Новожилова М.В., Коюда П.М. Моделювання економічної динаміки
Подождите немного. Документ загружается.
121
неперервно переходить з одного стану рівноваги в інше. Однак питання: чи
можуть ринкові механізми регулювання зрушити структуру економіки до
пропорцій росту по магістралі
− залишається відкритим.
Головний результат теорії економічного росту називається
теоремою про
магістралі
. На якісному рівні цей результат формулюється так: можна по-
різному визначати критерій якості траєкторії росту економіки, але, на великих
інтервалах часу оптимальний ріст практично збігається з магістраллю. Отже,
магістраль можна вважати деякою "динамічною" характеристикою економічної
системи, що відбиває ефективну структуру системи. Тільки залишається без
відповіді питання: які механізми самоорганізації можуть
створити в системі
таку структуру?
3.5. Модель гонки озброєнь (модель Ричардсона)
Розглянемо конфліктну ситуацію, у якій можуть виявитися дві сусідні
країни, для визначеності названі країнами
Х і Y.
Позначимо через
x=x(t) витрати на озброєння країни Х і через у= y(t)
витрати на озброєння країни
Y у момент часу t ≥ 0.
Припущення 1. Країна Х озброюється, побоюючись потенційної погрози
війни з боку країни
Y, яка у свою чергу, знаючи про ріст витрат на озброєння
країни
Х, також збільшує свої витрати на озброєння. Кожна країна змінює
швидкість росту (або скорочення) озброєнь пропорційно рівню витрат іншої
країни. У найпростішому випадку це можна описати так:
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎨
⎧
=
=
,x
dt
dy
,y
dt
dx
β
α
(3.29)
де
α
і β
−
додатні постійні.
Однак написані рівняння мають очевидний недолік — рівень озброєння
нічим не лімітується. Тому праві частини цих рівнянь необхідно коректувати.
Припущення 2. Чим більше поточний рівень витрат країни на оборону,
тим менше швидкість його росту. Це дозволяє внести в попередню систему
наступні зміни:
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎨
⎧
−=
−=
,yx
dt
dy
,xy
dt
dx
δβ
γα
де
γ і δ
−
додатні постійні.
Припущення 3. Кожна країна нарощує озброєння, керуючись своїми
державними домаганнями і ворожістю до сусідньої країни, навіть якщо ця
122
країна не загрожує існуванню даної. Позначимо відповідні претензії через а і b
(
а і b − додатні постійні). У випадку якщо постійні а і b від’ємні, їх можна
назвати коефіцієнтами доброї волі.
Ґрунтуючись на всіх трьох припущеннях, у результаті одержуємо
наступну систему рівнянь:
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎨
⎧
+−=
++−=
.byx
dt
dy
,ayx
dt
dx
δβ
αγ
(3.30)
Модель гонки озброєнь побудовано.
Система (3.30) – це лінійна неоднорідна система двох диференціальних
рівнянь першого порядку з постійними коефіцієнтами. Крім того, ця динамічна
система є автономною (час у явному виді в правій частині рівнянь системи не
присутній).
Згідно з теоремою 1. (див п. 2.3.2)
загальний розв’язок (x(t), y(t))
неоднорідної системи лінійних диференціальних рівнянь першого порядку
(3.26) є сума часткового розв’язку
(x*, y*) цієї системи і загального розв’язку
(
x
(t,C
1
,C
2
), у (t,C
1
,C
2
)) відповідної лінійної однорідної системи
диференціальних рівнянь вигляду
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎨
⎧
−=
+−=
.yx
dt
dy
,yx
dt
dx
δβ
αγ
(3.31)
При цьому, якщо відомі початкові умови
x
0
≥0 і y
0
≥0 (початковий стан
гонки озброєнь), то можна визначити розв’язок, що відповідає даним
початковим умовам, тобто визначити довільні постійні
С
1
, С
2
у функціях x(t) і
y(t).
Частинний розв’язок
(x*, y*) системи (3.31) знаходять, припускаючи, що
рівні витрат обох країн на озброєння не залежать від часу (є стаціонарними). Це
означає, що
х'=0, у'=0,
тобто частковий розв’язок (x*, y*) є розв’язком системи двох аналітичних
рівнянь вигляду:
⎩
⎨
⎧
=+−
=++−
.0b*y*x
,0a*y*x
δβ
α
γ
Координати точки рівноваги у даному випадку є такими:
123
x*=
γ
α
*ya +
,
Динаміка гонки озброєнь визначається сукупністю значень
екзогенних параметрів
α
, β, γ, δ, які, в свою чергу, утворюючи матрицю
коефіцієнтів системи (3.30), визначають коефіцієнти
характеристичного
рівняння однорідної форми рівняння (3.30).
Характеристичне рівняння однорідної системи (3.31) має вигляд:
0)()(
2
=−++−
αβγδλδγλ
. (3.32)
Отже, характеристичні числа визначаються за формулою:
2
)(4)()(
2
2,1
αβγδδγδγ
λ
−−+±+
=
. (3.33)
Взагалі модель Ричардсона при
t
∞
→ може демонструвати такі три
випадки:
1. Нескінченна гонка озброєння:
x(t)
∞
→ , y(t)
∞
→ ;
2. Взаємне роззброювання:
0
)
t
(
x
→ , 0
)
t
(
y → ;
3. Рівновага озброєнь:
*
x
)
t
(
x
→ , *y
)
t
(
y → , де y* і x* > 0.
Формально ці варіанти визначаються в залежності від величини
дискримінанту
)(4)(D
2
αβγδδγ
−−+= квадратного рівняння (3.33).
На завершення процитуємо висловлення Т. Сааті про цю модель:
"Модель представляється набагато більш переконливою, якщо замість озброєнь
провести на ній вивчення проблем погрози, оскільки люди реагують на
абсолютний рівень ворожості, що виявляється щодо іншими, і випробують
почуття тривоги в ступені, пропорційному рівню ворожості, що вони
випробують самі" [1].
124
3.6. Модель хижак - жертва
Вище розповідалося про безперешкодне розмноження популяції у
замкнутій системі. Однак у реальних обставинах популяція співіснує з іншими
популяціями, знаходячись з ними в самих різних взаєминах.
Розглянемо антагоністичну пару
хижак – жертва (це може бути пара
рись – заєць і пара божа корівка – попелиця) і простежимо, як може
змінюватися з часом чисельність обох взаємодіючих сторін.
Популяція жертви може існувати сама по собі, у той час як популяція
хижака — тільки за рахунок жертви.
Позначимо чисельність популяції жертви через
х, а чисельність популяції
хижака через
y.
Під час відсутності хижака жертва розмножується відповідно до рівняння
х'=
α
x, α>0
а хижак під час відсутності жертви вимирає за законом
у'=–βy, β>0
Хижак з'їдає тим більше жертви, чим її більше і чим більш численний він
сам. Тому при наявності хижака чисельність жертви міняється за законом
х'=
α
x –γxy, γ>0.
З'їдена кількість жертви сприяє розмноженню хижака, що можна
записати так:
у'=– βy+ δxy, δ>0.
Таким чином, ми одержуємо систему рівнянь
⎩
⎨
⎧
+−=
=
xy,yy'
xy,-xx'
δβ
γ
α
(3.34)
причому
x≥0, y≥0.
Модель хижак - жертва побудовано.
Це нелінійна динамічна модель, що задається системою двох нелінійних
автономних диференціальних рівнянь першого порядку.
Система має дві точки рівноваги, координати яких визначаються як
розв’язок системи рівнянь
⎩
⎨
⎧
=+
=
0,xyy
0,xy-x
δβ
γ
α
(3.35)
або
125
x(α–γy)=0, y(–β+δx)=0.
Як і в попередній моделі, найбільший інтерес для нас представляє
відмінна від нуля точка рівноваги (
x*,y*)
γ
α
δ
β
== *,* yx
Приклад дослідження моделі у програмному середовищі Excel подано на
рис. 3.5. За даною моделлю при визначених екзогенних змінних
α
=0.1, γ=0.01,
β=0.05, δ=0.001
побудовано часові ряди значень функцій, які досліджуються, а
саме
x(t) – кількість жертви та y(t) – кількість хижака.
Координати точки рівноваги
(x*,y*)=(50,10).
Графічне подання результатів розрахунків виконано як у вигляді
інтегральних кривих (рис. 3.5.а), так і у вигляді фазового портрету (рис.3.5.б).
Рис. 3.5. Реалізація моделі хижак-жертва:
x
126
а) інтегральні криві функцій x(t), y(t);
б) фазовий портрет системи (3.34) – прямокутником позначено положення
точки рівноваги
3.7. Спрощена модель національної економіки
У спрощеній моделі національної економіки як основні змінні
виступають: національний доход
W, споживання S і державні витрати Е. Нехай
швидкість зміни національного доходу подається формулою
,SWW
⋅
−
⋅
=
′
β
α
0<
α
,
β
,
швидкість зміни споживання
DS
γ
=
′
, γ>0,
де
D
−
різниця між доходом і споживанням.
Нехай
W
−
загальний доход, а сумарне споживання дорівнює S + Е, отже
D = W
−
S
−
Е.
Підстановка в рівняння для
S
′
дає
S
′
= γ(W
−
S
−
E). Передбачається,
що урядові витрати постійні і дорівнюють
Е=Е
0
.
Тоді
спрощену математичну модель національної економіки, що
розглядається, можна подати як систему двох диференціальних рівнянь
,SWW
⋅
−
⋅
=
′
β
α
(3.36)
S
′
= γ(W
−
S
−
E
0
).
Це лінійна динамічна система, що подається неоднорідною системою
лінійних диференціальних рівнянь першого порядку.
Розглянемо поведінку системи в часі.
Точку рівноваги системи знаходимо із системи рівнянь
S
W
⋅
−
⋅
β
α
=0,
(3.37)
γ(W
−
S
−
E
0
)=0.
Точка рівноваги системи (стаціонарна точка, точка покою) має
координати:
W*=
αβ
β
−
0
E
, S*=
αβ
α
−
0
E
.
У реальній моделі значення
W, S і E
0
не можуть бути від’ємними.
Отже,
β
>
α
.
127
Матриця коефіцієнтів А однорідної системи диференціальних рівнянь
,SWW
⋅
−
⋅
=
′
β
α
(3.38)
S
′
= γ(W
−
S),
має вигляд
А=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−
−
γγ
β
α
.
Визначимо слід і детермінант матриці
А:
Tr(A)=
α
−
γ
,
Det (A)=
γ
(
β
−
α
).
Характеристичне рівняння однорідної системи (3.38) має вигляд:
0)()(
2
=−+−−
αβγλγαλ
. (3.39)
Характеристичні числа визначаються за формулою:
2
)(4)()(
2
2,1
αβγγαγα
λ
−−−±−
=
(3.40)
Оскільки, як сказано вище,
β
>
α
, то det(A) > 0, отже, точка рівноваги
системи не може бути сідлом.
Якщо
α
>
γ
, то Tr(A) > 0 і економічна система є нестійкою.
У випадку
α
<
γ
економічна система є стабільною.
Якщо
α
=
γ
, атрактор є граничним циклом. У цьому випадку економіка
осилюватиме.
3.8. Модель Вальраса регулювання ціни
Для побудови динамічної моделі приймемо такі припущення:
Припущення 1. Ціна регулюється при надлишковому попиті відповідно до
рівняння:
)SD(
dt
dp
−=
α
,
α
> 0,
де
D = a + bp − функція попиту, S =mN − функція пропозиції, р − ціна, N
− кількість фірм у галузі промисловості,
α
− коефіцієнт швидкості
регулювання.
128
Підставивши вирази для функцій попиту і пропозиції у рівняння,
одержуємо:
)mNbpa(
dt
dp
−+=
α
. (3.41)
Припущення 2. Кількість фірм на ринку задовольняє рівняння:
,0),cp(
dt
dN
>−
γγ
(3.42)
де
c − фіксовані середні витрати виробництва.
Кількість фірм
N збільшується ( 0
N
> ), якщо ціна перевищує середні
витрати (доходи додатні) і зменшується, якщо ціна менше середніх витрат
(доходи від’ємні).
Рівняння (3.41) і (3.42) складають систему лінійних диференціальних
рівнянь першого порядку
моделі Вальраса регулювання ціни.
Запишемо модель (3.41-3.42) у вигляді
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−
+
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−
=
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
c
a
N
p
0
mb
N
p
γ
α
γ
αα
,
де
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−
=
0
mb
A
γ
α
α
− матриця коефіцієнтів системи рівнянь моделі.
Проведемо дослідження динаміки поведінки моделі.
Визначник матриці коефіцієнтів системи
0m
A
de
t
>
=
γ
α
. Слід матриці
коефіцієнтів
b Tr(A)
α
= .
Характеристичне рівняння системи (3.41-3.42)
λ
2
+
α
b
λ
-
α
m
γ
= 0. (3.43)
2
m4)b(b
2
2.1
γααα
λ
−±−
=
.
Параметр
0>
α
, отже, необхідною і достатньою умовою стабільності
моделі є умова
α
b < 0. Останнє означає, функція попиту повинна бути убутною.
Щоб визначити, чи будуть корені характеристичного рівняння дійсними
або комплексними, підрахуємо величину
(TrA
−
4det A) − дискримінант
характеристичного рівняння (3.40):
TrA
−
4det A= (
α
b)
2
-4(
α
m
γ
).
129
У загальному випадку не можна визначитися, чи буде ця величина
додатною або від’ємною. Це залежить від чисельних значень параметрів
α
, b,
m,
γ
.
Таким чином, єдине, що можна сказати про динаміку моделі, що
розглядається
− кожний розв’язок системи збігається до стаціонарного тоді і
тільки тоді, коли
b < 0.
При цьому точка рівноваги системи є стійким вузлом або стійким
фокусом у залежності від того, чи буде величина
α
2
b
2
- 4
α
m
γ
додатною або
від’ємною.
3.9. Динамічна Кейнсіанська модель
Розглянемо найпростішу Кейнсіанську модель, у якій
національний доход
у реагує на надлишковий попит на товар, тобто надлишок інвестицій I над
заощадженнями
S, а процентна ставка реагує на надлишок попиту на гроші
L(Y,r) над екзогенно визначеною пропозицією грошей М, тобто
[]
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎨
⎧
−=
−=
,M)r,y(Lh
dt
dr
),SI(h
dt
dy
2
1
(3.43)
де
rII
0
α
−= − функція інвестування;
G)-(TT)-s(ySSS
gp
+
=+= − функції заощаджень;
p
S = приватним заощадженням = постійній частині 1)
s
s
(
0
<
<
доходу, яким
можна варіювати;
g
S = державним заощадженням = податок (
T
) мінус витрати (передбачаються
заданими екзогенно);
i
h
=додатним постійним швидкості регулювання 1hh l,2),(³
21
==
=
для
простоти;
r)
L
(Y, = діловому попитові ( k
y
) і спекулятивному попитові (
r
β
− );
M
=экзогенно визначеній пропозиції грошей.
Усі коефіцієнти
k
,,
β
α
− додатні постійні.
Після підстановки одержуємо неоднорідну автономну систему двох
лінійних диференціальних рівнянь першого порядку
130
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎨
⎧
−−=
+−−+−−=
,Mrky
dt
dr
,IG)s1(Trsy
dt
dy
0
β
α
(3.44)
де
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−
−−
=
β
α
k
s
A
− матриця коефіцієнтів системи рівнянь моделі.
Слід матриці
0
)
s
(
)
A
(
t
r
<
+
−=
β
, отже, модель стійка.
Визначник матриці
А дорівнює 0
k
s
)
A
det
(
>
+
=
α
β
.
Динаміка поведінки системи (3.44) визначається загальним розв’язком
відповідної однорідної системи диференціальних рівнянь
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎨
⎧
−=
−−=
.rky
dt
dr
,rsy
dt
dy
β
α
(3.45)
З характеристичного рівняння системи (3.45)
0)ks()s(
2
=++++
αβλβλ
(3.46)
одержуємо вираз для характеристичних чисел
2
)ks(4)s()s(
2
2,1
αβββ
λ
+−+±+−
=
.
Обидва характеристичних числа однакового знака, обидва від’ємні
(поясніть, чому!). Якщо
0)Adet(4))A(tr(
2
>−=∆ , k4)s(
2
αβ
>− , маємо два
дійсних різних корені рівняння (3.46); якщо
0
=
∆
, тобто k4)s(
2
αβ
=− ,
рівняння (3.46) має один кратний корінь; якщо
0
<
∆
, тобто k4)s(
2
αβ
<− ,
одержуємо , що рівняння (3.46) має комплексні корені.
В окремих випадках: a)
p
s
=
, тобто коли маргінальна схильність до
заощаджень дорівнює коефіцієнту еластичності спекулятивного попиту на
гроші,
k4i
2,1
αλ
±= , фазовий портрет є стійким фокусом; б)
k
=
α
, тобто
функція ділового попиту має той же кутовий коефіцієнт, що і функція
інвестицій (за абсолютною величиною),
α
λ
i2s
2,1
±
−
=
і фазовим портретом
системи знов є стійкий фокус.
3.10. Контрольні запитання