Обработка материалов давлением: сборник научных трудов. Вып. №20
Подождите немного. Документ загружается.
Обработка материалов давлением № 1 (20), 2009
деформація або параметр Удквиста [1, 2, 9, 10]:
()
∫
=
t
uu
dt
0
,)(
ττεε
&
(1)
де
τ
, t – час;
u
ε
&
– інтенсивність швидкостей деформацій.
(
)
2
222
3
1
)(
zru
t
εεεε
ϕ
&&&&
−⋅+=
, (2)
де
i
ε
&
, (i = φ, r, z) – головні значення тензора швидкостей деформацій.
На наш погляд ні в науковій, ні в навчальній літературі не приділено достатньої уваги
висвітленню питання обґрунтування застосування співвідношення (1).
Довжина кривої в просторі, що задана параметрично:
()
(
)
(
)
(
)
t
zzrr
≤
≤
=
=
=
τ
τ
ε
ε
τ
ε
ε
τ
ε
ε
ϕϕ
0,,
. (3)
де
() () ()
τ
ε
τ
ε
τ
ε
ϕ
zr
,,
- неперервно диференційовні функції, визначається за формулою
[11, с. 312].
() () ()
ττετετε
ϕ
dl
t
zr
∫
++=
0
222
&&&
, (4)
де
()
()()
τ
τ
ε
τε
d
d
i
i
=
&
, (i = φ, r, z).
З урахуванням умови нестискуваності
(
)
(
)
(
)
0
=
+
+
τ
ε
τ
ε
τ
ε
ϕ
zr
&&&
, (5)
згідно (2), (3) маємо:
() ()
tlt
u
⋅=
3
2
ε
, (6)
тобто, накопичена деформація з точністю до сталої дорівнює довжині траєкторії головних де-
формацій.
Слід зазначити, що така аналогія справедлива тільки за умови відсутності поворотів го-
ловних осей при деформації, оскільки тільки в цьому випадку [12, с. 29] справедливий простий
закон додавання деформацій: сума послідовних натуральних подовжень дорівнює сумарному
натуральному подовженню. При цьому
інтеграли від швидкостей деформацій мають простий
фізичний зміст, наприклад для осьової деформації
z
ε
за умови розтягу або стиску справджу-
ється співвідношення:
(
)
()
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
=
∫
0
ln
0
h
th
d
t
z
τε
&
, (7)
де
h(t) – довжина або висота зразка в момент часу t.
В розглядуваному випадку можна порівняти значення інтенсивності логарифмічних
деформацій
() () ()
(
)
2
222
3
1
)(
tttte
zru
εεε
ϕ
−⋅+= (8)
з накопиченою деформацією, що визначається за співвідношенням (1).
Спочатку розглянемо фізичний та геометричний зміст співвідношення (8).
Як було показано вище, довжина траєкторії деформацій, що задана параметрично співвідно-
шеннями (3), визначається співвідношенням (4). Довжина радіус-вектора
R(t) поточної точки
даної кривої визначається сумою квадратів його координат:
() () ()
ttttR
zr
222
)(
εεε
ϕ
++=
. (9)
З урахуванням умови нестискуваності, яка для деформацій має вигляд, аналогічний
до (5), згідно (8), (9) маємо:
130
Обработка материалов давлением № 1 (20), 2009
() ()
tRte
u
⋅=
3
2
, (10)
тобто, інтенсивність деформацій з точністю до сталої дорівнює довжині радіус-вектора поточ-
ної точки траєкторії головних деформацій.
Іншими словами накопичена деформація дорівнює довжині траєкторії деформацій
при
0≤τ≤t помноженій на 32, а інтенсивність деформацій дорівнює довжині радіус-вектора
кінцевої точки даної кривої помноженій на
32.
Варто звернути увагу на можливі непорозуміння. В координатах
ϕ
ε
ε
,
z
траєкторія де-
формацій може суттєво відрізнятися від прямої лінії, але довжина дуги цієї траєкторії визнача-
ється рівністю:
() () ()
ττετε
ϕ
dtl
t
z
∫
+=
0
22
1
&&
, (11)
яка якісно відрізняється від співвідношення для накопиченої деформації, що випливає із (1),
(2) з урахуванням умови нестискуваності:
() () ()
ττεεετεε
ϕ
dt
t
rzzu
∫
+⋅+=
0
22
3
32
&&&&
. (12)
В просторі головних деформацій довжина кривої що виходить із початку координат
співпадає з радіус-вектором тільки у випадку, коли траєкторія описується прямою лінією:
()
()
()
()
tconstccc
c
c
c
zr
zz
rr
≤≤=
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
⋅=
⋅=
⋅=
τ
ττε
ττε
ττε
ϕϕϕ
0,,
,
,
,
. (13)
Така ситуація, зокрема, має місце при осадці циліндричних зразків за відсутності тертя
на торцях. При цьому c
r
=c
= -c
z
/2. Якщо ж c
r
, c
,
c
z
в (13) змінюються в процесі осадки,
то траєкторія деформацій не співпадатиме з прямою. Саме така ситуація виникає при бочкоут-
воренні в процесі осадки, що ініціюється наявністю тертя на торцях заготовки. В таких випад-
ках цікавим є порівняння результатів обчислень величин
(
)
t
u
ε
по (1) та
)(te
u
по (8).
Для визначення виразів, що описують зміну накопиченої деформації та інтенсивності
деформацій на екваторі бічної поверхні при вісесиметричній осадці циліндричних заготовок
скористаємося методикою, що розроблено в [10, с. 274]. Залежність між окружною
ϕ
ε
та осьовою
z
ε
деформаціями апроксимується параметрично заданою функцією [10]:
(
)
()()
⎢
⎣
⎡
⎢
⎣
⎡
∈
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
⋅+⋅−=
⋅=
2
,0
3
2
π
ε
ε
ϕ
x
xxtg
m
xtgm
z
, (14)
де m (m>0) – параметр моделі, який враховує тертя на торцях; x – деякий параметр, що харак-
теризує стадію процесу осадки.
У відповідності з (4) та (14), довжина траєкторії деформацій дорівнює:
()
()
() ()
dx
xxx
mmxl
x
d
∫
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−+
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
++⋅=
0
2
2
2
24
3
cos
1
4
1
3
cos
1
4
1
cos
1
,
, (15)
а після спрощень матимемо:
() ()
∫
+⋅⋅=
−
x
d
dxxmmxl
0
4
3cos23, . (16)
У відповідності з (9) та (14), довжина радіус-вектора поточної точки траєкторії дефор-
мацій дорівнює:
131
Обработка материалов давлением № 1 (20), 2009
() () ()()()()
22
2
3
4
1
3
4
1
, xxtgxxtgxtgmmxR
d
−⋅++⋅+⋅= , (17)
а після спрощень матимемо
() ()
22
323, xxtgmmxR
d
⋅+⋅⋅=
. (18)
На рис. 1 приведено графік траєкторії деформацій в просторі деформацій та радіус-
вектори поточних точок траєкторії.
Рис. 1. Траєкторія деформацій – розрахунок за (14) при m = 1 з урахуванням умови
нестискуваності. Радіус-вектори поточних точок траєкторії для значень x = 0,4; 0,6; 0,8; 1
З урахуванням співвідношень (14) вираз (1) для накопиченої деформації набуває ви-
гляду [10]:
()
∫
+⋅=
−
x
u
dxxmmx
0
4
3cos,
ε
,
(19)
а для інтенсивності логарифмічних деформацій (8) матимемо:
() ()
22
3, xxtgmmxe
u
⋅+⋅=
. (20)
Як було показано в загальному випадку, накопичена деформація (19) відрізняється від
довжини траєкторії деформацій (16) на сталий множник, так само і інтенсивність деформацій
(20) дорівнює довжині радіус-вектора (18) з точністю до сталого множника.
Порівняння розрахунків за співвідношеннями (19), (20) приведено на рис. 2. Слід від-
значити, що візуально по графіку на рис. 1 очікувалася значно більша розбіжність
.
На рис. 3 приведено результати чисельного дослідження функцій
()
mx
u
,
ε
,
(
)
mxe
u
,
та
їх комбінацій.
Рис. 2. Залежності накопиченої деформації та інтенсивності деформацій при
осадженні від параметра процесу х (m=1); 1 – накопичена деформація (19), 2 – інтенсивність
деформацій (20)
132
Обработка материалов давлением № 1 (20), 2009
а б
в г
Рис. 3. Графіки зміни накопиченої деформації та інтенсивності деформацій:
а – накопичена деформація
()
m,x
u
ε ;
б – різниця деформацій Δ(m,x) =
()
(
)
m,xem,x
uu
−ε ;
в – Δ(m,x)*100 /
()
m,x
u
ε
;
г –
(
)
(
)
(
)()()
m,x/x)(m,m,xem,x
uuu
ε
⋅
δ
+
−
ε
100
На рис. 3, а зображено графік зміни накопиченої деформації. Із цього графіка видно,
що вибраний діапазон зміни параметрів х та m з великим запасом перекривають можливі
значення накопиченої деформації при експериментальних дослідженнях. Графіки на рис. 3, б
та 3, в свідчать про те, що різниця між накопиченою деформацією та інтенсивністю
логарифмічних деформацій нехтовно мала при x < 0,6. Максимальна відносна похибка між
результатами обчислень по (19) і (20) не перевищує 6%. Безумовно, що така хоч і не велика
різниця при моделюванні не бажана, оскільки не відомо як вона позначиться на кінцевій по-
хибці при визначенні граничних деформацій за моделями накопичення пошкоджень. Неве-
лика різниця між величинами накопиченої деформації та інтенсивністю деформацій і більш
простий вираз для обчислення останньої наштовхнули авторів на ідею пошуку коректуючої
функції
x)(m,
δ
, яка дозволить використовувати для обчислення накопиченої деформації
більш просту залежність, ніж (19). Чисельне дослідження залежності Δ(m,x) показало, що
шукану функцію можна подати у вигляді:
() ()() () ()
(
)
,mx)(m,
6
06
4
04
2
02010
xxaxxaxxaxxaxxh −⋅+−⋅+−⋅+−⋅⋅⋅−=
δ
(21)
де h(x) – функція Хевісайда. За інтерполяційні вузли прийнято точки з абсцисами
0,6; 0,7; 0,8; 1,2 та π/2-0,05. Розв’язанням системи лінійних рівнянь отримано:
()
(
)()
(
() ()
)
.1620143791,08263531073,0
90110808620,060430509229,0mx)(m,
6
0
4
0
2
000
xxxx
xxxxxxh
−⋅+−⋅+
+−⋅−−⋅⋅⋅−=
δ
(22)
Отже, пропонується наступна апроксимація для накопиченої деформації:
133
Обработка материалов давлением № 1 (20), 2009
(23)
ВИСНОВКИ
1. Приведено детальне обґрунтування виразу для обчислення накопиченої деформації,
зокрема при осадці циліндричних зразків. 2. Визначено умови при яких накопичена дефор-
мація мало відрізняється від інтенсивності логарифмічних деформацій на екваторі бічної по-
верхні зразків при осадці. 3. Введенням функції
x)(m,
δ
максимальна похибка в обчисленні
накопиченої деформації на основі виразу (23) зменшилась практично на два порядки: від 6 %
до 0,08 % (m ∈ [0,01; 20], x ∈ [0; π/2 – 0,05]), про що свідчать результати приведені на
рис. 3, в, 3, г. Можливість заміни
(
)
(
)
(
)
mxmxemx
uu
,,,
δ
ε
+
≈
дозволяє уникнути обчислень
інтеграла у виразі (19), який не виражається через елементарні функції і повинен знаходити-
ся чисельно. У випадку визначення граничних деформацій за нелінійними моделями накопи-
чення пошкоджень [1, 2] цей інтеграл входить до іншої підінтегральної функції, що призво-
дить до значних часових витрат на обчислення. В середовищі математичної системи Maple
подібні обчислення
можуть тривати годинами (!). Апроксимація (23) зменшує тривалість об-
числень на порядок.
ЛІТЕРАТУРА
1. Михалевич В. М. Тензорні моделі накопичення пошкоджень / В. М. Михалевич. – Вінниця :
«УНІВЕРСУМ – Вінниця», 1998. – 195 с.
2.
Огородников В. А. Оценка деформируемости металлов при обработке давлением /
В. А. Огородников. – Киев : Вища школа, 1983. – 175 с.
3.
Огородніков В. А. Механіка процесів холодного формозмінювання з однотипними схемами механізму
деформації: [монографія] / Огородников В. А., Музичук В. І., Нахайчук О. В. – Вінниця : УНІВЕРСУМ-Вінниця,
2007. – 179 с.
4.
Дель Г. Д. Метод делительных сеток / Г. Д. Дель, Н. А. Новиков. – М. : Машиностроение, 1979. – 144 с.
5.
Алиев И. С. Формоизменение при радиально-прямом выдавливании на оправке / И. С Алиев, Л. И.
Алиева, Я. Г. Жбанков // Обработка металлов давлением: сборник научных трудов. – Краматорск: ДГМА. –
2008 – № 1(19). – С. 171–176.
6.
Матвийчук В. А. Способы испытания металлов на пластичность / В. А. Матвийчук // Вісник Східно-
українського національного університету ім. Володимира Даля. – Луганськ: вид-во СНУ ім. В. Даля, 2008. – № 6.–
Ч. 2. – С. 156–161.
7.
Колмогоров В. Л. Напряжения, деформации, разрушениe / В. Л. Колмогоров. – М.: Металлургия,
1970. – 229 с.
8.
Сопротивление деформаций и пластичность металлов при обработке давлением / Калпин Ю. Г.,
Перфилов В. И., Петров П. А., Рябов В. А., Филиппов Ю. К. – М.: «МАМИ», 2007. – 118 с.
9.
Писаренко Г. С. Деформирование и прочность материалов при сложном напряжённом состоянии/
Г. С. Писаренко, А. А Лебедев. – К.: Наукова думка, 1976. – 415 с.
10.
Смирнов-Аляев Г. А. Сопротивление материалов пластическому деформированию. Инженерные мето-
ды расчета операций пластической обработки материалов / Г. А. Смирнов-Аляев. – М. – Л.: Машгиз, 1961. – 463 с.
11.
Бронштейн И. Н. Справочник по математике для инженеров и учащихся втузов / И. Н. Бронштейн,
К. А. Семендяев. - М.: Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1981. – 720 с.
12.
Качанов Л. М. Основы теории пластичности / Л. М. Качанов. – М.: Наука, 1969. – 420 с.
Михалевич В. М. – д-р техн. наук, проф. ВНТУ;
Добранюк Ю. В. – аспірант ВНТУ.
ВНТУ – Вінницький національний технічний університет, м. Вінниця.
E-mail: vmykhal@gmail.com
134
Обработка материалов давлением № 1 (20), 2009
УДК 621.983; 539.374
Яковлев С. С.
Трегубов В. И.
ШЕЙКООБРАЗОВАНИЕ ТОНКОСТЕННОЙ ТРУБНОЙ ЗАГОТОВКИ
ИЗ АНИЗОТРОПНОГО МАТЕРИАЛА ПРИ РОТАЦИОННОЙ ВЫТЯЖКЕ
КОНИЧЕСКИМИ РОЛИКАМИ ПО ПРЯМОМУ СПОСОБУ
Целью работы является разработка крите-
р
иев шейкообразования тонкостенной трубной
з
аготовки из анизотропного материала при рота-
ционной вытяжке коническими роликами по
прямому способу на основе условия положи-
т
ельности добавочных нагрузок.
Рассмотрим ротационную вытяжку тон-
костенной трубной заготовки из анизотропного
изотропно упрочняющегося материала
с цилиндрической анизотропией коническими
р
оликами по прямому способу (рис. 1). При по-
д
аче s ролика фактическая подача будет
ô
s
. За
один оборот произойдет увеличение трубной
з
аготовки (детали) на величину
ô
s . Предполо-
ж
им, что эта часть заготовки будет находиться в
пластическом состоянии и подвержена действию
крутящего момента
M
и растягивающей силы
P
. Главные оси анизотропии совпадают с ради-
альным, окружным и осевым направлениями (
r
,
θ ,
z
).
1. Основные соотношения
Условие пластичности анизотропного
материала имеет следующий вид в цилиндриче-
ской системе координат:
Рис. 1. Схема очага деформации
при ротационной вытяжке
1222)()()(
222222
=τ+τ+τ+σ−σ+σ−σ+σ−σ
θθθθ zrzrzzrr
NMLHGF , (1)
где
NMLHGF ,,,,, – параметры анизотропии, которые следуют из условия пластич-
ности Мизеса-Хилла, записанного в главных осях анизотропии путем замены z
y
x
,, на
rz ,, θ . Параметры анизотропии определяются известными соотношениями:
⎪
⎪
⎪
⎪
⎭
⎪
⎪
⎪
⎪
⎬
⎫
=−+=
=−+=
=−+=
;
1
2;
111
2
;
1
2;
111
2
;
1
2;
111
2
2222
2222
2222
R
LF
S
MG
T
NH
szsrs
sszsr
srssz
σσσ
σσσ
σσσ
θ
θ
θ
(2)
где
szssr
σ
σ
σ
θ
,
, – величины сопротивления материала пластической деформации при
растяжении или сжатии в главных осях анизотропии, совпадающих с направлениями
zr ,,
θ
, а TSR ,, – величины сопротивления материала пластической деформации при
сдвиге по отношению к главным осям анизотропии.
135
Обработка материалов давлением № 1 (20), 2009
В соответствии ассоциированным законом пластического течения имеет следую-
щие уравнения связи между приращений деформации и напряжениями:
⎪
⎭
⎪
⎬
⎫
=−+−=
=−+−=
=−+−=
.2)];()([
;2)];()([
;2)];()([
rzrzrzrr
rrzr
zzrzzz
MddFGdd
LddHFdd
NddGHdd
τλεσσσσλε
τλεσσσσλε
τλεσσσσλε
θ
θθθθθ
θθθ
, (3)
где
λd
– коэффициент пропорциональности.
Найдем выражения для определения напряжений из уравнений (3):
⎪
⎪
⎪
⎭
⎪
⎪
⎪
⎬
⎫
=
++
−
=−
=
++
−
=−
=
++
−
=−
.
2
;
)(
;
2
;
)(
;
2
;
)(
Md
d
HFGHGFd
HdGd
Ld
d
HFGHGFd
FdHd
Nd
d
HFGHGHd
GdFd
rz
rz
r
r
r
r
zr
zr
z
z
z
z
λ
ε
τ
λ
εε
σσ
λ
ε
τ
λ
εε
σσ
λ
ε
τ
λ
εε
σσ
θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ
(4)
Рассмотрим случаи плоского напряженного состояния:
0;0;0
=
=
=
rzrr
dd
ε
ε
σ
θ
.
В этом случае:
⎪
⎪
⎪
⎭
⎪
⎪
⎪
⎬
⎫
=
++
−
=
++
−
=
.
2
;
)(
;
)(
Nd
d
HFGHGFd
GdHd
HFGHGFd
HdFd
z
z
r
rz
z
λ
ε
τ
λ
εε
σ
λ
εε
σ
θ
θ
θ
θ
(5)
Определим коэффициент пропорциональности:
ii
dd
ε
σ
λ
=
. (6)
Упростим выражение для определения приращения интенсивности деформаций,
записанное в цилиндрической системе координат, учитывая, что
θ
ε−ε−=
ε
ddd
zr
, так:
⎢
⎣
⎡
+
++
+
++=
2
)(
3
2
θ
εε
d
HFGHFG
HG
HGFd
i
.
2
2
2/1
2
2
⎥
⎥
⎦
⎤
ε
+εε
++
+ε
++
+
+
θ
θ
N
d
dd
HFGHFG
H
d
HFGHFG
FH
z
zz
(7)
Запишем выражение для определения интенсивности напряжений в цилиндриче-
ской системе координат:
+−+−+−
++
=
222
)()()([
)(2
3
θθ
σσσσσσσ
zzrri
HGF
HGF
.]222
2/1222
θθ
τττ
zrzr
NML +++
(8)
Принимая во внимание условие пластичности (1) будем иметь:
)(2
3
HGF
i
++
=
σ
. (9)
Запишем выражение для определения
λ
d , используя условие пластичности (9) и
выражение (6):
136
Обработка материалов давлением № 1 (20), 2009
i
i
i
i
i
ii
d
HGF
ddd
σ
ε
ε
σ
σ
εσλ
)(2
3
2
++
===
. (10)
В случае плоского напряженного состояния условие пластичности запишется сле-
дующим образом:
12)(
2222
=+−++
θθθ
τσσσσ
zzz
NHGF , (11)
а компоненты напряжений будут равны:
;)(
)(
3
2
rz
i
i
z
HdFd
dHFGHFG
HGF
ε−ε
ε
σ
++
+
+
=σ
);(
)(
3
2
θθ
εε
ε
σ
σ
GdHd
dHFGHFG
HGF
r
i
i
−
++
+
+
=
θθ
ε
ε
σ
+
+
=τ
z
i
i
z
d
dN
HGF )(
3
1
. (12)
2. Критерии положительности добавочных нагрузок.
Согласно этого критерия потеря устойчивости деформирования произойдет при
выполнении одного из условий:
0
=
dP (13)
или
0
=
dM , (14)
,,
2
,2
0
0
rRt
rR
rrtP
d
d
z
−=
+
==
σπ
(15)
где
r
– средний радиус детали, t – толщина детали,
d
Rr ,
0
– радиус оправки и детали;
θ
τπμ
z
tr
2
2= . (16)
Из условия (13) следует, что при критической деформации:
0=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+σ+σ
t
dt
r
dr
d
zz
. (17)
Условие несжимаемости материала следует, что
z
d
t
dt
r
dr
ε−=+ .
Рассмотрим выражение для определения
z
σ
:
)(
)(
3
2
rz
i
i
z
HdFd
dHFGHFG
HGF
ε−ε
ε
σ
++
+
+
=σ ,
разделим числитель и знаменатель на
2
F
:
,
1
3
2
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
ε−ε
ε
σ
++
++
=σ
rz
i
i
z
d
F
H
d
d
F
H
F
H
F
G
F
G
F
H
F
G
(18)
введем коэффициенты анизотропии
r
z
r
z
d
d
G
H
R
d
d
F
H
R
ε
ε
==
ε
ε
==
θ
θ
,, вынесем в круглых
скобках
z
dε :
.
1
1
3
2
2
z
zi
i
z
zz
z
d
R
R
d
RRRR
RRRR
ε
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+
+
ε
σ
++
++
=σ
θ
θθθ
θθ
(19)
137
Обработка материалов давлением № 1 (20), 2009
Заметим, что из условия несжимаемости следует:
;0
=
ε
+
ε+ε
θ rz
ddd
;01 =
ε
ε
+
ε
ε
+
θ
z
r
z
d
d
d
d
=
ε
ε
−−=
ε
ε
θ
zz
r
d
d
d
d
1
.
1
1
z
R+
−
Примем, что среднее приращение сдвига
θ
ε
=
γ
z
dd и среднее приращение осевой
деформации
z
dε в формируемой части детали у выхода из очага деформации подчиня-
ется условию:
constc
d
d
z
≈=
ε
γ
1
. (20)
В этом случае, как будет показано ниже:
const
d
d
i
z
=
ε
ε
. (21)
Эта величина будет зависеть от степени утонения, величины подачи и угла роли-
ка при ротационной вытяжке.
Используя коэффициенты анизотропии, получим:
×
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
++=ε
θ
θ
R
R
R
d
z
i
1
3
2
⎪
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎪
⎨
⎧
+
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
++
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
+++
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+
×
θθθ
θθ
θ
θ
θθ
θ
θ
θ
z
zz
z
zz
z
RRR
R
R
R
R
R
R
R
RR
R
R
R
R
R
2
22)1(
2
z
z
zz
z
zz
d
RRR
R
R
R
R
RRR
R
R
R
R
ε
⎪
⎪
⎭
⎪
⎪
⎬
⎫
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
++
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
++
+
θθθ
θθ
θθθ
θθ
2
2
, (22)
где
;
r
z
d
d
F
H
R
ε
ε
==
θ
;
r
z
d
d
G
H
R
ε
ε
==
θ
z
z
z
d
d
F
N
R
ε
ε
==
θ
θ
.
Так как упрочнение изотропное, то параметры анизотропии не изменяются. Сле-
довательно:
const
d
d
i
z
≈
ε
ε
.
Поэтому из выражения (19) получим, что:
z
i
i
z
z
zz
z
d
d
d
R
R
RRRR
RRRR
d ε
ε
σ
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+
+
++
++
=σ
θ
θθθ
θθ
1
1
3
2
2
(23)
или
z
i
i
zz
d
d
d
Ad ε
ε
σ
=σ
. (24)
Используя выражения (14), условие пластичности и (24), получим:
i
i
zz
d
d
A
ε
σ
=σ
. (25)
Заметим, что:
138
Обработка материалов давлением № 1 (20), 2009
θ
θ
θ
θ
θθ
ε
ε
σ
++
−ε
ε
σ
++
=τ
z
i
i
z
z
z
i
i
z
d
dR
R
R
R
d
dN
HGF
1
3
1
3
1
. (26)
Используя выражение (22), получим:
=ε
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+
+
ε
σ
++
++
γ
ε
σ
++
=
σ
τ
θ
θθθ
θθ
θ
θ
θ
θ
z
zi
i
z
zz
i
i
z
z
z
z
d
R
R
d
RRRR
RRRR
d
dR
R
R
R
1
1
3
2
1
3
1
2
.
1
1)(
)(1
2
1
1
2
Bc
d
d
B
d
d
R
R
RRRRR
RRRRR
R
R
zz
z
zzz
z
z
=
ε
γ
=
ε
γ
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+
+++
++
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
++
=
θ
θθθ
θθθθ
θ
(27)
В нашем случае определим величину интенсивности напряжений при которой 0
=
dP :
==++
++
=
zzzzi
NHG
HGF
στσσσ
θ
2/1222
]2[
)(2
3
.2
12
3
2/1
2
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
++
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
++
=
z
z
z
z
z
RR
R
R
R
R
R
σ
τ
θ
θθ
θ
θ
θ
Окончательно будем иметь:
.2
12
3
2
1
2
cBRR
R
R
R
R
R
d
d
A
z
z
z
i
i
zi θθ
θ
θ
θ
++
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
++
ε
σ
=σ
(28)
Обратимся к условию (17):
)2(22
22
dtrrdrttrddM
zz
+πτ+τπ=
θθ
; (29)
02 =
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+τ+τ
θθ
t
dt
r
dr
d
zz
. (30)
Аналогично (25), согласно (12) имеем:
θθ
ε
ε
σ
+
+
=τ
z
i
i
z
d
d
d
N
HGF
d
)(
3
1
. (31)
Принимая во внимание (31), выражения
θ
ε= d
r
dr
,
r
d
t
dt
ε= , условие несжимаемости из
которого следует, что
z
z
r
d
Rr
dr
d ε
+
−==ε
1
1
, выражения (34) и (28) получим, имея ввиду:
z
z
z
z
z
z
z
d
R
R
d
R
R
d
t
dt
r
dr
ε
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+
+−=ε
+
−ε−=+
1
1
1
2
;
=
ε
γ
ε
σ
++
+
+
=τ
θ
θ
θ
θ
zi
i
z
z
z
z
z
d
d
d
d
R
R
R
R
R
R
1
3
1
1
1
1
139