Поротов Г.С. Математические методы моделирования в геологии: Учебник

Подождите немного. Документ загружается.

5=5ах2+2by5+5c. (5.6)

Уравнение позволяет вычислять интерполированное

значение  в любой точке с заданными координатами х и у внутри

треугольника. Если имеется много пунктов наблюдений, то

охваченная ими площадь разбивается на несколько треугольников и

в каждом из них рассчитывается свое интерполяционное уравнение

(5.6).

Пример5.1. Имеются три вертикальные скважины, в

которых определены абсолютные отметки кровли пласта (табл.5.2).

Необходимо рассчитать абсолютную отметку кровли пласта с

координатами х2=22405м, у5=52005м.

Составим систему уравнений:

;6,125142355  cbа

;3,148163210  cba

.2,105201224  cba

Решение системы дает коэффициенты а5=5–0,206; b5=5–0,341;

с5=5247,1. Следовательно, интерполяционное уравнение (5.6)

имеет5вид

z5=5–0,206х5–50,341у2+2247,1.

Подставляя в него заданные координаты, найдем абсолютную

отметку кровли в точке х2=22405м, у5=52005м:

z2=2–0,206∙2405–50,341∙2005+5247,15=5129,55м.

Таблица25.2

Данные по скважинам

Номер

скважины

Координаты

скважины, м

Абсолютная

отметка

пласта z, м

х у

1 355 142 125,6

2 210 163 148,3

3 224 281 105,2

166

Зная коэффициенты уравнения (5.6), из примера можно

извлечь дополнительную геологическую информацию об элементах

залегания кровли пласта. Азимут простирания 5=5arctg(–b / a),

а5угол падения 5=5arctg

bа 

. В данном примере имеем 5=

=5arctg(–0,341/0,206)5=5–595=5301, 5=5arctg



341,0206,0

22.

Можно распространить линейную интерполяцию и на

трехмерное пространство, которое разделяется на совокупность

тетраэдров. Каждый тетраэдр образован четырьмя пунктами

измерений, не лежащими на одной плоскости. Внутри тетраэдра

интерполяция осуществляется с помощью уравнения

(гиперплоскости)

5=5ах2+2by2+2cz2+2d,

которое опирается на вершины тетраэдра и рассчитывается

аналогично приведенному в примере 5.1.

Следует отметить, что линейная интерполяционная модель,

как и другие детерминированные модели, не позволяет оценить

погрешность интерполяции без привлечения дополнительных

данных. Чтобы решить эту задачу, надо выполнить дополнительные

измерения пространственной переменной внутри интервалов

интерполяции и сравнить интерполированные и измеренные данные.

Статистическая обработка таких материалов позволяет выявить, как

погрешность интерполяции зависит от расстояния между пунктами

наблюдений.

5.3.2.Полиномиальная модель

В основе модели лежит предположение о том, что поведение

пространственной переменной нелинейное и может быть описано

полиномиальной функцией, значения которой совпадают с

фактическими данными в пунктах измерений. Полиномиальная

функция может быть одно-, двух- и трехмерной. Простейшая

одномерная полиномиальная функция имеет вид

167

(х)5=5a

5+5a

x2+2a

5+5…5+5a

. (5.7)

Порядок полинома k на единицу меньше числа измерений n.

Полиномиальная модель редко применяется на практике, так

как по мере увеличения числа измерений степень полинома растет,

а5при высоких степенях полинома интерполированные значения

вычисляются с большой погрешностью и испытывают столь

сильные изменения, что часто переходят границы реальности.

Пример5.2. По данным табл.5.1 необходимо рассчитать

полиномиальную модель.

Поскольку таблица содержит восемь пунктов измерений,

необходимо иметь полином седьмого порядка. Подобный полином

содержит восемь неизвестных коэффициентов, для нахождения

которых составим систему из восьми уравнений:

5+50,0а

5+50,0

+50,0

5+50,0

+50,0

5=52,2;

5+57,0а

5+57,0

+57,0

5+57,0

+57,0

5=51,9;



Рис.5.2.5График полинома,

построенный по данным табл.5.1

168

5+520,1а

5+520,1

5=52,

5+528,6а

5+528,6

5=54,

5+534,8а

5+534,8

5=53,

5+544,0а

5+544,0

5=53,

5+554,9а

5+554,9

5=53,

5+562,1а

5+562,1

5=52,

Решение системы дает коэффициенты а

, а

, , а

которые позволяют составить уравнение полинома (5.7) и построить

график (рис.5.2). Численные значения по осям графика такие же, как

на рис.5.1.

5.3.3.Модель обратных расстояний

В основу модели положена идея о том, что влияние

измерений убывает обратно пропорционально квадрату расстояния r

от пункта измерения (как в законе всемирного тяготения или в

электрическом поле заряженных частиц), поэтому модель часто

называют потенциальной. Интерполированное значение  в каждой

точке находят как средневзвешенное из измеренных значений в

соседних пунктах n:









(5.8)

Если расстояние r равно нулю, то в данном пункте

принимается измеренное фактическое значение. Для

169

прогнозирования берут три-пять ближайших пунктов измерений или

ограничиваются каким-то произвольным радиусом R. В расчет

принимают все пункты измерений в пределах этого радиуса. За

пределами радиуса влияние измеренных значений не учитывается.

Пример5.3. Используя данные табл.5.1, построим

интерполяционную модель обратных расстояний (рис.5.3).

Все расчеты проведем по четырем соседним пунктам

измерений. Вначале берем первые четыре пункта и по формуле (5.8)

находим значения кривой между первым и третьим пунктами.

Далее, чтобы найти значения кривой между третьим и четвертым

пунктами, необходимо брать в расчет слева и справа по два пункта

(второй, третий, четвертый и пятый). Передвигаясь далее на один

пункт, повторим расчеты по следующим четырем пунктам (с

третьего по шестой). В результате получим кривую между

четвертым и пятым пунктами. Подобные операции повторяют до

конечного пункта. Такой прием называется «расчет в скользящем

окне размером в четыре наблюдения». Полученные результаты

представлены на рис.5.3.

Численные значения по осям

графика такие же, как на

рис.5.1.



Рис.5.3.5График обратных расстояний,

построенный по данным табл.5.1

170

На графике виден недостаток метода обратных расстояний.

В пунктах измерения касательная к кривой всегда горизонтальная,

что не соответствует действительности. Тем не менее, метод широко

применяется на практике, когда другие методы не работают.

5.3.4.Сплайн-модель

Сплайн – это кусочно-непрерывная гладкая функция,

состоящая из множества полиномиальных функций третьего

порядка, плавно переходящих друг в друга. Сплайн позволяет

построить плавный график пространственной переменной, хорошо

согласующийся с геологическими представлениями, и поэтому

весьма популярен. Его можно уподобить гибкой упругой линейке,

опирающейся на ординаты фактических значений пространственной

переменной. Концы линейки могут быть свободными или

закрепленными с заданным углом наклона. Сплайн бывает одно-,

двух- и трехмерным.

Рассмотрим методику расчета одномерного сплайна. Пусть

имеется n пунктов измерений с координатами х

, х

, …, х

. В каждом

пункте измерено значение пространственной переменной 

, 

, …, 

Между пунктами измерений имеется n5–51 отрезок. Каждый отрезок

представлен полиномом третьего порядка:

5=5а5+5bx5+5cx

5+5dx

. (5.9)

В каждом полиноме четыре неизвестных коэффициента a, b, с, d.

Следовательно, всего имеем 4(n5–51) неизвестный коэффициент. Их

нужно подобрать такими, чтобы выполнялись следующие условия:

5в пунктах х

, х

, …, х

значения полиномов должны

совпадать с измеренными значениями 

, 

, …, 

;

5в пунктах стыковки соседних полиномов х

, х

, …, х

n-1

не

должно быть изломов, т.е. наклоны линий должны быть одинаковыми,

что сводится к равенству первых производных от полиномов (5.9);

5в тех же пунктах стыковки не должно быть скачка кривизны,

что соответствует равенству вторых производных от полиномов (5.9);

5в начальном и конечном пунктах должны быть заданы

граничные условия.

171

Нахождение коэффициентов a, b, с, d сводится к решению

системы 4(n5–51) уравнения первой степени, которые получаются

следующим образом.

Каждое значение полинома должно совпадать с левым

измеренным значением каждого отрезка пространственной

переменной, что дает n5–51 уравнение:















;

11111

nnnnnnnn

xdxcxba



Каждое значение полинома должно совпадать с правым

измеренным значением каждого отрезка пространственной

переменной, что дает еще n5–51 уравнение:















;

111

21211

nnnnnnnn

xdxcxba



В n5–52 пунктах стыковки должны быть равны первые

производные соседних полиномов (5=5b2+22cx5+53dx

) – равенство

касательных:















.3232

;3232

11111

12122

22222

21211

nnnnnnnnnn

xdxcbxdxcb



В тех же n5–52 пунктах стыковки должны быть равны вторые

производные соседних полиномов (5=52с5+56dx) – равенство

кривизны:















.6262

;6262

111122

222211

nnnnnn

xdcxdc



172

Нужны еще два уравнения, учитывающие граничные

условия в конечных пунктах х

и х

Чаще других применяется

условие, что в конечных пунктах кривизна нулевая (концы упругой

линейки не закреплены), т.е. вторые производные должны быть

нулевыми:













.062

062

111

nnn

xdc

xdс ;

Могут быть заданы и другие условия, например наклон касательной

(т.е. первой производной) в крайних пунктах.

В результате получится необходимое число уравнений 4(n5–51).

Решение системы уравнений дает все необходимые коэффициенты

полиномов, что позволяет рассчитывать (прогнозировать) значения

пространственной переменной между пунктами измерений.

При большом числе пунктов измерений получается довольно

громоздкая система уравнений первой степени, и, хотя ее решение

на компьютере не составляет труда, объем вычислений довольно

значителен.

Чтобы избежать большого объема вычислений,

рекомендуется применять скользящий сплайн. Для скользящего

сплайна берут четыре или шесть смежных пунктов измерений, по

ним рассчитывают уравнения сплайна, а для построения и

прогнозирования выбирают один полином, занимающий среднее

положение. Потом осуществляется перемещение на один пункт

измерения (скольжение) и5расчет повторяется. Эти операции

доводят до конечного пункта измерений. Исключение делается для

первого отрезка, для которого используют первое уравнение, и для

последнего отрезка, для которого используют последнее уравнение.

Пример5.4. По данным табл.5.1 необходимо рассчитать

скользящий сплайн.

Возьмем первые шесть пунктов измерений и составим

необходимую систему уравнений. Между шестью пунктами

имеются пять отрезков, следовательно, нужно рассчитать пять

кубических полиномов, содержащих 20 коэффициентов.

173

Первое условие – все полиномы должны проходить через

левую точку отрезков:

2+2a

5+5а

2+2а

2=22,2;

2+27,0а

2+27,0

2=21,9;

2+220,1а

2+220,1

5+520,1

2=22,5;

2+228,6а

2+228,6

5+528,6

2=24,2;

2+234,8а

2+234,8

5+534,8

2=23,8.

Все полиномы должны проходить через правую точку отрезков:

2+27,0a

5+57,0

2+27,0

2=21,9;

2+220,1а

2+220,1

2=22,5;

2+228,6а

2+228,6

5+528,6

2=24,2;

2+234,8а

2+234,8

5+534,8

2=23,8;

2+244,0а

2+244,0

5+544,0

2=23,1.

Второе условие – на стыках соседних отрезков должны быть

равны первые производные:

5+52∙7,0а

2+23∙7,0

2=2а

2+22∙7,0а

2+23∙7,0

;

2+22∙28,6а

2+23∙28,6

5=5а

2+22∙28,6а

2+23∙28,6

;

2+22∙34,8а

5+53∙34,8

5=5а

2+22∙34,8а

2+23∙34,8

;

2+22∙44,0а

5+53∙44,0

5=5а

2+22∙44,0а

5+53∙44,0

Третье условие – на стыках соседних отрезков должны быть

равны вторые производные:

2а

2+26∙7,0а

2=22а

2+26∙7,0а

;

2а

2+26∙28,6а

5=52а

5+56∙28,6а

;

2а

5+56∙34,8а

5=52а

5+56∙34,8а

;

2а

5+56∙44,0а

5=52а

5+56∙44,0а

174

Четвертое условие – на свободных концах первого и

последнего отрезков примем граничные условия – вторые

производные равны нулю:

2а

2+26∙0,0а

2=20;

2а

5+56∙44,0а

5=50.

Всего получено 20 уравнений первой степени с 20

неизвестными коэффициентами. Решение системы дает значения

коэффициентов:

5=52,200000; а

5=5–0,069706; а

5=50,005753; а

5=50,000274;

5=51,955657; а

5=50,035012; а

5=5–0,009206; а

5=50,000438;

5=521,556675; а

5=5–2,890512; а

5=50,136342; а

5=5–0,001975;

5=5–73,310478; а

5=57,060588; а

5=5–0,211599; а

5=50,002080;

5=522,811948; а

5=51,225829; а

5=50,026517; а

5=5–0,000201.

Далее происходит

перемещение исходных

измерений на один шаг, все

расчеты повторяют.

Перемещение доводится до

конца исходных данных.

Конечный результат виден на

рис.5.4. Очевидно

преимущество полученного

графика перед графиками

рис.5.2 и 5.3.

Более сложным является расчет двухмерного сплайна.

В5литературе не удалось найти полное решение двухмерного

сплайна для произвольно расположенных пунктов измерений.

Имеющиеся публикации рассчитаны только на прямоугольную сеть,

причем вычисляются сплайны в двух перпендикулярных

направлениях, а5в5промежутках между ними используется

интерполяция.

Рис.5.4.5График скользящего сплайна,

построенный по данным табл.5.1



175