Рубин А.Б., Пытьева Н.Ф., Ризниченко Г.Ю. Кинетика биологических процессов

Подождите немного. Документ загружается.

ная

система (III.7—13) может быть неустойчива

очень широком

диапазоне параметров

xi и х

Посмотрим

теперь, каков смысл (кинетическая реализация)

тех значений параметров

хь х

, при

которых система (III.7—14)

неустойчива.

квадрант параметрической плоскости:

xi>0; х

>0. Неравен-

ство

xi>0

означает,

что в

системе реакций (III.7—12) имеет место

продуктная активация фермента

Е\, т. е.

увеличение концентрации

конечного

продукта

сопровождается увеличением скорости

клю-

чевой реакции. Второе неравенство

реализуется

во

всех

слу-

чаях, если процесс утилизации

не

угнетается этим веществом.

квадрант:

xi>0, x

<0.

Неравенство

реализуется лишь

в том

случае, когда конечный

продукт потребляется

ферментативной реакции

субстратным

угнетением.

III

квадрант:

Xi<0;

<0.

Отрицательность

означает,

что

фермент ключевой реакции

угнетается конечным продуктом. Смысл

см.

выше.

квадрант:

xi<0; х

>0.

Суть обоих неравенств ясна

из

предыдущего. Этот случай пред-

ставляет наибольший интерес.

Посмотрим

теперь, каковы интервалы наиболее вероятных

близких

действительности значений параметров

xi, х

. Из

рабо-

ты Селькова

(1967а)

величина

х, = ( —\ -

взависимостн

•

\ дх„

)

п=-

от характера влияния конечного продукта

на

скорость начальной

стадии может принимать любые значения

на

бесконечном интер-

вале —oo<xi<

oo.

При

этом отрицательным величинам

у,\

соот-

ветствует

случай продуктного угнетения ключевой реакции,

положительным

—

активация продуктом. Следует отметить,

что

неограниченно

большие значения

|xi|-»-oo

возможны только

в том

случае, когда

эта же

реакция угнетается избытком субстрата

Параметр

к,

= (——) _ в

отличие

от у

определен

на ко-

дх

нечном

интервале

%л

min "С %н <С К

max,

поскольку

сродство субстрата

ферменту, определяющее

х,

1Ш

ах-

сродство субстрата

фермент-субстратному комплексу, опреде-

ляющее величину —Хнтт,

не

могут

быть бесконечными. Однако

часто угнетение субстратом выражено

не

слишком сильно,

и слу-

чаи,

которых Хнтт>1, маловероятны. Таким образом,

будем

счи-

тать областью определения параметра

характеризующего

ско-

рость потребления конечного продукта

интервал

—

1<х

Каковы

же

динамические режимы системы (III.7—12)

в ука-

занной

области значений параметров

хь х

? Из рис.

(III.32,

/1)

можно

видеть,

что при

xi<0,

что

соответствует случаю продукт-

251

"в

ного угнетения ключевой реакции, — 1<х

<Интах и н = 2 лине-

аризованная

система (III.7—14) устойчива (в этой области пара-

метров "/.

и при гс=2 особые точки системы (III.7—14) имеют

характер устойчивого

узла

или фокуса). Увеличение числа проме-

жуточных стадий в системе гс = 3, 4... приводит к появлению в

IV квадранте плоскости параметров у.

области колебательной

неустойчивости (особых точек типа неустойчивого фокуса)

(рис.

111.32,

Б, В, Г, область 5). Из сравнения рис.

111.32,

Б, В, Г

видно,

что область колебательной неустойчивости системы

Рис.

II 1.33. Результаты вычислитель-

ных экспериментов:

выход

на коле-

бательный режим в системе (III.7—13)

при

а =

6,725;

р = 0,56; /1 = 6; началь-

ные условия

соответствуют

неустой-

чивому стационарному состоянию

Xi = х

= х

=Xi = х-

= 0,56; х

=0,\ 17

20 W 60 SO

100

(III.7—14) тем шире, чем больше п — число промежуточных ста-

дий в системе.

Итак,

исследование системы (III.7—13) по первому приближе-

нию

показало, что в системе ферментативных реакций с обратной

связью возможно существование достаточно обширных областей

неустойчивости. Однако анализ линейной модели (III.7—14) не

позволяет однозначно судить о характере поведения исходной си-

стемы (III.7—13) при значительном отклонении от стационарного

состояния.

Поэтому для определения характера движения систе-

мы вдали от положений равновесия были использованы методы

численного решения систем нелинейных дифференциальных урав-

нений

с помощью ЭВМ. Результаты вычислительных эксперимен-

тов показали, что выделенные посредством первого приближения

области неустойчивости являются областями автоколебательных

режимов (в том случае, когда системы типа (III.7—13) имеют

единственное стационарное состояние в области допустимых зна-

чений

переменных). На рис. III.33 показаны колебания концентра-

ций

конечного продукта в системе рассматриваемого типа при

п = 6.

Мы

рассмотрели еще один достаточно широкий класс фермен-

тативных систем, в которых возможно существование автоколеба-

тельных изменений концентраций реагентов. На основании резуль-

татов исследований, с которыми мы познакомились в настоящей

главе, были существенно дополнены исходные представления о

том, какова природа и возможная организация биохимических

генераторов автоколебаний. Теперь мы не только знаем то, что

существование автоколебательных режимов возможно лишь в от-

крытых и нелинейных ферментативных системах, но располагаем

252

вполне определенной информацией о том, какова должна быть

природа нелинейности (т. е. каков характер взаимодействия ком-

понентов

системы), порождающей концентрационные автоколе-

бания.

Как

мы уже отмечали в начале этой главы, систематическому

исследованию условий возникновения периодических колебаний в

системе биохимических реакций посвящен ряд работ Хиггинса

(Higgins, 1964, 1967). На основании такого исследования Хиггинс

сформулировал ряд требований, которым должна удовлетворять

химическая система, для того чтобы в ней могли возникнуть авто-

колебания.

Пусть имеется некоторая последовательность реакций, которую

целом можно представить в виде схемы

Результирующие скорости образования реагентов А я В равны со-

ответственно

Согласно исследованиям Хиггинса, изменение концентраций

веществ А я В может носить колебательный характер, если одно-

временно выполняются следующие условия.

1. Один из реагентов (А, В) должен ускорять собственное обра-

зование.

Это означает, что либо накопление А должно приводить

увеличению V\ или уменьшению у

, либо накопление В должно

приводить к увеличению у

или уменьшению v

2. Другой реагент должен подавлять собственное образование.

Это означает, что если накопление А вызывает увеличение V\ или

снижение

, то накопление В должно вызывать соответственно

уменьшение v

или увеличение о

и наоборот.

3. Должны существовать перекрестные взаимодействия реаген-

тов противоположного характера. Накопление В должно вызывать

увеличение Vi или снижение о

, а накопление А — снижение v

или

увеличение и

наоборот.

В следующей главе мы рассмотрим пример такой системы, ис-

пользованной

Хиггинсом (Higgins, 1967), для объяснения концен-

трационных колебаний в гликолизе.

В заключение

следует

отметить, что ни одно из перечисленных

требований, взятое в отдельности, не является необходимым для

возникновения

автоколебаний (Сельков, 1967а).

Действительно, как ясно из предыдущего изложения, колеба-

ния

могут

возникать, например, в системах, содержащих только

продуктное угнетение.

253

Глава

КОНЦЕНТРАЦИОННЫЕ

КОЛЕБАНИЯ

ГЛИКОЛИЗЕ

Как

стало ясно из предыдущего изложения, во многих биохи-

мических системах при определенных условиях

могут

возникать

колебания

концентраций реагентов. Классическим примером коле-

бательной биохимической системы является гликолитическая цепь.

Прежде чем перейти к математическому моделированию перио-

дических явлений в гликолизе, остановимся кратко на том, что

такое гликолиз и каково его назначение в клетке.

Гликолиз — один из древнейших путей метаболизма клетки,

возникший

на ранних стадиях эволюции. В процессе гликолиза

осуществляется распад глюкозы и

других

Сахаров, при этом соеди-

нения,

содержащие 6 молекул

углерода,

превращаются в так на-

зываемые трикарбоновые кислоты, включающие три молекулы

углерода.

За счет избытка свободной энергии, которым обладают

сахара по сравнению с трикарбоновыми кислотами, в процессе

гликолиза в клетке образуется АТФ. При этом на одну молекулу

шестиуглеродного сахара образуется лишь 2 молекулы АТФ, в то

время как в процессе дыхания то же количество органических

веществ

дает

38 молекул АТФ. Это означает, что к. п. д. гликолиза

почти в двадцать раз меньше к. п. д. дыхательной цепи. Это и по-

нятно:

продукты гликолиза, в отличие от дыхания, еще очень не-

доокислены.

Несмотря

на столь низкую эффективность, гликолиз выжил в

процессе эволюции и до сих пор играет большую роль в метабо-

лизме клетки, например, у микроорганизмов. Многие способные

окислительному фосфорилированию бактерии, попадая в ана-

эробные

условия, переключаются на гликолиз, который в этом

случае

является практически единственным источником свободной

энергии.

В кислородной атмосфере, когда идет интенсивное

дыха-

ние,

гликолиз подавляется.

Гликолитический аппарат сохранился и в клетках высших орга-

низмов,

в том числе млекопитающих. Интенсивный гликолиз

осуществляется, например, в сердечных мышцах. Роль гликолиза

повышается, если происходит быстрый рост и размножение клеток,

когда возникает потребность не только в энергии, но и в строи-

тельных материалах, которыми

могут

служить продукты глико-

лиза.

Гликолитический путь клетки изучен достаточно хорошо, лучше

других

метаболических систем. Сравнительно давно обнаружены

периодические изменения концентраций гликолитических метабо-

литов. Вместе с тем механизмы генерации таких колебаний еще

недостаточно изучены. Не вполне

ясно,

играют ли присущие глп-

254

колизу ритмы важную и полезную роль и не являются ли они

нежелательным следствием «ненормальных», исключительных

условий. Для выяснения этого вопроса целесообразно привлечение

теоретических методов. Исследования такого рода не только слу-

жат средством изучения механизмов регуляции внутриклеточных

процессов,

но представляют большой самостоятельный интерес.

О существовании биохимического генератора колебаний интен-

сивности

гликолиза свидетельствует большое число объективных

экспериментальных данных. Хорошо изучены колебания концен-

траций

фруктозо-6-фосфата, фруктозо-1,6-фосфата и восстановлен-

ного НАД, возникающие в суспензии дрожжевых клеток при пере-

ходе

от аэробных условий к анаэробным (Duysens,

Amesz,

1957;

Ghosh,

Chance, 1964). Затухающие колебания гликолитических

метаболитов показаны на рис.

III.22,

взятом из работы (Betz,

Chance,

1965). Аналогичные явления зарегистрированы рядом

авторов и в бесклеточных экстрактах (рис.

111.23,

Chance, et al.,

1964; Frenkel, 1965). В последующих работах были найдены усло-

вия,

при которых колебания интенсивности гликолиза становились

незатухающими (рис.

III.24).

самого начала решающая роль в генерации наблюдаемых

колебаний

была приписана ключевому ферменту гликолитическо-

го пути — фосфофруктокиназе

(ФФК).

Установлено, что актив-

ность этого фермента зависит от многих эффекторов. Так, напри-

мер,

АДФ и АМФ активируют его, а АТФ

угнетает.

Продукт этой

реакции

ФДФ также может активировать катализирующий ее фер-

мент. Поскольку наличие такого рода обратной связи способствует

возникновению

автоколебательных режимов, способность фосфо-

фруктокиназы

активироваться своими продуктами была использо-

вана при построении моделей гликолитических колебаний.

Построение

математических моделей гликолитической цепи,

включающей свыше 20 промежуточных стадий, облегчается суще-

ствованием нескольких узких мест, которые и определяют кинетику

процесса. В качестве примера рассмотрим систему кинетических

уравнений, предложенную Хиггинсом (Higgins, 1964, 1967).

Автор

этой модели предположил, что основным фактором, оп-

ределяющим скорость рассматриваемого процесса, является ли-

нейная

активация ФФК фруктозодифосфатом. При этом он пре-

небрег влиянием АДФ на скорость ФФК-реакции и допустил, что

условиях, когда наблюдаются колебания, активность ФФК не

зависит от концентрации АТФ. С помощью таких допущений

схему

рассматриваемого ферментативного процесса можно представить

следующем весьма упрощенном виде:

_ act

£.< 1 Е

[Гл]->Ф6Ф->.ФОФ-н>-.

(III. 8—1)

2 3

Здесь [Гл]—глюкоза; Ф6Ф (фруктозо-6-фосфат) —

субстрат

ключевой реакции, катализируемой ферментом Е\

(ФФК);

ФДФ —

255

продукт этой реакции, который является субстратом

следующей

стадии, катализируемой ферментом

Обратной стрелкой пока-

зано влияние промежуточного продукта ФДФ

на

активность

клю-

чевого фермента

Е\.

Введем следующие обозначения:

—

скорость поступления субстрата

Ф6Ф в

сферу рассматри-

ваемой реакции,

—

скорость преобразования Ф6Ф

продукт ФДФ,

—

скорость расхода ФДФ

следующей стадии.

Для простоты рассматриваемые реакции

будем

считать необра-

тимыми.

принятых обозначениях уравнения

для

медленных пере-

менных (концентраций субстрата

Ф6Ф и

продукта ФДФ) имеют

вид

—

= v

—

v,~X(x, у),

(III.

8—2)

*=Y(x,y),

где

—

квазистационарная скорость ключевой ферментативной

реакции,

х, у —

концентрации субстрата

Ф6Ф и

продукта

ФДФ

соответственно.

Конкретизируем

вид

функций

и i>

Следуя Хиггинсу

(Higgins, 1967), примем,

что

субстрат

Ф6Ф

поступает

сферу

реакции

постоянной скоростью

= k.

(III.

8—За)

i*2, квазистационарная скорость реакции, определяется

= х . S. (Ш. 8-36)

Х Ку

где

к —

максимальная скорость рассматриваемой реакции

при пол-

ном

насыщении субстратом.

—

константа Михаэлиса,

харак-

теризует продуктную активацию ключевой реакции.

Скорость утилизации продукта определяется медленной

и не-

обратимой реакцией, катализируемой ферментом пируваткиназой

(ПК).

Скорость убыли

можно записать

виде

= q^ .

(III.

8—Зв)

учетом (III.8—3) система кинетических уравнений (III.8—2)

принимает

вид

у х у

~аГ~ ~~

~х Ку-гу '

(III.

8-4)

х у у

Л-х

Ку

К +

256

Авторы

(Романовский, Степанова, Чернявский,

1971)

исследо-

вали модель

(III.8—4),

предложенную Хиггинсом,

при

условии

К.

^>х,

Ку^>У-

Система кинетических уравнений приобретает

при

этом совсем простой

вид

dx ,

k — к xii,

(III.

8—5)

x xy — q

y q .

dt \--y!K

Здесь

x' = —^—, q' = q:K.

Напомним,

что константы в уравнениях (III.8—5) пропорцио-

нальны

концентрациям соответствующих ферментов, k пропорцио-

нальна

содержанию глюкозы, х' — содержанию ФФК и q' — содер-

жанию ПК-

Для

удобства

исследования модели введем безразмерные пере-

менные

х' = х/х, y'=yly, где х и у — стационарные концентрации:

у = ^—; х - —^- =

>«

(III. 8-6)

q' — k/K x'y "

Безразмерное время /' удобно ввести по формуле

t'=.tji, (III. 8-7)

где

, и' у ~л k

Тогда (III.

8—5)

перепишем

виде

dt' \ 1 +

где

у k

(III. 8-8)

На

рисунке

111.34

изображен фазовый портрет системы

(III.8—8)

и главные изоклины, имеющие очень простой вид. Изо-

клиной

вертикальных касательных (кривая I) является гипербола

~ г

Зак

257

а изоклинами горизонтальных касательных — гипербола

-- г

х =

(кривая

II) и

линия

г/' = 0.

1 -г Ы

Рис.

III.34. Фазовый портрет колебаний в модели

гликолиза (Романовский, Степанова. Чернавский,

1971)

Путем линеаризации системы (III.8—8) можно легко исследо-

вать характер устойчивости особой точки 0. Корни характеристи-

ческого уравнения определяются выражением

, 1 / . аг \ 1 - / i

1,2 = —|1_

4а

из

которого видно, что при

4а

аг

1 +г

(III. 8-9)

, имеет место

-г г \ 1-f

особая точка типа фокус. Если при этом

аг/1+г<1,

фокус устой-

чивый;

если

аг/1+г>1,

фокус неустойчив. В этом

случае

вблизи

особой точки может существовать предельный цикл. (рис.

III.34).

Значение

параметра аг/1

-+-г

= 1 является бифуркационным. Оно

отделяет

область значений параметров системы, при которых в си-

стеме возможны только

затухающие

колебания, от той наиболее

для нас интересной области, в которой возможны автоколебания.

Вблизи точки бифуркации, при

—

<f ] частота колеба-

нии

определяется мнимой

частью

характеристического корня и.

следовательно, равна

258

Безразмерный

период колебаний, соответственно,

будет

Г =

2я

2л

1 —г

Итак,

выполненное исследование позволяет сделать следующие

выводы. Первый и самый важный состоит в том, что система

(III.8—5)

действительно описывает возникновение автоколебатель-

ного режима при определенных условиях. Увеличение параметра а

способствует возникновению автоколебаний, уменьшение а спо-

собствует

затуханию. Обращаясь к выражению для а и формуле

(III.8—9),

можно видеть, что уменьшение %' и скорости притока

должно вызывать самовозбуждение колебаний. К такому же

эффекту

может приводить увеличение q' (добавка ПК). Эти ре-

зультаты модельного исследования частично подтверждаются экс-

периментально.

Замена глюкозы другим сахаром (соответствую-

щая

уменьшению k) и понижение скорости подачи глюкозы дей-

ствительно приводили к появлению автоколебаний.

Рис.

111.35.

Рассчитанная с по-

мощью ЭВМ кинетика измене-

ния

во времени концентраций

ФДФ и Ф6Ф и фазовый порт-

рет модели гликолиза (III.8—4)

при различных значениях кон-

стант скоростей (Higgins, il967):

— бесколебательная кинети-

ка;

5 — затухающие колеба-

ния;

В — почти синусоидаль-

ные

колебания; Г — нелиней-

ные

колебания

;

! I

-FDP

ТВ

Р-

' ": 1

. !

Зремя

Второй вывод состоит в том, что величины х' и у' колеблются

почти в протнвофазе. Этот вывод

следует

непосредственно из фор-

мы цикла (рис.

III.34).

Этот факт также соответствует опытным

данным.

аналогичным выводам приводит исследование модели

(III.8—4),

в более общем

случае

выполненное Хиггинсом

Qt/ *

259

gins,

1967).

На рис.

III.35 приведены некоторые результаты этого

исследования, полученные

помощью вычислительной техники.

Альтернативная модель гликолитических колебаний была пред-

ложена Сельковым,

которой предполагается более высокий

по-

рядок

активации

ФФК

(Сельков, 1968).

модели Селькова фигу-

рирует зависимость типа

и-

— Я . ,

-г

-- if

при

определенных значениях параметров может существовать

автоколебательный режим.

Этот

же

автор показал,

что в тех

условиях эксперимента, когда

наблюдаются колебания,

ФФК не

активируется своими непосред-

ственными

продуктами. Активатором является

при

этом аденозин-

монофосфат,

образующийся

реакции

2АОФ^:АТФ--АМФ.

Считая

АМФ

единственным активатором, Сельков построил

мо-

дель, удовлетворительно описывающую колебания (Сельков,

1971)

При

определенных значениях параметров модель

дает

релаксаци-

онные

колебания, обнаруженные

экспериментах (релаксацион-

ные

колебания подробно описаны

предыдущей главе

на

примере

реакции

субстратным

продуктным угнетением).

ЛИТЕРАТУРА

ЧАСТИ

III

Бессонов

Л. А.

Основы теории графов.

М.,

Физматгиз,

1964.

р е с л е р С. Е.

Молекулярная биология.

М.,

«Наука»,

1973.

Бресткин

А. П.,

Новикова

Н. В..

Прокофьева

Е. Г.. Р ж е х и-

а Н. И. О

кинетике гидролиза фенилфосфата натрия

под

действием

ще-

лочной фосфатазы.

—

«Биохимия»,

1961, т. 26.

Берж

К.

Теория графов

и ее

применения.

М., ИЛ, 1962.

Волькенштейн

М. В.

Молекулярная биофизика.

М.,

«Наука»,

1975.

В о л ь к е н ш т е й н М. В.,

ГольдштейнБ.

Н. 1.

Применение теории графов

расчету

сложных реакций.

—ДАН

СССР,

1966, т. 170, № 4. 2.

Новый

ме-

тод решения задач стационарной кинетики ферментативных реакций.

—

«Био-

химия»,

1966, т. 31, вып. 3. 3.

Модели аллостерических ферментов

и их

анализ

методом теории графов.

—

«Биохимия»,

1966, т. 31, вып. 4.

Гленсдорф

П.,

Пригожим

И.

Термодинамическая теория структуры,

ус-

тойчивости

флуктуации.

М.,

«Мир»,

11973.

Гуд вин Б.

Временная организация клетки.

М.,

«Мир»,

1966.

а б о т и н с к и й А. М.

Концентрационные автоколебания.

М.,

«Наука»,

1974.

Иерусалимский

Н. Д.,

Неронов

а Н. М.

Количественная зависимость

между

концентрацией продуктов обмена

скоростью роста микроорганиз-

мов.

— ДАН

СССР,

1965, т\ 161, вып. 6.

Кальвин

М.

Современные проблемы биофизики.

М.. ИЛ, 196J.

а м о и л е н к о В. А., С е л ь к о в Е. Е. О

возможности существования колеба-

ний

нескольких альтернативных стационарных состояний

ферментатив-

ной

реакции

субстратным

продуктным угнетением.

—

«Биофизика»,

1972,

т.

17. вып. 5.

Сельков

Е. Е. (а)

Исследование условий возникновения периодических коле-

баний

системах ферментативных реакции

обратной связью.

— В сб.:

Колебательные процессы

биологических

химических системах.

М.,

«Нау-

на».

1967. (б) О

возможности возникновения колебаний

ферментативных

реакциях

субстратным

продуктным угнетением.

Там же.

260