Новожилова М.В., Коюда П.М. Моделювання економічної динаміки

Подождите немного. Документ загружается.

151

4.2.4. Оподаткування

Розглянемо удосконалення моделі мультиплікатора для замкненої

економіки – модель з оподаткуванням.

Для спрощення задачі припустимо, що оподаткування є простою

лінійною функцією доходу:

10,уTT

<+=

де

− гранична схильність до оподаткування.

Споживання в цьому випадку – це функція чистого доходу

у , котрий у

нашій спрощеній моделі може бути обчислений як

rTdyу

−

де

d – рівень знецінення,

− трансферні платежі; ці параметри вважаються

ендогенними.

Економіко-математична модель оподаткування має вигляд:

,GICy

,rTdYу

,YTT

,IIhуI

,уСaC

tttt

ttt,d

t0t

001tt

1t,dyt

++=

+−−=

∆++=

−

(4.31)

де

– урядові витрати.

Простою підстановкою з наступним приведенням подібних одержуємо

неоднорідне різницеве рівняння першого порядку з постійними коефіцієнтами

bdbrGIITCay]h)1(C[y

00ay1tyt

−

∆

−

+−−

−

. (4.32)

Загальний розв’язок рівняння (4.32) має вигляд:

h)1(C1

)drT(CGIIa

]h)1(C[Aу

ay00

−−−

−+

−

∆

++−=

Оскільки величини )1(C

−

і h − додатні, динаміка системи є

монотонною.

Мультиплікатор з оподатковуванням

h)1(C1

−−−

менше

мультиплікатора без урахування оподатковування

hC1

−−

. Умова

стабільності

152

bC1h

−

, (4.33)

є менш строгою, ніж вираз (4.30), тому введення в модель функції

оподаткування стабілізує модель.

4.2.5. Модель зовнішньої торгівлі

Як приклад подальшого розвитку мультиплікаторної моделі розглянемо

мультиплікатор зовнішньої торгівлі.

Приймаємо імпорт як функцію доходу, а експорт передбачається цілком

екзогенним. У відкритій економіці сукупна пропозиція визначається як сума

національного продукту

ó і імпорту

; сукупний попит визначається як сума

національного споживання

, національного інвестування

та експорту

Балансовим співвідношенням є рівняння

або MX

−

У цьому випадку формальна модель виглядає таким чином:

,MXICу

,MуmM

,XXX

,IIуhI

,уСaC

ttttt

01tt

1tyt

−++=

+⋅=

∆+=

∆++⋅=

⋅

−

(4.34)

де

m – гранична схильність до імпорту (”втрати” від імпорту), 1m0 << .

Підставляючи перші чотири функції в останнє

− балансове −

співвідношення, одержимо

,XIMXIaу)mhC(у

0001tyt

∆+

∆

−

−+−

−

(4.35)

загальний розв’язок якого має вигляд:

mhb1

XIMXIa

)mhC(Aу

+−−

∆+

∆

−

+−+= ,

(4.36)

де

А – невизначена постійна.

Відзначимо, що мультиплікатором є величина

mhC1

+−−

Сума

hС

+ очевидно більше m. Отже, умова стабільності має вигляд

1mhС

−+ або 0mhC1

−

153

що гарантує додатність мультиплікатора

mhC1

+−−

Умову стабільності також можна подати у вигляді:

mC1h

−

, (4.37)

тобто гранична схильність до інвестування

h повинна бути менше суми

граничної схильності до накопичення (

1-C

) і граничної схильності до імпорту

Цікавий наслідок виникає при розгляді питання про повну

збалансованість торгівлі. Припустимо, що спочатку торгівля збалансована

(тобто

) і експорт автономно збільшується. Доход збільшується

відповідно до мультиплікатора зовнішньої торгівлі, отже, збільшується імпорт,

оскільки це зростаюча функція доходу. Чи буде (змушене) збільшення в імпорті

цілком компенсувати (ендогенне) збільшення експорту?

Формально маємо:

mhC1

∆

+−−

=∆

.Xm

mhC1

ymM

∆

+−−

=∆=∆

Отже,

∆=∆ тільки в тому випадку, коли

С1h

−

4.2.6. Ефект мультиплікатора у відкритій економіці

Ступінь участі країни в міжнародній торгівлі товарами і послугами

позначається на величині мультиплікатора. Для визначення величини

мультиплікатора у відкритій економіці (мультиплікатора зовнішньої торгівлі),

необхідно ввести в аналіз функцію чистого експорту. Припустимо, що експорт

не залежить від величини національного доходу країни, а тільки від зростання

доходів за кордоном. Збільшення експорту індукує вплив

мультиплікатора на

національний доход. Розглянемо дану гіпотезу докладніше.

У п. 4.2.4. розглядалася модель динаміки мультиплікатора з урахуванням

зовнішньої торгівлі, у якій експорт побічно залежить від національного доходу.

Припустимо, що в країні (назвемо її “країна 1”) відбувається зміна

доходу. Потім також змінюється обсяг імпорту, що залежить від доходу, і ця

зміна також означає

зміну експорту в “країну 1” для усього іншого світу (для

простоти будемо вважати для іншої країни, назвемо її “країна 2”). Зміна обсягу

експорту в “країні 2” приводить до зміни доходу, що у свою чергу змінює обсяг

імпорту “країни 2” з “країни 1”. Це приводить до зміни обсягів експорту

“країни 1” і так далі.

154

Цей ланцюжок подій відомий за назвою “зовнішньоторговельна віддача”,

і мультиплікатор, який її враховує, називається

мультиплікатором із

зовнішньоторговельною віддачею

. Для термінологічної зручності

мультиплікатор, розглянутий у 2.2, будемо називати “мультиплікатором

зовнішньої торгівлі без віддачі”.

Почнемо зі статичної моделі, що складається з наступних рівнянь:

Країна 1 Країна 2

.MXICу

,MX

,уmMM

,уhII

,уbC

11111

11011

111

+++=

.MXICу

,MX

,уmMM

,уhII

,уbC

22222

22022

222

+++=

Ці рівняння виражають відповідно функції споживання, функції

інвестування, функції імпорту, той факт, що експорт однієї країни збігається з

імпортом іншої країни, і визначення національного доходу в умовах відкритої

економіки.

− автономні компоненти.

Підставляючи перші чотири рівняння у п'яте балансове для обох країн,

одержуємо:

.MMIу)mhb1(уm

,MMIуmу)mhb1(

020102222211

010201221111

−+=+−−+−

−

(4.38)

Розглянемо отримані вирази в динамічному аспекті. Припущення щодо

моделі аналогічні п. 4.2.4, тобто в обох країнах функції

C ,

I і

M залежать від

доходу

−

в попередньому часовому періоді.

Після звичайних підстановок як модель одержуємо систему неоднорідних

різницевих рівнянь першого порядку з постійними коефіцієнтами:

).MMI(у)mhb(уmу

),MMI(уmу)mhb(у

0201021t,22221t,11t2

0102011t,221t,1111t1

−++−++=

−

−+=

−−

(4.39)

Частинний розв’язок системи (4.39) одержують у вигляді

1t,1t1

−

= =у

*ууу

21t,2t2

−

, де *у*,у

− постійні.

Підставляючи

*у*,у

у систему (4.39), одержуємо звичайну систему

аналітичних рівнянь,

).MMI(*у)mhb(*уm*у

),MMI(*уm*у)mhb(*у

0201022222112

0102012211111

−++−++=

−

−+=

155

розв’язок якої − *у*,у

− збігається зі статичними точками рівноваги системи

(4.39).

Динаміка системи визначається загальним розв’язком відповідної

системи однорідних різницевих рівнянь:

.у)mhb(уmу

,уmу)mhb(у

1t,22221t,11t2

1t,221t,1111t1

−−

−++=

−

(4.40)

Характеристичне рівняння для однорідної системи (4.40):

)mhb(m

m)mhb(

2221

2111

−−+

. (4.41)

Оскільки

mhb >+ , коефіцієнти системи додатні. Застосуємо умови

стабільності. Необхідними і достатніми умовами стабільності є:

0mm)mhb1)(mhb1(

,0mhb1

21222111

111

>−+−−+−−

>+−−

, (4.42)

Якщо необхідні тільки достатні умови, то одержимо

.1hb

,1hb

(4.43)

Щоб оцінити економічний зміст цих висновків, необхідно згадати, що

1mhb <−+ − це умова стабільності для мультиплікатора зовнішньої торгівлі

без віддачі, а

1hb

+ − умова стабільності для мультиплікатора закритої

економіки. Таким чином, можна зробити наступні висновки:

• Необхідною умовою стабільності для мультиплікатора із

зовнішньоторговельною віддачею є те, що мультиплікатори без

зовнішньоторговельної віддачі обох країн стабільні.

• Достатнєю (але не необхідною) умовою стабільності мультиплікатора з

зовнішньоторговельною віддачею є те, що для обох ізольованих країн

мультиплікатор закритої економіки стабільний.

• Якщо для обох ізольованих країн мультиплікатор закритої економіки

нестабільний, то мультиплікатор зовнішньої торгівлі з віддачею також

нестабільний.

• Якщо у припущенні, що кожна країна передбачається ізольованою,

виявиться, що в одній з них мультиплікатор закритої економіки

стабільний, у той час як в іншій

− ні, то мультиплікатор зовнішньої

торгівлі з віддачею може бути як стабільним, так і нестабільним.

156

4.2.7. Контрольні запитання

1. Розкрийте основну ідею доктрини економічної політики Кейнса.

Надайте визначення мультиплікатора інвестицій за Кейнсом.

У чому полягає суть ефекту мультиплікатора?

Поясніть різницю між індукованими і автономними інвестиціями.

Що таке акселератор?

Надайте визначення мультиплікатора автономних витрат.

Надайте характеристику найпростішої динамічної моделі з

мультиплікатором автономних витрат в закритій економіці.

Порівняйте динамічну модель з мультиплікатором автономних витрат в

закритій економіці та модель, де інвестування є частково автономним.

Надайте визначення мультиплікатора зовнішньої торгівлі.

10.

У чому полягає удосконалення моделі мультиплікатора для закритої

економіки в моделі з оподаткуванням.

11.

Що таке мультиплікатор із зовнішньоторговельною віддачею?

12.

Поясніть необхідні і достатні умови стабільності в моделі

мультиплікатора із зовнішньоторговельною віддачею.

4.2.8. Завдання для самостійної роботи

1. Розкрити відмінність засад економічного вчення Дж. М. Кейнса і

представників неокласичної школи (Л.Вальрас, Дж.Б.Кларк, А.Маршалл).

Зауваження 4.3: використати посібники [2,3,14].

2. Порівняти концептуальні положення теорії Дж. М. Кейнса та теорії

неолібералізму.

3. Відновити процес розв’язання балансового рівняння моделі

зовнішньої торгівлі (п. 4.2.4, формула 4.35).

3. Знайти загальний розв’язок різницевих рівнянь (4.39) моделі

мультиплікатора з зовнішньоторговельною віддачею.

4. Поширити модель мультиплікатора з зовнішньоторговельною

віддачею на випадок з декількома країнами країни,

n.1,2,i …

Зауваження 4.4: використати посібник [19].

157

4.3. Теорія економічних циклів

Теорія економічних циклів сумісно з теорією економічного росту

відноситься до теорій економічної динаміки, що пояснюють розвиток (рух)

народного господарства.

Теорія циклу покликана пояснити причини коливань економічної

активності суспільства в часі (хвилеподібна крива на рис. 4.3), а теорія росту

досліджує фактори й умови стійкого росту як довгострокової тенденції в

розвитку економіки (пряма лінія

на рис. 4.3).

Рис. 4.3. Зміна економічної активності і фази економічного циклу

Напрямок і ступінь зміни показника або сукупності показників, що

характеризують розвиток народного господарства, називається

економічною

кон'юнктурою

. Тому теорію економічних циклів називають також теорією

кон'юнктури.

Проміжок часу між двома однаковими станами економічної кон'юнктури

називається

економічним циклом. У структурі циклу виділяють вищу (пік) і

нижчу точки активності і фази спаду (рецесії) і підйому (експансії), що

розташовані між ними. Загальна тривалість циклу виміряється звичайно часом

(у місяцях) між двома сусідніми вищими або двома сусідніми вищими

крапками активності

(5—9 або 3—7 на рис. 4.3). Відповідно тривалість спаду

виміряється часом між вищою і наступною нижчою точками активності, а

підйому — часом між нижчою і наступною вищою точками активності.

4.3.1. Модель взаємодії мультиплікатора і акселератора

Ця модель ґрунтується на кейнсіанській концепції загальної економічної

Рівноваги і ілюструє вплив змін величини автономного попиту на економічну

кон'юнктуру.

Як було встановлено вище (п. 4.2.1), при наявності резервних виробничих

потужностей ріст автономного попиту на визначену величину збільшить

національний доход на багаторазово більшу величину внаслідок ефекту

мультиплікатора. Коли величина ефективного попиту перевищить

наявні

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

158

виробничі потужності, підприємці почнуть здійснювати індуковані інвестиції,

обсяг яких визначається величиною акселератора. Індуковані інвестиції, стаючи

складовою сукупного попиту, породжують черговий мультиплікаційний ефект,

що знову збільшує ефективний попит і спонукує тим самим до нових

індукованих інвестицій.

Повернеться економічна система до нового рівноважного стану чи ні, як

розвертатиметься процес: монотонно або коливально

− на ці питання дає

відповідь модель мультиплікатора-акселератора.

4.3.2. Модель Самуельсона-Хікса

− модель мультиплікатора-

акселератора

Модель Самуельсона-Хікса містить у собі тільки ринок благ на тій

підставі, що рівень цін, відносні ціни благ і ставка відсотка передбачаються

незмінними. Відповідно до кейнсіанської концепції також передбачається, що

обсяг пропозиції є досконало еластичним.

Обсяг споживання домашніх господарств у поточному періоді

визначається величиною їхнього доходу в попередньому періоді:

,y ÑCС

1-tóat

+= (4.44)

де

C − автономне споживання.

Підприємці здійснюють індуковані інвестиції після того, як переконалися

в тому, що збільшення сукупного попиту є стійким. Тому, приймаючи рішення

про обсяг індукованих інвестицій, вони орієнтуються на збільшення сукупного

попиту (національного доходу) не в поточному, а в попередньому періоді:

)у - (уb I

2-t1-t

ін

ℵ+= ,

де b – автономні капіталовкладення.

При прийнятих припущеннях економіка буде знаходитися в стані

рівноваги, якщо

t2-t1-t1-tót

A)у- (уy Ñy +ℵ+= ,

або

t2-t1-tót

Aу -y) C(y

ℵ

= , (4.45)

де

b Ñ A

àt

+= − екзогенна величина автономного попиту.

Рівняння (4.45) є неоднорідним різницевим рівнянням другого порядку,

що характеризує динаміку національного доходу в часі.

При фіксованій величині автономних витрат

( constA A

) в економіці

досягається довгострокова рівновага, коли обсяг національного доходу

стабілізується на визначеному рівні

*y, тобто *yу yy

2-t1-tt

, де n −

159

число періодів з незмінною величиною автономних витрат.

З рівняння (4.45) випливає, що

−

Розглянемо характер динаміки національного доходу, якщо після

досягнення довгострокової рівноваги зміниться величина автономного попиту.

Для цього замінимо неоднорідне різницеве рівняння (4.45) однорідним.

Уведемо наступні позначення:

y*yy

∆

−

Значення

і *y задовольняють рівність (4.45), тому можна записати

наступне однорідне різницеве рівняння другого порядку з постійними

коефіцієнтами:

,у -y) C(y

2-t1-tót

∆

ℵ

∆

ℵ

∆ (4.46)

або

.0у -y) C(y

2-t1-tót

∆

ℵ

∆

ℵ

−

∆

Напрям зміни

y визначається напрямом зміни

y∆ , тому що

y*yy ∆+= .

Як зазначалось раніше, характер зміни

∆

залежить від значення

дискримінанта характеристичного рівняння однорідного рівняння (4.46).

Оскільки в даному випадку дискримінант дорівнює

ℵℵ+ 4-) C(

, то

динаміку національного доходу визначають значення граничної схильності до

споживання

або мультиплікатора

−

і акселератора ℵ.

Рис.4.4. Розподіл значень

ℵ

у залежності від їхнього впливу на

характер динаміки національного доходу при зміні автономного попиту

II III

160

Якщо 04-) C(

>ℵℵ+ , то показник

змінюється монотонно; при

04-) C(

<ℵℵ+ зміна

відбувається коливально. Отже, графік функції

ℵ=ℵ+ 4) C(

, представлений на рис. 4.4, відокремлює множину сполучень

)C, (

ℵ , що забезпечують монотонну зміну

y , від множини комбінацій

значень

)C, (

ℵ , що приводять до коливань

y .

Збігатиметься значення

y до деякої скінченої величини або

розбігатиметься у нескінченність, залежить від значення останнього члену

характеристичного рівняння

,0) C(

=ℵ−ℵ+−

λλ

(4.47)

Якщо

ℵ

< 1, то рівновага установиться на визначеному рівні. При

ℵ

> 1

раз порушена рівновага більше не відновиться. Коли

ℵ

= 1, тоді значення

будуть коливатися з постійною амплітудою.

У результаті вся множина сполучень

)C, (

ℵ

, виявилася розділеною на

п'ять областей, як це показано на рис. 4.4.

Якщо значення

)C, (

ℵ вказують на область I, то після порушення

рівноваги в результаті зміни автономного попиту значення

y монотонно

збігатиметься до нового рівноважного рівня

−

∆

= (рис. 4.5.а).

При значеннях

)C, (

ℵ з області II, національний доход досягне нового

рівноважного рівня, пройшовши через загасаючі коливання (рис. 4.5.б).

Сполучення значень

)C, (

ℵ в області III (рис. 4.5.в), відповідають

нестабільній рівновазі, динаміка

y здобуває характеру вибухових коливань.

Комбінації значень

)C, (

ℵ з області IV приводять до того, що після

порушення рівноваги значення

y монотонно спрямовуються в нескінченність

(рис. 4.5г).