Растригин Л.А. Адаптация сложных систем

Подождите немного. Документ загружается.

Рис. 4.4.3. Линии равного уровня при вакантной

центральной точке X

(1)

. Значения критерия на уровнях:

1 — 3700, 2 — 4000, 3 — 4300, 4 — 4600, 5 — 4900.

с крестиками). Симметрия плана обусловила и симметрию рельефа.

Как видно, задача многоэкстремальна и имеет локальные экстремумы

в точках i = 1, 3, 5, 7, 9. Глобальный экстремум X

(1)

был достигнут при

всех четырех реализациях поиска из случайных начальных точек (см.

ломаные линии на рис. 4.4.3).

На рис. 4.4.4. представлены линии равного уровня максими-

зируемого критерия с той же моделью и опорным планом i = = 1, 2, 3,

4, 6, 7, 8, 9, точки которого обозначены крестиками. Локальные

экстремумы этой многоэкстремальной задачи расположены в точках с

номерами t = 2, 3, 5, 7, 8, 9 и точке А, а глобальный поиск (4.4.32)

дважды привел к точке А, один раз к X

(7)

и один — в глобальный

экстремум Х

(5)

Теперь рассмотрим случай шеститочечного опорного плана N = 5

+ 1 (z = 1) для той же модели (4.4.35) и критерия (4.4.29).

На рис. 4.4.5 представлен рельеф, порождаемый планом

, где i = l, 5, 6, 7, 8, 9 (крестики на рисунке). Рельеф

имеет четыре локальных максимума (i = 3, 6, 7, 8) и глобальный — в

точке X

(3)

. Глобальный максимум уверенно находился выбранным

алгоритмом поиска.

Рис. 4.4.4. Линии рав-

ного уровня при ва-

кантной угловой точке

(5)

. Значения крит е р и я

на уровнях:

1 —

1400,

2 —

1500,

3 —

1600,

4 —

2100, 5 — 3100,

6 —

4200.

Рис. 4.4.5. Линии рав-

ного уровня для шес-

титочечного опорного

плана. Значения кри-

терия на уровнях:

— 24,

2 —

25,

3 —

28,

— 30, 5 — 40,

6 —

100, 7

— 200, S — 300,

9 —

700.

В случае трех вакантных точек на одной стороне области

планирования S (рис. 4.4.6) любая точка, принадлежащая этой

стороне, решает задачу.

Выше рассмотрены планы для объектов, описываемых поли-

номами второго порядка. Эти планы опирались на девять точек,

равномерно покрывающих квадрат области планирования 5, и хорошо

изучены теоретически [223]. Рассмотрим теперь D-опти-мальные

планы для кубической регрессии [32], приведенные в работе [119]:

y = c

+ c

+ с

+ c

. (4.4.36)

На рис. 4.4.7 приведены линии равного уровня для опорного плана

из семи точек А, В, D, Е, F, G, Н (обозначены крестиками). Видно,

что полученная задача оптимизации многоэкстремальна:

небольшие локальные экстремумы расположены в точках А, Н, F

и Е, а глубокий глобальный — в точке С. Последний легко

отыскивается любым локальным методом поиска. Заметим, что

полином (4.4.36) содержит x

лишь в первой степени,

Рис. 4.4.6. Линии равного уровня при вакантных точках

(3)

, Х

(4)

и X

(5)

. Значения критерия на уровнях: 1 — 0, 2

— 27, 3 — 53, 4 — 80, 5 — 106, 6 — 133, 7 — 160.

Рис. 4.4.7. Линии равного уровня для полинома третьей

степени (4.4.36) при вакантной точке С, Значения

критерия на уровнях: 1 — 320, 2 — 440, 3 — 500, 4 —

560, 5 — 680, 6 — 860, 7 — 1050.

что и определяет двухуровневость полученного оптимального плана.

Рассмотрим полином

y = с

+ с

(4.4.37)

без перекрестных членов. Пусть опорные планы содержат 15 точек (на

рис. 4.4.8 и 4.4.9 они обозначены крестиками и показан рельеф).

Хорошо видны многоэкстремальность этих задач и большая зона

глобального экстремума, вероятность попасть в которую достаточно

велика. Траектории поиска показывают это. Полином

у = c

+ с

+ c

(4.4.38)

и опорный план с угловыми точками порождают линии равного

уровня, изображенные на рис. 4.4.10. Здесь четыре локальных

экстремума, расположенных на пересечении осей координат с

областью планирования, и все они являются глобальными.

Рис. 4.4.8. Линии

равного уровня в случае

полинома (4.4.37) при

вакантной точке (0,445;

0,445). Значения

критерия на уровнях: 1

— 5300, 2 — 5700, 3 —

6000, 4 — 6350, 5 —

6700.

Рис. 4.4.9. Линии рав-

ного уровня для по-

линома (4,4.37) при

вакантной точке (-0,445;

-1). Значения критерия

на уровнях: 1 — 5300, 2

— 5600, 3 — 5900, 4 —

6150, 5 — 6700.

Рис. 4.4.10. Линии равного

уровня в случае полинома

(4.4.38). Значения

критерия на уровнях: 1 —

О, 2 — 15, 3 — 29, 4 — 44.

ис. 4.4.11. Линии равного

уровня в случае полинома

(4.4.39). Значения

критерия на уров- нях: 1

— 256, 2 — 332, 3 — 408, 4

— 484.

Рис. 4.4.12. Линии рав-

ного уровня в случае по-

линома (4.4.40). Значения

критерия на уровнях: 1 —

0, 2 — 1, 3 — 2, 4 — 3.

Пунктиром обозначены

линии максимума.

Рельеф критерия для четырехточечного плана и полинома

y = c

+ c

(4.4.39)

показан на рис. 4.4.11. Здесь также все четыре локальных экстремума

глобальны и совпадают с точками опорного плана. Наконец, на рис.

4.4.12 представлен рельеф критерия четырехточечного плана и модели

четвертого порядка вида

y = c

+ c

Рельеф имеет линейчатый характер. Глобальные экстремумы

расположены вдоль пунктирных линий и совпадают с локальными.

Из рассмотренных экспериментальных наблюдений вытекает, что

задача синтеза оптимального плана является, как правило,

многоэкстремальной. Она имеет глубокий глобальный экстремум, и ее

решение может быть найдено методом случайного поиска (4.4.32)

путем организации многократных спусков из случайно выбранных

начальных точек. Так как зона притяжения глобального экстремума в

этих задачах не мала, то вероятность отыскания глобального

экстремума за несколько локальных спусков достаточно велика и этот

алгоритм можно рекомендовать для решения задачи синтеза

оптимальных планов.

4.4.3. Диалоговый синтез плана

Описанные в предыдущем подразделе алгоритмы последо-

вательного синтеза оптимальных планов удобно реализуются в

интерактивном режиме взаимодействия пользователя с ЭВМ. На рис.

4.4.13 представлена блок-схема такого взаимодействия на N-м шаге.

Пользователь сообщает ЭВМ:

1. Область планирования S

— например, в виде гиперпа

раллелепипеда:

(N)

≤ x

≤b

(i = l, ..., n),........ (4.4.41)

который определяется векторами

(N)

= (a

(N)

, ..., a

(N)

);

(N)

= (b

(N)

, ..., b

(N)

). (4.4.42)

2. Систему функций Φ

= (φ

(N)

(X), ..., φq

(N)

(X)), (4.4.43)

с помощью которых описывается модель на N-м шаге

(4.4.44)

имеющая q

неизвестных параметров.

Проще всего эту систему функций

представить конъюнкциями:

(4.4.45)

которые определяются показателями степени р

. Матрица

(4.4.46)

Рис. 4.4.13. Схема ди-

алогового взаимодействия

пользователя с ЭВМ в

процессе планирования

оптимальных экспери-

ментов.

однозначно определяет систему функций Φ

. Например, система

функций (4.4.3) определяется матрицей (6×2) вида

(4.4.47)

3. Опорный план . :

(4.4.48)

определяющий исходные (например, очевидные или уже реали-

зованные) точки плана, которые, по мнению пользователя, наверняка

входят в искомый на (N+1)-м этапе план:

(4.4.49)

образованный добавлением

новых точек (экспериментов), число которых k

должно быть также

определено пользователем.

При этом все параметры задания должны удовлетворять

естественному условию

+ k

≥ q

, (4.4.50)

т. е. число экспериментов не должно быть меньше числа неизвестных

параметров модели.

4. Критерий оптимальности K

плана на N-м этапе, который

является функцией (4.4.18), заданной на дисперсионной матрице

(4.4.15). Обычно различают D-оптимальный план, критерий

оптимальности которого имеет вид (4.4.19), A-оптималь-ный — вида

(4.4.20) и E-оптимальный — с критериями вида (4.4.21). Возможен и

любой другой способ задания критерия К.

Таким образом, функция ψ перехода от (N—1)-го этапа к N-мy

(4.4.51)

реализуется на основе информации I

, полученной после (N—1)-го

этапа и имеющей двоякий характер — формальный и неформальный.

С одной (формальной) стороны, — это результаты экспериментов,

проведенных на (N—1)-м этапе, т. е. наблюдения

‹ X

(N-1)

, y

(N-1)

› (i = l, ..., m

N-1

),. (4.4.52)