Новотный Л., Хехт Б. Основы нанооптики
Подождите немного. Документ загружается.
А
2
Квазирезонансное
возбуждение
в
отсутствие
релаксации
453
ПО.1е,
угловая
частота
которого
равна
W,
наводит
дипольный
момент,
гармонически
осциллирующий
с
той
же
частотой,
что
позволяет
использовать
комплексную
запись
~=aE,
(А.28)
откуда
получаем
зависимость
Е
и
~
от
времени
простым
умножением
на
ехр(
-iwt)
и
последующим
взятием
вещественной
части.
А.2.
Квазирезонансное
возбуждение
в
отсутствие
релаксации
В
предыдущем
разделе
мы
требовали,
чтобы
взаимодействие
между
возбуждаю
щим
пучком
и
атомом
было
слабым
и
чтобы
атом
находился
главным
образом
в
основном
состоянии.
Это
условие
можно
ослабить,
если
рассмотреть
возбуждающее
поле,
энергия
которого
,~w
близка
к
разности
энергий
дЕ
между
двумя
атомными
состояниями
Как
замечено
ранее,
не
существует
прямого
аналитического
решения
системы
дифференциальных
уравнений
(А.18).
Однако
можно
найти
достаточно
точное
решение,
если
опустить
коэффициент
релаксации
'у
и
если
энергия
поля
ИЗ.1учения
близка
к
разности
энергий
возбужденного
и
основного
состояний,
т.
е.
l1iw
-
дЕI
«
1iw
+
дЕ.
(А.29)
В
ЭТОI\I
случае
можно
применить
так
называемое
приближение
вращающейся
волны.
Представив
косинусы
в
(А.18)
в
экспоненциальной
форме,
получаем
экспоненты
с
('1';'; ±
дЕ)
В
приближении
вращающейся
волны
оставляем
лишь
слагаемые
с
(tl
...
.:
-
дЕ),
поскольку
они
вносят
наибольший
вклад.
Тогда
уравнения
(А.18)
принимают
вид
1)
где
введена
'еастота
Раби
_
1~12'
Eol
_
1~1
.
ВoI.
WR- n - n '
(А.30)
(А.31)
(А.32)
",,'R
-
мера
силы
зависящего
от
времени
внешнего
поля.
Подставляя
пробное
решение
r'l
(t)
=
t'хр(iиt)
в
первое
уравнение
(А.30),
находим:
C2(t)
=
(2И/WR)
exp[z(wQ
- W +
-
.%')t].
Подставляя
CI
и
С2
В
уравнение
(А.31),
получаем
квадратное
уравнение
относительно
пара
метра
И,
приводящее
к
двум
решениям,
И\ и
И2.
Таким
образом,
общее
решение
для
амплитуд
CI
и
С2
можно
записать
следующим
образом:
CI(t)
= Ae
,x1t
+
Be
ixzt
,
(А.33)
C2(t) =
(2/WR)e
i
(w
o
-w)t
[АИlеiХlt
+
ВИ2еiХ2t].
(А.34)
Чтобы
определить
постоянные
А
и
В,
потребуем
выполнения
соответствующих
граничных
условий.
Вероятность
обнаружения
атомной
системы
в
состоянии
12)
равна
IC212.
Аналогично,
вероятность
обнаружить
атом
в
основном
состоянии
11)
равна
IC11
2
.
Используя
граничные
условия
для
атома,
первоначально
находящегося
в
основном
состоянии,
ICI(t
=
0)12
=
1,
IC2(t
=
0)12
=
О,
(А.35)
1)
Вновь
выберем
фазы
атомных
волновых
функций
таким
образом,
чтобы
матричные
Э,lементы
дипольного
перехода
были
вещественными.
-
При.меч.
авт.
454
Прuл.
А
Полуаналumuческ,uй
вывод
аmомяой
nолярuзуемосmu
можно
определить
неизвестные
постоянные
А
и
В.
Применяя
выражения
для
Y-I
и
"2,
А
и
В,
окончательно
находим
CI(t)
=
e-~("'o-"')t
[cos(fUj2) -
z(c.v
~
c.vo)
siп(Шj2)],
(А.З6)
C2(t)
=
Zc.vR
e~("'o-"')t
siп(Пtj2),
(А.З7)
Q
где
через
П
обозначена
обобщенная
частота
Раби
(частота
осцилляций
Раби),
которая
дается
равенством
(А.З8)
Легко
показать,
что
ICI1
2
+
IC212
=
1.
Вероятность
обнаружения
атома
в
возбужденном
состоянии
становится
равной
(А.З9)
Вероятность
перехода
является
периодической
функцией
времени.
Система
осцил
лирует
между
уровнями
E
1
и
Е
2
на
частоте
Пj2,
которая зависит
от
отстрой
ки
Wo
-
W,
и
напряженностью
поля,
представленной
величиной
WR.
Если
WR
мало.
то
П
~
(WO
-
w),
и
в
отсутствие
релаксации
получаем
результат,
совпадающий
с
результатом
предыдущего
раздела.
Среднее
значение
дипольного
момента
определяется
(А.21)
и
(А.22).
Подставляя
в
них
решения
для
CI
и
С2,
а
также
используя
(А.16),
получаем
JI.(t)
=
Jl.12
~
[ц)
~
c.vo
[1
-
соs(Пt)]
cos(wt)
+
siп(Пt)
sin(wt)] .
(А.40)
Видно,
что
наведенный
дипольный
момент
осциллирует
на
частоте
излучения,
однако
он
не
следует
мгновенно
за
вынуждающим
полем:
он обладает
синфазной
и
квадра
турной
компонентами.
Запишем
JI.
в
комплексной
форме:
JI.(t)
=
Re
(Jl.e-i"'t) .
Тогда
для
комплексного
дипольного
момента
имеет
место
равенство
JI.
=
Jl.12
~
[ц)
~c.vo
[1
-
соs(Ш)]
+
isiп(Ш)].
Чтобы
определить
атомную
поляризуемость,
заданную
равенством
JI.=aE,
выразим
частоту
Раби
WR
согласно
определению
(А.З2)
и
получим
а
(W)
=
Jl.12
~
11-21
[7
[1
-
соs(Ш)]
+ i
siп(пt)]
.
(А.41)
(А.42)
(А.4З)
(А.44)
Наиболее
примечательное
свойство
поляризуемости
заключается
в
ее
зависимости
от
напряженности
поля
(через
WR)
и
от
времени.
Этим
она
отличается
от
поля
ризуемости,
полученной
в
предыдущем
разделе.
В
настоящем
разделе
зависимость
от
времени
определяется
частотой
биений
Раби
П.
На
практике
зависимость
от
времени
исчезает
в
течение
десятков
наносекунд
из-за
релаксации
(коэффициент
релаксации
7),
которой
мы
пренебрегли
в
настоящих
вычислениях.
В
случае
точ
ного
резонанса
(W
=
WO)
поляризуем
ость
сводится
к
синусоидальной
зависимости
от
WRt.
Эти
колебания
гораздо
медленнее,
чем
осцилляции
оптического
поля
для
слабых
взаимодействий
WR
мала, и
поляризуемость
становится
линейной
функцией
времени
t.
А.3
Квазирезонансное
возбуждение
с
релаксацией
455
А.3.
Квазирезонансное
возбуждение
с
ре.лаксациеЙ
Коэффициент
релаксации
'У
подавляет
чисто
осцилляторное
решение,
полученное
в
предыдущем
разделе,
и
спустя
достаточно
долгое
время
система
релаксирует
в
основное
состояние.
Чтобы
рассчитать
установившееся
поведение,
следует
найти
CIC;.
которые
со
своими
комплексно
сопряженными
величинами
определяют
среднее
зна-чение
дипольного
момента
(см.
(А.22».
в
стационарном
случае
вероятность
обнаружения
атома
в
возбужденном
состоянии
не
должна
зависеть
от
времени,
т.
е.
d
dt
[С2
С
2]
=
о
(стационарное
состояние).
(А.45)
Более
того,
в
приближении
вращающейся
волны
можно
ожидать,
что
зависимость
недиагональных
матричных
элементов
СI
С
2
от
времени
будет
полностью
определяться
множителем
exp[-i(UJО
-
UJ)t].
Таким
образом,
~
[CIC2]
=
-i(UJо
-
UJ)
[CIc2]
(стационарное
состояние),
(А.46)
причем
аналогичное
уравнение
имеет
место
и
для
C2cj.
При
меняя
равенство
d
[*]
.*
*.
(А
47)
dt
CiCj
=
CiCj
+
CjCi,
.
подставляя
(A.18)
в
(А.46),
при
меняя
приближение
вращающейся
волны
и
используя
приведенные
выше
условия
стационарности,
получаем
..vR
exp[-i(UJО
-
UJ)t][C2cj]
-
UJR
exp[i(UJo
-
UJ)t][Cl
c
2]
-
2i'Y[C2C2]
=
о,
UJR
([clcj] -
[С2СШ
-
(2[UJo
-
UJ]
+
i'Y)
exp[i(UJo
-
UJ)t][CIC2]
=
о,
wR
([clcj] -
[С2СШ
-
(2[UJo
-
UJ]
-
i'Y)
exp[i(UJo
-
UJ)t][C2cj]
=
о.
Эту
систему
уравнений
можно
разрешить
относительно
[CIC
2
]:
[
*]
_
-~("'o-",)t
UJR(wO
- w - i'Y/
2
)/2
Clc2
-
е
2 4
2'
(wo-w)
+'Y/4+WR/2
(А.48)
(А.49)
(А.50)
(А.51)
с
комплексно
сопряженным
решением
для
[C2cj].
Теперь
среднее
значение
дипольного
момента
можно
рассчитать
с
помощью
(А.22),
и
стационарное
решение
для атомной
поляризуемости
при
квазирезонансном
возбуждении
примет
вид
a(w) =
1&12
@1121
WO
- w +
Z'Y/
2
.
11,
(wo
-
w)2
+
'У2/4
+
w~/2
(А.52)
Наиболее
примечательное
отличие
от
нерезонансного
случая
состоит
в
присут
ствии
'""'~
в
знаменателе.
Это
слагаемое
связано
с
насыщением
возбужденного
со
стояния
и
тем
самым
с
увеличением
ширины
линии
от
'У
до
('У
+
2w~)1/2,
которое
так
и
называют
-
уширение
вследствие
насыщения.
Таким
образом,
коэффициент
релаксации
становится
зависимым
от
напряженности
электрического
поля.
Насы
щение
не
является
нелинейным
в
обычном
смысле,
поскольку
дипольный
момент
JL
всегда
обладает
той
же
гармонической
зависимостью
от
времени,
что
и
вынуждающее
электрическое
поле.
Насыщение
в
стационарном
случае
порождает
лишь
нелинейную
связь
между
амплитудой
дипольного
момента
и
напряженностью
электрического
поля.
При
UJR
-+
О
выражение
для
поляризуемости
упрощается,
a(UJ)=1&12@1121
1,
(А.53)
11,
wo
- w -
Z'Y
/2
и
совпадает
с
результатом,
полученным
в
приближении
вращающейся
волны
(А.25).
456
Прuл
А.
ПолуаналuтuчесlCUЙ
вывод
атомной
nолярuзуемостu
Поляризуемость
можно
рассчитать
один
раз
для известных
уровней
энергии
Е)
и
Е
2
И
известного
матричного
элемента
дипольного
перехода
~)2.
Последний
определяется
равенством
(A.l5)
посредством
волновых
функций
!р)
И
!Р2.
Таким
образом,
для
рассматриваемой
квантовой
системы
необходимо
решить
уравнение
на
собственные
значения
энергии
(А.5),
чтобы
точно
определить
энергетические
уровни
и
матричный
элемент
дипольного
перехода.
Однако
(А.5)
можно
решить
аналити
чески
только
для
очень
простых
систем,
сводящихся
к
двум
взаимодействующим
частицам.
Задачу
для
систем
с
большим
числом
взаимодействующих
частиц
следует
решать
приближенными
методами,
например
методом
Хартри-Фока,
или
численно.
Приложение
Б
СПОНТАННОЕ
ИЗЛУЧЕНИЕ
В
РЕЖИМЕ
СЛАБОЙ
СВЯЗИ
в
настоящем
разделе
мы
выведем
выражения
для
нормированной
скорости
ре
.1аксации
атомной
системы,
используя
квантовую
электродинамику.
Наш
анализ
основывается
на
[1],
причем
мы
сосредоточимся
исключительно
на
режиме
слабой
связи.
Раздел
БI
посвящен
выводу
коэффициента
релаксации
в
свободном
простран
стве
методом
КЭД
с
помощью
приближения
Вайскопфа-Вигнера
[2,
З].
Раздел
Б2
посвящен
расчету
скорости
спонтанного
распада
в
линейной
неоднородной
среде
с
использованием
формализма
Гейзенберга
[1],
который
устанавливает
прозрачную
связь
между
классической
теорией
и
КЭД.
Б.1.
Теория
Вайскопфа-Вигнера
Согласно
КЭД
спонтанное
излучение
атома
в
свободном
пространстве
возникает
б"lагодаря
вакуумным
флуктуациям.
Рассмотрим
двухуровневый
атом,
взаимодей
ствующий
с
бесконечным
числом
мод
поля,
каждая
из
которых
характеризуется
волновым
вектором
k.
Эта
атомно-полевая
система
описывается
гамильтонианом
Джейнса-Каммингса
(Jaynes-Cummings)
[4]
iI
=
nwolr~)(el
+
LnЫkaLak
-
L1igk
[akle)(gl
+aLlg)(el]
,
(Б.I)
k k
где
le)
(Ig)
-
возбужденное
(основное)
состояние
атома,
ak
и
aL
-
операторы
уни
чтожения
и
рождения
моды
k
1),
а
9k
-
величина
атомно-полевого
взаимодействия,
определяемая
как
9k
= J
2e:~V
nk .
(glj1le).
(Б.2)
Здесь
\-'
-
объем,
Dk
-
единичный
вектор
в
направлении
напряженности
электри
ческого
поля
моды
Ek,
а
j1-
оператор
дипольного
момента.
Пусть
в
момент
времени
t =
О
атом
находится
в
возбужденном
состоянии,
а
фо
тоны
отсутствуют.
Тогда
начальное состояние
записывается
как
le,
О),
где
е
и
О
обозначают
возбужденное
состояние
атома
и
первоначальное
число
фотонов
соответ
ственно.
В
любой
последующий
момент
времени
t
волновую
функцию
системы
1'Ф(t»)
~lOжно
представить
следующим
образом:
IVJ(t»)
=
C(;(t)e-·wotle,
О)
+ L Cfk(t)e-'Wktlg, lk)'
(Б.З)
k
1)
Мы
используем
компактную
запись,
в
которой
символ
k
обозначает
одновременно
и
ВО.1НОВОЙ
вектор
k,
и
состояние
поляризации
Каждому
k
соответствуют
два
линейно
незави
СЮIЫХ
состояния
поляризации
-
Прuм.еч.
авт.
458
Прuл.
Б.
Спонтанное
излучение
в
режиме
слабой
связи
где
С
-
зависящие
от
времени
коэффициенты
разложения.
В
состоянии
Ig,
lk)
атом
пребывает
в
основном
состоянии,
а в
моде
k
имеется
одни
фотон.
Подставляя
(Б.3)
в
уравнение
Шредингера,
получаем
t
d~o
= - L
19k1
2
J
Co(tl)e-~(cuk-cuo)(t-tl)dtl.
k
о
(Б.4)
В
приближении
большого
объема,
т.
е.
при
V
-+
00,
сумму
в
(Б.4)
можно
представить
следующим
образом:
27r
7r
00
L
-+
2~
J
d
Ф
Jd8SiП8
J dkk
2
,
k
(211")
О О О
(Б.5)
где
множитель
2
возникает
из
суммирования
по
двум
состояниям
поляризации.
связанным
с
вектором
k.
В
предположении,
что
диполь
ориентирован
вдоль
оси
~.
т.
е.
JI.
=
(gliile)
=
J.Ln'
z
,
величина
связи
атома
с
полем
составляет:
1 1
2
Wk
2 2 n
gk =
2eo1iVJ.L
сов
17.
(Б.6)
После
взятия
интегралов
по
углам
(Б.4)
сводится
к
уравнению
(Б
7)
До
сих
пор
вывод
был
точным,
теперь
же
для
решения
уравнения
(Б.7)
используем
приближение
Вайскопфа-Вигнера,
основанное
на
двух
предположениях:
(1)
спектр
полевых
мод
очень
широк
и
(2)
коэффициенты
СО
с
течением
времени
меняются
медленно.
Поэтому
на
временах
tl
« t
подынтегральное
выражение
быстро
осцилли
рует
и
не
дает
существенного
вклада
в
интеграл.
Наибольший
вклад имеет
место
на
временах
tl
~
t.
Поэтому
рассчитаем
CO(tl)
в
момент
времени
t
и
вынесем
результат
из-под
интеграла.
В
этом
приближении
атомный
распад
становится
процессом
без
памяти
(марковским
процессом).
Чтобы
вычислить
оставшийся
интеграл,
расширим
верхние
пределы
интегрирования
до
бесконечности,
что
позволительно,
поскольку
при
tl
:»
t
сколько-нибудь
существенный
вклад
отсутствует.
Тогда
уравнение
(Б.7)
примет
вид
00
00
dC
o
= _
р,2
Ce(t) J v.} J
e-i(cuk-cuО)(t-fl)dt
dV.J
dt
611"2еопс3
О
k I
k·
(Б.8)
О О
Теперь
интегрирование
можно
провести
аналитически,
в
результате
чего
получим
dC
o
= _
('У
О
+
illl.J.))
Co(t)
dt
2 .
(Б
9)
Здесь
1'0
-
постоянная
релаксации
в
вакууме:
w3p,2
1I"
W
Op,2
'Уо
=
3m:;опс3
=
3еоп
p(l.J.)o),
(Б
10)
Б.
J
Теория
Вайскопфа-Вигнера
459
где
p(...vo)
-
электромагнитная
плотность
мод.
Второе
слагаемое
в
(В.9)
представляет
собой
лэмбовский
сдвиг:
tlUJ
= -
_I-t_p
k
dUJ
k
1 2
{!
UJ3
}
47reo
37r
nс
3
UJk
-
UJo
'
(B.ll)
г;з:е
посредством
Р
обозначено
главное
значение
интеграла.
Поскольку
интеграл
расходится,
необходимо
ввести
частоту
отсечки
Wf
согласно
равенству
hblf
=
2m
е
с
2
(энергия
рождения
«пары»).
С
этой
поправкой
сдвиг
Лэмба
tlUJ
оказывается
в
обла
сти
нескольких
ГГц,
что
гораздо
меньше,
чем
частота
оптического
перехода.
Б.l.l.
Неоднородная
окружающая
среда.
Применим
КЭД
дЛЯ
описания
спон
танного распада
атомной
системы
в
неоднородной
среде
без
потерь,
характеризую
щейся
диэлектрической
проницаемостью
е(г).
Рассмотрим
оператор
векторного
потенциала
А(г,
t),
удовлетворяющий
обобщен
ной
калибровке
Кулона:
\1.
[е(г)А]
=
о.
Поперечный
векторный
потенциал
можно
разложить
по
полной
системе
ортогональных
мод
ak
[5]:
-
-+
--
А(г,
t) = А
(г,
t) + А
(г,
t),
A-(r,t)
= L vh/(2eoUJkV) ak(t)ak(r) ,
k
A+(r,t) = L
Vh/(
2e
o
UJ
k
V
)at(t)ak(r).
k
(B.l2)
(B.l3)
(B.l4)
Здесь
А-и
А
+
содержат
только
отрицательные
и
положительные
частотные
компо
ненты
соответственно.
Нормальные моды
удовлетворяют
уравнению
Гельмгольца,
UJ2
\1
х
\1
х
ak(r)
+
eoe(r)~ak(r)
=
О,
с
(B.l5)
и
образуют
полную
ортогональную
систему
функций,
так что
J
e(r)ak/(r)·
ak(r)d
3
r =
дkk
/
,
(B.l6)
J
ak(r')
@ak(r)d
3
k =
б
.1
(г'
-
г).
(B.l7)
Выразим
теперь
гамильтониан
взаимодействия
(см.
(B.l»
с
помощью
оператора
Иl',шульса
электрона
1>
и
оператора
векторного
потенциала
А:
H
int
=
-1>
.
А
= L h [Xkatlg)
(el
+
Xkakl
e
)
(gl]
,
k
(B.l8)
где
через
xk
обозначена
константа
связи
xk
=
-n~
vh/ (
2e
O
UJ
k
V)
Р12
. ak(rO),
(B.l9)
а
Pl2
-
матричный
элемент
(gll>le).
В
рамках
КЭД
спонтанный
распад
обусловлен
вакуумными
флуктуациями
поля,
которые
порождают
источники
плотности
тока,
оператор
которого
обозначим
через
J.
Частотную
корреляционную
функцию
J
можно
рассчитать
следующим
образом:
(В.20)
460
Прил
Б
Спонтанное
излучение
в
режиме
слабой
связи
где
ro
-
центр
масс
атома,
Wo
-
центральная
частота
распределения,
а
Й
е
=
'е)(еl
-
числовой
оператор
возбужденных
состояний,
удовлетворяющий
уравнению
dN.
- i J
[~+
~
-
~
+
~
- ];!
dt
- h J (r, t) .
А
(r, t) - А (r, t) . J (r,
t)
(1
r.
(Б
21)
которое
можно
получить,
используя
уравнение
Гейзенберга
для
операторов.
Обозначим
фурье-образы
A(r,
t)
и
J(r,
t)
через
A",,(r)
и
J",,(r)
соответственно.
Тогда
из
уравнения
Гейзенберга
в
приближении
слабой
связи
можно
получить
следующее
квантовое
волновое
уравнение
[1]:
~_
,,}
~_
1
~_
'v
х
'v
х
А""
(r) - e(r)
2"
А""
(r) =
-2J""
(r).
(Б.22)
е
соС
Используя
определение
диадной
функции
Грина
(2.78)
(см.
разд.
2.10),
решение
дЛЯ
A~
можно
представить
следующим
образом:
A:(r)
=
~JG(r,r/;w)J:(r/)d3r/,
(Б.23)
сое
где
мы
включили
w
в
аргумент
функции
Грина.
Применяя
обратное
преобразование
Фурье,
получаем
соответствующее
решение
A(r,
t)
во
временном
представлении
Наконец,
комбинируя
это
решение
с
равенствами
(Б.20)
и
(Б.21),
получаем
простое
уравнение
d(N.) _ _
N.
(Б.24)
dt - 1
е,
где
1 -
скорость
спонтанной
релаксации:
1 = -
2е:
2
Pl2
.
1т
[G(r
o
,
ro;
wo)]
. P12.
сапе
m
(Б
25)
в
(обобщенной)
кулоновской
калибровке
матричный
элемент
импульса
PI2
связан
с
матричным
элементом
дипольного
перехода
~
следующим
равенством:
PI2
=
(imwo/e)~,
(Б.26)
которое
позволяет
переписать
(Б.25)
в
терминах
,:1.
Более
того,
в
~неоднородной
среде
функцию
Грина
можно
разделить
на
две
части:
первичную.
Go
(свободное
....
-
пространство),
и
часть,
отвечающую
за
рассеяние,
G
s
.
Тот
факт,
что
вклад
G
o
в
свободном
пространстве
при
водит
к
скорости
релаксации
10
(см.
(Б.I0».
позволяет
записать
отношение
1/10:
l = 1 +
671"e2~'
1т
[Gs(r
o
, ro;w
o
)]
.~,
'Уа
f.JJa/-L
(Б.27)
согласующееся
с
классическим
выводом
(8.l37)
в
разд.
8.5.
Список
литературы
1.
Хи
Yong. Lee R
К
..
and Yariv
А.
//
Phys.
Rev
А
2000. V.61
Р
33807
2.
Weisskopt
V.
and
Wigner
Е
/ /
Z.
Phys. 1930. V 63.
Р.54
3.
Yamamoto
У
and
/mamoglu
А.
Mesoscopic Quantum Optics -
New
York
John
Wiley
&
Sons 1999.
4 Jaynes
Е
Т.
and
Cummings F W / /
Ргос
IEEE. 1963.
V.
51
Р.
89
5.
ШаиЬег
R J
and
Lewenstein
М
/ / Phys.
Rev.
А.
1991. V 43
Р
467
Приложение
В
ПОЛЕ
ДИПОЛЯ,
РАСПОЛОЖЕННОГО
ВБЛИЗИ
СЛОИСТОЙ
ПОДЛОЖКИ
z
----------~--~------------~~y
1'2'*
I
J1.з
Е:з
Рис
В
1
Электрический
диполь
с
моментом
J1
расположен
в
точке
ro
=
(О,
О,
zo)
вблизи
слои
стой
подложки
Поля
в
каждой
среде
выражаются
в
цилиндрических
координатах
r =
(р,
<{',
z)
В.l.
Вертикальный
электрический
диполь
Проекции
поля
на
орты
цилиндрической системы
координат
(цилиндрические
компоненты)
вертикально
ориентированного
диполя
J1
=
(О,
О,
J.Lz)
даются
равенствами
Е,
J =
р(:;
-
zo)----.-
- - - - k
1
-
1'.
e,klRo
[ 3 3ikl
2]
I
411'Е:оЕ:1
Щ
Rб
Ro
00
-
~
J dk
Jl(k
p)A,k
klzetkl'(z+zo),
(В.1)
411'Е:оЕ:1
р
Р Р
о
ос
Е
-
~
J dk J (k
р)
[А
e-~k2.Z
-
А
e~k2'Z]
k k
e~kl.zo
2"
-
411'Е:оЕ:1
Р
1
р
2 3
р
2z ,
(В.2)
О
00
В
-
~
J dk J (k
р)А
k k
еt(kl.zо-kз.
z
)
-'3" -
411'Е:оЕ:1
Р
1
р
4
р
Зz
,
(В.3)
о
E1'P
=
Е2'Р
=
Ез'Р
=
О,
(В.4)
Е,-
=
~
("~
11l" [3(Z -
ZO)2
_ 3ikl (z -
ZO)2
_ 1 + M(z -
ZO)2
+ zkl +
k~]
+
-
411'Е'ОСI
НО
Щ
Щ
Rб
Ro
00
+
~
J dk Jo(k
p)Alk2e~kl'(Z+ZO),
(В.5)
411'Е:оЕ:1
Р Р Р
462
Прuл
В.
Прuложенuе
В
00
Е
2::.
=
-4
J1.z
J dkpJo(kpp)
[A
2
e-
ik2
'z
+
А
з
е&k
2
'Z]
k~е,А-I:Zo.
7I"C:OC:l
о
00
Е
=
~
J dk J (k
р)А
k
2
e,(kl.::'
u
-k
I.::.)
зz
471"С:ОС:I
р
О
Р
4
р
•
о
H
1p
=
Н2р
=
НЗр
=
О,
iklRo
[ 1 ]
ОО!
н
= -
u.<JJ1.%p_
e
___
ik
-
ZUJJ1.z
dk J (k
р)А
k
e'kl:(z+zo)
lч:>
471"
Щ
Ro
1
471"
Р
I
Р
l'p
. •
о
00
Н2ч:>
= -
l.UJ
4
C:
2
J1.z
J dkpJl (kpp)
[A
2
e-'k
2
'%
+
Азе'k'2:Z]
k/,e,k'I:ZO.
7I"C:1
О
00
Нз
= -
~UJС:зJ1.%
J dk J
1
(k p)A
4
k
et(kl,Zo-kl.z).
ч:>
471"С:l
р
Р Р
о
Hl
z
=
Н2::.
=
Нзz
=
О.
(В.6)
(В
7)
(В.8)
(В
9)
(В
10)
(В.11
)
(В
12)
В.2.
Горизонтальный
электрический
диполь
Цилиндрические
компоненты
поля
горизонтально
ориентированного
диполя
J.L
=
(J.tx,
О,
О)
имеют
вид
Е
1
=
COSCP~
e'klRo
{[k~
+
zkl
_~]
+ /
[~_
3ikl -
k~]}
+
р
471"С:ОС:I
Ro
Ro
Щ
Щ
щ
Ro
00
+
СOSСР4
J1.ж
J
dkpe,kl.(z+zO}
{.!.Jl(kpp)
[kpB
1
-
zkl.:C
1
]-
7I"C:OC:l
р
О
00
Е2р
= cos
<Р4
J1.ж
J
dkpe'kl%ZO
{.!.J
1
(kpp)
[[k
p
B
2
+
zk2zC2]
e-
1k2
.::
+
7I"C:OC:l
Р
О
+
[kрВз
-
ik
2z
С
з
]
e
tk2
'
Z
]
- ik2zJo(kpp)
[[ik
2z
B
2
+ k
p
C2]
(~-lk2::
+
+
[ik
2z
В
з
-
k/Д~]
('IA
2
:z]}.
(В.14)
00
Е
зр
=
COS<{J4
J1.ж
J
dkреt(kl,zo-kз.z}
{.!.JI(kpp)
[k
p
B
4
+
zk
Зz
С4]-
7I"C:OC:1
Р
О