Поротов Г.С. Математические методы моделирования в геологии: Учебник

Подождите немного. Документ загружается.

Наиболее сильно выраженная волна периодической

изменчивости, показанная на рис.5.14, имеет следующий вид:

{1,91 1,52 3,01 5,92 5,51 3,10 2,17 2,38}.

Можно совместить график исходных данных с графиком

периодической изменчивости и убедиться в удовлетворительном

их совпадении (рис.5.15). Следует отметить, что дисперсия

периодической изменчивости в данном случае несколько больше,

чем при гармоническом анализе с использованием двух важнейших

гармоник.

5.5.ОСНОВЫ ГЕОСТАТИСТИКИ

5.5.1.Вариограмма и ее аппроксимации

В основе геостатистической группы математических

моделей лежит гипотеза о том, что случайный результат измерений

обусловлен случайным расположением сети наблюдений. При

перемещении сети наблюдений результаты измерений будут другие,

но сохраняется одна характеристика – средний квадрат разности

между результатами измерений на расстоянии h. Это возможно при

эргодичном характере пространственной переменной. На основе

гипотезы введена вариограмма γ(h) – главная характеристика в

геостатистике. Она равна полусумме среднего квадрата разности

Рис.5.14.5Одна волна

периодической изменчивости

(x)

1,0 8,0

Рис.5.15.5Совмещение исходных данных (линия 1)

и периодической изменчивости (линия 2)

f(x)

1,0

25,0

196

между результатами измерений при шаге h и выражается формулой

(5.4).

Следует отметить, что вариограмма тесно связана со

случайными функциями. Сумма вариограммы и ковариации

(автокорреляционной функции) равна дисперсии исходных данных:

γ(h)5+5K(h)5=5D. (5.25)

График вариограммы зависит от характера дискретности

пространственной переменной. Для непрерывных пространственных

переменных (например, мощности пласта) вариограмма начинается

с нулевой отметки и возрастает до дисперсии исходных данных

(рис.5.16). Для дискретных пространственных переменных

вариограмма начинается с некоторой величины С (рис.5.17),

называемой эффектом самородков, потому что он был вначале

установлен на месторождениях золота.

Вариограмма имеет радиус влияния R, который идентичен

радиусу автокорреляции в случайной функции. За пределами

радиуса влияния вариограмма постоянная и равна дисперсии D, т.е.

ее влияние отсутствует. Как упоминалось, радиус R является

векторной величиной. В изотропных геологических телах по всем

направлениям радиус влияния описывает окружность, за пределами

которой влияние вариограммы отсутствует. В анизотропных

геологических телах значения радиуса R по разным направлениям

столь различны, что напоминают восьмерку.

В пункте с координатой R вариограмма может иметь

горизонтальную касательную и плавно переходить в линию

дисперсии.

Эмпирическая вариограмма, получаемая на основе

дискретных измерений, строится по отдельным точкам и имеет вид

ломаной линии (рис.5.18). Чтобы использовать ее для дальнейших

вычислений, необходимо выполнить аппроксимацию вариограммы

какой-либо теоретической кривой. Вид аппроксимирующей

функции определяет вид геостатистической модели. Существует

много видов аппроксимирующих функций. Наибольшее

распространение получили четыре функции и, соответственно,

четыре геостатистические модели.

197

Первая модель линейная. В ней вариограмма

аппроксимируется прямой линией (рис.5.19), что нередко близко к

действительности. Во второй модели вариограмма

аппроксимируется кубическим полиномом, который не имеет общей

касательной с линией дисперсии (рис.5.20). Эта модель лучше всего

соответствует действительности. Третья модель (сферическая) также

аппроксимируется кубическим полиномом, но он имеет

горизонтальную касательную при соприкосновении с линией

дисперсии (см. рис.5.16 или рис.5.17). Четвертая модель (модель Де-

Вийса) характеризуется тем, что шаг вариограммы откладывается в

логарифмическом масштабе, а сама вариограмма представляется в

виде прямой линии (рис.5.21).

Выбор варианта аппроксимации носит произвольный характер.

Наилучшим вариантом можно считать тот, который дает

наименьшую дисперсию отклонений эмпирических значений от

теоретических.

198

На вид вариограммы отрицательно влияет периодическая

изменчивость свойств пространственной переменной. Вариограмма

колеблется около линии дисперсии, создавая так называемый

Рис.5.16. Теоретический

вид вариограммы

(h)

Рис.5.17. Теоретический вид

вариограммы с эффектом

самородков

(h)

Рис.5.20. Полиномиальная

модель вариограммы

(h)

Рис.5.21. Модель Де-Вийса

(h)

lnh

Рис.5.19.5Линейная модель

вариограммы

(h)

Рис.5.18.5Эмпирическая вариограмма

(h)

199

эффект включений. При сильно выраженной периодической

изменчивости радиус влияния определяется неточно.

Пример5.11. В горной выработке определено содержание

золота через 15м (табл.5.11, рис.5.22). Требуется построить

вариограмму содержаний и аппроксимировать ее какой-либо

моделью.

Эмпирическая вариограмма, вычисленная по формуле (5.4),

показана на рис.5.18. Она содержит 13 точек, т.е. рассчитана до 12-го

шага (половина длины ряда наблюдений).

Таблица 5.11

Содержание золота в пробах, г/т

Пункт

измерений

x,5м

Содержание

золота

в5пробах f (x),

г/т

Пункт

измерений

x, м

Содержание

золота

в5пробах f (x

г/т

1 5,2 14 4,6

2 3,5 15 4,7

3 4,6 16 6,7

4 5,2 17 6,8

5 6,8 18 4,9

6 6,1 19 3,0

7 7,0 20 3,5

8 7,4 21 3,8

9 7,8 22 5,4

10 7,6 23 4,1

11 6,2 24 4,0

12 5,2 25 5,5

13 2,6 26 5,1

200

Начальная часть вариограммы (первые четыре точки)

расположена практически на одной линии, поэтому для построения

теоретической вариограммы используем линейную модель, как на

рис.5.19. Уравнение теоретической вариограммы, рассчитанное по

четырем точкам, γ(h)5=50,8h. Радиус автокорреляции R5=52,55м

получен при пересечении линии теоретической вариограммы с

линией дисперсии исходных данных D5=52,03.

5.5.2.Влияние на вариограмму геометрической

базы измерений

Многие характеристики пространственной переменной

зависят от геометрической базы измерений, т.е. от формы, размеров,

а в анизотропных телах и от ориентировки области измерений. К

таким характеристикам, в первую очередь, относятся дисперсия и

вариограмма.

Если область, в которой производится измерение,

настолько мала, что ее размерами можно пренебречь, то измерение

рассматривается как точечное. Характеристики, полученные из

таких измерений, рассматриваются как измерения на точечной

геометрической базе.

Пусть в геологическом поле имеется множество точек, в

каждой из которых пространственная переменная имеет значение

f(x). Если геологическое поле разделить на области объемом v и в

Рис.5.22. График исходных данных

f(x)

26,0

1,0

2,6

7,8

201

каждом из них найти среднее из N точечных значений, то получим

новую пространственную переменную f

(x):







mxfmh

)()(

)(

при





mpp

)(

(5.26)

где p(m) – весовая функция, зависящая от взаимного расположения

точек в объеме v.

При увеличении размеров геометрической базы происходит

усреднение значений пространственной переменной,

соответственно, будут меняться некоторые статистические

характеристики. При переходе к бесконечному множеству точек в

объеме v выражение (5.26) преобразуется в интегральную форму:





dmmxfmp

xf )()(

)(

при





dmmpp )(

. (5.27)

Нахождение средних значений f

(x) по точечным значениям

f(x) называется регуляризацией (сглаживанием) пространственной

переменной в объеме v. Меняя объем v, будем получать различные

регуляризованные пространственные переменные, соответственно,

будут меняться и их характеристики.

Изменение дисперсии по мере увеличения объема v

описывается формулой

 

 



1 1

)(γ

, (5.28)

где D – дисперсия пространственной переменной на точечной базе;

N – число точек в объеме v.

Вычитаемое в формуле (5.28) представляет собою среднее

значение вариограммы, получаемое при всех возможных

положениях точек i и j в объеме v. При переходе к бесконечному

множеству точек формула (5.28) приобретает интегральный вид:

 



v v

dyyxdxDD )(γ

. (5.29)

202

Из формул (5.28) и (5.29) следует, что по мере увеличения

объема v дисперсия пространственной переменной уменьшается.

Подобные формулы существуют и для вариограммы:

   

   



hji

1 1 1 1

)(γ

(5.30)

или в интегральной форме

.)(γ

)(γ

   



v v v v

dyyxdxdyhyxdxh

(5.31)

Первое слагаемое в этих формулах характеризует среднюю

ковариограмму, которая получается как средняя из вариограмм

между всеми точками в объеме v, а вычитаемое – в таком же объеме,

смещенном на расстояние h.

Формулы (5.28)-(5.31) выведены в предположении, что

объем v мал по сравнению с объемом изучаемого геологического

объекта, иначе сказывается граничный эффект, который можно

учесть введением специальной весовой функции – геометрической

ковариограммы p(h):





dxhxkxkhp )()(

)(

, (5.32)

где k(х)5=51, когда точка х находится внутри геологического объекта,

k(х)5=50, когда точка х находится за его пределами.

Геометрический смысл ковариограммы заключается в

степени перекрытия двух объемов, смещенных относительно друг

друга на расстояние h. С учетом функции p(h) формулы (5.29) и

(5.31) приобретают следующий вид:





dxxxpDD )(γ)(

; (5.33)

 



v v

dxxxpdxhxxph )(γ)()(γ)()(γ

(5.34)

203

Если вариограмма аппроксимирована каким-либо

алгебраическим выражением, т.е. задан вид математической модели,

то интегралы во многих случаях могут быть вычислены и заменены

соответствующими алгебраическими выражениями.

Пример5.12. Имеются исходные данные по содержанию

золота в горной выработке (табл.5.11). Требуется показать

изменение дисперсии и вариограммы при увеличении размера проб.

Будем объединять и усреднять исходные данные по два, три

и четыре соседних измерения путем сглаживания методом

скользящего окна, что аналогично увеличению размеров проб

исходных данных v. Количество исходных данных будет

уменьшаться. Рассчитаем дисперсию D усредненных данных по

формуле (2.2) и вариограмму (h) по формуле (5.4) по каждому

варианту усреднения. Результаты расчета изображены на рис.5.23 и

5.24. На рисунках видно, что при увеличении размера проб

дисперсия уменьшается, по сравнению с рис.5.18 убывает также и

вариограмма.

Рис.5.23. Уменьшение дисперсии D

при увеличении геометрической

базы измерений v

2 3

Рис.5.24. Изменение вариограммы γ(h)

при увеличении геометрической базы

измерений v

0 2 4 6 10 12

v5=51(h)

204

5.5.3.Понятие о кригинге

На основе геостатистических моделей создан новый метод

интерполяции результатов между пунктами измерений, который

получил название кригинг (крайгинг) в честь автора метода

Д.П.Крига [7]. Как показано Д.Матероном [12], кригинг дает

минимальную сумму квадратов отклонений прогнозных значений от

фактических значений пространственной переменной. Существует

несколько видов кригинга. Вначале рассмотрим простейший –

точечный кригинг.

Пусть имеется область v, в которой произведены измерения

пространственной переменной по дискретной сети (рис.5.25).

Каждое измерение считаем точечным, т.е. пренебрегаем

геометрической базой измерений.

Необходимо рассчитать прогнозное значение

пространственной переменной в точке Z. Предположим, что

геологический объект изотропный, тогда вокруг точки Z можно

провести окружность с радиусом влияния R. Все измерения внутри

окружности влияют на значение пространственной переменной в

точке Z. За пределами окружности результаты измерений в

прогнозировании не участвуют.

Прогнозное значение находится в результате выполнения

ряда последовательных операций:

1.5Рассчитывается эмпирическая вариограмма, как на рис.5.18.

Рис.5.25. Схема точечного кригинга

205