Поротов Г.С. Математические методы моделирования в геологии: Учебник

Подождите немного. Документ загружается.

информативность свойств в районе развития медно-никелевых

месторождений и выделены территории, наиболее перспективные на

поиски этого оруденения (рис.4.5).

Информативность количественных свойств оценивают путем

анализа расстояний между облаками точек рудных и безрудных

объектов в признаковом пространстве. Информативность свойства j

характеризуется квадратом нормированного расстояния между

проекциями центров облаков на ось j признакового пространства:

)(







, (4.25)

где

– средние значения свойства j рудных и безрудных

объектов.

Дисперсию определяют по формуле









, (4.26)

где n

и n

– количество соответственно рудных и безрудных

объектов;

1 j



2 j



– дисперсии свойства j тех же объектов.

Чем больше значение J

, тем более информативным является

данное свойство.

Учет зависимости между свойствами может изменить

порядок информативности свойств. На основе матриц исходных

данных составляют матрицы ковариации для рудных

рудн

}{K

безрудных

безр

}{K

объектов. Элементы матриц находят из

выражения







jmjmjmimij

xxxx

))((

. (4.27)

Далее определяют средневзвешенную матрицу ковариации

по формуле, аналогичной (4.26). Элементы средневзвешенной

матрицы

146

безр

рудн

ijij



. (4.28)

Из элементов матрицы составляют систему из k уравнений

с5неизвестными коэффициентами a

, a

, …, а

, которые находят

путем решения этой системы:

mmmm

KKK







22221

11211





, (4.29)

где K

– средневзвешенные корреляционные моменты между

свойствами объектов (раздельно для рудных и безрудных объектов).

Информативность k количественных свойств выражается

квадратом обобщенного расстояния между облаками в признаковом

пространстве:







iiikk

yxaJ

)(

. (4.30)

Отсюда вытекает порядок определения информативности свойств.

Вначале по формуле (4.25) отыскивают наиболее информативное

свойство. К нему поочередно добавляют каждое из оставшихся

свойств, находя наиболее информативную комбинацию из двух

свойств по формуле (4.27). Далее добавляют следующее свойство

и5снова находят наиболее информативное сочетание свойств.

Повторяя эти операции, определяют все последующие свойства в

ряду информативности. Отбор информативных свойств

прекращается, когда дальнейшее их увеличение не приводит к

заметному повышению совместной информативности.

147

Пример4.7. Имеется 10 рудных и 14 безрудных объектов,

у которых изучено пять свойств:

{x}5=

206,0812,20

353,01551,31

121,01038,11

205,01644,20

232,01210,50

171,01117,31

325,0944,00

221,01516,41

123,0946,11

246,01215,20



;

206,02620,21

320,03500,31

235,01865,11

144,0511,00

315,01415,10

112,0648,01

248,01622,20

200,0820,11

137,0305,00

236,01110,01

355,04476,10

318,01535,00

340,03114,31

112,02516,21

}{



y

Требуется определить информативность свойств.

Найдем средние значения свойств:

900,1034,070,1158,2500,0}{ x

;

071,2191,036,1838,1571,0}{ y

148

Далее вычислим дисперсии значений свойств:

490,01296,021,7800,1250,0



;

638,00633,01,140127,1245,0



По формуле (4.26) рассчитаем дисперсии разности средних

значений свойств:

0946,001748,073,10261,00425,0



По формуле (4.25) найдем квадраты расстояний:

31,041,113,452,512,0



Из полученных данных видно, что наибольшей

информативностью обладает второе свойство, далее идут третье,

четвертое, пятое и первое.

Рассмотрим, как изменится информативность свойств, если

учитывать зависимости между ними. Вначале рассчитаем матрицы

ковариации свойств рудных и безрудных объектов по формуле (4.27):

490,00936,0570,0062,0150,0

0936,01296,0291,01945,0022,0

570,02910,0210,7060,2150,0

062,01945,0060,2800,1067,0

150,00220,0150,0067,0260,0

}{

рудн









K

;

638,00615,0830,5396,0041,0

0615,00633,0228,01006,00518,0

830,52280,01,140790,9939,0

396,01006,0790,9127,1209,0

041,00518,0939,0209,0245,0

}{

безр









K

Далее найдем средневзвешенную матрицу по формуле (4.28):

149

0946,00138,04730,00345,00179,0

0138,00175,00454,00266,00059,0

4730,00454,073,109050,00821,0

0345,00266,09050,02605,00216,0

0179,00059,00821,00216,00425,0

}{









K

Как отмечалось, наиболее информативным является второе

свойство, для него 

5=55,52. Будем поочередно добавлять ко

второму свойству остальные и вычислять совместную

информативность двух свойств. Так, найдем совместную

информативность первого и второго свойств. Матрица их

ковариации, согласно (4.28), имеет вид

2605,00216,0

0216,00425,0

}{ K

Составим систему уравнений (4.29):

;571,0500,00216,00425,0

 аа

.38,158,22605,00216,0

 аа

Решая систему, найдем

19,4

а

;

.96,4

а

Совместная

информативность первого и второго свойств по формуле (4.30)

25,6



, что больше, чем их сумма

64,5



, т.е.

информативность двух свойств с учетом зависимости больше, чем

без ее учета.

Так же оценивается совместная информативность второго

свойства с третьим, четвертым и пятым свойствами. Имеем

99,20



;

60,5



;

73,6



; следовательно, наиболее

информативным является сочетание второго и третьего свойств. К

этим двум свойствам поочередно добавляют оставшиеся свойства

(первое, четвертое и пятое) и по той же методике находят наиболее

информативную комбинацию трех, четырех и пяти свойств. В

рассматриваемом примере порядок наиболее информативных

свойств следующий: второе, третье, первое, пятое и четвертое, т.е.

150

иной, чем без учета зависимости между свойствами. Совместная

информативность перечисленных свойств в нарастающем порядке

выражается строкой матрицы

}89,2175,2145,2199,2052,5{

откуда видно, что для распознавания образа достаточно

ограничиться двумя свойствами (вторым и третьим), остальные

свойства вносят малый вклад в информативность и могут быть

отброшены.

Методы распознавания образов. После отбора

информативных свойств можно приступать к распознаванию

образов. Методы распознавания образов весьма многочисленны. Их

можно разделить на три группы:

5методы, основанные на анализе частоты появления свойств;

5методы, основанные на анализе расстояний между точками

объектов в многомерном признаковом пространстве;

5методы, основанные на разделении многомерного

признакового пространства на области различной формы, в каждой

из которых преобладают объекты одного вида.

В настоящей работе не ставится задача дать обзор различных

методов распознавания образов [15], ограничимся лишь примерами

алгоритмов в каждой из групп. Следует отметить, что не существует

методов, дающих стопроцентный результат распознавания.

Хорошим результатом считается уверенное распознавание

испытуемых объектов на уровне 75-855%.

При частотном анализе исходные свойства выражаются

нулями и единицами, т.е. одни свойства у объекта есть, другие

отсутствуют. В алгоритме «Кора-3» перебираются все двойные и

тройные комбинации свойств, которые характерны для одного

образа и отсутствуют у другого. Найденные комбинации свойств

называются сложными признаками. Для каждого испытуемого

объекта определяется количество сложных признаков каждого

образа. Испытуемый объект относят к образу рудных или безрудных

объектов по большинству «голосов».

151

Пример4.8. Имеются шесть рудных, шесть безрудных

и5три испытуемых объекта, у которых изучены четыре свойства:

1001

1010

1100

0100

1101

0110

}{

рудн

X

;

0001

0111

0101

1110

1011

0010

}{

безр

Y

;

1111

0011

1000

}{

исп

Z

Требуется выявить сложные признаки и определить

принадлежность каждого испытуемого объекта к образу рудных или

безрудных объектов.

Нетрудно установить, что существует 11 сочетаний свойств

по два и по три, которые имеются у рудных объектов и отсутствуют

у безрудных, и, наоборот, 13 сочетаний свойств типичны только для

безрудных объектов. Всего имеем 115+5135=524 сложных признака

(табл. 4.17).

Таблица 4.17

Сложные признаки

Номер

признака

Свойство

Номер

признака

Свойство

1 2 3 4 1 2 3 4

Рудные объекты Безрудные объекты

1 0 0 – – 1 1 1 – –

2 – 0 – 1 2 1 – – 0

3 0 0 1 – 3 – – 0 0

4 0 0 – 0 4 1 1 0 –

5 0 0 – 1 5 1 1 1 –

152

6 1 0 – 1 6 1 0 – 0

7 0 – 0 1 7 1 1 – 0

8 0 – 1 0 8 0 – 0 0

9 1 – 1 1 9 1 – 0 0

10 – 0 0 1 10 1 – 1 0

11 – 0 1 1 11 – 0 0 0

12 – 1 0 0

13 – 1 1 1

Используя сведения по испытуемым объектам и данные

табл.4.17, можно подсчитать, что для первого испытуемого объекта

характерны признаки только рудных объектов, для второго –

только безрудных, у третьего испытуемого объекта есть те и другие

признаки, но больше «голосов» в пользу безрудных объектов

(табл.4.18).

Другой алгоритм распознавания основан на анализе образов

рудных и безрудных объектов, которые в признаковом пространстве

слагают два соответствующих облака, которые могут частично

перекрывать друг друга. Принадлежность испытуемого объекта к

образу рудных или безрудных объектов можно оценить по

расстоянию точки испытуемого объекта от облаков. К какому

облаку ближе точка, к тому образу и следует отнести испытуемый

объект.

Существуют различные способы оценки расстояний между

точкой и облаком. Можно рекомендовать следующий способ:

вначале найти расстояния до всех точек облака, а потом взять

среднее из них. Для оценки расстояния между точкой испытуемого

объекта х

исп

и точкой облака х

применима формула

minmax

исп





















(4.31)

Таблица 4.18

Результаты распознавания объектов

Номер

испытуемого

объекта

Количество

признаков объектов

Вывод

о принадлежности

испытуемых

объектов

рудных безрудных

1 5 0 Рудный

2 0 6 Безрудный

3 1 3 "–"

153

где x

max

и x

min

– максимальные и минимальные значения различных

свойств i; x

max

2–2x

min

– размах свойств.

Далее вычислим среднее расстояние точки до облака:







. (4.32)

Пример4.9. Даны пять рудных, шесть безрудных и два

испытуемых объекта, у которых изучены три свойства:

8,111

3,002

1,213

6,011

4,402

}{

рудн



X

;

5,011

0,103

2,001

5,212

6,101

3,211

}{

безр



Y

;

2,101

3,312

}{

исп

Z

Требуется определить принадлежность испытуемых

объектов к рудным или к безрудным.

Вначале найдем максимальные и минимальные значения

свойств:

4,413}{

max

X

;

5,201}{

min

X

По формуле (4.31) определим расстояние точки первого

испытуемого объекта от одной из точек облака рудных объектов:

01,1

5,24,4

3,34,4





















































Таким же способом найдем расстояние для всех остальных

точек облаков и рассчитаем среднее расстояние до каждого облака

по формуле (4.32). Для первого испытуемого объекта получим

,76,0

рудн



,94,0

безр



следовательно, он ближе к рудным

154

объектам. Второй испытуемый объект имеет

,93,0

рудн



,75,0

безр



он ближе к безрудным.

Следующая группа методов основана на разделении

признакового пространства на области, в которых преобладают

объекты одного типа. Чаще области выделяются путем проведения

плоскостей (гиперплоскостей) между облаками рудных и безрудных

объектов. Такой способ называется дискриминантным анализом.

Уравнение плоскости имеет вид







bxa

, (4.33)

где a

– коэффициенты, определяющие ориентировку плоскости по

отношению к осям координат признакового пространства и

вычисляемые путем решения системы уравнений (4.29); b –

коэффициент, влияющий на параллельное перемещение плоскости в

пространстве.

Если подставить координаты x

любой точки облака в

уравнение (4.33), то получим дискриминант этой точки:







bxaD

. (4.34)

По одну сторону от плоскости знак дискриминанта

положительный, по другую – отрицательный. Следовательно, по

знаку дискриминанта можно судить о том, в какую область

пространства попадает точка испытуемого объекта, т.е. к какому

образу следует отнести объект.

Если облака рудных и безрудных объектов разобщены

между собой, то плоскость можно провести в любом месте между

ними. Если облака частично перекрываются, то нужно провести

разделяющую плоскость так, чтобы наименьшая часть точек

попадала в5чужую область, что достигается нахождением

наилучшего значения коэффициента b. Подбор коэффициента b

можно осуществлять вручную (а также и коэффициентов а

), но

155