Романов В.Н. Теория измерений. Основы теории точности средств измерений

Таким образом, на выходе нейронной сети (рис.3) имеем q

выходных сигналов (q классов), полученных трехкратным

взвешенным усреднением исходных данных, причем весовые

коэффициенты, а также число нейронов в скрытом слое могут

варьироваться для получения наилучшего совпадения с

известными результатами при тестировании системы и

самообучении. Структура соединения нейронов в нейронной сети

(топология сети) также может варьироваться и быть как

односвязной, так и многосвязной, что позволяет решать широкий

класс задач оптимального выбора.

Так как измерительные системы на нейронных сетях

относятся к классу интеллектуальных СИ, то для них характерны

рассмотренные выше ошибки: ошибка не идеальности

преобразований; ошибка неадекватности модели и ошибка из-за

конечности объема выборки. Не идеальность преобразований

обусловлена отличием реальной функции преобразования (1.3.35)

от идеальной при отсутствии помех; неадекватность модели

связана с отличием реальной модели персептрона от

сигмоидальной, а также отклонением модели коммутации от

линейной. Поскольку для тестирования нейронной сети требуется

большой объем исходных данных (по сравнению с обычным СИ),

то возрастает удельный вес ошибки из-за конечности объема

выборки. Общее соотношение для погрешности преобразования

нейронной сети с учетом погрешности входного сигнала может

быть получено на основе анализа ее структурной схемы (см.

§3.1).

Вопросы, изложенные в этой главе, рассмотрены в [1–4, 16,

17, 22, 26, 27, 35, 40, 42, 43, 44, 49].

2. Естественные пределы измерений

2.1. Область субъективных измерений

Развитие техники измерений позволило создать такие

измерительные установки, которые, с одной стороны, все

меньше ограничены возможностями человеческих органов

чувств, а с другой - являются оптимальными в эргономическом

отношении. Область применения субъективных измерений в

настоящее время значительно сузилась. Например, редко

используется слух для измерений в акустике за исключением

нескольких задач: обнаружение сигнала на фоне помех (звуковая

индикация), оценка качества звучания музыкальных

инструментов, оценка звукового качества помещений. Обоняние

используется при оценке и экспертизе продукции в медицинской,

парфюмерной и пищевой промышленности. Вкус используется в

органолептических измерениях (дегустация и оценка качества

пищевой продукции). Однако зрение все еще играет важную роль

в измерениях, позволяя считывать показания аналоговых

приборов и выполнять целый ряд оптических наблюдений.

Человеческий глаз пока превосходит по чувствительности многие

другие оптические детекторы. Наиболее велика чувствительность

у глаза, адаптированного к темноте (для этого наблюдатель

должен пробыть в темном помещении, по меньшей мере, 30 мин).

Максимальная чувствительность глаза приходится на длину

волны 507 нм. Минимальная порция энергии, которую

воспринимает глаз при этой длине волны, равна 2·10

-18

Дж, что

соответствует примерно пяти квантам света, которые должны по-

пасть на одно и то же место сетчатки за одну миллисекунду.

Эквивалентный по чувствительности фотокатод должен обладать

квантовым выходом около 20 %. Столь высокий квантовый

выход имеют только самые лучшие приборы. Относительная

спектральная чувствительность глаза, а значит, и световое

ощущение, возникающее при одном и том же излучении, сильно

различается у разных людей и зависит от силы света. Поэтому

был принят международный стандарт, который определяет

идеализированную кривую спектральной чувствительности для

усредненного наблюдателя. Эта кривая спектральной

чувствительности V(λ) стандартизована для зрения,

адаптированного к темноте и к свету. Обе функции V(λ)

нормированы в максимуме на 1. Они приведены на рис. 4:

V(λ)

1,0

0,8

2 1

0,6

0,4

0,2

λ, нм

400 500 600 700

Рис. 4. Спектральная чувствительность V(λ) человеческого глаза, адаптированного

к свету (1) и темноте (2).

Для дневного зрения этот максимум приходится на длину волны

примерно λ = 555 нм. Для глаза, привыкшего к темноте, спек-

тральная кривая чувствительности смещена в сторону более

коротких длин волн, а ее форма немного отличается от кривой

V(λ) для дневного зрения. Наименьший угол зрения, под которым

можно уверенно наблюдать мелкие объекты при хорошем кон-

трасте изображения, зависит от структуры сетчатки глаза и

составляет примерно 2,9·10

-4

рад (1 угловая минута).

2.2. Принцип неопределенности Гейзенберга и ограничения

на точность измерений

Принцип неопределенности, сформулированный В.

Гейзенбергом в 1927 г., накладывает фундаментальные

ограничения на предельную точность, с которой можно

определить динамические переменные микроскопической

системы. Утверждается, что отдельная величина может быть

определена в принципе с любой степенью точности, однако две

величины, квантово-механические операторы которых не комму-

тируют, нельзя одновременно определить сколь угодно точно.

Это ограничение имеет принципиальный характер. Его причины

подробно обсуждаются в учебниках квантовой механики (см.,

например, [37]). При измерениях в микроскопических масштабах

даже самая совершенная и точная аппаратура будет давать

результаты, которые имеют принципиально статистическую

природу. Повторение измерений в одних и тех же условиях будет

давать разные значения измеряемой величины, причем каждое

значение будет появляться с той или иной вероятностью,

зависящей от способа измерения. Сам процесс измерения

возмущает физическую систему таким образом, что

одновременно определить две сопряженные переменные можно

лишь с конечной точностью, которая задается соответствующим

соотношением неопределенностей. Мерой разброса результатов

измерений является среднеквадратичное отклонение σ

x

получаемого распределения. В таком смысле эту величину

называют «неопределенностью Δ». Таким образом,

неопределенность координаты равна:

x

σ

Δ=

. (2.2.1)

Соотношение неопределенностей для координаты и сопряженной

ей переменной − компоненты импульса p

х

− имеет вид:

/2

x

pΔΔ ≥h

. (2.2.2)

Так как постоянная Планка

2h

π

=

h

чрезвычайно мала, то

выражение (2.2.2) при макроскопических измерениях заведомо

выполняется. Неопределенность координаты и импульса,

которая следует из (2.2.2), лежит далеко за пределами

достижимой точности экспериментов. Аналогично

формулируется соотношение неопределенностей для другой

пары сопряженных величин − энергии и времени:

/2tEΔΔ≥h

. (2.2.3)

Это соотношение связывает неопределенность энергии ΔΕ=σ

Ε

атомной системы с неопределенностью Δt=σ

t

времени t, в

течение которого измеряется энергия. Если применить

соотношение неопределенностей между энергией и временем к

спонтанному распаду в системах, находящихся в

квазистационарных состояниях, то экспоненциальное

распределение измеренных времен распада даст величину

стандартного отклонения, которая равна среднему значению

t

.

Эту величину называют средним временем жизни τ состояния:

t

tt

τ

σ

== =Δ

(2.2.4)

В этом случае неопределенность энергии квазистационарного

состояния равна:

/2E

τ

Δ≥h

. (2.2.5)

Для квазистационарных состояний с ΔΕ<<Е выражение (2.2.5)

переходит в приближенное равенство. В этом случае можно

ввести еще одну, часто используемую величину − ширину уровня

Г=2ΔΕ. Тогда выражение (2.2.5) приобретает вид:

τ

Γ=h

. (2.2.6)

В этой форме соотношение неопределенностей играет большую

роль в атомной и ядерной физике. Пусть при распаде испускается

квант с энергией

ω

h

, а конечная ширина уровня описывается

спектральным распределением интенсивности электромагнитных

волн p(ω). Тогда если обозначить символом γ «профиль

спектральной линии», то

2

ω

γ

Γ

=Δ=hh

, и соотношение (2.2.6)

переходит в соотношение:

1

γ

τ

=

. (2.2.7)

Профиль спектральной линии описывается распределением

Лоренца (Коши):

)( )

(

0

22

0

1/2

(; ;)

/2

γ

ρωω γ

π

ωω γ

=

−+

(2.2.8)

Из (2.2.8) видно, что

γ

− это ширина линии на половине ее

высоты; она называется естественной шириной линии. При

переходах между двумя состояниями с энергетической шириной

1

Γ

и

2

Γ

спектральная ширина линии равна:

(

)

12

/

γ

=Γ+Γ h

(2.2.9)

Таким образом, уравнение (2.2.7) описывает фундаментальное

свойство волн: оно связывает между собой конечную

продолжительность ограниченного волнового пакета с его

спектральной шириной. Применяя преобразования Фурье,

получим для бездисперсионных волн соотношение:

K

γ

τ

=

(2.2.10)

где K – постоянная порядка единицы. Точное значение K зависит

от конкретной формы волнового пакета.

Применим соотношение (2.2.3) к монохроматическим

электромагнитным волнам. Для полного описания волны нужно

измерить как ее амплитуду или интенсивность, так и фазу.

Неопределенность фазы

)

(

t

ϕ

ω

=

связана с неопределенностью

продолжительности измерения:

t

ϕ

ω

Δ=Δ

. (2.2.11)

При измерении амплитуды нужно определить число фотонов N,

пришедших за промежуток времени Δt. Используя соотношение

EN

ω

= h

, получим неопределенность энергии в виде:

E

N

ω

Δ= Δh

. (2.2.12)

Отсюда следует соотношение неопределенностей для числа

фотонов и фазы электромагнитной волны:

1

2

N

ϕ

ΔΔ≥

. (2.2.13)

Это соотношение определяет абсолютную границу точности

измерения электромагнитных сигналов, особенно в оптической

области, где в отличие от радиочастотного диапазона при той же

мощности излучения из-за большой энергии квантов число

фотонов, фиксируемых за характерное время измерения

tΔ

, а

значит, и неопределенность ΔN не намного больше единицы.

Поэтому неопределенность фазы велика. Состояние когерентных

электромагнитных волн определено с максимальной точностью,

и для них в соотношении (2.2.13) стоит знак равенства.

2.3. Шумы и причины их появления в измерительных

устройствах

При измерении макроскопических величин максимальная

точность тоже ограничена статистическими флуктуациями возле

среднего значения. Если эти флуктуации нельзя уменьшить при

фиксированных внешних условиях, то их обычно называют

шумами. Причины появления шумов можно разделить на три

группы [12]:

− тепловые колебания при ненулевой температуре;

− корпускулярная природа вещества и электричества;

− соотношение неопределенностей Гейзенберга.

Подробное обсуждение этих вопросов можно найти, например, в

работах [12, 33, 36, 38]. Наглядным примером влияния тепловых

колебаний на точность измерений является брауновское

движение.

Влияние брауновского движения на показания

гальванометра. Зеркальный гальванометр является высокочув-

ствительным инструментом, позволяющим измерять очень малые

токи, поскольку его выносная шкала может располагаться на

большом расстоянии от подвижной части механизма. Положение

светового пятна на шкале легко фиксируется наблюдателем.

Поскольку механическая часть такого гальванометра находится

на воздухе, то молекулы газа окружающей атмосферы

бомбардируют в результате своего теплового (брауновского)

движения подвижные части гальванометра и вызывают

случайные колебания зеркала. Однако усредненный по времени

вращающий момент таких воздействий равен нулю. Если

гальванометр находится в термическом равновесии с

окружающим воздухом, то для подвижной системы с одной

степенью свободы выполняется известный из статистической

механики закон равнораспределения энергии по степеням

свободы: Средняя потенциальная энергия равна:

()

2

пот

1/2 1/2

E

Dt kT

ϕ

==

, (2.3.1)

где k − постоянная Больцмана; D − момент инерции

гальванометра;

ϕ

− угол отклонения от нулевого положения,

ϕ

= 0. Средний квадрат флуктуации угла отклонения равен:

()

2

/tkTD

ϕ

=

. (2.3.2)

Таким образом, электрический ток можно уверенно

зафиксировать только в том случае, если вызванное им

отклонение гальванометра превышает эти термические

флуктуации. Следовательно, минимальная сила тока, которую

можно измерить с помощью данного гальванометра,

определяется как ток I

мин

, вызывающий отклонение на угол,

равный корню из среднего квадрата флуктуационных

отклонений. Пользуясь соотношением:

D

GI

ϕ

=

(2.3.3)

для гальванометра (G − динамическая константа гальванометра),

получим:

2

мин

DkTD

I

GG

ϕ

==

(2.3.4)

Аналогичные рассуждения можно провести и для других

электромеханических систем, например, для мембраны

микрофона или пьезоэлектрического преобразователя.

Тепловой шум. Неупорядоченное тепловое движение

атомных частиц вызывает так называемый тепловой шум во всех

электрических проводниках. Тепловое перемещение носителей

заряда обусловливает статистические колебания плотности

заряда в проводнике. Поэтому между концами проводника

возникает быстро флуктуирующее напряжение U

R

− напряжение

шума. Эквивалентная электрическая схема реального со-

противления состоит из идеального сопротивления R, в котором

нет шумов, включенного последовательно с источником

напряжения шума U

R

(рис. 5):

R ≈U

R

Рис.5. Эквивалентная электрическая схема проводника:

R − идеальное сопротивление, U

R

− напряжение шума.

Эффективное напряжение шума определяется так называемой

формулой Найквиста, которая получается из условий

термодинамического равновесия с учетом закона о

равнораспределении энергии по степеням свободы. Следуя

Найквисту, рассмотрим проводник большой длины L с нулевым

сопротивлением (рис.6), к которому с двух концов присоединены

волновые сопротивления Z

0

. В случае идеального проводника Z

0

=R. Вся система находится при температуре Т в

термодинамическом равновесии со своим окружением.

≈U

R

(t) ≈U

R

(t)

z

Z

0

=R Z

0

=R

Рис. 6. Идеальный проводник, в котором нет электрических

потерь, соединенный с волновыми сопротивлениями Z

0

.

Разложим напряжение шума на фурье-компоненты. Каждая

волна, вышедшая из источника

(

)()

()

0

,

it z

e

Uzt U e

ωβ

ω

−

=

,

перемещается вдоль проводника со скоростью

/

υ

ωβ

=

и

полностью поглощается на другом конце. Таким образом,

каждый из концов проводника служит для приходящих к нему

электромагнитных волн некоторым подобием черного тела. На

основе второго начала термодинамики можно прийти к выводу,

что средние мощности теплового шума P

ν

Δν для волн,

испускаемых источниками в интервале частот Δν, равны и

одинаково зависят от температуры. Тогда общая энергия волн в

проводнике, приходящаяся на интервал Δν, равна:

2/

E

PL

νν

ν

νυ

Δ= Δ

. (2.3.5)

Если теперь накоротко соединить оба конца проводника, то при

отсутствии потерь энергия электромагнитных волн будет

оставаться постоянной. Это справедливо, в частности, для

собственных колебаний в проводнике в интервале частот Δν.

Геометрические условия для стоячих волн определяют набор

частот ν:

22

nn L

λ

υ

ν

==

,

1, 2,3,...n

=

. (2.3.6)

Число стоячих волн в интервале от ν до ν+ Δν равно:

2L

n

ν

υ

Δ= Δ

. (2.3.7)

С другой стороны, в условиях термодинамического равновесия

среднее число фотонов

N в данном состоянии подчиняется

распределению Бозе–Эйнштейна:

/

1

hkT

N

e

ν

=

−

, (2.3.8)

поэтому энергия в проводнике, приходящаяся на интервал частот,

равна:

/

1

hkT

nh

ENhn

e

ν

νν

Δ

Δ= Δ=

−

. (2.3.9)

Соотношения (2.3.5) и (2.3.7) позволяют вычислить мощность

тепловых шумов в проводнике с данным сопротивлением:

/

1

hkT

h

P

e

ν

Δ= Δ

−

.

(2.3.10)

Видно, что эта мощность не зависит от величины сопротивления

R. На рис.7 показано нормированное спектральное распределение

плотности мощности шума P

v

/kT при разных hv/kT.

P

ν

/kT

1

hν/kT

10

-3

10

-2

10

-1

1 10

Рис.7. Нормированное спектральное распределение

мощности шума P

v

/kT.

Если hv << kT, то мощность шумов не зависит от частоты. В

этом случае принято говорить о белом шуме. Отклонения от оси

абсцисс на рис.7 пренебрежимо малы при частотах

меньше hv

макс

<<kT/10; это соответствует при комнатной

температуре максимальной частоте v

макс

≈600 ГГц.

Соответствующая длина волны лежит в субмиллиметровом

диапазоне, поэтому практически все электронные приборы

работают ниже v

макс

(за исключением усилителей, основанных на

принципе мазера).

Эффективное напряжение шума в сопротивлении R

определяется усреднением по времени квадрата напряжения

()

22

,эфф

RR

UUt=

. Оно вызывает в контуре, показанном на рис.6,

эффективный ток I

R,эфф

=U

R,эфф

/2R. Мощность, выделяющаяся в

сопротивлении на другом конце проводника, равна:

22

, эфф ,эфф

/4

RR

IU RP

ν

==Δ

. (2.3.11)

Отсюда следует, что:

Романов В.Н. Теория измерений. Основы теории точности средств измерений

Подождите немного. Документ загружается.