Поротов Г.С. Математические методы моделирования в геологии: Учебник

Подождите немного. Документ загружается.

Таблица 4.5

Матрица коэффициентов корреляции (r

знач

=0,197)

Компонент Si Ti Al Fe Mn Mg Ca Na K P Ппп CO

S Cu Zn Pb Co Ni Ag

Si 1,000 0,779 0,902 –0,900 0,604 0,417 0,596 0,781 0,582 0,300 –0,158 –0,136 –0,612 –0,299 0,013 –0,116 –0,715 –0,209 –0,045

Ti 0,779 1,000 0,765 –0,676 0,583 0,317 0,417 0,625 0,487 0,228 –0,250 –0,226 –0,497 –0,145 0,080 –0,050 –0,576 –0,250 0,021

Al 0,902 0,765 1,000 –0,818 0,588 0,433 0,447 0,808 0,613 0,270 –0,255 –0,255 –0,662 –0,245 0,014 –0,108 –0,679 –0,255 –0,084

Fe –0,900 –0,676 –0,818 1,000 –0,411 –0,421 –0,798 –0,692 –0,556 –0,266 –0,181 –0,196 0,584 0,418 0,082 0,146 0,710 0,242 0,036

Mn 0,604 0,583 0,588 –0,411 1,000 0,354 0,565 0,387 0,440 0,222 –0,062 –0,244 –0,419 –0,201 0,136 0,057 – 0,475 –0,290 0,034

Mg 0,417 0,317 0,433 –0,421 0,354 1,000 0,151 0,142 0,242 0,150 –0,112 –0,244 –0,371 –0,185 0,030 0,013 – 0,318 –0,022 –0,039

Ca 0,596 0,417 0,447 –0,798 0,565 0,151 1,000 0,356 0,344 0,174 0,488 0,544 –0,377 –0,415 –0,104 –0,127 –0,517 –0,241 –0,009

Na 0,781 0,625 0,808 –0,692 0,387 0,142 0,356 1,000 0,319 0,204 –0,175 –0,123 –0,542 –0,195 –0,027 –0,121 –0,586 –0,268 0,015

K 0,582 0,487 0,613 –0,556 0,440 0,242 0,344 0,319 1,000 0,272 –0,082 –0,078 –0,398 –0,189 –0,059 –0,091 –0,454 –0,141 –0,020

P 0,300 0,228 0,270 – 0,266 0,222 0,150 0,174 0,204 0,272 1,000 –0,110 –0,117 –0,108 0,014 –0,057 –0,002 –0,123 0,072 –0,071

Ппп – 0,158 –0,250 –0,255 –0,181 –0,062 –0,112 0,488 –0,175 –0,082 –0,110 1,000 0,951 0,126 –0,267 –0,275 –0,091 0,006 –0,015 0,049

–0,136 –0,226 –0,255 –0,196 –0,244 –0,244 0,544 –0,123 –0,078 –0,117 0,951 1,000 0,084 –0,321 –0,256 –0,099 –0,017 –0,079 0,058

S –0,612 –0,497 –0,662 0,584 –0,419 –0,371 –0,377 –0,542 –0,398 –0,108 0,126 0,084 1,000 0,549 0,012 0,041 0,832 0,349 0,077

Cu –0,299 –0,145 –0,245 0,418 –0,201 –0,185 –0,415 –0,195 –0,189 0,014 –0,267 –0,321 0,549 1,000 0,116 0,079 0,482 0,213 0,105

Zn 0,013 0,080 0,014 0,082 0,136 0,030 –0,104 –0,027 –0,059 –0,057 –0,257 –0,256 0,012 0,116 1,000 0,604 0,072 0,006 0,576

Pb –0,116 –0,050 –0,108 0,146 0,057 0,013 –0,127 –0,121 –0,091 –0,002 –0,091 –0,099 0,041 0,079 0,604 1,000 0,128 0,114 0,369

Co –0,715 –0,576 –0,679 0,710 –0,475 –0,318 –0,517 –0,586 –0,454 –0,123 0,006 –0,017 0,832 0,482 0,072 0,128 1,000 0,365 0,105

Ni –0,209 –0,250 –0,255 0,242 –0,290 –0,022 –0,241 –0,268 –0,141 0,072 –0,015 –0,079 0,349 0,213 0,006 0,114 0,365 1,000 –0,081

Ag –0,045 0,021 –0,084 0,036 0,034 –0,039 –0,009 0,015 –0,020 –0,071 0,049 0,058 0,077 0,105 0,576 0,369 0,105 –0,081 1,000

131

Таблица 4.6

Преобразованная матрица коэффициентов корреляции

Компонент Fe Co S Cu Ni Zn Pb Ag CO

Ппп Ca Mn Si Al Na Ti K Mg P

Fe 1,000 0,710 0,584 0,418 0,242 0,082 0,146 0,036 –0,196 –0,181 –0,798 –0,411 –0,900 –0,818 –0,692 –0,676 –0556 –0,421 –0,266

Co 0,710 1,000 0,832 0,482 0,365 0,072 0,128 0,105 –0,017 0,006 –0,517 –0,475 –0,715 –0,679 –0,586 – 0,576 –0,454 –0,318 –0,123

S 0,584 0,832 1,000 0,549 0,349 0,012 0,041 0,077 0,084 0,126 –0,377 –0,419 –0,612 –0,662 –0,542 –0,497 –0,398 –0,371 –0,108

Cu 0,418 0,482 0,549 1,000 0,213 0,116 0,079 0105 –0,321 –0,267 –0,415 –0,201 –0,299 –0,245 –0,195 –0,145 –0,189 –0,185 0,014

Ni 0,242 0,365 0,349 0,213 1,000 0,006 0,114 –0,081 –0,079 –0,015 –0,241 –0,290 –0,209 –0,255 –0,268 –0,250 –0,141 –0,022 0,072

Zn 0,082 0,072 0,012 0,116 0,006 1,000 0,604 0576 –0,256 –0,275 –0,104 0,136 0,013 0,014 –0,027 0,080 –0,059 0,030 –0,057

Pb 0,146 0,128 0,041 0,079 0,114 0,604 1,000 0,369 –0,099 –0,091 –0,127 0,057 –0,116 –0,108 –0,121 –0,050 –0,091 0,013 –0,002

Ag 0,036 0,105 0,077 0,105 –0,081 0,576 0,369 1,000 0,058 0,049 –0,009 0,034 –0,045 –0,084 0,015 0,021 –0,020 –0,039 –0,071

–0,196 –0,017 0,084 –0,321 –0,079 –0,256 –0,099 0,058 1,000 0,951 0,544 –0,244 –0,136 –0,255 –0,123 –0,226 –0,078 –0,224 –0,117

Ппп –0,181 0,006 0,126 –0,267 –0,015 –0,275 –0,091 0,049 0,951 1,000 0,488 –0,062 –0,158 –0,255 –0,175 –0,250 –0,082 –0,112 –0,110

Ca –0,798 –0,517 –0,377 –0,415 –0,241 –0,104 –0,127 –0,009 0,544 0,488 1,000 0,565 0,596 0,447 0,356 0,417 0,344 0,151 0,174

Mn –0,411 –0,475 –0,419 –0,201 –0,290 0,136 0,057 0,034 –0,244 –0,062 0,565 1,000 0,604 0,588 0,387 0,583 0,440 0,354 0,222

Si –0,900 –0,715 –0,612 –0,299 –0,209 0,013 –0,116 –0,045 –0,136 –0,158 0,596 0,604 1,000 0,902 0,781 0,779 0,582 0,417 0,300

Al –0,818 –0,679 –0,662 –0,245 –0,255 0,014 –0,108 –0,084 –0,255 –0,255 0,447 0,588 0,902 1,000 0,808 0,765 0,613 0,433 0,270

Na –0,692 –0,586 –0,542 –0,195 –0,268 –0,027 –0,121 0,015 –0,123 –0,175 0,356 0,387 0,781 0,808 1,000 0,625 0,319 0,142 0,204

Ti –0,676 –0,576 –0,497 –0,145 – 0,250 0,080 –0,050 0,021 –0,226 –0,250 0,417 0,583 0,779 0,765 0,625 1,000 0,487 0,317 0,228

K –0,556 –0,454 –0,398 –0,189 –0,141 –0,059 –0,091 –0,020 –0,078 –0,082 0,344 0,440 0,582 0,613 0,319 0,487 1,000 0,242 0,272

Mg –0,421 –0,318 –0,371 –0,185 –0,022 0,030 0,013 –0,039 –0,244 – 0,112 0,151 0,354 0,417 0,433 0,142 0,317 0,242 1,000 0,150

P –0,266 –0,123 –0,108 0,014 0,072 –0,057 –0,002 –0,071 –0,117 –0,110 0,174 0,222 0,300 0,270 0,204 0,228 0,272 0,150 1,000

132

133

значения которой записаны в боковике и в головке табл.4.10.

Произведения данных боковика и головки табл.4.10 дают матрицу

коэффициентов первого фактора в этой таблице. Так, умножив 0,620

на50,490, получим член матрицы 0,304. Таким же способом

получены остальные члены матрицы (табл.4.10).

Таблица 4.8

Матрица коэффициентов корреляции

Компонент TiO

MnO V

SiO

MgO CaO

TiO

1,000 0,449 0,247 0,206 0,426 0,396 0,355

MnO 0,449 1,000 0,408 0,170 0,140 0,105 0,188

0,247 0,408 1,000 0,387 –0,096 0,448 0,550

SiO

0,206 0,170 0,387 1,000 0,063 0,439 0,553

0,426 0,140 –0,096 0,063 1,000 0,039 –0,105

MgO 0,396 0,105 0,448 0,439 0,039 1,000 0,695

CaO 0,355 0,188 0,550 0,553 –0,105 0,696 1,000

Таблица 4.9

Расчет первого собственного числа

Коэффициент корреляции Собственное число W

1,000 0,449 0,247 0,206 0,426 0,396 0,355 3,079 2,627 … 2,179

0,449 1,000 0,408 0,170 0,140 0,105 0,188 2,460 2,059 … 1,722

0,247 0,408 1,000 0,387 –0,096 0,448 0,550 2,944 2,781 … 2,563

0,206 0,170 0,387 1,000 0,063 0,439 0,553 2,818 2,553 … 2,371

0,426 0,140 –0,096 0,063 1,000 0,039 –0,105 1,467 0,865 … 0,450

0,396 0,105 0,448 0,439 0,039 1,000 0,695 3,122 2,924 … 2,736

0,355 0,188 0,550 0,553 –0,105 0,696 1,000 3,236 3,086 … 2,934

Вектор V

0,951 0,760 0,910 0,871 0,453 0,965 1,000

0,851 0,667 0,885 0,627 0,280 0,948 1,000 λ

5=52,934

… … … … … … …

0,743 0,587 0,874 0,808 0,153 0,933 1,000

129

Таблица 4.10

Расчет матрицы коэффициентов первого фактора

0,620 0,490 0,730 0,675 0,128 0,779 0,835

0,620 0,384 0,304 0,453 0,418 0,079 0,483 0,518

0,490 0,304 0,240 0,358 0,331 0,063 0,382 0,409

0,730 0,453 0,358 0,533 0,493 0,093 0,569 0,610

0,675 0,418 0,331 0,493 0,456 0,086 0,526 0,564

0,128 0,079 0,063 0,093 0,086 0,016 0,100 0,167

0,779 0,483 0,382 0,569 0,526 0,100 0,607 0,650

0,835 0,518 0,409 0,610 0,564 0,107 0,650 0,697

Если из матрицы коэффициентов корреляции (см. табл.4.8)

вычесть почленно матрицу (табл.4.10), то получим первую

остаточную матрицу коэффициентов корреляции после исключения

первого фактора (табл.4.11).

Таблица 4.11

Первая остаточная матрица коэффициентов корреляции

0,616 0,145 –0,206 –0,212 0,347 –0,087 –0,163

0,145 0,760 0,050 –0,161 0,077 –0,277 –0,221

–0,206 0,050 0,467 –0,106 –0,189 –0,121 –0,060

–0,212 –0,161 –0,106 0,544 –0,023 –0,087 –0,011

0,347 0,077 –0,189 –0,023 0,984 –0,061 –0,212

–0,087 –0,277 –0,121 –0,087 –0,061 0,393 0,045

–0,163 –0,221 –0,060 –0,011 –0,212 0,045 0,303

С первой остаточной матрицей повторяется итерационный

процесс по образцу табл.4.9, что дает второе собственное число λ

второй вектор Ф

. Исключив влияние второго фактора по образцу

табл.4.10 и 4.11, получим вторую остаточную матрицу. Процесс

нахождения собственных чисел  и векторов факторных нагрузок Ф

повторяется k раз. При этом все члены последней остаточной

матрицы будут равны нулю, что служит одним из способов

проверки правильности вычислений.

130

Результаты расчета систематизируем в табл.4.12. Факторы

расположим в порядке убывания собственных чисел . Для контроля

можно убедиться, что сумма собственных чисел равна числу

свойств. Чем больше собственное число, тем больше роль

соответствующего фактора. Роль факторов выражают в процентах

от суммы факторов (последняя строка табл.4.12).

Таблица 4.12

Факторные нагрузки

Компонент

Фактор

1 2 3 4 5 6 7

TiO

0,620 0,605 0,068 –0,267 –0,230 –0,301 –0,134

MnO 0,490 0,438 – 0,676 0,105 –0,175 0,257 0,056

0,730 –0,200 –0,397 0,030 0,483 –0,172 –0,081

SiO

0,675 –0,199 0,228 0,632 –0,189 –-0,045 –0,125

0,128 0,811 0,404 0,198 0,315 0,085 0,131

MgO 0,779 –0,189 0,334 –0,316 0,053 0,329 –0,187

CaO 0,835 –0,320 0,135 –0,121 –0,093 –0,061 0,393



2,934 1,434 0,964 0,647 0,464 0,308 0,250

, % 41,9 20,5 13,8 9,2 6,6 4,4 3,6

Из данных табл.4.12 следует, что на долю первых трех

факторов приходится 76,25% нагрузки (информации), остальными

факторами можно пренебречь. В первом по значению факторе

(41,95% нагрузки) все компоненты вектора положительные. Этот

факт указывает на то, что есть какая-то геологическая причина,

которая вызывает одновременное возрастание содержаний всех

компонентов магнетита. Среди компонентов есть такие, которые

входят в состав магнетита как изоморфные примеси (титан, ванадий,

марганец, часть алюминия и магния) и как механические примеси

других минералов в пробах (кремний, алюминий, магний и

кальций). Одновременное вхождение в состав проб изоморфных и

механических примесей можно объяснить высокой скоростью

кристаллизации магнетита, в результате чего руды становятся

тонкозернистыми. В5тонкозернистых рудах магнетит обычно

131

обогащен изоморфными примесями, а при отборе проб неизбежно

будут захвачены посторонние минералы.

Второй фактор (20,55% нагрузки) имеет положительные

максимальные коэффициенты у алюминия, титана и марганца,

остальные коэффициенты отрицательные. Фактор, который

способствует накоплению в пробах алюминия, титана и марганца,

вероятнее всего, – состав замещаемых магнетитом пород. При

образовании магнетита по алюмосиликатным породам в пробах

обычно повышено содержание алюминия и титана, а при

образовании по известнякам – содержание кальция, что и

подтверждается соответствующими факторными нагрузками.

В третьем факторе (13,85% нагрузки) большие

отрицательные коэффициенты у марганца и ванадия и

положительные – у остальных компонентов. Третий фактор можно

объяснить либо чистотой отбора проб, либо тем, что эти пробы

взяты из висячего бока рудных тел, где обычно накапливаются

подвижные компоненты – ванадий и марганец.

Таким образом, можно дать следующее объяснение

результатам факторного анализа: состав проб магнетита зависит от

скорости кристаллизации руд, типа замещаемых пород и чистоты

отбора проб. Но не исключено, что могут быть предложены и другие

объяснения закономерностей изменения состава магнетита. Обычно

хорошо интерпретируются те факторы, у которых собственные

числа больше единицы. Это два-три ведущих фактора.

В рассматриваемом методе, как указывалось, происходит

перенос и вращение системы координат. Имеет смысл определить

новые координаты точек (т.е. главные компоненты), что

осуществляется с помощью векторов Ф, которые представляют

собою направляющие косинусы углов между осями старой и новой

систем координат. Прежде чем рассчитывать новые координаты,

необходимо исходные данные нормировать по формуле (2.24)

(табл.4.13).

Новые координаты (главные компоненты) вычисляют по

формуле

.Ф





(4.11)

132

Таблица 4.13

Нормированный состав магнетита

Номер

пробы

TiO

)

MnO

)

SiO

)

MgO

)

CaO

)

1 –0,597 0,596 0,936 0,369 –1,326 –0,709 0,318

2 –0,008 0,246 –0,128 0,550 1,210 0,382 1,682

3 –0,176 –0,105 –0,340 –0,622 0,268 –0,709 –0,591

4 –0,345 –0,632 0,511 –0,802 –0,167 –0,709 –0,364

5 0,076 –0,982 0,085 0,459 –0,457 0,018 –0,136

6 –1,689 –0,982 –0,766 –0,261 –0,399 0,018 –0,591

7 0,076 1,474 –0,340 0,090 1,210 0,382 –0,591

8 0,916 0,246 2,638 2,441 –0,601 3,473 2,364

9 0,328 0,596 0,298 2,802 1,572 –0,709 –0,136

10 1,168 –0,281 –0,404 –0,622 1,572 0,564 –0,591

11 0,580 –0,281 0,085 –1,162 1,355 0,382 –0,591

12 –0,681 –0,281 0,085 –0,261 –0,239 –0,891 –0,591

13 1,084 –1,158 –0,979 –0,261 0,341 –1,073 –0,591

14 1,840 0,947 0,723 0,550 –0,601 1,291 2,818

15 0,244 1,649 –0,979 –0,171 –1,638 –0,709 –0,591

16 0,244 –1,158 –0,553 –0,622 –0,384 0,382 –0,364

17 –1,857 –1,333 –1,617 –0,261 –0,891 –0,164 –0,591

18 –2,109 –0,982 0,511 –0,712 –0,891 –0,709 0,091

19 –0,008 0,246 –0,340 –0,351 0,848 0,018 –0,136

20 0,916 2,351 1,787 –1,072 0,268 –0,345 –0,591

Их вычисляют для каждого фактора и пробы отдельно. Например,

для первого фактора имеем



54321

128,0675,0730,0490,0620,0(

934,2

tttttz

.210,0)835,00779,0

 tt

Совокупность значений z для всех проб магнетита,

рассчитанная по формуле (4.11), приведена в табл.4.14. Дисперсия

значений z по каждому фактору равна собственному числу λ, что

133

служит еще одной проверкой правильности всех предыдущих

вычислений.

Таблица 4.14

Главные компоненты z

Номер

пробы

Новые координатные оси (факторы)

1 2 3 4 5 6 7

1 0,210 –1,169 –1,483 0,522 –0,102 –0,387 0,147

2 1,290 0,331 0,873 0,357 0,054 0,338 1,395

3 –1,093 0,487 –0,156 –0,016 0,163 –0,119 0,119

4 –0,935 –0,256 –0,341 –0,275 0,778 –0,611 0,075

5 –0,145 –0,682 0,555 0,111 –0,036 –0,606 –0,495

6 –1,724 –1,832 0,160 –0,021 –0,215 0,581 –0,303

7 0,302 1,535 –0,290 0,465 –0,006 1,210 –0,118

8 5,161 –1,875 0,665 –0,156 0,494 0,320 –0,882

9 1,229 1,085 0,534 2,860 –0,143 –0,394 –0,204

10 –0,429 1,964 1,461 –0,741 –0,303 0,359 –0,226

11 –0,319 1,389 0,540 –0,881 0,991 0,119 –0,164

12 –1,124 –0,278 –0,430 0,387 0,333 –0,273 0,011

13 –1,227 0,897 0,900 –0,182 –0,544 –1,328 –0,168

14 3,355 –0,291 –0,103 –1,157 –1,068 –0,468 0,910

15 –0,682 0,046 –1,770 –0,091 –1,911 0,322 –0,319

16 –0,771 –0,322 0,817 –0,937 –0,109 –0,240 –0,480

17 –2,293 –1,530 0,879 0,158 –0,453 0,744 0,043

18 –1,474 –1,905 –0,438 0,134 1,045 0,019 0,654

19 –0,229 0,812 0,228 –-0,031 0,204 0,403 0,278

20 0,900 1,597 –2,603 –0,505 0,830 0,013 –0,273



2,934 1,434 0,964 0,647 0,464 0,308 0,250

Таблица 4.15

Средний состав групп магнетита, %

Группа

Число

проб

TiO

MnO V

SiO

MgO CaO

1 15 0,34 0,14 0,26 0,18 0,52 0,08 0,03

2 3 0,10 0,07 0,24 0,14 0,34 0,08 0,03

134

3 1 0,43 0,15 0,39 0,46 0,40 0,29 0,15

4 1 0,54 0,19 0,30 0,25 0,40 0,17 0,17

Главные компоненты

(табл.4.14) позволяют

изобразить проекцию облака

точек на любую плоскость в

новых координатах. Обычно

используется проекция точек

на первые две оси (рис.4.2),

но можно выбрать и другие

пары координатных осей.

Подобные графики также

несут геологическую

информацию. Расположение точек на проекции позволяет выявить

однородные совокупности или отдельные аномальные значения, т.е.

может быть использовано для классификации объектов. На рис.4.2

видно, что магнетиты различаются по составу, соответствующие

точки группируются в два облака. Кроме того, две точки удалены от

облаков, что свидетельствует об аномальности двух проб магнетита.

Следовательно, имеются две однородные группы магнетита и две

аномальные пробы магнетита (группы состоят из отдельных проб).

Чтобы определить, какие точки соответствуют различным номерам

проб, следует обратиться к табл.4.14 (первые два фактора), где

приведены координаты точек в новой системе координат.

Аномальными являются пробы 8 и 14. Малое облако точек

соответствует пробам 6, 17 и 18. В большом облаке находятся точки

остальных проб. Имеет смысл рассчитать средний состав групп и

сравнить их между собой (табл.4.15).

Иногда на рисунках главных компонент имеется только одна

однородная совокупность. В некоторых случаях вместо облаков

точек наблюдаются ряды точек, отражающие особенности эволюции

свойств объектов в пространстве или во времени (рис.4.3). На

рисунки часто выносят значения главных факторных нагрузок,

Рис.4.2. Проекция облака точек

на5плоскость первых двух факторов

Фактор52

Фактор51

–2

135