Непейвода Н.Н. Прикладная логика

Подождите немного. Документ загружается.

0.2. МЕТОДОЛОГИЧЕСКИЕ ПРИНЦИПЫ

xxi

В данной книге не предполагается, что автор изрекает истины.

Если сам автор знает слабые места излагаемых концепций, он сам их и

приводит, если же он их пока не знает, то в случае, если концепция кра-

сива и полезна, он совершенно уверен, что и неисправимые слабости

у нее есть. Наши достоинства являются продолжением наших недо-

статков

Далее, в математическом тексте практически всегда стремятся к за-

мкнутости изложения, и поэтому вводятся все используемые понятия.

При этом авторы вынуждены принимать явно неправильное предполо-

жение, что читатели математики не знают (но тогда они, прежде всего,

не смогли бы понять математическое изложение, к которому требуется

привыкать достаточно долго). Мы стремимся не ввести, а определить

почти все существенные используемые понятия, в том числе и общеиз-

вестные, с той целью, чтобы исключить недоразумения, возникающие

из-за того, что некоторые тонкости в данных понятиях разные матема-

тики и разные учебники трактуют по-своему. Но мы не стесняемся ис-

пользовать понятия, которые должны быть известны из школьного кур-

са математики, до того, как они формально определены. В частности,

так происходит с функциями,отношениями, последовательностями,ма-

тематической индукцией.

Прикладная логика как искусство приложения (прежде всего) ма-

тематической логики требует владения и аналитическим, и синтетиче-

ским методами. Нужно воспринять ситуацию целиком, выбрать наибо-

лее подходящий для поставленной цели формализм, максимально ис-

пользовать его аналитические возможности и вновь синтетически оце-

нить, насколько полезны и насколько тревожны полученные результаты.

В частности, формализмами являются и применяемые логики. Поэтому

нужно подбирать лучшую для нашей задачи логику, а не пользовать-

ся без оглядки общепринятой классической системой, либо, еще хуже,

Прологом

. За последние десятилетия неклассические логики иссле-

И конечно же, результатом больших усилий, направленных на то,чтобы использовать

стороны, считающиеся слабостью, как силу.

Определение понимается здесь не столько в математическом смысле, как формаль-

ное сведение очередного понятия к введенным ранее, а в общечеловеческом и общело-

гическом: как нахождение достаточно точной и, прежде всего, достаточно ясной харак-

теризации.

Пролог — язык программирования, рекламируемый как язык логического програм-

мирования. На самом деле от логики в нем остались лишь неправильно интерпрети-

xxii

ВВЕДЕНИЕ

дованы настолько основательно, что по удобству техники и богатству

идей уже не уступают классической логике. Поэтому претензии класси-

ческой логики на практически монопольное положение резко отверга-

ются. Более того, способ изложения классической логики, избранный в

данной книге, можно охарактеризовать как “классическая логика с точ-

ки зрения неклассической”. При таком взгляде яснее становятся причи-

ны, по которым классическая логика играет и будет играть важнейшую

роль в совокупности логик, и основания, необходимые для того, чтобы

применять либо, соответственно, не применять классическую логику.

Вообще математическое мировоззрение, которого мы придержива-

емся, можно охарактеризовать как умеренный скептический платонизм.

Мы не стремимся его ни скрывать, ни навязывать читателю. В част-

ности, то, что обосновывается ссылкой на данное мировоззрение, все-

гда помечается словами типа ‘по мнению автора’

. Если нам известно

какое-то другое обоснованное мнение, являющееся альтернативой на-

шему, оно приводится тут же.

Сущность нашего мировоззрения можно охарактеризовать следую-

щим образом. Нам симпатична концепция Платона, что системы, воз-

никающие в реальном мире, являются реализациями общих Идей. Сами

эти Идеи недоступны человеку, поскольку они бесконечно совершенны,

а человек несовершенен и ограничен, но математика дает возможность

некоторого приближения к ним. Конечно же, эти приближения также

несовершенны, но они гораздо более гармоничны внутри себя, чем т. н.

‘реальный мир’,почему и вскрывают самые глубинные свойства этого и

других возможных миров. В этом причина непостижимой эффективно-

сти математики в приложениях. Но несовершенство человека проявля-

ется в том, что Идеи могут быть реализованы в математике разными

способами, противоречащими друг другу, это касается и тех фундамен-

тальнейших Идей, которые лежат в основе логики

рованные обрывки внешней формы; позднее мы рассмотрим данный язык подробнее.

Вообще, широко рекламируемое и модное средство, как правило, делает вовсе не то,

что обещается, либо далеко не с тем качеством. См., например, о продукции фирмы

«Гербалайф».

Если этих слов нет, то, как уже было сказано, не предполагается, что изрекается

независимая объективная истина. В частности, все оценочные высказывания по необ-

ходимости субъективны и поэтому никогда не помечаются такими словами.

В данном пункте мы резко и принципиально расходимся с т. н. “математическим

платонизмом”, предполагающим, что математика вводит нас в сам мир Абсолютных

0.2. МЕТОДОЛОГИЧЕСКИЕ ПРИНЦИПЫ

xxiii

Наиболее часто используемой альтернативной точкой зрения явля-

ется умеренно оптимистический и умеренно материалистический си-

стемный взгляд на мир. Система базируется на фундаментальных струк-

турах и не может существовать без порядка, обеспечиваемого этими

структурами. Математика позволяет нам сделать шаг к выявлению фун-

даментального порядка, на котором базируется Вселенная. Но посколь-

ку человек является несравненно более простой структурой, чем Мир,

а никакая система не может познать даже саму себя, не говоря уже о бо-

лее сложных системах, то человек не может полностью выявить данные

структуры и вынужден ограничиваться приближениями. Поэтому мате-

матика весьма эффективна, но математические выводы нуждаются в пе-

репроверке. По этой же причине математика не может быть полностью

унифицирована, так как для разных целей нужны разные приближения.

Мы относимся с уважением к данной точке зрения, хотя и отошли от

нее.

Узколобые неумеренно оптимистичные либо неумеренно пессими-

стичные точки зрения нашим уважением не пользуются. Первым кри-

терием здесь является утверждение некоторым “учением” собственной

истинности, которое, как выяснила современная логика, является сим-

птомом либо крайней примитивности,либо внутренней противоречиво-

сти данной точки зрения. Самый страшный человек — тот, кто уверен,

что он познал Истину. На втором месте — циник, считающий, что ис-

тины нет вообще.

Стоит помнить и о некоторых принципиальных различиях теорети-

ческой и прикладной математики. Чистая математика представляет со-

бой уникальный агрегат из квазирелигии и спорта. Вера в существова-

ние математических понятий является квазирелигией, а способ оценки

результатов скорее спортивный (на первом месте — новизна, на вто-

ром — оценка трудности достижения по следующим критериям:

1. Выше всего ценится решение задачи, давно поставленной знаме-

нитым ученым и остававшейся без ответа.

2. Далее, ответ на вопрос, поставленный авторитетом.

Идей, что математические понятия реально существуют в Высшем Мире. Мы считаем

данное воззрение профанацией платоновского взгляда и самопереоценкой человека и

его научного мышления.

xxiv

ВВЕДЕНИЕ

3. Далее, усиление либо переформулировка результата, доказанного

авторитетом, лучше всего — одобренная авторитетами.

4. И на последнем месте — задача, формулировку которой дал сам

молодой математик; чаще всего такая работа признается лишь по-

сле положительной оценки авторитета).

В прикладной математике задача приходит из жизни, но в таком виде,

что она не соответствует ни имеющемуся математическому аппарату, ни

(чаще всего) тому, что хотел бы от нас тот, кто ее сформулировал. Поэто-

му прикладник вынужден ставить задачу себе в значительной степени

сам. Именно по данной причине чистые и прикладные математики часто

не понимают друг друга, хотя основываются на одной и той же науке.

Многие из творцов современной логики кончили трагически. Кое-

кто говорил автору, что не стоит акцентировать внимание на печальных

фактах. Здесь стоит посмотреть в лицо явлению, о котором не принято

говорить. У братьев Стругацких есть повесть

«За миллиард лет до кон-

ца света». Ее идея состоит в том, что некая почти стихийная страшная

сила начинает активно противодействовать ученым, приблизившимся к

краю того знания, которое в принципе может изменить (либо, еще более

вероятно, разрушить) наш мир. Действительно, приближаясь к Идеям

и пытаясь перевести на язык других людей то, что узнал, в некоторый

момент начинаешь чувствовать противодействие. Поскольку современ-

ная логика затрагивает наиболее фундаментальные вопросы организа-

ции Разума и Знания и поскольку ее достижения резко подняли людей

над тем уровнем идей, которые считались максимально абстрактными

(и максимально глубокими) раньше, ее творцы неизбежно попадали под

контрудары. Пожалуй, лишь Гёдель сумел противостоять им, и поэтому

закономерно, что работой последних лет его жизни было логическое до-

казательство существования Бога, и столь же закономерно, что публи-

ковать свое доказательство он не стал.

Автору говорили, что его примечания кое-что напоминают. Да, по-

жалуй, стоит сослаться на двух классиков русской мысли: великого тео-

ретика Козьму Пруткова и великого прикладника Христофора Бонифа-

тьевича Врунгеля

, некоторым особенностям изречений которых автор

по мере сил старался подражать.

Пожалуй, одно из наиболее слабых с литературной точки зрения их произведений:

привыкнув фантазировать, трудно излагать правду...

Прежде всего его «Толковый морской словарь для бестолковых сухопутных читате-

лей».

0.3. КАК РАБОТАТЬ С ДАННОЙ КНИГОЙ?

xxv

§ 0.3. КАК РАБОТАТЬ С ДАННОЙ КНИГОЙ?

Начнем с общих педагогических принципов, на которых основана дан-

ная книга.

Задачей преподавания математических дисциплин

является введе-

ние ученика в мир фундаментальных идей данной науки и показ тех

Идей, которые лежат за научными формулировками. Логика является

той наукой, где путь к Идеям наиболее близок (вспомните вопрос Авер-

роэса). Поэтому именно в ней данную цель можно ставить наиболее яв-

но. Конечно же, эта цель не отменяет цели овладения навыками и мето-

дами, разработанными данной наукой, и суммой наиболее важных све-

дений, установленных в ней, но в данном контексте это овладение явля-

ется, прежде всего, средством (правда, нет ничего плохого в том, если

оно становится конечным пунктом для большинства учащихся,если они

хотя бы увидят на примере других, что есть и более высокие ступени

знания и понимания).

Автор уверен, что к Идеям ведет бесконечно много дорог, и выс-

шая задача учителя — помочь ученику выбрать ту из них, которая ему

больше всего подходит. Таким образом, сама идея наставления на путь

истинный автору чужда. То, что являлось истинным путем для учителя,

вполне может заводить в тупик его ученика. То, что хорошо для одних

студентов, плохо для других. Но, конечно же, эти дороги содержат мно-

го общего. Пройти к вершинам можно, лишь овладевая по дороге тех-

никой подъема, и поэтому необходимо уделять большое внимание от-

работке технических навыков. Большое количество задач, собранных в

данном пособии, дает возможность индивидуализировать техническую

тренировку.

Накопление большого количества тренировочных задач позволяет

изменить качество курса еще в одном отношении.Каждый научный цикл

базируется на некоторой дисциплине, которая, как считается, наиболее

ярко высвечивает основные идеи данной науки и позволяет ввести в ее

мир. Такой дисциплиной в математическом цикле в большинстве уни-

верситетов мира и в России является математический анализ. Он дей-

ствительно вводит в курс математических идей, сформировавшихся к

середине XIX века. С тех пор математика принципиально обогатилась и

изменила свое мировоззрение. Поэтому ныне анализ является не един-

Да и других наук высшего уровня.

xxvi

ВВЕДЕНИЕ

ственной возможной базой для математического цикла. В последние го-

ды в Удмуртском университете на новой специальности ‘информацион-

ные системы’ предпринят эксперимент, в котором во главу математиче-

ского цикла поставлена логика. Данный курс составлен таким образом,

чтобы он мог быть головным в математическом цикле для студентов спе-

циальностей типа информационные системы, программирование, фи-

лософия, структурная лингвистика, когнитивная психология. Но для та-

кого головного курса недостаточно лишь материала данной книги. Со-

временная прикладная логика содержит следующие разделы:

1. Логический анализ естественных языков.

2. Логическая семантика и формальный синтаксис.

3. Теория доказательств.

4. Представление знаний в интеллектуальных системах.

5. Теория алгоритмов и автоматов.

6. Автоматическое доказательство теорем.

7. Конструктивные логики и логическое программирование.

8. Сложность вычислений.

9. Логика функций и логика программ.

10. Теория возможных миров, контекстов и установок.

11. Индуктивные выводы, формирование понятий и

распознавание образов.

12. Неточные, немонотонные, нечеткие выводы.

13. Теория типов данных.

14. Теория взаимодействующих процессов.

15. Теория рефлексивных рассуждений.

16. Теория неформализуемых понятий.

В данном пособии материал многих разделов лишь затронут (и то

неравномерно).Полное изложение всего перечисленного с такой же сте-

пенью методической проработанности и подробности, которая выдер-

живается в большинстве глав данного пособия, потребовало бы по мень-

шей мере четырехтомника и колоссального труда по накоплению масси-

вов задач и подбору методов изложения материала, представленного до

сих пор в основном в статьях и монографиях.

Стоит сказать об отношении к ошибкам. Человеку свойственно оши-

баться. Не ошибается он, лишь пока ничего не делает. В современной те-

ории творческого мышления обосновано, что в процессе решения труд-

ных творческих задач неизбежен проход через ошибки. Поэтому одна

из самых вредных особенностей традиционного подхода к обучению —

0.3. КАК РАБОТАТЬ С ДАННОЙ КНИГОЙ?

xxvii

рассмотрение ошибки как криминала

.На занятиях первое,к чему при-

ходится приучать первокурсников, — не стесняться ошибок. Более то-

го, отличить глубокое понимание от формального запоминания гораздо

легче, когда имеешь дело с ошибками: качество ошибок просто несрав-

нимо. Поэтому многие упражнения ориентированы на выработку навы-

ков исправления неточностей в доказательствах и формулировках без

полного отвержения частично неправильных построений.

С этим же связано то, что мы не любим ставить задачи в форме «До-

казать, что...» Готовая истина не способствует развитию творческого

мышления. Далее, при таких формулировках возникает громадный со-

блазн действовать по принципу: «Вы скажите нам, что нужно доказать,

а мы уж докажем»

. Тем не менее порою приходится формулировать и

задачи на доказательство.

ПРЕДУПРЕЖДЕНИЕ

Для борьбы с указанной выше болезнью несколько задач

на доказательство являются задачами-ловушками. Это необ-

ходимо для приучения учащихся к дисциплине ума: прове-

ряй доказываемое!

Не все части данного пособия одинаково фундаментальны. В част-

ности, могут быть опущены некоторые параграфы из первой части (ее

последней главы). Глава, посвященная нестандартному анализу, полно-

стью независима от последующего материала и также может быть опу-

щена. Возможны и многие другие варианты компоновки курса в зави-

симости от вкусов и уровня подготовки преподавателя

. Скажем, хо-

тя глава о семантических таблицах является центральной во второй ча-

сти, в ней можно опустить последний параграф, посвященный устране-

нию сечений. Минимальный вариант изучения второй части — главы,

Впрочем, если мы стремимся наставлять на Единственно Истинный Путь, ничего

другого не остается.

Формулировка данного принципа принадлежит студентам Высшего Юридического

колледжа УдГУ.

В данном случае мы следуем традиции, идущей еще от Архимеда, неоднократно пре-

рывавшейся, но неизменно возобновлявшейся при первом же отступлении догматизма.

Опыт преподавания отнюдь не лучшим студентам в Удмуртском университете убе-

дил, что этот материал может быть донесен до студентов весьма среднего уровня, так

что уровень подготовки студентов здесь второстепенный фактор.

xxviii

ВВЕДЕНИЕ

посвященные синтаксису и семантическим таблицам. К ним могут не-

зависимо добавляться главы, посвященные естественному выводу, тео-

рии определений, теореме Гёделя, нестандартному анализу. Что брать

из третьей части — дело вкуса и конкретных потребностей преподава-

теля и учебного плана.

Если преподаватель имеет возможность провести хотя бы несколько

занятий в дисплейном классе Macintosh либо IBM PC и обучающие про-

граммы высокого уровня

Tarski’sWorld,Hyperproof,Deductio

или

Semtab,

то это стоит сделать. Кое-где в тексте есть прямые указания на то, как

можно воспользоваться данными программами для практических заня-

тий.

Стоит отметить несколько принятых в данной книге условных обо-

значений.

Три вида кавычек “ ”, ‘ ’, « » употребляются как модальности. Пер-

вый из них (общеупотребительный в англоязычной литературе) озна-

чает, что слова употреблены в переносном смысле, а если они окружа-

ют слова, идея которых приписана другим, то формулировка (дабы под-

черкнуть смысл) преобразована автором. Второй — что данное слово,

например,‘кавычки’,в данном контексте используется как имя понятия,

а не как понятие, обозначаемое данным именем. Третий вид — цитата

либо слова, взятые автором из фольклора и не преобразовывавшиеся.

Стандартные русские кавычки,заимствованные из немецкого языка: „

“ — оскорбляют математический вкус автора (левая из них выглядит как

закрывающая, а правая — как открывающая), и поэтому ими не пользу-

емся.

Выделение рубленым шрифтом означает чисто формальное имя,

встретившееся в нашем тексте. Например, так мы обозначаем

иденти-

фикатор

из программы,о котором говорится вне текста данной програм-

мы. Математические символы, написанные прозрачным шрифтом, ска-

жем, Z, означают фиксированные математические понятия, чаще все-

го —общеупотребительные множества.Остальные типы выделений ис-

пользуются прежде всего для привлечения внимания и фиксированного

смысла не имеют.

И в заключение автор должен поблагодарить свою жену Людмилу,

неоднократно читавшую рукопись в процессе создания и немало спо-

собствовавшую улучшению изложения; дочь Тоню и В. В. Пупышева,

выловивших кучу опечаток; рецензентов и профессора А. П. Бельтюко-

ва,сделавших ряд ценных замечаний.Некоторые примечания А.П. Бель-

тюкова вошли в текст книги, они помечены буквами

(АПБ)

0.4. ВВЕДЕНИЕ КО ВТОРОМУ ИЗДАНИЮ

xxix

§ 0.4. ВВЕДЕНИЕ КО ВТОРОМУ ИЗДАНИЮ

Неклассические логики получили большие и важные применения в по-

следние десятилетия.Это связано с несколькими принципиальными мо-

ментами.

Классическая логика является весьма мощным средством описания

и дедукции. Но она, конечно же, имеет ограничения, явные и неявные

предположения, заложенные в ее основу. Явные предположения (типа

того, что логическими значениями являются лишь

0 и 1) легко нару-

шаются столь же явно. Неявные же (самое важное из них то, что логи-

ка описывает состояние вполне определенной совокупности понятий в

некоторый момент и для достижения фиксированной цели), как всегда,

гораздо важнее и гораздо труднее преодолеваются.

В неклассических логиках особенно четко прослеживается беда со-

временной прикладной науки, основанной в большинстве случаев на

плоском одноуровневом мышлении: соблазн воспользоваться “царски-

ми путями”

: соблазнительным возможностями прямого приложения

мощных теоретических результатов, изредка открывающимися в ходе

развития науки.

Лучшие военные прекрасно понимают, что прямое наступление —

самый лучший способ зря растратить силы и, увлекшись видимостью

побед, проиграть кампанию.

У Цзы заметил [18, гл. 1, ч. 3]:

Мало таких, кто овладел Поднебесной частыми победа-

ми, но много таких, кто от таких побед погибал.

Мы основываемся на точке зрения, что наш Мир имеет единую Ми-

ровую Идею, заложенную в его начале

По легенде, Евклид ответил на вопрос одного из Птолемеев: «Нельзя ли полегче

научиться геометрии?» — словами: «В геометрии нет царских путей!»

Во избежание недоразумений заметим следующее.

1. Понятие Мировой Идеи не зависит от понятия Бога. Она следует из системности

наблюдаемого строения Вселенной и логичности происходящего в ней. Так что

в данном случае мы не опираемся на гипотезу, что Мир сотворен.

2. (Для креационистов и деистов) Отождествление Мировой Идеи с Богом —недо-

пустимое упрощение. Это — Слово, которым Бог сотворил Мир. Оно, конечно,

уже не является Высшей Сущностью, но оно неизмеримо выше по природе сво-

ей всех других сущностей тварного мира.

xxx

ВВЕДЕНИЕ

Мировая Идея умнее и изощреннее самого гениального полководца,

и она, конечно же, активно завлекает тех, кто стремится примитивны-

ми средствами достичь ее, в соблазнительные ловушки. Поэтому нужно

развивать самые разнообразные средства и, более того, средства анализа

средств, с тем, чтобы гибко выбирать наиболее подходящий инструмент

в данной ситуации для данной цели.

Далее, избежать лобового столкновения можно несколькими путя-

ми. Во-первых, можно перепрыгнуть через трудности, воспользовав-

шись идеальными понятиями высокого уровня и затем конкретизировав

их в новой обстановке. Во-вторых, можно обойти заминированные ме-

ста, рассмотрев другие аспекты проблемы и уже от них вернувшись к

нашей непосредственной цели. И то, и другое решение требует владе-

ния двумя умениями: многоуровневым подходом к выбору средств и к

оценке результатов; искусством перевода как между различными фор-

мализмами, так и между формализмами и естественным языком.

Введение в такое использование современных логических средств —

цель данного пособия.

3. (Для агностиков и умеренных атеистов) Отождествление Мировой Идеи и Ми-

ра — также недопустимое упрощение. Мир — постепенно развившаяся реали-

зация данной Идеи. А, как правило, реализация беднее исходной спецификации

и уж во всяком случае искажает ее.