Орленок В.В. Основы геофизики

Подождите немного. Документ загружается.

Получить эти параметры можно, используя принципы геометриче-

ской сейсмики, т.е. лучевое приближение. Согласно принципу Гюйген-

са, траектории лучей всюду перпендикулярны к фронту волны. Следо-

вательно, в однородной среде эти лучи будут представлять собой пря-

мые линии, в неоднородной среде они будут искривлены. Согласно

принципу Ферма, волны распространяются вдоль траекторий, требую-

щих наименьшего времени для их прохождения. Этим объясняется

прямолинейность траекторий лучей в однородных изотропных средах

и их искривление в неоднородных средах.

Применение лучевого приближения в сейсмометрии возможно

лишь при соблюдении следующих условий.

1. Радиус кривизны лучей не должен быть больше длины волны.

2. Коэффициенты отражения и преломления существенно не ме-

няются в пределах длины волны.

3. Изменение амплитуды сигнала и условий на границах раздела

слоев должно быть мало в пределах длины волны.

4. Линейные размеры неровностей границ сред (шероховатость

границы) должны быть меньше длины волны.

В практике сейсмометрии, имеющей дело с инфразвуковыми час-

тотами 10 – 100 Гц, оперируют обычно большими длинами волн, ис-

числяемыми десятками и сотнями метров, в сравнении с которыми

встречающиеся обычно размеры неоднородностей на границах оказы-

ваются значительно меньше длин волн. На высоких звуковых частотах

соблюдение указанных условий значительно затруднено. Однако и

здесь принципы лучевой теории находят применение.

Отражение и преломление лучей на границах раздела подчиняются

следующим основным законам.

1. Угол падения равен углу отражения.

2. Угол падения волны α и ее скорость в верхней среде с

пропор-

циональны углу преломления

и скорости волны в нижележащей сре-

де с

sin

Используя принципы геометрической сейсмики, можно получать

графики зависимости времени прихода волн, отраженных или прелом-

ленных на различных границах раздела внутри земной коры, от рас-

стояния, отсчитываемого от пункта взрыва:

t = f(x)

и по ним рассчитывать скорости этих волн. Такие графики (см. рис. 62)

называются годографами. В зависимости от типа волн годографы на-

зываются годографами прямых, отраженных, преломленных, рефраги-

рованных или головных волн. Их изучению и посвящены следующие

параграфы настоящей главы.

§2. Годограф отраженной волны

При работах по методу глубинного сейсмического зондирования

(ГСЗ) регистрируются три основные группы волн (рис. 62) отражен-

ные, преломленные (головные) и рефрагированные.

Рассмотрим вначале характер распространения сейсмических волн

в слоистой среде.

Рис. 62. Годографы отраженной (1), преломленной (2)

и рефрагированной (3) волн

Пусть скорость звука увеличивается с глубиной по линейному за-

кону:

cc az

1( ) , (IX.1)

где c

– некоторое постоянное значение скорости звука, измеренное в

приповерхностном слое осадков на глубине h

; c

– на глубине h

. То-

гда отношение

238

cgrad

∆

−

(IX.2)

будет определять величину вертикального градиента скорости звука в

воде. С учетом (IX.2) величина a в выражении (IX.1) будет равна

cgrad

a = . (IX.3)

Если разбить градиентный слой на бесконечное множество тонких

слоев, то на границе каждого из них падающий луч испытывает пре-

ломление согласно известному закону:

sin

(,)

nxz

. (IX.4)

Время пробега вдоль луча OMX

определится из выражения

nxzdx

∫

( , ) . (IX.5)

В среднем

sin

(,)

1==

nxz ,

следовательно,

∫

. (IX.6)

Из рис. 63 найдем x

, тогда:

xH=+

. (IX.7)

Это и есть уравнение годографа отраженной от поверхности слоя вол-

ны. Годограф представляет собой гиперболу, минимум которой совпа-

дает с началом координат (x = 0). Таким образом, годограф характери-

зует зависимость времени прихода отраженной (в данном случае) вол-

ны от расстояния. При падении волны на наклонную поверхность слоя

из рис. 63 имеем:

239

(

)

(

)

oo o s

oo os os oo

++⋅'' ' 'cos

. (IX.8)

Здесь

xoshoo ==Ψ=Ψ−Ψ−= ,2' ,sin

cos ;

Подставим эти значения в (IX.8):

hx hx=+−

sin Ψ . (IX.9)

Это есть уравнение годографа волны, отраженной от наклонной

поверхности слоя. При Ψ=0 уравнение (IX.9) превращается в уравне-

ние (IX.7). Найдем экстремальные значения годографа.

В точке x = 0:

= . (IX.10)

240

В точке минимума годографа, который смещен по восстанию дна,

имеем:

min

'cos

. (IX.11)

Чтобы определить скорость отраженной волны, ось x и ветви годогра-

фа делят на равные отрезки m и по угловому коэффициенту определя-

ют значение c

: .

Vtt =−

∆

(IX.12)

Используя полученное значение c

, по формулам (IX.11) нетрудно оп-

ределить глубину H до слоя.

Годограф отраженной волны обладает следующими свойствами.

1. Каждый из лучей выходит из начала координат, симметричен

относительно вертикальной прямой, что проходит через его вершину.

2. Годографы из любого пункта взрыва, отходящие в противопо-

ложные стороны, симметричны относительно прямой, проходящей че-

рез пункт взрыва вертикально.

Если эти признаки не соблюдаются, то среда вертикально неодно-

родна.

§3. Годограф преломленной волны

Рассмотрим образование

преломленных волн на приме-

ре океанского разреза земной

коры.

В случае мягкого грунта

= 0,1-0,3) и безградиентно-

го слоя воды возможно обра-

зование преломленной и реф-

рагированной волн (рис. 64).

Тогда согласно закону пре-

ломления,

sin

−

(IX.13)

и в предельном случае заворота луча, когда

, имеем:

Рис. 64. К определению годографа

еломленной волны

241

sin

−

, (IX.14)

или

sin

−

= . (IX.15)

Выражение

sin

−

называется кажущейся скоростью и характе-

ризует скорость распространения фронта волны вдоль поверхности

дна. Следовательно,

cc*

, (IX.16)

т.е. кажущаяся скорость в точке выхода луча на поверхность дна

должна быть равна скорости в вершине заворота (рефракции) луча под

дном моря.

Однако это условие выполняется лишь в консолидированной части

разреза, так как скорость в воде не может быть выше предельного для

каждого района океана значения, обусловленного температурой, соле-

ностью и гидростатическим давлением. Поэтому кажущаяся скорость

прямой (водной) волны, распространяющейся вдоль поверхности воды,

будет постоянна.

Как было показано выше, условием образования головной прелом-

ленной волны является равенство:

sin

; для границы вода-дно и,

соответственно, для границ в консолидированной коре:

sin ,...,sin ;sin

===

ααα

(IX.17)

Как видно из рис. 64 первая точка профиля x, в которую приходит

преломленная волна, будет x

. Во все последующие точки профиля лу-

чи преломленной волны подойдут под одним углом e вследствие по-

стоянства параметров водного слоя вдоль горизонтального направле-

ния. Следовательно, кажущаяся скорость c* будет постоянна:

const*

sin

== =

. (IX.18)

Отсюда годограф преломленной волны будет прямой линией, начи-

нающейся в точке с координатами x

и t

и наклонен под углом:

242

∆

, (IX.19)

т.е. величина наклона годографа обратно пропорциональна кажущейся

скорости c*.

Найдем координаты начальной точки годографа головной волны x

и t

xhtgt

1001

;

cos

. (IX.20)

Теперь определим текущую координату t на произвольном участке

профиля x, помня, что, согласно (IX.19),

tt xx

−= −

()

. Подставим

сюда значения (IX.20):

()

xhtg

−=−

cos *

, откуда

htg

=+ − =+ −













*cos * *cos

sin

22 2

00 0

Так как

= sin

, 1

−=sin cos

αα

, то окончательно имеем:

()

cos

. (IX.21)

Это и есть уравнение годографа преломленной на первой границе во-

да-дно волны.

В точке x = 0 имеем:

cos

, (IX.22)

откуда

cos

. (IX.23)

Для наклонной границы вода-дно:

(

)

cc*

sin

αϕ

, (IX.24)

243

где знак (–) – по восстанию границы, знак (+) – по падению. Отсюда

ясно, что пренебрежение наклоном границы раздела приводит к завы-

шению кажущейся, а с нею и граничной скорости c

, в случае падения

границы и занижению с* и с

в случае восстания границы.

Годограф преломленной волны для многослойной среды

Обращаясь снова к рис. 64, нетрудно видеть, что полное время лу-

ча, преломленного на границе 1,2, равно

OA A x

AB B A

Пользуясь рис. 64, найдем координаты начальной точки годографа t

cos2cos2

tgh

αα

(IX.25)

Найдем значение текущей координаты t, т.е. годограф волны, прелом-

ленной во втором слое под осадками:

()

;

1cos2cos2

;













−−=−−

−=−

tgh

αααα

(IX.26)

откуда имеем:

htg

=+ −−+

22 22

00 11

cos cos

***

;

После несложных преобразований с учетом

sin

, получим

=+ +

cos cos

. (IX.27)

Это есть уравнение годографа головной волны, преломленной на вто-

рой границе. Следуя модели, приведенной на рис. 64, нетрудно выпи-

244

сать годографы головной волны для трехслойной и n-слойной моделей

коры:

222

=+ + +

cos cos cos

, (IX.28)

2222

=+ + + +

cos cos cos cos

. (IX.29)

В общем случае для границы, содержащей n слоев, годограф головной

волны имеет вид:

−

∑

cos

. (IX.30)

Определение граничной скорости

Рассмотрим способы интерпре-

тации системы встречных годогра-

фов, полученных в случае произ-

вольного наклона границы раздела

(однослойная среда) (рис. 65).

Найдем разностный годограф

()

tTtt

−

, где T – время во

взаимных точках годографа,

tt, –

прямой и обратный годографы.

Очевидно

tx t t T

()=+−

. Зная

(x), можно по формуле (IX.23) оп-

ределить глубину преломляющей

границы вдоль профиля x.

Величина T=const, поэтому

производная

= 0. Отсюда

=−

или

111

ccc***

=−

Рис. 65. Система встречных

годографов преломленных волн

245

учитывая, что

sin( )

αϕ

, получим:

00 0

cc c c

sin( ) sin( ) sin cos

−

Но

sin

, следовательно,

cos

при ϕ ≤ 10°, cos ϕ ≈ 1, т.е.

или

*. (IX.31)

Таким образом, двойной тангенс угла наклона разностного годографа

равен граничной скорости в среде распространения головной прелом-

ленной волны. Зная скорость в покрывающей толще и скорость в пре-

ломляющем слое, нетрудно построить границу раздела.

§4. Годограф рефрагированной волны

Рефрагированная волна образуется при прохождении луча под

границу раздела по криволиней-

ной, выпуклой книзу траектории

(рис. 62).

Найдем кривизну луча и оп-

ределим ее связь с градиентом

скорости. Из рис. 66 находим

кривизну k (Облогина, 1968):

. (IX.32)

Изменение угла di ищем из зако-

на преломления:

()

sin

idi

cdc+

. (IX.33)

Так как угол i мал, то cos

di ≈ 1,

sin

di ≈ di; и =

)sin( dii

Рис. 66. Годограф рефрагированной

волны