Новожилова М.В., Коюда П.М. Моделювання економічної динаміки

Подождите немного. Документ загружается.

121

банківської системи в регулюванні кон’юнктурних коливань

економічної активності?

4.3.6. Завдання для самостійної роботи

1. Розглянути дію супермультиплікатора Хікса, тобто розглянути модель

взаємодії мультиплікатора-акселератора (4.42) у припущенні, що автономний

попит збільшується з постійним річним темпом приросту

Зауваження 4.5: використати посібник [14].

2. Відновити загальний розв’язок модели Тевеса.

3. Розглянути монетарну концепцію економічних циклів на прикладі

моделі Лайдлера.

Зауваження 4.6: використати посібник [14].

4. Використовуючи наявну статистичну інформацію, провести реалізацію

основних етапів методики прогнозування динаміки ВВП України на основі

моделі Самуельсона-Хікса.

122

5. Лабораторний практикум

5.1. Методичні вказівки до виконання лабораторних робіт

5.1.1. Порядок виконання роботи

Продемонструвати викладачу знання теоретичного матеріалу стосовно

теми лабораторної роботи та відповісти на контрольні запитання.

Вибрати програмне середовище, в якому виконуватиметься робота, та

обґрунтувати свій вибір.

Розробити алгоритм розв’язання задачі та програмну реалізацію.

Забезпечити дружній інтерфейс для введення вихідних даних та графічної

інтерпретації результатів розрахунків.

Оформити звіт з лабораторної роботи.

5.1.2. Правила оформлення звіту з лабораторної роботи

Звіт з лабораторної роботи повинен містити:

• титульний аркуш;

• мету роботи;

• необхідні теоретичні відомості;

• опис алгоритму розв’язання задачі;

• опис програмного забезпечення;

• опис інтерфейсу користувача, правила подання екзогенних

змінних задачі і представлення результату;

• висновки по роботі.

5.2. Перелік лабораторних робіт за модулями

Модуль 2. Математичний апарат економічної динаміки

5.2.1. Лабораторна робота № 1

Тема

. Застосування апарату диференційних рівнянь першого порядку для

побудови найпростіших математичних моделей економічних динамічних

систем з неперервним часом

Завдання. Побудувати математичні моделі задач, умови яких подано

нижче, надати розв’язання задачі та геометричну інтерпретацію за допомогою

програмного середовища Excel.

123

Зауваження Л1. Використати матеріал п.п. даного посібнику та джерела [

, ].

Задача Л1.1.

За допомогою програмного середовища Excel побудувати

графік функції, що має постійну еластичність, яка дорівнює

Задача Л1.2. Для заданих залежностей функції попиту та пропозиції від

ціни за допомогою програмного середовища Excel побудувати програму, яка

визначає :

рівноважну ціну, тобто ціну, при якій попит та пропозиція

врівноважуються;

еластичність попиту та пропозиції для цієї ціни;

зміну добутку при збільшенні ціни на k% від рівноважної.

Задача Л1.3. Швидкість знецінювання устаткування внаслідок його зносу

пропорційна в кожен даний момент часу його фактичної вартості. Початкова

вартість –

. Яка буде вартість устаткування після закінчення t років.

Задача Л1.4. Нехай y(t) – кількість продукції, що випускається галуззю за

час

t; p – ціна продукції. Сума інвестицій (засобів, спрямованих на розширення

виробництва)

I(t) пропорційна доходові py(t) з коефіцієнтом пропорційності m

(

m=соnst 0<m<1). Збільшення швидкості випуску продукції пропорційно

збільшенню інвестицій з коефіцієнтом пропорційності

. Потрібно знайти

кількість продукції, що випускається галуззю за час

t, якщо в початковий

момент часу

t=t

, y=y

Задача Л1.5. Нехай попит та пропозиція на товар визначаються відповідно

співвідношеннями

Q= a

р' – a

p + a

S= a

р' + a

p – a

де p – ціна товару, р' – тенденція формування ціни (похідна ціни за часом).

Зауваження Л2. a

, a

– постійні, які призначаються викладачем в

залежності від номеру варіанту.

Нехай також у початковий момент часу ціна р за одиницю товару

складала 1 гр. од. Враховуючи вимогу відповідності попиту пропозиції, знайти

закон зміни ціни в залежності від часу.

Приклад розв’язання задачі Л2.

Ґрунтуючись на емпіричних даних, установлено вигляд функцій попиту

і пропозиції S=p + 0.5, де D, S − кількість товару, який купується і

пропонується на продаж відповідно в одиницю часу,

р – ціна товару. Знайти:

рівноважну ціну, тобто ціну, при якій попит та пропозиція

врівноважуються;

124

2. еластичність попиту та пропозиції для цієї ціни;

зміну доходу при збільшенні ціни на 5% від рівноважної.

Розв’язання.

1. Рівноважна ціна визначається з умови

D=S.

=p + 0.5.

Розв’язок:

р=2, тобто рівноважна ціна = 2 гр.од.

2. Еластичність попиту та пропозиції знаходиться за формулою:

(y)=

′

Тоді

)p(

−

′

; 1

′

; E

(q)=

)p)(p(

−

; E

(S)=

Для рівноважної ціни

р=2 маємо E

(S)=0.8. E

(q)=-0.3;

Отримані значення еластичностей за абсолютною величиною менше

одиниці, отже, попит, і пропозиція даного товару при рівноважній (ринковій)

ціні нееластичні щодо ціни. Це означає, що зміна ціни не приведе до різкої

зміни попиту та пропозиції.

3. Доход

у визначається формулою у = D

⋅

р. Позначимо вихідний доход у

Еластичність попиту за ціною дорівнює

(D)=-0.3, тобто при збільшенні ціни

на

1% попит зменшиться на 0.3%. Збільшення ціни на 5% від рівноважної

означає зменшення попиту на

1,5%. Отже, доход у при зміні ціни

обчислюватиметься на формулою

у= 0,985q

⋅

1,05р=1,03435 у

, тобто

збільшиться.

5.2.2. Лабораторна робота № 2

Тема

. Застосування апарату диференційних рівнянь другого порядку та

систем диференціальних рівнянь для аналізу поведінки економічних

динамічних систем з неперервним часом.

Завдання. Побудувати математичні моделі задач, умови яких подано

нижче, надати розв’язання задачі та забезпечити графічне подання фазових

портретів (фазових траєкторій з різними значеннями початкових умов)

розв’язків диференційного рівняння другого порядку, яке є математичною

моделлю задачі, що розглядається, за допомогою програмного середовища

Excel або іншої програмної системи (C++ Builder, Delphi).

Зауваження

Л1. Використати матеріал п.п. даного посібнику та джерела [

, ].

125

Задача Л2.1.

Нехай попит та пропозиція на товар визначаються

співвідношеннями

Q= а

p'' – а

p'- а

p + а

, S= а

p'' + а

p' + а

p + а

де

р − ціна на товар, р' − тенденція формування ціни, р'' − темп зміни

ціни,

Нехай також у початковий момент часу

p(0)= а

Q() = S(0)= а

де а

, а

−

постійні, які призначаються викладачем для

кожного студенту окремо в залежності від номеру варіанту.

Враховуючи вимогу відповідності попиту пропозиції і використовуючи

відповідну програмну систему, знайти залежність ціни від часу.

ЗауваженняЛ2. Використайте приклад 2.5.

Задача Л2.2. У результаті економічного аналізу встановлено, що

поведінка системи залежить від двох змінних

x і y та описується системою

лінійних диференціальних рівнянь:

⎪

⎩

⎪

⎨

⎧

++=

,dxaxa

2222121

1212111

де

, а

, d

−

постійні параметри, які призначаються

викладачем в залежності від номеру варіанту.

При заданих значеннях параметрів визначити:

• тип динамічної системи,

• координати точки рівноваги системи у фазовому просторі,

• тип поведінки системи: стійкість, наявність атрактора.

ЗауваженняЛ3. Використати приклади 2.6, 2.7.

5.2.3. Лабораторна робота № 3

Тема

. Застосування апарату різницевих рівнянь першого та другого

порядку для аналізу поведінки економічних динамічних систем з дискретним

часом.

Завдання.

Розробити алгоритм та програмну реалізацію різницевого

рівняння першого та другого порядку за допомогою програмного середовища

Excel або іншої програмної системи (C++ Builder, Delphi).

126

Зауваження Л1. Використати матеріал п.п. даного посібнику та джерела [

, ].

Задача Л3.1. Побудувати алгоритмічну та програмну реалізацію моделі

соціальної мобілізації як лінійного різницевого рівняння першого порядку та

забезпечити графічне подання інтегральних кривих розв’язку, враховуючи

можливість завдання значення довільної постійної

С.

Задача Л3.2.

Побудувати алгоритмічну та програмну реалізацію

розв’язання лінійного неоднорідного різницевого рівняння другого порядку та

забезпечити подання фазових портретів (фазових траєкторій з різними

значеннями початкових умов) розв’язків.

Модуль 3.

Економічні динамічні системи з неперервним часом

5.2.4. Лабораторна робота № 4

Тема

. Побудова та аналіз математичних моделей динамічних

економічних систем з неперервним часом, поданих у вигляді диференційного

рівняння.

Завдання.

Побудувати математичну модель даної економічної системи,

розробити алгоритм та програмну реалізацію математичної моделі допомогою

програмного середовища Excel або іншої програмної системи (C++ Builder,

Delphi).

Зауваження Л4. Використати матеріал п.п.3.1-3.4 даного посібнику та

джерела [ , ].

Задача Л4.1.

Побудувати математичну модель наступної задачі у вигляді задачі

Коші, знайти загальний розв’язок та частинний розв’язок задачі, який

відповідає початковій умові:

Нехай торговельними установами реалізується продукція, про яку в

момент часу

t з числа потенційних покупців N знає лише x покупців. Після

проведення рекламних оголошень швидкість зміни числа покупців, що знають

про продукцію, пропорційна як числу покупців, що знають про товар, так і

числу покупців, які про товар ще не знають.

Відомо, що в початковий момент часу t про товар довідалося

людей

(час відраховується після рекламних оголошень),

- задане число. Знайти закон

зміни в залежності від часу числа

х покупців, що знають про продукцію.

127

Задача Л4.2.

Побудувати алгоритмічну та програму реалізацію

розв’язання вищенаведеної задачі, та забезпечити подання інтегральних кривих

задачі для різних значень початкових умов.

Задача Л4.3.

Побудувати алгоритмічну та програму реалізацію

розв’язання моделі Еванса (п.3.3) та забезпечити подання інтегральних кривих

задачі для різних значень початкових умов.

5.2.5. Лабораторна робота № 5

Тема. Побудова та аналіз математичних моделей динамічних

економічних систем з неперервним часом, поданих у вигляді системи

диференціальних рівнянь.

Завдання.

Розробити алгоритм та програмну реалізацію математичних

моделей економічних динамічних систем за допомогою програмного

середовища Excel або іншої програмної системи (C++ Builder, Delphi).

Зауваження

Л1. Використати матеріал п.п.3.1-3.4 даного посібнику та

джерела [ , ].

Задача Л5.1.

Побудувати алгоритмічну та програмну реалізацію моделі

гонки озброєнь як системи лінійних диференціальних рівнянь першого порядку

та забезпечити графічне подання фазового портрету розв’язку.

Передбачити всі варіанти можливих сполучень значень екзогенних

змінних

Задача Л5.2. Побудувати алгоритмічну та програмну реалізацію моделі

Вальраса регулювання ціни як системи лінійних диференціальних рівнянь

першого порядку та забезпечити графічне подання фазового портрету

розв’язку.

Передбачити всі варіанти можливих сполучень значень екзогенних

змінних (параметрів моделі), які генерують стійкий вузол або стійкій фокус.

Задача Л5.2. Побудувати алгоритмічну та програму реалізацію

спрощеної моделі національної економіки як неоднорідної системи лінійних

диференціальних рівнянь першого порядку та забезпечити графічне подання

фазового портрету розв’язку.

Модуль 3. Економічні динамічні системи з неперервним часом

128

5.2.6. Лабораторна робота № 6

Тема

. Застосування апарату різницевих рівнянь для побудови і

дослідження павутиноподібної моделі

− аналіз динаміки ринку з досконалою

конкуренцією.

Завдання.

Ґрунтуючись на вивченні павутиноподібної моделі,

побудувати програмну реалізацію процесу розв’язання даної задачі та

геометричну інтерпретацію за допомогою програмного середовища Excel або

іншого.

Зауваження Л1. Використати матеріал п.п.3.1-3.4 даного посібнику та

джерела [ , ].

На рисунку наведено приклад виконання даної лабораторної роботи.

Програмну реалізацію процесу дослідження моделі у середовищі Delphi

виконав А.М. Чугай під час вивчення дисципліни ”Моделювання економічної

динаміки” на факультеті Економіки та менеджменту Харківського

державного технічного університету будівництва та архітектури. Загалом

інтерфейс програми містить

11 вікон.

а) б)

Рис. Інтерфейс програмної реалізації дослідження павутиноподібної моделі

а) побудова моделі функції попиту;

в) геометричне подання павутиноподібної моделі

129

У програмній реалізації передбачити можливість:

1. виконання побудови і дослідження поведінки кривих попиту та

пропозиції;

2. дослідження процесу виходу ринку, який описується традиційними

кривими попиту та пропозиції при наявності запізнювання в часі процесу

пропозиції товару, до стану рівноваги;

3. дослідження стійкості цін і обсягів товарів на ринку

5.2.7. Лабораторна робота № 7

Тема

. Застосування апарату різницевих рівнянь для побудови і

дослідження динамічних економічних моделей з мультиплікатором.

Завдання. Ґрунтуючись на вивченні ефекту мультиплікатору, побудувати

програмну реалізацію процесу розв’язання задач та геометричну інтерпретацію

за допомогою програмного середовища Excel або іншого.

У програмній реалізації передбачити можливість:

1. виконання побудови і дослідження поведінки динаміки моделей, що

розглядаються:

Задача Л7.1. Динамічна модель з мультиплікатором; випадок автономного

інвестування (п. 4.2.2.1);

Задача Л7.2. Динамічна модель з мультиплікатором; випадок частково

автономного інвестування (п. 4.2.2.2);

Задача Л7.3. Модель зовнішньої торгівлі (п. 4.2.3);

задача Л7.4. Динамічна модель з оподаткуванням (п. 4.2.4);

задача Л7.5. Динамічна модель із мультиплікатором зовнішньої торгівлі

(п. 4.2.4).

2. визначення діапазонів параметрів моделей, що забезпечують

стабільність точки рівноваги;

4.3.7. Лабораторна робота № 8

Тема

. Застосування апарату різницевих рівнянь для побудови і

дослідження динамічних економічних моделей взаємодії мультиплікатора-

акселератора.

Завдання. Ґрунтуючись на вивченні ефекту взаємодії мультиплікатора-

акселератора, побудувати програмну реалізацію процесу розв’язання задач та

геометричну інтерпретацію за допомогою програмного середовища Excel або

іншого.

У програмній реалізації передбачити можливість:

1. виконання побудови і дослідження поведінки динаміки моделей, що

130

розглядаються:

задача Л7.1. Динамічна модель взаємодії мультиплікатора й акселератора

− модель Самуельсона-Хікса (п. 4.3.2);

задача Л7.2. Динамічна модель Тевеса (п. 4.3.4).