Обработка материалов давлением: сборник научных трудов. Вып. №20

Подождите немного. Документ загружается.

Обработка материалов давлением №1 (20), 2009

коммерческого программного обеспечения не увенчались успехом в связи с ограниченными

возможностями последних в части задания неклассических граничных условий (анизотропия

трения, сложное пространственное движение валков).

Целью данной работы является разработка и экспериментальная проверка численной

модели рассматриваемого процесса на основе конечноэлементной модели процесса прокат-

ки, предложенной в работах [9–10].

Экспериментальные исследования

Экспериментальные исследования были выполнены в Политехнике Шленской. Ам-

плитуда горизонтального движения валков составляла ±1.4 мм, частота колебаний валков 3

Герца. Диаметр валков был равен 60 мм. Экспериментальная установка с прокатанным об-

разцом показана на рис. 2.

Рис. 2. Экспериментальная установка: 1 – нижний и верхний валки, 2 – образец

Размеры поперечного сечения образца 8 × 8 мм. Прокатываемый материал – технически

чистая медь при комнатной температуре. Величина обжатия Δh = 0,8 мм. Рассмотрены три

варианта скорости прокатки: 0,156, 0.051, 0.031 радиан в секунду. Поскольку частота и ампли-

туда колебаний валков были неизменными, скорость прокатки определяла число колебаний,

воспринятое объемом материала

при прохождении через очаг деформации. Чем меньше была

скорость прокатки, тем большую деформацию успевало внести горизонтальное колебание вал-

ков. Результаты прокатки при разных скоростях вращения валков представлены на рис. 3.

Влияние скорости прокатки проявляется также в различии формы прокатанных образцов. При

высокой скорости прокатки поверхность образца приобретает выраженную волнистую форму

(рис

. 3, вариант 1). При малой скорости амплитуда волнистости поверхности образца умень-

шается (рис. 3, варианты 2 и 3). Выполнить экспериментальную оценку распределения дефор-

мации, температуры и напряжений в объеме образца в зависимости от параметров прокатки

достаточно сложно. По этой причине была выполнена разработка математической модели ис-

следуемого процесса.

Обработка материалов давлением №1 (20), 2009

Рис. 3. Результаты прокатки при разных скоростях вращения валков:

0,156 (1), 0,052 (2), 0,031(3) rps

Математическая модель процесса прокатки

Математическая модель рассматриваемого процесса основана на конечноэлементной

трехмерной модели прокатки, разработанной ранее одним из авторов данной статьи [9–10].

Модель реализована в виде программного продукта Rolling3d [11–12]. В перечисленных ра-

ботах приведено описание модели и программы, а также приведены примеры ее использова-

ния для решения конкретных задач прокатки профилей. Модификации программы, связан-

ные с моделированием рассматриваемого процесса заключались в следующем.

В базовой программе решение ищется из условия стационарности следующего функ-

ционала:

(

)

(

)

,dFwvKdFvKdVdV J

nnn

∫

−

∫

εσ+

∫

εμ=

ττ0

(1)

где:

()

(

)

()

−

; (2)

)1(

)(

−

, (3)

где р – номер итерации; v

– скорость скольжения металла по поверхности валка (м/с);

– скорость точек металла, нормальная к поверхности валка (м/с); w

− нормальная

к поверхности контакта скорость валка (м/с);

− напряжение трения (в соответствии

с законом

= m

; где m – фактор трения);

– напряжение текучести (MПa);

– сред-

нее напряжение (MПa);

– интенсивность скорости деформации (с

-1

);

– скорость

Обработка материалов давлением №1 (20), 2009

деформации изменения объема (с

-1

); K

– штрафной коэффициент на скольжение металла

по поверхности валка, расчитывается с использованием данных, полученных на предыду-

щей итерации (p-1) по формуле (2); K

– штрафной коэффициент на проникание металла

в инструмент;

– приведенная вязкость металла, определяемая в соответствии с методом

гидродинамических приближений по формуле (3) (MПa с); V – объем металла (м

); F – кон-

тактная поверхность (м

Для учета поперечного движения валков и анизотропии трения воспользуемся пре-

имуществами, которые дает подход, основанный на формуле (2). Полная скорость скольже-

ния металла по поверхности валка может быть записана следующим образом:

vvv +=

, (4)

где 1 и 2 это оси локальной системы координат в точке контакта, касательные

к поверхности контакта. Условимся, что ось 2 направлена перпендикулярно направлению про-

катки и параллельно осциллирующему горизонтальному движению валков. Тогда составляю-

щую функционала (1), связанную с трением, можно записать через проекции на оси 1 и 2:

(

)

∫

ττ

dFvKvK

, (5)

где:

()

; (6)

()

, (7)

где m

и m

факторы трения в направлении продольном и поперечном

к направлению прокатки. Формула (5) позволяет учесть анизотропию трения, имеющую ме-

сто в рассматриваемом процессе.

Горизонтальное колебательное движение валка можно описать с помощью синусоиды

в соответствии со следующей формулой:

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

wywy

sin

v 2

, (8)

где

=τ – время одной осцилляции;

– текущее время прокатки;

– амплитуда

горизонтального перемещения валков.

Явление отрыва металла от поверхности валка в данном процессе имеет место не

только при выходе металла за линию центров валков, а и в следствие горизонтального пере-

мещения валков. Об этом можно судить по форме поверхности прокатанных заготовок (рис.

3). Моделироваие отрыва металла от валка осуществлялось при выполнении условия поло-

жительности нормальных контактных напряжений:

0≥

где

– нормальное контактное напряжение в конкретной точке контакта.

Решение трехмерной тепловой задачи при прокатке учитывает теплообмен с окру-

жающей средой, валками, деформационный разогрев металла. Это решение для рассматри-

ваемого в статье процесса ничем не отличается от решения для обычного процесса прокатки

[11] и по этой причине в данной статье не приводиться.

Обработка материалов давлением №1 (20), 2009

Результаты расчетов

Расчеты были выполнены для условий, соответствующих описанным выше для экспе-

римента (варианты 1–3). Для сравнения был также промоделирован обычный процесс прокат-

ки со скоростями вращения валков, соответствующими вариантам 1–3. Результаты моделиро-

вания обычного процесса прокатки показаны на рис. 4. Из распределения температуры по вы-

соте полосы (рис. 4, а) следует, что максимальная температура соответствует наибольшей ско-

рости прокатки. Это, прежде всего, связано с меньшим временем контакта полосы с холодной

поверхностью валка. Различие температур, однако, не велико. Распределение интенсивности

деформации по высоте полосы существенно неравномерно (рис. 4, б) , имеются максимумы

вблизи контактной поверхности. В меньшей степени деформация проникает в центральные

объемы металла. Такое распределение деформации является характерным для прокатки высо-

ких полос. Разница в распределении деформации для разных скоростей прокатки невелика

и связана с различиями температуры полосы и численными погрешностями при интегрирова-

нии по времени.

-4 -2 0 2 4

ical posi

ion, mm

temperature, C

= 0.031 rps

= 0.052 rps

= 0.156 rps

-4 -2 0 2 4

tical p

siti

n, mm

0.07

0.072

0.074

0.076

0.078

0.08

0.082

strain

= 0.031 rps

= 0.052 rps

= 0.156 rps

а б

Рис. 4. Результаты моделирования прокатки без горизонтального движения валков:

a - распределение температуры по высоте полосы в сечении выхода из валков;

б - распределение интенсивность деформации по высоте полосы.

Результаты расчетов процесса MEFASS показаны на рис. 5–6. На рис. 5 приведены

объемные распределения скорости течения в поперечном направлении V

(рис. 5, 1), интен-

сивности напряжения (рис. 5, 2) и интенсивности деформации (рис. 5, 3) в полосе после про-

катки. Форма представленных на рис. 5 полос, полученная в результате расчета, соответству-

ет форме полос на рис. 3 для условий эксперимента. Анализ распределения температуры

(рис. 6, а) позволяет утверждать, что в случае прокатки MEFASS температура существенно

выше, чем в обычном процессе прокатки

. Причем в отличие от обычного процесса прокатки,

меньшей скорости соответствует высшая температура. Это связано с тем, что при меньшей

скорости и постоянной частоте горизонтального движения валков в металл передается боль-

шая деформация, происходит больший деформационный разогрев.

Обработка материалов давлением №1 (20), 2009

Рис. 5. Распределение скорости течения V

(1), интенсивности напряжения (2) и интенсивности

деформации (3), полученные для процесса MEFASS с разной скоростью прокатки:

а – 0,156; б – 0,052; в – 0,031 rps

Обработка материалов давлением №1 (20), 2009

Анализ распределения интенсивности деформации по высоте полосы (рис. 6, б) пока-

зал, что меняется как величина, так и распределение этой величины. Величина интенсивно-

сти деформации при малой скорости прокатки достигает значений, близких

к 1 (при обычной прокатке эта величина не более 0,08, рис. 4, б). Ясно также, что теоретиче-

ских ограничений на величину накопленной деформации процесс не имеет, уменьшение ско-

рости прокатки будет приводить к увеличению накопленной деформации до исчерпания ре-

сурса пластичности материала. Таким образом, разработанная модель позволяет выполнять

подбор скорости и других параметров прокатки MEFASS на основе расчета по заданной ве-

личине накопленной деформации.

-0.12 -0.08 -0.04 0 0.04 0.08 0.12

vertical position, mm

100

110

120

130

140

150

160

170

tempe

atu

e, C

= 0.031 rps

= 0.052 rps

= 0.156 rps

-0.12 -0.08 -0.04 0 0.04 0.08 0.12

vertical position, mm

0.2

0.4

0.6

0.8

1.2

ain

= 0.031 rps

= 0.052 rps

= 0.156 rps

а б

Рис. 6. Результаты моделирования прокатки MEFASS:

a - распределение температуры по высоте полосы в сечении выхода из валков; б - распределение

интенсивности деформации по высоте полосы

Работа финансирована Министерством науки и высшего образования Польши

(MniSW), проект R0702601

ВЫВОДЫ

1. Предложена новая математическая модель процесса прокатки с дополнительным

осциллирующим горизонтальным движением валков (MEFASS), основанная на методе ко-

нечных элементов. В качестве новых факторов модель учитывает горизонтальное цикличе-

ское движение валков, анизотропию трения и возможность отрыва металла от поверхности

валка в геометрическом очаге деформации.

2. Выполнено экспериментальное исследование процесса MEFASS при разной скоро-

сти прокатки. Форма полученных после прокатки образцов согласуется с формой трехмер-

ной сетки конечных элементов, полученной в результате расчета.

3. Показано, что теоретических ограничений на величину накопленной деформации

процесс MEFASS не имеет, уменьшение скорости прокатки будет приводить к увеличению

накопленной деформации.

Обработка материалов давлением №1 (20), 2009

4. Показано, что разработанная модель позволяет выполнять подбор скорости

и других параметров прокатки MEFASS на основе расчета.

ЛИТЕРАТУРА

1. Korbel A. The structure based design of metal forming operations / A. Korbel, W. Bochniak // J. Mat.

Proc. Tech. – 1995. – № 53. – Р. 229–237.

2. Gronostajski Z. Effect of variaable deformation path on material’s force-energy parameters and

structure / Gronostajski Z., Grosman F., Jeśkiewicz K., Pawlicki J. // Research in Polish Metallurgy at the

Beginning of XXI Century, eds. K. Swiatkowski, M. Blicharski, K. Fitzner, W. Kapturkiewicz, M. Pietrzyk,

J. Kazior, Akapit, Krakow, 2006. – Р. 347–368.

3. Бейгельзиме Я. Е. Винтовая экструзия – процесс накопления деформаций/ Бейгельзимер Я. Е.,

Варюхин В. Н., Орлов Д. В., Сынков С. Г. – ТЕАН, Донецк, 2003. – 87 с.

4. Kuziak R. Symulacja uzyskiwania struktur ultradrobno ziarnistych i nanokrystalicznych metodą

skumulowanego odkształcenia plastycznego/ Kuziak R., Zalecki W., Węglarczyk S., Pietrzyk M. // Konf. FIMM

2003, Warszawa, Mechanikaz, 2001. – S. 145–150 (in Polish).

5. Milenin A. A study of changes of microstructure and mechanical properties during the accumulative

roll-bonding process of aluminium / Milenin A. A., Svyetlichnyy D. S., Kwapisz M. // ESAFORM 2006, Glasgow,

P. 539–542.

6. Миленин А. А. Получение ультрамелкозернистой структуры алюминия методом пакетной

прокатки / А.А. Миленин, М. Квапиш // Совершенствование процессов и оборудования обработки

давлением в металлургии и машиностроении. – Краматорск, ДГМ. – 2005. – С. 451–454.

7. Grosman F. Wykonanie badań doświadczalnych procesu walcowania z poosiowym ruchem walców.

Wykonanie interpretacji wyników badan doświadczalnych procesów przeróbki plastycznej ze zmianą drogi odkształcenia, /

Grosman F., Pawlicki J., Lipska B. // Politechnika Śląska, sprawozdanie z pracy NB-50. – 2005. – № 2. – Р. 23

(in Polish).

8. Grosman F., Cyganek Z., The research of rolling process with cyclic change of the strain path /

Grosman F., Cyganek Z. // Metal Forming Conference 2008, Steel Research International. – 2008. – № 79. – 453–458.

9. Milenin A. A. Numerical properties of finite-element algorithms in the three-dimensional shaping of metals //

Russian metallurgy. Metally. – 1998. – Р. 38–43. – ( Publisher: Allerton Press, London, ROYAUME-UNI).

10. Milenin A. A. Mathematical modeling of the spread of metals with different rheological properties on

rolling, Russian metallurgy. Metall. – 1998. – № 4. – Р. 65–68. – ( Allerton Press, London, ROYAUME-UNI).

11. Миленин А. А. Проблемы разработки и применения трехмерных численных моделей

для оптимизации процессов прокатки // Сучасні проблеми металургії. Наукові вісті. Том. 5. Пластична

деформація металів. – Дніпропетровськ: «Системні технології», 2002. – С. 36–46.

12. Milenin A. Program komputerowy do analizy trójwymiarowego płynięcia metalu podczas walcowania

w wykrojach / Milenin A., Dyja H., Lesik L. // Hutnik. – 2003. – № 1. – S. 20–24.

A. Milenin - professor, Akademia Górniczo-Hutnicza, Kraków, Poland;

F. Grosman - professor, Politechnika Śląska w Katowicach, Poland;

L. Madej - dr. inz., Akademia Górniczo-Hutnicza, Kraków, Poland;

J. Pawlicki

- dr. inz., Politechnika Śląska w Katowicach, Poland.

E-mail: milenin@metal.agh.edu.pl

franciszek.grosman@polsl.pl

lmadej@agh.edu.pl

jacek.pawlicki@polsl.pl

Обработка материалов давлением № 1 (20), 2009

УДК: 621.771

Мазур И. П.

Долматов А. П.

Борисов С. С.

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ПРОЦЕССОВ ХОЛОДНОЙ ПРОКАТКИ

НА НЕПРЕРЫВНЫХ ШИРОКОПОЛОСНЫХ СТАНАХ

Основу математического моделирования процесса холодной прокатки составляют ма-

тематические модели очага деформации. Из литературы известно множество примеров по-

строения математических моделей очага деформации при холодной прокатке на непрерыв-

ных станах. При этом исследователи преследуют различные цели, но обычно особую труд-

ность при моделировании составляет учет всех влияющих на процесс параметров и обеспе-

чение требуемого уровня соответствия расчетных значений фактическим, поскольку при

расчетах всегда приходится делать допущения из-за сложности вычислений и взаимовлияния

параметров. Точное определение значений всех параметров позволяет приблизить модель

к реальному процессу и повысить эффективность алгоритмов управления основанных на

этих моделях.

На сегодняшний момент из всего многообразия моделей очага деформации можно

выделить три класса [1].

Первый класс составляют сложные математические модели в виде дифференциальных

уравнений, полученных на основе общих предположений относительно характера процесса

прокатки с использованием минимально необходимого объема экспериментальных данных.

К таким моделям относятся дифференциальные уравнения Кармана [2], Орована [2, 3],

Джортнера [3], Экиномополоса [3] и др. Эти модели точны, но в силу необходимости чис-

ленного решения имеют низкое вычислительное быстродействие.

Второй класс – математические модели c определенными допущениями, облегчаю-

щими процесс аналитического решения дифференциальных уравнений [2–5]. Из-за допуще-

ний эти модели менее точны, по сравнению с моделями первого класса, но более компактны,

просты, не потеряли своей актуальности и успешно используются для решения различных

производственных задач.

К третьему классу можно отнести модели, специально полученные для управления

в реальном масштабе времени [6-11]. По сравнению с моделями первой и второй групп они

обладают меньшей точностью, но просты по структуре и требуют малых затрат машинного

времени для проведения вычислений. Их использование удобно в составе алгоритмов управ-

ления систем автоматического регулирования процесса, необходимая точность при этом дос-

тигается идентификацией алгоритмов по реальным данным.

Основные погрешности всех моделей связаны не с видом модели, они все получены,

как правило, из уравнения Кармана при определенных допущениях, а с определением для

каждой модели своего коэффициента трения и сопротивления деформации прокатываемой

полосы [1, 12]. Поэтому для эффективного использования существующих уравнений в алго-

ритмах АСУТП необходимо тщательно подходить к выбору зависимостей для расчета этих

параметров.

Целью данной работы было построение теоретической модели очага деформации ста-

на холодной прокатки, на основе комплекса уравнений, прошедших практическую апроба-

цию, получение теоретических кривых упрочнения высокопрочных марок сталей при холод-

ной прокатке, уточнение расчетной модели посредством анализа теоретических и экспери-

ментальных данных по упрочнению.

Выбранная модель основана на численном решении дифференциального уравнения

равновесия сил в очаге деформации Кармана [13]. Для определения частной производной из-

менения усилия прокатки по длине очага деформации используется следующее выражение:

Обработка материалов давлением № 1 (20), 2009

(

)

xRh

RpKx

xCxBC

cxx

+⋅

⋅

+−⋅⋅⋅−=±

−

; (1)

(

)

xxxx

xCBAK

−⋅+= ; (2)

575,0

;

cп

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

⋅

100

575,0;

hlR

Δ=

где

p – удельное давление металла на валки в сечении

;

l – длина дуги контакта

с учетом упругого сплющивания валков;

– координата интегрирования; cb

– пара-

метры кривой упрочнения по А. В. Третьякову;

– коэффициент трения;

R – радиус упру-

го сплющенного валка;

H – толщина подката;

h – толщина полосы на выходе из клети;

hΔ

– абсолютное обжатие.

Момент прокатки на одном валке, как статический момент эпюры

p относительно

центра вращения валка, определяется уравнением [13]:

TTRdxxpB

/25,01

2/cos)(5,0

Δ⋅−

⋅−⋅+⋅⋅

∫

, (3)

где

– ширина прокатываемой полосы;

- радиус (несплющенного) рабочего валка;

T полные заднее и переднее натяжения соответственно;

– угол захвата с учетом упру-

гого сплющивания валков под полосой.

Уравнение Кармана решается численным методом Рунге-Кутта. На первом шаге, дли-

на дуги контакта без упругого сплющивания валков разбивается на 25 частей, с целью опре-

деления шага численного дифференцирования 25/

Удельное давление для зоны отставания равняется

−

, где

k – сопротив-

ление чистому сдвигу на входе очага деформации определяется по формуле (2); подстанов-

кой в нее

lx = ; а

– заднее удельное натяжение полосы на стане.

Для зоны опережения удельное давление рассчитывается как

−= kp

, где

k – сопротивление чистому сдвигу на выходе очага деформации, которое определяется по

формуле (2), подстановкой в нее

0=x .

Далее для зоны отставания рассчитывается частная производная методом Рунге-Кутта

в точке

lx = :

(

)

....1,0,226/

32101

ikkkkmpp

xkixki

; (4)

() ( )

(

)

2/,2/;2/,2/;,

12010

kpmxfkkpmxfkpxfk

xkiixkiixkii

+== ;

(

)

,2/ kpmxfk

xkii

= ,

где

xki

p – среднее контактное давление на i-том шаге;

1+xki

p – среднее контактное давление

на I + 1-ом шаге;

xm Δ=

– шаг численного дифференцирования;

– индекс зоны очага де-

формации: 0 – зона отставания, 1 – зона опережения.

В зоне отставания выполняется шаг в направлении уменьшения дуги контакта на ве-

личину

xΔ и определяется значение контактного давления

(

)

p в точке xlx

Δ−= по урав-

нению (4). В зоне опережения сравнивается значение (

p ) на краю зоны при x=0 со значени-

ем

()

p , полученным в зоне отставания. Если величина

p больше чем

p , то рассчитыва-

ется величина производной (1) в точке

x . Далее выполняем шаг в направлении возраста-

ния

в точку xx Δ+= 0 . В противном случае делаем повторный шаг в направлении убыва-

ния дуги контакта. Уравнения интегрируем попеременно то со стороны отставания, то

Обработка материалов давлением № 1 (20), 2009

со стороны зоны опережения до полной встречи по координате

. Совпадение

p при дви-

жении слева и справа определяет нейтральное сечение, в котором толщина полосы равна:

. (5)

Одновременно вычисляются площадь эпюры и ее статистический момент относитель-

но оси вращения валка (3). Площадь эпюры представляет собой полное давление прокатки на

единицу ширины прокатываемой полосы. Тогда среднее удельное давление прокатки нахо-

дится как:

xcp

ldxpp

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

∫

. (6)

Величина

сp

(6) используется для расчета длины деформированной дуги контакта.

При этом последовательно производят расчеты

сp

p с тремя значениями длины дуг контакта,

равными:

lll 0,2;75,1;5,1

без учета упругого сплющивания и для каждого значения длины ду-

ги контакта определяются свои значения

p . Функцию изменения длины дуги контакта от

среднего контактного давления аппроксимируют полиномом первого порядка:

cpc

paal

, (7)

где

, aa

– коэффициенты, определяемые методом наименьших квадратов (МНК)

из решения следующей системы уравнений:

⎪

⎩

⎪

⎨

⎧

∑∑∑

∑

cicpcpicpi

cicpi

lppapa

lpaa

(8)

Функцию изменения среднего удельного давления от длины дуги контакта аппрокси-

мируют полиномом второго порядка:

321 cccp

lblbbp ++= , (9)

где

b и

b – коэффициенты, определяемые МНК, из решения следующей системы линейных

уравнений:

⎪

⎩

⎪

⎨

⎧

=++

∑∑∑∑

∑

;

321

cicpiccc

cpcc

lplblblb

plblbb

(10)

Выражения (9) и (10) образуют систему двух уравнений с двумя неизвестными для

определения длины дуги контакта с учетом сплющивания валков

(

)

l и среднего удельного

контактного давления

)(

p :

⎪

⎩

⎪

⎨

⎧

=−−−

=−

;

bplblb

apal

cpcc

cpc

(11)

После решения системы (11), при известном значении

l уточняют

(6), а затем

приступают к определению полного усилия прокатки, момента прокатки (3), мощности про-

катки и опережения полосы по стандартным соотношениям [14].

Для уточнения модели в нее включены дополнительные расчетные модули определе-

ния предела текучести полосы перед холодной прокаткой на основе химического состава;

определения коэффициента трения при прокатке, определения толщины полосы на выходе

из

очага деформации с учетом её упругого восстановления и модуля вычисления температуры

полосы в очаге деформации.