dx

x px q

∫

( ) ( )

( )

d x px q x px q dx x p dx

′

++= ++ = +

( )

2.x p dx+

197

Во втором интеграле в знаменателе выделим полный квадрат членов суммы и

получим

Теперь примет вид

2 22

()

( /2) ( /2) .

( /2) /4

d x px q dx

M A B Ap

x px q x p q p

= +−

+ + + +−

∫∫

Первый интеграл равен логарифму знаменателя. Во втором интеграле сделаем

замену

2,xp t+=

тогда поэтому Кроме того, учтём, что

Итак, получим

( /2)ln( ) ( /2) .

A x px q B Ap

= + ++ −

∫

(16)

Последний интеграл в соотношении (16) есть интеграл и он вычисляется

по формуле (15). Здесь мы должны учесть, что

/2.txp= +

IV. Интеграл от четвёртой дроби обозначим Поступая аналогично

предыдущему случаю, будем иметь

( )

Ax B

M dx

x px q

= =

∫

()

( /2) ( /2) .

1 ()

x px q dt

A B Ap

k tm

−+

= +−

−+ +

∫

(17)

Таким образом, вычисление интеграла приводится к вычислению инте-

грала

Умножим и разделим этот интеграл на Далее в числителе внесём

под знак интеграла. После этого в числителе прибавим и вычтем Подинте-

гральное выражение запишем как разность двух дробей и интеграл в виде

разности интегралов от этих двух дробей:

(18)

22 .

2 22424

p ppppp

xxqxx q x q

  

+ += + + +− = + +−

  

  

2,xtp= −

.dx dt=

4.m qp= −

Ax B

M dx

x px q

= =

∫

( )

J t m dt

−

= +

∫

( ) ( )

222 2222

J m t m dt m t t m dt

−−

=+− +

∫∫

5354.ru

198

Первый интеграл правой части (18) равен Второй интеграл в (18)

проинтегрируем по частям, полагая

22 22

1( )

()2()

t dt m

dV dt

tm tm

= =

При

этом

Поэтому

( )

222 22

2 1 2( 1)

t t m dt t m dt

−+

− −+

+=⋅ − +

−+ −+

∫∫

интеграл в правой части равен

−

Окончательно выражение (18) примет вид

( )

2 22

J t m dt J

mk t m

−

=+= +

−

−+

∫

(19)

Эта формула называется рекуррентной. Заменив в (19) на , выразим

через Заменив на , выразим через и т. д. Наконец, выра-

зим через Но вычисляется по формуле (15), следовательно, найдём

затем Подставив в (17), найдём , учитывая, что

§ 6. Разложение многочлена на множители

Функция вида

(20)

называется многочленом или полиномом степени

– целое положительное

число. Числа являются коэффициентами многочлена, их будем

считать действительными числами. Число при котором многочлен об-

ращается в нуль , называется корнем многочлена.

Нетрудно проверить, что если комплексное число ( – действи-

тельные числа) является корнем многочлена с действительными коэффициен-

тами, то сопряжённое число также будет корнем этого многочлена. Так

что в случае многочлена с действительными коэффициентами комплексные

корни являются парными (комплексно сопряжёнными). Согласно основной

теореме алгебры всякий многочлен степени имеет корней, которые могут

быть действительными или комплексными. Отсюда следует, что любой мно-

−

,Ut=

( ) ( )

( )

22 22

(1/ 2) .

2 ( 1)

V tm dtm

−+

−

= + +=⋅

−+

∫

1k −

−

2k −

−

,,.

JJ

2.txp= +

( )

01 1

f x Ax Ax A x A

−

= + ++ +

,,,

AA A

,xa=

( )

( 0)fa=

αβ

−

199

гочлен степени вида (20) может быть разложен на произведение линейных

двучленов и квадратных трёхчленов

( ) ( )( )

( )( )

f x A x a x b x mx n x px q

= − − ++ ++



(21)

В этой формуле все величины в правой части кроме есть действительные

числа, – целые положительные числа. Представленные в (21) квадрат-

ные трёхчлены не разлагаются на линейные множители. Это означает, что

указанные квадратные трёхчлены имеют комплексные корни. Считается, что

квадратные трёхчлены, которые можно разложить на линейные двучлены,

уже разложены. Кроме того, предполагается, что в правой части (21) нет оди-

наковых множителей, т. е. предполагается, что все одинаковые множители

уже объединены в степени. Множителю отвечает простой действи-

тельный корень многочлена (21). Множителю

( )

xb−

– кратный корень

кратности многочлена. Множителю отвечает простая пара

комплексно сопряжённых корней многочлена, а множителю – па-

ра комплексно сопряжённых корней кратности В дальнейшем будем счи-

тать, что корни многочлена следовательно, и представление (21) из-

вестны.

§ 7. Разложение правильной рациональной дроби

на простейшие дроби

Рациональной называется функция, представляющая собой отношение

двух многочленов

(22)

Если

,mn<

то дробь (22) называется правильной рациональной дробью.

Если то дробь (22) называется неправильной дробью.

Всякую неправильную рациональную дробь путём деления числителя на

знаменатель по правилу деления многочленов можно представить в виде

суммы некоторого многочлена и правильной рациональной дроби, т. е.

где – многочлен, – правильная

рациональная дробь.

, ,...s

( )

xa−

xa=

xb=

( )

x mx n++

( )

x px q

( )

,fx

( )

01 1

Bx Bx B x B

f x Ax Ax A x A

−

+ ++ +



,mn≥

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

/ /,Qx fx Mx Fx fx= +

( )

( ) ( )

/Fx fx

5354.ru

200

Разложим знаменатель на множители по формуле (21), в которой

всюду в дальнейшем будем считать, что получим

(23)

Заметим, что если , то заданную дробь нужно преобразовать,

поделив и числитель, и знаменатель на .

Без доказательства запишем следующее утверждение.

Если знаменатель дроби представлен по формуле (23), то правильную

дробь можно разложить на сумму простейших дробей:

(24)

Здесь

,,,ABB

– неопределённые постоянные, их нужно найти. Из (24)

видно, что простому корню знаменателя в этой формуле отвечает одна

дробь, а простой паре комплексно сопряжённых корней знаменателя (корней

множителя ) – тоже одна дробь Корням крат-

ности или знаменателя в разложении (24) отвечает сумма соответственно

и простейших дробей. Выражение в правой части (24) приведём к обще-

му знаменателю (ясно, что он равен ), тогда будем иметь

( ) ( ) ( ) ( )

/ /.Fx fx x fx= Φ

(25)

Очевидно, что представляет собой многочлен, который получается по-

сле объединения членов, содержащих одинаковые степени при приведении

к общему знаменателю правой части (24). Из (25) следует

(26)

Здесь – заданный многочлен, – многочлен, коэффициенты которо-

го содержат искомые коэффициенты. Соотношение (24) является тожде-

ственным, т. е. выполняется при всех Соотношение (25), а потому и (26)

являются также тождественными и выполняются при всех Так как соотно-

шение (26) выполняется для всех

, то коэффициенты многочленов

(), ()Fx xΦ

при одинаковых степенях

равны, в чем легко убедиться, подста-

вив значение

0x =

в (26) и в соотношения, получаемые из последнего после-

( )

1,A =

( ) ( )( )

( )( )

f x x a x b x mx n x px q

=− − ++ ++

1A ≠

( ) ( )

Fx fx

( ) ( )

Fx fx

( )

11 22

... ...

A B B B Mx N

fx xa xb

x mx n

xb xb

Px Q

PxQ PxQ

x px q

x px q x px q

µµ

= + + ++ ++ +

−−

+ + ++ +

++ ++

xa=

x mx n++

( )

.Mx N x mx n+ ++

( )

xΦ

( ) ( )

.Fx x= Φ

( )

xΦ