Онищенко Г.Б. и др. Автоматизированный электропривод промышленных установок

Подождите немного. Документ загружается.

Z- преобразование и его свойства

•«алогично тому, как с помощью преобразований Лапласа

унос дифференциальное уравнение преобразуется в алгеб-

5кое, линейное разностное уравнение можно преобразовать

^раическое уравнение с помощью Z-иреобразования (3-21.

ззкачим в формуле (17.26)

(17.28)

этом основании вводится понятие о Z-преобразованни

(17.29)

родставляя p-ja) в (17.28) и рассматривая диапазон частсп

у <л/7",

[

1[1олучаем

е'

,ж

<z<е-" (17.30)

Это означает, что на плоскости Z

отрезок мнимой оси главной полосы

плоскости р (рис 17.11) отображается

в окружность единичного радиуса на

плоскости Z (рис. 17.12). При этом об-

ласть устойчивости соответствует

внутренней части круга, ограничен-

ной окружностью единичного ради-

уса, являющейся границей устойчи-

вости на плоскости Z

В дальнейшем анализ и синтез

линеаризованных цифровых САУ бу-

дет выполняться с использованием Z-

преобразования Однако, ещё раз об-

ратим внимание на формулу (17.28),

ая позволяет связать свойства преобразования Лапласа ие-

вных функций с Z-преобразованнем.

К-преобразование (17.29) применимо только для дискретной

вмени функции /И=/(к7), где Г- период квантования. Учи-

R, «по z комплексная переменная, обратное преобразование

Ъествляется по формуле

T 17.12. Область усюйчшо-

в« линсйноП джхрсчюП

1 системы ил плоскости

—\F{2)z' 'dz.

2Л7

(17.31)

контур интегрирования включает все полюса функции F(z).

1риведём без доказательства основные свойства Z-

*разования (3-21

a) Z{a/

(

(/) + «/,= (2)4 eF;(z);

7.{f

\]\ = zF{z)-zm:

в)

г)

д) г{(Г(/)}=-Г®;

^ /

Ж)

1Z/I<'-«ПЛС'СП| = F

}

(Z)F

{Z);

lim /"ГАГ] = lim F{z)\

> (z-1

11 —

«4 2

(171

(П)

(173

(17:

(173

(17:

(I7J

(17.1

Таблица

Z-нюбражения дискретных функций

.Ye

п/ii

X(t) прн

/>0

Х(р) Х(г)

КО

2 1

/,•

(г-1)

У*

Т 2(Г-1)

21 (2-1?

е'

/р\а

sin/?/

sin ДГ-

-2e'

cos

fflk

+ с

2о!

еsin /fr

rsm>5T

<*•+*)'+А'

-2<?

1,7

cos [Пг +

искретнме передаточные функции и методика их опре-

деления

входную величину непрерывной части (114) системы мож-

•делить как реакцию

III 14

на д - функции с выхода ИИЗ.

'ая представляет собой весовую функцию w„/t)

огда реак-

п импульсов представляется суммой выходных перемен-

ит

каждого им пул ьеа;

€ зфУгЩ^М: /г= I *,(/)=£(

|Wv(/-D;

2 Xj(/)~ 42Ы-27):.... п-т

•уда следует

х(0 = Хф»]И'и(( -т'Г) ДЛЯ (>пТ

щей

дискретных моментов времени

(17.40)

«вО

з условия свёртки решётчатых функций (17.37) с учётом

/что Z{£[n]} = E(z) и Z{Wp[n]) следует

Г - 1

= z< Х4«К1я -т]|

•

ли с учётом (17.40) и того, что Z{>:(«)}=,Y(r). получим

X(z) = E(Z)^JT). ' (17 41)

де:

X(Z)

(17,12)

' "* " £( г)

•

дискретная передаточная функция (ДГТФ) ПНЧ.

'читывая формулы (17.22) и (17.23). можно найти ДПФ из

юшего соотношения;

\У (z)

(17.43)

грмулу (17.43) можно представить и в таком виде:

Так как _ ц^ ^ . прямое изображение по Лапласу

одной функции НЧ \у (п) - •

Наиболее употребительный способ получения ДПФ разомк-

х дискретных систем основан на разложении W,

.,(p)/p на

гые дроби. Предположим, что непрерывная часть системы

291

имеет дробно-рациональную передаточную функцию, в которо

степень числителя меньше степени знаменателя, что практическ!

всегда имеет место. Тогда в общем случае

КЛР)

-t^L

* Я с^пр

(17.45

Р ftp' ыТ,р+\ ЪТ}р

+2€Г

/Р

Постоянные A

R„ Cj и Д удобно определять с помощью м

тода неопределённых коэффициентов. В простейших случая

(отсутствие кратных нулевых корней

(p)

и комплексных ко

ней, приводящих к множителям второго порядка) разложение н

простые дроби можно производить пользуясь формулой

А)

(17.46

Формула (17.46) справедлива и прн комплексных корнях,

для кратных корней имеются аналогичные формулы, однак

практически удобней пользоваться методом неопределённых к

эффнциентов. Для этого нужно привести правую часть (17.45)

общему знаменателю и составить систему уравнений на основ

сопоставления коэффициентов прн одинаковых степенях р мне

лнтелей левой и правой частей уравнения (17.45). Для того, чтг

бы воспользоваться таблицами ^-преобразования слагаемые вт

рог о и третьего типа приводят к данному в таблицах виду:

В,

В.

т,р+1 Т, ' /;

С _W

.1* А

г,у

,T,f>, p^V'^'V

п Р^7т

(17.47)

(17.48)

В таблице 17.1.приняты обозначения:

р Ji-ty^H приведены изображения непрерывных функций по

Лапласу и соответствующие им Z-npeобразования дискретных

функций.

Воспользовавшись этой таблицей и формулой (17.43), можно

найти ДПФ разомкнутой системы.

йдём ДПФ для линеаризованной цифровой системы (с

действия прямоугольных импульсов с полным заполненн*

иода квантования) с передаточной функцией непрерывной

«т,р+О

пожим W

,,(p)/p на простые дроби

Р w Р т.р\\)

[где на основании метода неопределённых коэффициентов

Aj = К(Т, -7',—Г

у,

т.

-г, г,-г,

ласно формуле (17.43) и таблице 17.1

+ +

ле приведения к общему знаменателю

tV(z)

I в,;

+ а

2 + й

. Методика динамического синтеза цифрового контура

управлении

17.4.1. Общие положения

(рль динамического синтеза - определить структуру и пара-

цифрового регулятора, обеспечивающего желаемые дина-

|кие и статические свойства электропривода. К желаемым

м могут относиться точность регулирования координаты

и, положения), перерегулирование, время переходного

са.

детализированая

рная схема циф- W

(z)

jo контура автома-

^ого регул прова-

ра

'представлена на

ис

, 17 13

Нсдегаэнмромним сгрумурмм

("17.13. Она СОСТОИТ

схема цшЬроййго

xuirrvpa регулирования

1 частей: цифрового

ЭД

регулятора (ЦР), ДГ1Ф которого подлежит определению в п|

Цессе динамического синтеза, и приведенной непрерывной част

(ГШЧ) - неизменяемой части системы.

Если известна желаемая дискретная передаточная функии^

(ДПФ) замкнутого контура то желаемая ДПФ этого ко»

тура

разомкнутом состоянии

(z)

= J?^L. (17.49)

\~Wtz)

а поэтому Д11Ф ЦР находится по формуле

W f

V = -C!^s (17.501

В(2)

(17.5!

где: Dx#(z) - желаемый дискретный характеристический п<

л ином (ДХП) замкнутого контура.

Итак, на основании формул (17.49), (17.50) и (17.43) можн<

определить ДПФ ЦР

И' (*) . (17,52]

При такой процедуре динамического синтеза необходим^

обеспечить условия реализуемости желаемой динамики цифрою

го контура регулирования.

11усть ДПФ П114 имеет следующий вид:

Р(г)

(17.53]

(2-l)v"0(z)

где: и"- порядок астатизма ПНЧ;

P(z), Q(z) - полиномы порядка

н Iq.

Для случая ДПФ ГШЧ (17.53) замкнутого контура (17.51) зд^

пишем условия реализуемости [3-4].

1. Условие физической реализуемости: ДПФ замкнутой

контура (17.51) должна быть правильной дробью, в которой по

рядок числителя (т) меньше порядка знаменателя (/); ест

И«яч(г) есть запаздывание где г<7), то оно должно быть так-

же в lV,Az).

2 Условие «грубости» системы небольшие изменения па-

раметров ЦР или параметров 114 вызывают незначительные из-

менения динамических процессов в замкнутом контуре; это озна-

чает, что процентное изменение показателя процесса не превос-

ходит процентное изменение параметра Для выполнения этого

296

требуется, чтобы ПНЧ была устойчивой и минимально

>й, т е уравнения P(z)=0 и должны иметь корни,

которых меньше единицы (условие устойчивости) и

жцательную вещественную часть.

аговие получении желаемого процесса « Любые момен-

кмени (~(к

о)Т. где cr At/T<\. в пределах периода дис-

fecmu Т IV

„(z) должна иметь в составе числителя B(z) все

>линома P(z) (см. формулы (17.51) и (17.53). Это условие

^быть достигнуто, cam B(z)^P(z)\f{z). т.е.

W = (17.54)

jfz) - полином порядка l

-m-l

. подлежащий определению

Условие получения в системе регулирования астатизма

v: желаемая ДПФ ошибки замкнутого контура

«'„.<-->=

1,7 55)

fi N(z) - полином порядка /„=/- ц подлежащий определению.

1н выполнить все указанные условия в отношении поли-

1Ф и объединить выражения (17.53) и (17.54). то можно

гь результирующее полиномиальное уравнение («уравне-

|НЗуемости»)

P(z)M(z) + (z -1У N(2) = D^{z). (17.56)

te /, •/„</,

данному уравнению могут быть найдены методом срав-

коэффициентов правой и левой частей полиномы M(z) и

(довазельно. определяется ДПФ:

' (г-1)' ;V(z)

(17.57)

V «""т. . (17.58)

1им образом, полиномиальное уравнение (17.56) позволяет

(нить корректный динамический синтез цифрового контура,

швающий желаемую динамику при выполнении перепис-

ях выше условий 11роцедуры такого синтеза ориентируются

1артные уравнения (или передаточные функции) для не-

|^вных систем, в которых обеспечен модульный и симмет-

оптимум

переводится

дискретную форму £>

1Ж

(г), имеющую тот

•Юрядок Найденные из уравнения (17.56) полиномы

Г) н .V(r) позволяют определить но формуле (17 58) ДПФ ЦР.

Рассмотрим частный случай ДПФ замкнутого контура, ког

= = =b

{

+... +

z-'. (17.5

Выходная координата данного замкнутого контура опре

лится выражением

х[х) = b

т) + b

т +1)] +... + Ь

тё

[к

-1]. (17.6

Если £[к]=1[к], то переходный процесс в соответствии

(17.60) закончится за конечное число тактов к=1, после котор

х[к]=Ь

+Ь\ +

...+b

=const, т.е. имеет место переходный пропе

конечной длительности

Т„„=1Т, (17.

где: / - порядок системы. Такие возможности характер!

только для линейных дискретных систем.

17.4.2. Динамический синтез двухконтурной системы р

гулированин скорости электропривода постоянного тока

гнрнсторным преобразователем

Рассмотрим динамический синтез цифровых регуляторов

ка и скорости [3-4].

Динамический синтез цифрового регулятора тока.

При решения поставленной задачи используем следуют

допущения: режим непрерывного тока в якорной цепи двигате

динамика контура тока рассматривается в малом диапазоне изм

нения угла открывания ТП (Да); рассматривается дискрет

расчётная динамическая модель тиристорного преобразователя

усреднением на интервале проводимости (Г„).

В этом случае структурную схему ТП можно представ!

линейным импульсным звеном с неизменным периодом квант

вания сигнала по времени, равного

T„-l/mf

=T, (17.1

и экстраполятором нулевого порядка (см.рис.17.14).

Передаточная функция такого звена для малых отклонении

выходной переменной

Я.

имеет вид:

А1 \-е'

рТ

z — 1

n{p)=

^L = K

!-?—.

-l, (17,

А а р zp

Ъ: к = sin а - передаточный коэффициент ТП по то-

<Рад;

£ - суммарное сопротивление якорной цепи, Ом;

(-среднее значение выпрямленного напряжения при а=0.

Фоме дискретности ТП„ в контуре тока имеет место дис-

:ть цифровой системы управления - Т. Если требуемое для

измерения тока и рас-

J7.14 Структурная схема ТГ1 как дискретного

эвена в режиме непрерывного тока

чета по алгоритму

управление значение

Т меньше Т„, то за

результирующую

дискретность цифро-

гура тока принимают Т„.

структурная схема цифрового контура тока без учёта проти-

р. двигателя представлена на рис. 17.15. За входную пере-

принято приращение угла открывания ТП Дет,/, которое

р требуемое изменение тока, а за выходную переменную

щение за период проводимости Т„ тока Д/ или соответст-

ю ему величину сигнала обратной связи по току, выра-

ю через угол открывания ТП - Aa

r=K„

„K

Ai=K'orAi, где

Передаточный коэффициент датчика тока, К

щп

- передаточ-

т&эффициент ЛЦГ1.

{z)

Z-l

Д1

T.P +1

Доо

[К)

А.

Лаот

Клип

AUot

Кот

Клип

Кот

Рис. 17 15. Структурная схема цифрового кон гура регулирования тока

[Для определения ДПФ IV

(z) воспользуемся расчётными

лами (17.49) и (17.52). Согласно структурной схеме

^ [р(Т,р+\\

где:

Т„

- электромагнитная постоянная времени якорной це-

-д.

—z

от

Р(Т.Р +1)

•

zl fl-O*

z (z-d,)(z-\f

(17.65)

где: d

=e'

Тогда

z-d.

(17.1

Полученная желаемая ДПФ замкнутого контура тока

(z) _ \-d

T (17 (j

где: d

контура

-777т

Дат,, (г) z-d

, даёт возможность получить ДПФ разомкнута

И'

,г(*) =

-W

(z) z-l

Так как ДПФ приведённой непрерывной части

-Win

Г-

I-d.

(17.1

[р(Т.р

\)\ " z-d,

где: d„=e'"", то ДПФ регулятора тока будет иметь следу

щий вид:

pat*

(

>_ _

f -d.. (17.1

w„„,(*) г-1 - z-l

Итак, с учётом принятых для оптимизации цифрового кон-

pa тока допущений получен цифровой регулятор тока (ЦРТ

ДПФ, соответствующий цифровому ПИ - регулятору. Пропс

циональная часть ЦРТ определяется коэффициентом

(17.71

K(z)

' KarKorV-d.) >-</,

Интегральная часть ЦРТ определяется выражением

z-l

(17.1

Обратим ещё раз на знаменатель интегральной части. Г

как Z=e

, то при /7=0, z=l. Это значит, что в знаменателе ди

кретного интегратора должен присутствовать двучлен (z-l).

Цифровой контур регулирования скорости

Как и для аналоговых систем подчинённого регулирован^

выполним динамический синтез цифрового регулятора скорое^

(ЦРС) в предположении, что контур тока оптимизирован. Синт

ЦРС будет выполняться для условий малых отклонений, icorj

автоматизированный электропривод рассматривается как линей

ная импульсная система.