Поротов Г.С. Математические методы моделирования в геологии: Учебник

Подождите немного. Документ загружается.

которые позволяют наглядно видеть направленность свойств в

признаковом пространстве.

На рис.4.3 отчетливо видны два эволюционных ряда. В

одном ряду преобладают акцессорные хромиты, в другом – рудные

хромиты. Вероятно, они различаются способом образования. Чтобы

определить состав хромитов двух ветвей, нужно рассчитать состав

хромита в каждой ветви. Эта процедура выполняется с помощью

значений главных компонент, таких же, как в табл.4.14.

Выполненные расчеты по образцу табл.4.15 показали, что верхний

эволюционный ряд, где расположены преимущественно

акцессорные магнетиты, направлен в сторону алюмохромитов, а

нижний эволюционный ряд – в5сторону магнохромитов.

Итак, метод главных компонент позволяет выделить

однородные совокупности и аномальные значения, а также дать

геологическую интерпретацию причин изменения свойств объектов

по значениям факторных нагрузок.

4.2.3. Кластерный анализ. Дендрограмма

На основе многомерной статистической модели разработан

еще один способ классификации объектов по множеству свойств –

Рис.4.3. График первых двух факторов

состава хромитов Кемпирсайского месторождения

–2

–4

Рудные

Акцессорные

Al (0,90)

Cr (0,43)

Al (–0,86)

Cr (–0,50)

–1

136

кластерный анализ. Существо его заключается в выделении

однородных групп объектов и в установлении количественной меры

сходства (различия) между объектами и группами объектов.

Пусть имеется совокупность геологических объектов,

обладающих множеством свойств. Сведения о свойствах образуют

матрицу (4.1). Геометрическая аналогия матрицы – облако точек в

многомерном признаковом пространстве, в котором отдельные

точки соответствуют единичным объектам. При кластерном анализе

исследуется взаимное расположение точек. Чем ближе расположены

точки, тем более сходны между собой соответствующие объекты.

Задача состоит в том, чтобы объединить скопления близлежащих

точек, соответствующие однородным группам объектов. Эти группы

называются кластерами, что и дало название методу. Поставленная

задача имеет много вариантов решения.

Вначале необходимо выбрать масштаб по осям координат.

Если величины имеют одинаковую размерность и приблизительно

один порядок, то применяют натуральный масштаб – по

координатным осям откладывают исходные свойства.

Если величины различаются размерностью или порядком

значений, то необходима нормализация свойств. Один из способов

нормализации основан на использовании размаха значений х

max

– х

min

и осуществляется по формуле

minmax

min





, (4.12)

где х – исходные; t – преобразованные (нормализованные) свойства,

нормализованные значения меняются от нуля до +1.

Второй способ нормализации производится по формуле

minmax

min





. (4.13)

Здесь нормализованные значения колеблются от –1 до +1.

Третий способ нормализации выполняется по формуле

(2.24), в которой в качестве масштаба используется

среднеквадратичное отклонение σ. При нормальном распределении

свойства нормализованные значения заключены в основном в

137

пределах от –3 до +3, при иных законах могут выходить за эти

пределы.

Когда масштаб по координатным осям задан, можно

приступить к определению мер сходства (различия) между

объектами по множеству свойств. Наиболее распространенная мера

сходства между объектом i и объектом j – это взвешенное евклидово

расстояние между точками в многомерном признаковом

пространстве:







jlilij

)(

. (4.14)

Напомним, что k – число свойств. Чем меньше ρ

, тем ближе

расположены точки в признаковом пространстве, тем больше

сходство между соответствующими объектами.

В качестве меры сходства можно применять

среднеарифметическое значение абсолютных значений свойств:







jlilij

. (4.15)

Иной характер имеет угловая мера сходства, основанная на

корреляционной связи между объектами:











jlil

(4.16)

Она характеризует косинус угла между двумя многомерными

векторами, соединяющими начало координат с точкой i и с точкой j.

Эта мера заключена в пределах от –1 до +1. Чем она ближе к +1, тем

больше сходство между объектами. Чем она ближе к –1, тем больше

различие между объектами. Применение данной меры оправданно,

если точки находятся приблизительно на одном удалении от начала

координат, так как расстояние между точками не учитывается.

Существует много других мер сходства (различия) между

объектами, их обзор дан в справочнике [15].

138

Если имеется совокупность из n объектов, то совокупность

мер сходства между всеми парами объектов составляет

симметричную матрицу размером n55n. Если используется формула

(4.14) или (4.15), то матрица сходства имеет вид

0ρρ

ρ0ρ

ρρ0

221

112







. (4.17)

По диагонали матрицы расположены нули, которые можно заменить

прочерками. Чем меньше мера сходства, тем больше объекты

сходны между собой.

Если используется мера сходства (4.16), то матрица сходства

имеет другой вид:

1ρρ

ρ1ρ

ρρ1

221

112







. (4.18)

В этой матрице, чем ближе мера сходства к +1, тем объекты более

сходны между собой.

В ходе кластерного анализа близкие между собой объекты

объединяются в группы (кластеры). Вначале находят два объекта,

наиболее близких между собой. Их свойства усредняют, и далее они

выступают как один объект (кластер). Находят меры сходства

полученного кластера со всеми остальными объектами. Данная

операция объединения объектов продолжается, пока все они не

объединятся в один объект. В итоге получается последовательность

объединения объектов и мера сходства на каждом шаге

объединения. Эти данные изображают на графике, который

называется дендрограммой. По оси абсцисс откладывают номера

объектов в порядке объединения, а по оси ординат –

соответствующие меры сходства.

Пример4.5. Имеется 14 анализов циркона на пять

компонентов (табл.4.16). Необходимо провести кластерный анализ.

139

Таблица 4.16

Состав циркона, %

Номер пробы SiO

ZrO

HfO

1 32,74 65,27 1,29 0,12 0,23

2 32,74 64,92 1,74 0,04 0,23

3 33,03 65,30 0,50 0,18 0,23

4 32,07 66,45 1,92 0,18 0,02

5 33,65 63,65 1,63 0,15 0,23

Окончание табл.4.16

Номер пробы SiO

ZrO

HfO

6 31,34 66,57 1,52 0,18 0,17

7 31,03 67,33 0,51 0,09 0,49

8 31,08 68,36 0,49 0,18 0,05

9 30,96 67,84 0,49 0,09 0,20

10 34,53 63,74 1,59 0,30 0,10

11 34,00 63,58 1,45 0,40 0,23

12 34,40 63,58 1,61 0,16 0,27

13 32,81 63,64 1,50 0,18 0,62

14 31,34 66,57 1,52 0,27 0,17

Предварительно все свойства нормализуем по формуле

(2.14). После вычисления матрицы сходства (4.17) стало ясно, что

наименьшая мера сходства 0,302 имеется между пробами 5 и 12.

Объединим их в кластер и усредним. Далее они выступают как одна

проба. Следующая наиболее близкая пара объектов с мерой сходства

0,451 – это объекты 6 и 14. Продолжая объединение проб и

кластеров далее, получим следующую последовательность

объединения проб:

Мера

сходства

Номера объектов

0,302 5 12

0,451 6 14

0,572 1 2

0,648 8 9

140

0,665 4 6 14

0,672 10 11

0,730 5 12 1 2

1,034 3 5 12 1 2

1,057 4 6 14 3 5 12 1 2

1,118 7 8 9

1,206 4 6 14 3 5 12 1 2 7 8 9

1,401 13 4 6 14 3 5 12 1 2 7 8 9

1,415 10 11 13 4 6 14 3 5 12 1 2 7 8 9

В последней строке

все пробы объединились в

один кластер. На

дендрограмме, построенной по этим данным (рис.4.4), видна

последовательность объединения проб. Кроме того, на графике

выделяются, по крайней мере, четыре группы проб (четыре типа

цирконов по составу) и три пробы (13, 3 и 7), отличающиеся от

других проб по составу.

Таким образом, кластерный анализ позволяет выполнить

группировку объектов по степени их сходства по множеству

свойств. Группировка при кластерном анализе может несколько

отличаться от группировки по методу главных компонент, так как в

основу этих методов заложены различные критерии. Можно сказать,

что кластерный анализ дополняет метод главных компонент и

помогает принять более правильное решение при выделении

однородных совокупностей. Кроме того, представляет интерес и

сама дендрограмма, наглядно характеризующая типизацию объектов

по их свойствам.

4.2.4. Распознавание образов

Постановка задачи о распознавании образов. В

геологической практике часто необходимо определить

принадлежность объекта по множеству свойств к заданной

совокупности однородных объектов. Сюда относятся задачи

выделения перспективных территорий, оценки рудопроявлений,

Рис.4.4. Дендрограмма проб циркона

10 11 13 14 124 8 3 5 1 2 7 8 9



1,0

0,5

0,0

Номер объекта

141

отнесения руд к какому-либо типу и5многие другие. Решение

подобных задач основано на приемах распознавания образов.

Образ – это совокупность однородных эталонных объектов

с5набором свойств. Образ выражается матрицей свойств (4.1), в

признаковом пространстве ему соответствует облако точек. В

задачах распознавания обычно участвует не менее двух образов, а

также испытуемые объекты. Задача распознавания заключается в

определении принадлежности каждого испытуемого объекта к тому

или иному образу. Распознавание образов наиболее часто

используется при поисках месторождений, хотя область его

применения гораздо шире.

Пусть имеется n перспективных территорий с заведомо

промышленным оруденением определенного типа. Совокупность

таких территорий, обладающих множеством свойств, создает образ

рудных объектов. Им соответствует матрица свойств

 

nknn

xxx

ххх







22221

11211

рудн



. (4.19)

Далее имеется m заведомо неперспективных территорий, где

оруденение отсутствует, – это образ безрудных объектов:

 

mkmm

yyy

ууу







22221

11211

безр



. (4.20)

Наконец, имеются группы из l испытуемых территорий,

перспективность которых неизвестна, им соответствует матрица

 

lkll

zzz







22221

11211

исп



. (4.21)

142

У всех объектов должны быть измерены одни и те же

величины (например, длина, мощность и т.д.). Цель исследования

состоит в определении, к какому образу – рудному или безрудному

– относится каждая из испытуемых территорий.

Может быть задано несколько типов рудных объектов и,

соответственно, рудных образов. Испытуемые объекты могут быть

объединены с безрудными. Иногда рудные объекты делят на две

части. Одна часть используется «для обучения», другая – «для

экзамена», т.е. для проверки эффективности методики

распознавания.

Существует много способов решения задачи распознавания.

Последовательность операций по решению задачи распознавания

называется решающим правилом или алгоритмом распознавания.

Определение информативных свойств. Распознаванию

образов предшествует отбор информативных свойств, чтобы

исключить из рассмотрения неинформативные свойства и сократить

объем вычислений. Более того, избыток неинформативных свойств

ухудшает результаты распознавания образов.

Один из методов определения информативности свойств

основан на оценке частот сочетаний качественных свойств рудных

объектов, поскольку сочетания свойств более информативны, чем

сумма информативностей отдельных свойств. Например,

оруденение может появляться при благоприятном сочетании

нескольких свойств (при пересечении разрывных нарушений, на

контакте интрузивных пород с определенными литологическими

типами горных пород и т.д.). В простейшем случае

информативность J отдельного свойства i определяется по формуле





, (4.22)

где n – число объектов; k – число свойств; N

– частота совместного

появления свойства i и свойства j.

Расположив свойства в порядке информативности, можно

найти суммарную информативность m свойств:





. (4.23)

143

Известны приложения рассмотренного приема к

определению информативности руководящей фауны.

В алгоритме распознавания образов «Кора-3»,

предложенного М.М.Бонгардом [15], используются не только

двойные, но тройные сочетания свойств.

Пример4.6. Имеется шесть рудных объектов, у которых

измерено пять качественных свойств:

 

10001

11010

10010

11111

10011

11110

руд

X

Требуется определить информативность свойств.

По формуле (4.22) найдем информативность первого свойства:

.32,0)21123(

22222

J

Здесь числа в скобках – частота сочетания первого свойства

со всеми свойствами (включая первое) в квадрате. Аналогично

найдем информативность остальных свойств. В результате получим

набор (вектор) информативности всех свойств:

{J}5=5(0,325550,575550,285550,395550,53).

Наиболее информативным оказалось второе свойство, далее

идут пятое, четвертое, первое и третье свойства. По формуле (4.23)

определим суммарную информативность, последовательно добавляя

свойства в порядке убывания их информативности:

}5=5(0,575550,785550,875550,935550,97).

Если принять информативность суммы всех свойств за

1005%, то на долю двух важнейших свойств приходится 815%, а при

добавлении третьего свойства она возрастет до 905%. Для решения

задачи распознавания образов можно ограничиться тремя первыми

свойствами.

144

Второй метод определения информативности качественных

свойств основан на энтропии свойства j:







iij

ppJ

ln)(

, (4.24)

где р

и p

– частота появления свойства j соответственно на рудных

и безрудных объектах.

Чем больше частоты р

и p

отличаются друг от друга, тем

более информативны соответствующие свойства. Пример

применения формулы (4.24) приведен в работе [1], где оценена

Рис.4.5. Схема перспективности на никель Кольского полуострова

(по листам геологической карты масштаба 1:50000) [1]

1 – перспективные территории; 2 – неперспективные территории с массивами

ультраосновных пород; 3 – территории без ультраосновных пород;

4 – территории, не охваченные прогнозной оценкой

145