Онищенко Г.Б. и др. Автоматизированный электропривод промышленных установок

Подождите немного. Документ загружается.

искретнзация сигнала по

состоит в замене не-

много Сигнала дискрет-

значениями. взятыми в

пенные, заранее задан-

моменты времени (рис.

Обычно эти моменты

ни равноудалены друг от

на величину Т. которая

аегся периодом дис-

D этом случае по-

ательность {х. = 1,2...,

еляется формулой

(к+1)Т t

Ряс. 17.1. Дискретизация сигнала по

времени

LI7.2. Дискретизация сигнала

по уровню

х(яГ) = *1я]«*(/)|

„

Дискретизация по уровню

предполагает замену непрерывного

сигнала числовой последователь-

ностью ХьХь-.Хп, элементы кото-

рой могут принимать лишь заранее

определенные, обычно равноот-

стоящие друг от друга значения.

Моменты времени, в которые про-

исходит смена уровней, опре-

деляются видом непрерывного сиг-

нала х({) и заранее не известны, что

показано на рис. 17.2.

[В цифровых системах осуществляется дискретизация по

ени и по уровню, т.е. совмещаются изложенные выше два

>ба задания последовательности {л'

- 1,2...,. При этом

ерывный сигнал заменяется дискретной послелователыю-

{х„},л = 1,2..., взятой в заданные моменты времени, и каж-

[элсмент этой последовательности округляется до ближайше-

Иему значения уровня из числа разрешенных (рис. 17.3).

ычно принимают следующую классификацию дискретных

Км

импульсные системы, в которых осуществляется дискрети-

|ц(я хотя бы одной переменной но времени;

- цифровые системы, в которых осуществляется дискретнза-

\ сигналов и по времени и по уровню

АХ

t I

(

Ч j

0 I" * Г

JT 7K

Рис. 17 ? Цифровое прелечивленис

сигшша

При дискретизации по

времени непрерывная функция

•заменяется решетчатой

функцией, которая образуется

дискретами, выделенными из

непрерывной функции в

определенные моменты времени

ПТ,Л-1,2 Однако на практике

нельзя реализовать решетчатую

функцию с бесконечно малым

временем существования каждо-

го выделенного значения При

конечном времени работы технических устройств получается но

следовательность импульсов определенной длительности, иромо

аудированная выделенными дискретами непрерывной функции

В теории дискретных систем принято выделять реальный им

пульсный элемент (РИЭ), осуществляющий дискретизацию и мо

дуляцию. Модуляция заключается в умножении входной величи

пы v(/) на Смодулированную последовательность ймпуль

совг>'(/), каждый из которых представляет собой мгновенныЛ

импульс единичной высоты в моменты времени н7>*=1,2..

(рис 17.4), Назовем это идеальное устройство импульсным моду

лятором. В этом случае можно записать дискретную функции

времени, называемую также решетчатой

л-'(/) = £'(')*(/), (17.1)

где: У(/) - смодулированная последовательность S{L)

периодом квантования по времени J

Отметим, что S(t)

рассматривается в

теории линейных не-

прерывных САУ в

качестве типового

воздействия и обла-

дает следующими

свойствами [3-1]

> (

• Г

1 -

1 .

Ск-^1 )Т -кТ -2Т Г

0 3 2'i ЗТ 4Т кТ lie-

1 )1

Рис 17.4; Нсмодупиромшчи

последовательное! i.

мгновенных единичных нмпульсои

S{R) - -зс при ( = О,

<У(Г)=0 при (тО,

\5{l)dt =

f«o при t = mT.

${i - mT) -

[О при t*mT\ (17.2)

: m л

Jx(m/')£(/ - mT)dt - x(mT) jd'(t - mT)dt = x(rnT)

Тогда немодулированпая последовательность импульсов

fiOY = mT) (17,3)

едовательность импульсов на выходе импульсного модуля-

х'(Ог£х(тГ)#(Г-тП> (17.4)

XV— 'J

справедливо при выполнении условия x(i)~0 при / <0.

мстим, что замена в (173) и (17.4) шггегрнрования сумми-

*ем объясняется тем, что решетчатая функция имеет конеч-

[Jj

счетное число дискрет.

;ратим внимание на то, что в дальнейшем будет использо-

icajH.noe импульсное звено (НИЗ), на выходе которого ге-

уется последовательность £'(/), поступающая на вход ли-

•о звена с передаточной функцией W^(p)

на выходе кото-

олжны формироваться реальные нмп>'льсы [3-11-

апомннм. что передаточная функция линейного непрерыв-

звена или системы находится как отношение изображений

lacy выходной и входной величин, найденных при иулс-

'чальиых условиях.

При определении временных характеристик линейных не-

гвных звеньев и систем используются два типовых воздей-

чная ступенчатая функция

0г.

и,<0,

(1Г5)

I при f£0.

ение по Лапласу, которой

4(0}=-; (

ичный импульс S(t) см. (17.2).

При этом <?(/) = ——. а поэтому в силу свойств преобразо-

пня Jlaiuiaca

2S3

!{*(/)) =/Д =

(17.7)

Реакция линейного звена или системы, имеющей нередаточ

ную функцию fV(p), на l(t) и S(t) при нулевых начальных усло-

виях соответственно равны

Л(/) = £"'

^ ^ I • переходная функция,

I Р )

- весовая функция (называемая также им-

пульсной переходной функцией).

Следовательно, если реальное импульсное звено генерирует

импульсы S(r). то это звено можно представить в виде последова-

тельного соединения идеального импульсного звена и формн-

рующего линейного с передаточной функцией

\Уф{р)=3{р).

При анализе линейных непрерывных систем используются

методы дифференциальных уравнений, преобразование Лапласа

и частотные методы. Анализ линейных дискретных систем может

проводиться, по существу, такими же методами, только вместо

дифференциальных уравнений используются разностные уравне-

ния, дискретное преобразование Лапласа и Z-преобразоваиие.

Понятие оразностных уравнениях. В дискретных системах в

качестве временной функции выступает решетчатая функция

X(A7>=JC[£]. Для удобства записи в дальнейшем будем использо-

вать указанную более компактную форму записи дискрет.

Скорость изменения решетчатой функции характеризуется ее

первой разностью (аналог первой производной для не-

прерывных систем) Ах[к\

х\к + I] -х[к].

Вторая разность (аналог второй производной d'xjt) д^

непрерывных систем).

07.8)!

т.е. вторая разность есть разность первых разностей. Подставляя

в (17.8) выражения для первых разностей, получим

= х[* + 2] - 2 х[к +

+ a-(*J. (17.9)

Аналогично получим

(17|0)

- 3х[к -1]

3х\к

+ 2]

- х[к - 3].

Разность да-го порядка

= А+1] - Д^.д:(*], (17.11,

икая конечные разности через дискреты функции, получим

гдО

•где: с*" = — - коэффициент бинома Ньютона.

' /!(w -г)!

[Если линейная стационарная непрерывная система описыва-

ференциальным уравнением

d"x(t) d^x{()

= b,

dt"

f( 0

dt'

<r-'AO,

(17.12)

hj{t).

ветствуюшая ей дискретная система описываегся разност-

авиением (уравнением в конечных разностях) с постоян-

Цоэфф и циентам и.

+^ A^.xf ^

+...+а

х[Ь\ =

(17 13)

ьными условиями

Ф)

*0. МО] = = -V,.

Ыражая конечные разности через дискретные значения

Ий в соответствии с формулой (17 II). уравнение (17.13)

|р записан, в форме рекуррентного разностного уравнения

•

х[к

r]^C,x[k

r-\]

...

C,.

x[k + l]

+ Cpe(tf] =

(17 14)

dj\k + V\

dJ{k

V -

{] +

... +d,_

f[k

I]+ 4/1*1

чальных условиях x[0| =x

,x[l] = л:, л[£-1] = х

<де r<«, r<.v, г>К. а коэффициенты

^ =

0,1

r\ d

, 0- выражаются через коэффициенты

ения (17.13) a,, / =

0,1

п, Ь

}

, / = 0,1,...,s.

Если рекуррентное разностное уравнение (17.14) в явном вн-

адержит *[А] и + т.е. C

С'

* 0, то порядок раз-

ного уравнения (17.14), равно как и порядок исходного раз-

го уравнения (17.13) равенг. В общем случае г<п (напо-

лем. что «-порядок дифференциального уравнения непрерыв-

системы) Объясняется это тем, что в процессе преобразова-

авнення (17.13) к виду (17.14) функции лг{АJ или x[k+1] и

могут взаимно уничтожаться. Таким образом, порядок разно-

го уравнения может отличаться от старшей разности.

Рассмотрим в качестве примера уравнение

Л,х(А) + А

х[к\ + 2Дг[А]

+•

2х[к

] =

/[к].

Используя формулу (17.11). получаем

х[к + 3] - 2лг| к+ 2] + Злг[^г +1] = /[к].

Введем НОВУЮ переменную / = к +

и тогда ПОЛУЧИМ

* x[i 2] - 2л[г+

1] -+

3.v[/| = /[/ - 1],

т.е. при

= 3. 1-2, т.е. г< п.

Решение разностного уравнения можно записать в следук

тем виде:

= *„[*]+ *„[*],

где: находится из решения однородного при учете и«

чальных условий, а х

[к\ является частным решением разносt

ного уравнения, которое зависит от внешнего воздействия и к

зависит от начальных условий. При решении разностных уравно

ннн целесообразно использовать дискретное преобразование Ла

пласа или Z-преобразование.

17.3. Основы математического анализа цифровых снсте*

управлении

Цифровые системы автоматического управления содержат |

контуре регулирования ЭВМ. аналого-цифровой преобразовател!

(АЦП) и цифро-аналоговый преобразователь (ЦАП).

В этом случае осуществляется квантование сигнала по врс

менн и по уровню. Это означает, что характеристика цифровой

регулятора (ЭВМ) является нелинейной, что и показано HI

рис. 17.5. На этом рисунке величина младшего разряда обозначен!

буквой б.

Если ЭВМ оперирует с

16-ти и более разрядными

данными, а АЦП и ЦАП

имеют не менее 10 разрядов,

то влиянием квантования по

уровню на динамические

процессы можно пренебречь

Но при этом в тех случаях,

когда это требуется, необ-

ходимо учесть погрешность,

вносимую этим преобразо-

Т) -7t

-Т I

Т ir if it Jl :Г

ваннсм сигнала [3-2].

286

Рис.

5. Характеристика цмфрплпгп

устройства

едположнм случайный

р этой погрешности,

шей равномерный закон

деления вероятности, гра-

которого показан на

17.6.

[ В этом случае статисти-

не характеристики помехи,

МОЙ в систе.м>' квантова-

сигнала по уровню, опре-

;ся так:

1/5

Рис 17 6 Закон распределения случай-

ной погрешности, обусловленной

кнантмнием пп уровню

М[£ ] = \P{e)de = 0;

д 3

(17.15)

[Где: M[s\ - математическое ожидание помехи;

- дисперсия.

дальнейшем будем рассматривать линеаризованные циф-

е автоматические системы (ЦАС) без учёта квантования

ia по уровню, но с учетом вносимой им помехи,

зависимости от взаимного расположения ЭВМ и исире-

й части системы, цифровые САУ могут быть цнфроанало-

и и аналого-цифровыми (3-2].

национальная схема цифро-аналоговой САУ показана на

В 7.7.

Дэвм

т. ЦАЛ

UocfK]

АД11 АД11

ИЧ1

Uoc(t)

ДОС

Рис 17.7 Функциональная схема цифро-аналоговой системы

J Обратим внимание на то, что ЭВМ в этом случае выполняет

и сравнивающего устройства дискретных сигналов (циф-

х кодов) и регулятора.

Функциональная схема аналого-цифровой САУ представле-

на рис. 17.8.

UJK

^ НЧ!

и,(у

АЦП

U.I*J

ЭВМ

ЦАП

Щ НЧ2_}

tut)

xtt)

AOC

Рис. 17.8

Функциональная схсмп аналого-цифровой системы

Аналого-цифровой будем называть систему, в которой ци«|

ровон части предшествует хотя бы одно непрерывное звено (ил1

несколько непрерывных звеньев; обозначение: НЧI).

Различия между цнфроаналоговой и аналого-цифровой сно

темами заключается в следующем.

В цифроаиалоговых системах непрерывные звенья присутсТ

вуюг лишь на выходе. Поэтому такие системы можно рассматри

вать как обобщенные цифровые фильтры с входными и выхол

ными сигналами в виде решетчатых функций времени.

Выходной сигнал аналого-цифровой системы зависит or зил

чений входного сигнала в любой момент времени, а не только

тактовых точках кТ, следовательно, такая система не можег быг

описана разностным уравнением

Практически в цифровых САУ перед цифровой частью чаи

имеется непрерывное звено Если его инерционностью можн

пренебречь, систему считают цнфроаналоговой, что упрощ.зе

исследование. В противном случае система должна рассматри

ваться как аналого-цифровая

Рассмотрим линеаризованную цифровую САУ, в которо

учитывается только квантование сигнала по времени, и npeoopj

зование сигнала осуществляется в соответствии с амплитуднс

импульсной модуляцией первого рода (АИМ I). В этом случа

для удобства расчётов используют эквивалентную структуру»

схему линейной ИМПУЛЬСНОЙ системы 13-Ц.

РИЗ нч

ииз

Ец{р)

(P)

си

(P)

си

в)

гтнч

Г ФЗ

W*(p)

Ен(р)

W*(p)

ем

!И1)

нч

W„4(P).

Г'

•6—

т I

х*

«О

Рис 17 9. Сфуктурные схемы линейной дискрггннП САУ

а) исходная струхтуриа* схема, б) график реального импульса, в) эквивалента

Cipyviypiuui cxeuu

lit рис. 17.9a приведена структурная схсма линейной дис-

)й системы, на которой показано реальное импульсное зве-

13) и передаточная функция непрерывной части системы

>)]. Па рис. 17.96 показан график функции 5(7), которая со-

аует реальному импульсу в пределах периода квантования

1С ни (7*).

структуры рг(с.17.9в можно записать

*.(0 = 2><*П$( r-кГ). (

-'<>)

• •а

Гак как предполагается, что идеальное импульсное звено

генерирует последовательность мгновенных единичных

>сов (^-функций), то сигнал на выходе ИИЗ можно пред-

гь в виде следующей суммы:

«•о

(17.17)

!В дальнейшем вместо

ЦкТ)

будем записывать /[*•]. В силу

ИИЗ введём в зквивапентную структурную схему

9в) формирующее звено (ФЗ) с передаточной функцией

ИуР) = 4вдМ(р). (17.18)

)вая функция ФЗ

(17.19)

пример, для РИЗ

(

на выходе которого имеет место после-

1ьность прямоугольных импульсов скважностью f^TJT,

найти W^J) на основе графиков, изображенных на

МО, из которого следует, что

= (П.20)

1реобразовав обе части соотношения (17.20) по Лапласу, по-

ад.^"*'.

(17.21)

0 T„ T 2Т„ 2Т 3T. 3T 4T„ I *»

Рис 17 10. Формирование прямоугольного импульса со скважностью /

Учитывая выражение (17.18) получим, например для /<"„-! и у

= — -"-• Щ

ФЗ с передаточной функцией (17.22) называется экетраиол!

тором (фиксатором) нулевого порядка.

Последовательное соединение ФЗ и НЧ принято называт

приведенной непрерывной частью системы, ПН Ч т.е.

W«Jp)=W*(p)W,Jp). (17.23

Для дискретных значений выходной величины *•(/) с учёт

он

свойств фиктивного ИИЗ на входе (см.рнс.17.9) можно записать

V • (/) =

£ х(кГЩ/ -кТ)

•

Спектр, т.е. совокупность гармонических функций, на кого

рые может быть разложена <5(/-к7). равен е

,шГ

\ а поэтому спектр

к-С

Заменив в (17.25) jco-p, получим формулу, определяющую

прямое дискретное преобразование Лапласа для решетчат!

функции

X •(Р)

J^x(KT)e-

(17 26

Сопоставляя формулы (17.25) и (17.26), а также учитывая

что частота квантования a>

{

=2jfl' получим

-№**6>А*Т

/«жТ

-*гхпт

-}«*1

т.е. вся плоскость р для

дискретной переменной раз-

делена на полосы вдоль

мнимой оси, одинаковые по

размеру, равному (Щ.

Главная полоеа распо-

ложена на комплексной

плоскости р в интервале

(17.27)

как показано на рис. 17.11.

Эгу полосу плоскости р

и рассматривают, так как все

особенности системы (на-

пример, расположение корней характеристического уравнения)

одинаково отображаются во всех полосах.

Рис. 17)! Главная полоса плоскости /?.

соответствующей диенретночу преобра-

зованию

Лапласа