Петросян Л.А. и др. Теория игр
Подождите немного. Документ загружается.
множества точек возможных выигрышей в чистых стратегиях. Для
игры примера 13 оно примет вид, как на рис. 10.
Заметим, что совместная смешанная стратегия М*
=Г'о
У
является оптимальной по Парето и ей соответствует вектор выиг-
рышей (5/2, 5/2). Таким образом, М* может быть рекомендована
в качестве решения игры «семейный спор».
Определение. Для
биматричной
(тхи)-игры
Г
{А,
В)
обозна-
чим через
М=
{цу} совместное вероятностное распределение
на
па-
рах (i, j), f=l, ..., т; 7=1, ..., п. Через /*,(/)
обозначим
условную
вероятность реализации стратегии] при
условии,
что реализовалась
стратегия
i.
Аналогично,
через
Vj(i) обозначим условную
вероят-
ность реализации стратегии
i
при
условии,
что реализовалась
стра-
тегия]. Тогда
ft</>="
У/(0=1
%/Ё
РФ
если £ /ty*
0
»
0, если fjL,j=0,j=l, .... и;
/ty/E
Иц,
ее™ £ n,j^0,
/-1
0, если Htj=0, i—l, ..., т.
Будем говорить, что
A/*
= {/xJ} —
ситуация равновесия
в со-
вместных смешанных стратегиях
в игре Г
(А,
В), если выполнены
следующие неравенства:
twr(j)>£*tjtf(f), Ем*(о>ЕИ(0 (6.1)
j-i
j-\ t-i i-i
для всех i, fell, 2, ..., т)
ш],]'е{\,
2, ..., я}.
6.2. Игру Г
(Л,
5) в совместных смешанных стратегиях можно
интерпретировать следующим образом. Пусть игроки договори-
лись об использовании стратегии М*={ц^} и пусть также в резуль-
тате реализации случайного механизма выпала пара (/', /), т. е.
первый (второй) игрок получил номер i(j) стратегии. Заметим, что
каждый из игроков знает только свою реализацию. Этот игрок,
вообще говоря, может не согласиться с реализацией
г
(соответствен-
но
У)
совместной стратегии и выбрать стратегию f
(/').
Тогда, если
М* — равновесная ситуация, то каждому из игроков невыгодно
отклоняться от предложенной реализации г (соответственно
]),
что
следует из (6.1), где в левой части неравенства стоит ожидаемый
140
выигрыш игрока 1 (игрока 2) в случае согласия с реализцией i(j).
Теперь предположим, что стратегия i игрока 1 такова, что %=0
для всех
7=1,
2, ..., п. Тогда первое из неравенств (6.1), очевидно,
выполняется. Аналогично, если /х
у
=0 для всех i=\, m, то второе из
неравенств (6.1) выполняется. Подставим выражения для
ц
{
{])
и уДО
через
Цу
в формулы (6.1). Тогда получаем, что необходимым и до-
статочным условием равновесности ситуации М*={ц^} является
выполнение неравенств
я я /я я
1-Х J-\ i-l ]-\
zw>i^./'*>o
с
6
-
2
)
i-i (-1
для всех /,
/'е{1,
2, ..., m)jaj,j 'е{1, 2, .... и}.
Обозначим через Z
c
(r) множество равновесных ситуаций в со-
вместных смешанных стратегиях.
Теорема.
Справедливы следующие
утверждения.
1.
Множество
Z
C
(T)
равновесных ситуаций
в
совместных
сме-
шанных
стратегиях в
биматричной
(тхп)-игре Г
(А,
В) является
непустым выпуклым компактом пространства
1Г
хп
.
2) Если (х, у) —
ситуация
в
смешанных
стратегиях игры Г (А,
В),
то
определяемая
по ней
ситуация
М={цу) в
совместных
смешан-
ных
стратегиях будет равновесной тогда
и
только
тогда,
когда (х,
у) —
ситуация равновесия
по Нэшу в
смешанных стратегиях
в игре
Т{А,
В).
Доказательство. Пусть (х, у), x=*(g
v
...,
<!;«),
y=(n
lt
...,
п„)
—
ситуация в смешанных стратегиях игры Г
(А, В),
а М =
{ц
и
}
— соот-
ветствующая ситуация в совместных стратегиях, т. е.
Цц—Zt'nj,
»= 1,
..., m;j=\ л. Необходимым и достаточным условием равновес-
ности М является система неравенств (6.2), т. е.
ЬК&у^ЬК^у),
n
}
K
2
{x,j)>VjK
2
(x,j'),
(6.3)
где
i,
Гб{1,2,..., m};j,j'e{l,...,
и}.
Если &=0 (fy=0), то неравенства
очевидны. Поэтому система неравенств (6.3) эквивалентна следу-
ющей:
К,
(I,
у)>К, (/', у), К
г
(х,
J)>K
2
(x,
/), (6.4)
г, i'e{l, ..., т}; j,
j'e{l,
..., и}, где i и j принадлежит спектрам
стратегий х и у. Предположим, что (х, у) — ситуация равновесия по
141
Нэшу в смешанных стратегиях в игре Г
(А,
В). Тогда согласно
теореме п. 5.2
K,(i,
у) =
К
1
(х,
у), K
2
(x,J)
=
K
2
(x, у)
для всех
/
и j
из
спектров оптимальных стратегий. Поэтому неравен-
ства (6.4) выполнены и MeZ
c
(T).
Обратно, если (6.3) выполнено, то, суммируя неравенства (6.3)
по i
a.
j соответственно и применяя теорему п. 5.1, получаем, что
ситуация (х, у) равновесна по Нэшу.
Выпуклость и компактность множества Z
C
(F) следует из того,
что Z
c
(Г)
— множество решений системы линейных неравенств
(6.2),
которое ограничено, а непустота — из существования ситу-
ации равновесия по Нэшу в смешанных стратегиях (см. п. 4.1).
Теорема доказана.
Отметим, что совместная смешанная стратегия М*
Р/
2
0 1
10
1
/а.
равновесна в игре «семейный спор» (см. пример
1
п. 1.4), что просто
установить проверкой неравенств (6.2).
§ 7. ЗАДАЧА О ПЕРЕГОВОРАХ
7.1.
Основной вопрос, который мы рассмотрим в данном параг-
рафе, заключается в том, как прийти к соглашению разумным
игрокам при совместном выборе решения в ходе переговоров. Пе-
ред тем как сформулировать задачу, еще раз вернемся к игре
«семейный спор».
Пример 14. Рассмотрим множество R, соответствующее возмож-
ным векторам выигрышей в совместных смешанных стратегиях для
игры «семейный спор» (область, заштрихованная на рис. 11). Дейст-
вуя совместно, игроки могут реализо-
вать любой выигрыш в смешанных
стратегиях в области R. Однако это не
означает, что они могут договориться
о любом исходе
игры.
Так, игроку
1
на-
иболее предпочтительна точка (4, 1),
а игроку 2 — точка (1, 4). Ни один из
игроков не согласится с результатами
переговоров, если его выигрыш будет
меньше максиминного значения, по-
скольку этот выигрыш он может полу-
чить самостоятельно (независимо от
партнера). Максиминные смешанные
стратегии игроков в этой игре
х°
=
(1/5,
4/5) и у
0
=
(4/5,
1/5) соответственно,
а вектор выигрышей в максиминных
%WM)
Рис. 11
142
стратегиях («°,«°) равен (4/5,4/5). Поэтому множество S, возможное
для переговоров, ограничено точками а, Ь, с, d, е (см. рис. 11).
Н&зовем его
переговорным множеством
игры. Далее, действуя со-
вместно, игроки всегда могут договориться выбирать точки на
отрезке
ab,
поскольку это выгодно обоим (отрезок
ab
соответствует
ситуациям, оптимальным по Парето).
7.2. Назовем задачу выбора точки (v
u
v
2
) из S в результате
переговоров задачей о
переговорах.
Таким образом, мы пришли
к следующей проблеме. Пусть для биматричной игры Г
{А,
В)
задано переговорное множество S и вектор максиминных выигры-
шей
(«х»
v
2
). Требуется найти правило, решающее задачу о перегово-
рах, т. е. необходимо найти функцию
ср,
такую, что
ФМ.«2)=(«1,^). (7-1)
Оказывается, что при некоторых разумных предположениях за-
дача (7.1) разрешима в силу справедливости следующей теоремы.
Теорема.
Пусть
S —
выпуклый компакт
в R
2
,
(v°,
v\) —
вектор
максиминных выигрышей
в
игре
Г
(А,
В).
Множество
S,
пара
(v
u
v
2
)
и
функция <р удовлетворяют следующим
условиям:
2) (v
lt
v2)eS.
3) Если (»!, v
2
)eS и («
lf
«2»(«xi »
2
)>
то
(
v
i>
v
z) =
(
v
i>
v
z)-
4) Если (v
u
v
2
)e!Sc:S и (v
lt
v
2
)=q>(S,
«?, i>°), то fo, v
2
)
=
<p(S,
v?,
Ǥ).
5) Пусть Т
получается
из S
с помощью линейного преобразования
»1
=
<х
1
ю
1
+/?
1
,
v
2
=
a
2
v
2
+
fi
2
,
а
х
>0, а
2
>0.
Тогда,
если
q>(S,
v\, v
2
b
) = {v
l
,
«г),
то
<р(Т,
arf + fii, «
2
«2+/*2)=(«i*i +
/*i,
a
2
i
2
+
p
2
).
6)
Если
из (v
lt
v
2
)
е S следует
(v
2
,1>
х
) е
S для всех (v
u
v
2
) e S;«°=v%
и (p(S,
«1,
v
2
)=(v
lt
v
2
), то v
1
=v
2
.
Тогда существует единственная функция ср
такая, что
(p(S,
v°
lt
«г)=(«1,
v
2
).
Функция
(р,
которая отображает игру с переговорами (S, v°, v
2
)
в множество векторов выигрышей (v
lt
v
2
) и удовлетворяет условиям
1) — 6), называется арбитражной_схемой Нэша [11], условия 1) —
6) —
аксиомами
Нэша,
а вектор (v
lt
v
2
) —
арбитражным вектором
выигрышей.
Таким образом, арбитражная схема — это реализуемый
принцип оптимальности в игре с переговорами.
Прежде чем перейти к доказательству теоремы, обсудим ее
условия на примере игры «семейный спор» (см. рис. 11). Условия
1 и 2 означают, что вектор выигрышей («
ls
v
2
) находится в множест-
143
ве,
ограниченном точками а, Ь, с, d, е. Ограничение 3 показывает,
что (v
t
, v
2
) лежит в множестве точек, оптимальных по Парето.
Условие 4 говорит о независимости функции
q>
от посторонних
стратегий, т. е. если (»
15
v
2
) — арбитражный вектор выигрышей для
множества
7>,
то при расширении множества переговоров до S реше;
нием будет либо (v
v
v
2
), либо другая точка, но не принадлежащая £!
Ограничение 5 говорит о том, что если функции выигрыша отлича-
ются лишь масштабом измерения и началом отсчета, то также
отличаются и результаты переговоров. Свойство 6 указывает на
равноправность обоих игроков.
Доказательство теоремы п. 7.2 основано на следующих вспомо-
гательных результатах.
7.3.
Лемма. Если существуют точки (v
lt
v
2
)eS,
что i>i>«?
и v
2
>v
2
, то
существует единственная
точка (v
lt
v
2
),
максимизиру-
ющая
функцию
на
подмножестве
S
Y
<^S,
S
x
=
{(v
v
v
2
)\(v
t
,
v
2
)eS,
ю^»?}.
Доказательство. По условию S^ —непустой компакт, а в —
непрерывная функция, поэтому она достигает на нем своего мак-
симума д. По предположению, 6 положительно.
Пусть существуют две точки максимума {о\,
v'
2
)
и {v\,
v'
2
)
функ-
ции в на S
t
. Заметим , что
ч\Ф%Р
г
,
поскольку в противном случае из
вида функции в имеем v'
2
=v
2
.
Если
v'i<vl,
то v'
2
>v
2
. Так как множество 5
Х
—выпукло, то
fo,
v
2
)eS
l9
где
»
1
= (»'i+»i)/2, v
2
=(v'
2
+v
2
)j2. Имеем
_
(
с
;-^)+(^-«;) ц—»ж»;-«°)
0O>i.
«
2
)= ' =
=
К-«;)(^
2
-^)
|
(„;-«,>;-„?)
|
к-<)(«;-v'
2
)
2 2 4
Каждое из первых двух слагаемых последней суммы равно в/2,
а третье слагаемое положительно, что невозможно, поскольку в —
максимум функции в. Таким образом, точка (й
и
v
2
), максимизиру-
ющая функцию в на множестве S
lt
единственна.
J7.4.
Лемма. Пусть S
удовлетворяет
условиям леммы п. 7.3,
а («и v
2
) —
точка максимума функции
в (v
lf
v
2
) и
пусть
<5(«i» v
2
) = (v
2
-vl)v
l
+ (v
1
-v4)v
2
.
Если («
lf
v
2
)eS,
то
имеет место неравенство
5(v
u
v
2
)^8(vy, v
2
).
Доказательство. Предположим, что существует такая точка
(v
lt
v
2
)eS,
что 8(v
lt
v
2
)>5(p
l
, Z
2
). Из выпуклости S имеем:
144
(v\,
v'
2
)eS,
где
v'^
— v^ziv^ — vj и
V'
2
=
V
2
+
E(V
2
—V
2
),
0<е<1.
В силу
линейности
div^
— v^ v
2
—v
2
)>0. Имеем
e(v'i, v'
2
)
=
0(v
lt
«
2
) + £^(i;
1
-«
1
, v
2
-v
2
)
+
a
z
(v
1
-v
1
)(v
2
-v
2
).
Последнее слагаемое — бесконечно малая величина порядка
0
(е).
Поэтому при достаточно малом е>0 получаем неравенство Q(v\,
v'
2
)>6(vy, v
2
), но это противоречит максимальности 0(«
l5
v
2
).
7.5.
Перейдем к доказательству теоремы п. 7.2. Для этого пока-
жем, что точка (у
и
v
2
), которая максимизирует 6{v
u
v
2
), является
решением задачи о переговорах.
Доказательство. Предположим, что выполнены условия лем-
мы п. 7.3. Тогда определена точка G>
v
y
2
), которая максимизирует
Q(
v
i>
v
i)- Можно проверить, что $
и
v
2
) удовлетворяет условиям
1) — 4) теоремы п. 7.2. Она также удовлетворяет условию 5 этой
теоремы, так как если
v'
1
=
a
1
v
1
+
p
l
и
v'
2
= a
2
v
2
+
f}
2
,
то
04*1,
^^-("А+Ш^-^А+Р^а^в^,
v
2
),
и если («
l5
v
2
) максимизирует в(ь
1г
v
2
), то (v'
lt
v'
2
) максимизирует
&Wi>
v
'i)- Покажем, что (v
lt
v
2
) удовлетворяет условию 6. Пусть
множество S симметрично в смысле условия 6 и v°=v
2
. Тогда
(у>
2
,
«
1
)е5'
1
и 0(»
lf
v
2
)=6(v
2
, Zj). Так как (о
и
v
2
) —^единственная точка,
которая максимизирует 0(v
it
v
2
) на S
lt
то (и
и
v
2
)=(v
2
, «Д т. е.
Таким образом, точка (v
lt
v
2
) удовлетворяет условиям 1) — 6).
Покажем, что это единственное решение задачи о переговорах.
Рассмотрим множество
Л =
{(»!,
v
2
)\S(v
lt
v
2
)^S(Z
t
,
Z
2
)}.
(7.2)
По лемме п. 7.4 имеет место включение ScR. Пусть Т получается
из Л с помощью преобразования
*i== -
0
,»2=z -• (7.3)
Выражая v
t
и v
2
из (7.3) и подставляя в (7.2), получаем, что
T={(v'
l
,v
2
)\v'
1
+v
2
^2}
и
t)i°=t)
2
0
= 0. Так как Г симметрично, то из свойства 6 имеем, что
решение (если оно существует) должно лежать на прямой v'
l
=v'
2
,
а согласно свойству 3 оно должно быть точкой (1, 1), т. е. (1,
1)
=
ф
(Г,
0,
0).
Обращая преобразование (7.3) и применяя свойство 5,
получаем, что (й
1г
v
2
)
=
cp(R,
v°, v
2
). Так как (v
lt
v
2
)eS,
a S(^R, на
основании свойства 4 пара
(«
15
v
2
) является решением для (S, «?, v
2
).
Предположим теперь, что условия леммы п. 7.3 не выполнены,
145
т. е. не существует точек (v
lt
v
2
)eS,
для которых v
t
>v° и v
2
>v
2
.
Тогда возможны следующие случаи.
а) Существуют точки, у которых «^«"и
v
2
=v
2
. Тогда в качест-
ве (v
v
, v
2
) возьмем точку в S, которая максимизирует v
t
при ограни-
чении v
2
=v
2
.
б) Существуют точки, у которых v
l
=v1 и v
1
>«2- В этом случае
в качестве (v
t
, v
2
) возьмем точку в S, которая максимизирует v
2
при
ограничении
«
х
=v°.
в) Переговорное множество 5 вырождается в точку («°, v
2
) мак-
симинных выигрышей (например, случай матричных
игр).
Полагаем
- о
-
о
Непосредственно можно проверить, что эти решения удовлет-
воряют свойствам 1) — 6), при этом из свойств 1) — 3) следует
единственность. Теорема доказана.
В игре «семейный спор» (см. пример 14) схема Нэша дает
арбитражный выигрыш (t>
lt
ю
2
)=(5/2, 5/2) (см. рис. 11).
§ 8. ИГРЫ В ФОРМЕ ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКОЙ ФУНКЦИИ
В § 6 и
§
7 на примере игр двух лиц было показано, как, исполь-
зуя возможность согласованного выбора стратегий, игроки могут
прийти к взаимоприемлемому решению возникающего неантагони-
стического конфликта (стратегический подход). Теперь будем счи-
тать,
что условия игры допускают совместные действия игроков
и перераспределение выигрыша. Это предполагает, что полезности
различных игроков могут быть оценены единой шкалой (трансфера-
бельные выигрыши), и поэтому взаимное перераспределение выиг-
рышей не искажает содержательной постановки первоначальной
задачи. Представляется естественным, что объединение игроков
в максимальную коалицию (в коалицию, состоящую из всех иг-
роков) с целью получения максимального суммарного выигрыша
приведет к наилучшим результатам также и с точки зрения каждого
игрока, при этом нас будет интересовать не столько как коалиция
игроков добивается своего суммарного выигрыша, сколько как он
будет распределен между членами коалиции (кооперативный под-
ход).
В § 8 — 10 рассмотрена кооперативная теория игр и лиц. В ней
исследуются условия, при которых объединение игроков в мак-
симальную коалицию является целесообразным, а отдельные игро-
ки не будут иметь желания создавать меньшие группировки или
действовать индивидуально.
8.1.
Пусть N=
{1,...,
и}
— множество всех
игроков.
Любое непус-
тое подмножество SczN называется
коалицией.
Определение.
Характеристической функцией игры
п лиц
будем
называть
вещественную
функцию v,
определенную
на коалициях
SczN,
при этом для любых
непересекающихся коалиций
Т, S
(TczN,
146
S<zN)
выполняется неравенство
v(T) + v(S)^v(T[jS),v(0)
=
O.
(8.1)
Свойство (8.1) называется
свойством
супераддитивности.
Оно
необходимо для содержательной интерпретации числа v(T) как
гарантированного выигрыша коалиции Т в случае, когда она дей-
ствует независимо от остальных игроков. При такой интерпретации
неравенство (8.1) означает, что коалиция S\jT имеет не меньше
возможностей, чем две непересекающиеся коалиции S и Т, дейст-
вующие независимо.
Из супераддитивности v получаем, что для любых непересека-
ющихся коалиций S
u
..., S
k
2>№)<*(Л0-
Отсюда, в частности, следует, что не существует такого разбиения
множества JV на коалиции, чтобы суммарный гарантированный
выигрыш этих коалиций превышал максимальный выигрыш всех
игроков
v
(N).
8.2. Рассмотрим бескоалиционную игру r=(N, {Xi\
ieN
,
{H,}
ieN
).
Пусть игроки, составляющие некоторую коалицию ScN, объ-
единяют свои усилия с целью увеличения своего суммарного выиг-
рыша. Установим, какой наибольший выигрыш они могут себе
гарантировать. Совместные действия игроков из коалиции S оз-
начают, что коалиция S, действуя от имени своих членов как один
игрок (обозначим его
1),
имеет в качестве множества чистых страте-
гий всевозможные комбинации стратегий, составляющих ее игроков
из S, т. е. элементы декартового произведения
AT
s
=n*i.
ieS
Общность интересов игроков из S означает, что выигрыш коалиции
S (игрока 1) есть сумма выигрышей игроков из S, т. е.
tf
s
(*)=£
#,(*),
ieS
где
xeX
N
,
x=(x
u
..., д:
я
) — ситуация в чистых стратегиях.
Нас интересует тот наибольший выигрыш, который игроки из
S могут себе гарантировать.
В
худшем для игрока / случае оставши-
еся игроки из N \S могут также объединиться в коллективного
игрока 2 с множеством стратегий Х^
3
= П ^>
и
интересом, диаме-
ieN \S
трально противоположным игроку 7 (т. е. выигрыш игрока 2 в ситу-
147
ации
х
равен —
H
s
(x)).
В
результате таких рассуждений вопрос
0 наибольшем гарантированном выигрыше коалиции
S
превратился
в вопрос
о
наибольшем гарантированном выигрыше игрока 1
в ан-
тагонистической игре
Г
8
=(Х
8
,
XN\
S
,
H
S
).
В
смешанном расширении
T
S
=(X
S
,
XN\S,
K
S
)
игры
Г
5
гарантированный выигрыш
v(S)
игрока
1 может разве лишь увеличиться по сравнению
с
игрой Г
5
, поэтому
в дальнейшем будем рассматривать смешанное расширение игры
T
s
. Заметим,
в
частности, _что
при
такой интерпретации
v (S)
со-
впадает со значением игры
Г
8
(если оно существует),
a
v (N)
— мак-
симальный суммарный выигрыш игроков. Очевидно, что
v (S)
зави-
сит
в
результате только
от
коалиции
S (и еще от
самой исходной
бескоалиционной игры, которая
в
наших рассуждениях остается
одной
и той
же), являясь
ее
функцией. Убедимся,
что эта
функция
является характеристической функцией бескоалиционной игры.
Для
этого достаточно показать выполнение условия (8.1).
Заметим,
что для
каждой бескоалиционной игры, построенной
выше, ю(0)=О. Действительно,
по
определению,
Я
0
(х)=£Я,(х),
(60
но последняя сумма не содержит слагаемых, откуда
Н
0
(х)
тождест-
венно равно нулю, поэтому
и
«(0)=О.
Лемма
(о
супераддитнвности).
Для
бескоалиционной игры
Г=(Ы,
{X
t
}
tsN
,
{H
t
},
eN
)
построим функцию
v(S)=sup
inf K
s
0i
s
,
v^
s
), ScN, (8.2)
где
n
s
eX
s
,
v^eA^s,
r
s
=(X
s
, X^
s
, K
s
)—
смешанное расширение
антагонистической
игры
Г
5
.
Тогда
для
всех
S, TcN, для
которых
Sf\T=0,
имеет место неравенство
v(S[)T)>v(S)+v(T).
(8.3)
Доказательство. Заметим,
что
v(S[jT)
= sap
inf £
KifasyT,
v^s^n),
^SUr
y
N
\CS|J7) ''eS(Jr
где
Htfjr
— смешанные стратегии коалиции
S[jT,
т. е. произвольные
вероятностные меры
на
X#j
T
,
V№,(S\JT)
— вероятностные меры
на
XN\{S\JT),
KI
— выигрыш игрока
i в
смешанных стратегиях. Если
ограничиться только такими вероятностными мерами
на
Xs\j
T
,
ко-
торые являются произведениями независимых распределений
fi
s
148
и v
T
на декартовом произведении X
s
х Х
т
, то область изменения
переменной, по которой производится максимизация, сузится и суп-
ремум разве лишь уменьшится. Таким образом, имеем
v
(S\J T) ^ sup sup inf Y K
t
(ji
s
x
ц
т
,
v
N
V(sUn
).
Отсюда
v(S(JT)> inf Y Ki(fi
s
xn
T
, v^ =
= inf ( Y
K
'0*s
x
Pr.
V
/A(SUD)+ E
-KiO*s
x
A*r.
v
M(sim
)•
Так как сумма инфимумов не превосходит инфимум суммы,
имеем
v
(S\J
Т) >
inf Y *.
0*s
х
0г.
v
*\(*im)+
+ inf £ К,(ц
8
хц
т
,
v
M(SUn
).
Минимизация первого слагаемого в правой части неравенства по
/*
г
, а второго — по fi
s
(для единообразия переименуем их соответст-
венно v
T
и v
s
) приводит к соотношениям
v
(S[j 7) > inf inf Y
K
t
0*s
x v
r
, v
M(5UT
))+
+ inf inf Y £,-(v
s
x/i
T
, v
M(sU
„)>
>inf £ ^(^
s
, v^sj+inf Y Ki{n
T
, v^r).
Последнее неравенство справедливо при любых значениях мер
fi
s
в первом слагаемом и ц
т
— во втором. Следовательно, по этим
мерам можно перейти к супремумам
v(S{jT)>sup inf Y KiiVs, vjv\5) +
sup
inf X£,(/i
r
,
у
^
г
).
H y^
s
ieS <h v^
r
ie T
Откуда, используя (8.2), получаем
v(S\jT)>v(S)+v(T)
и супераддитивность доказана.
Заметим, что неравенство (8.3) также справедливо, если функция
v (S)
строится по правилу
»(5)=sup inf H
s
(x
s
, x^s), ScN,
149