Непейвода Н.Н. Прикладная логика

Подождите немного. Документ загружается.

0.1. ЧТО ТАКОЕ?

могут быть пересмотрены. Более того, если в ремесле ценится прежде

всего воспроизведение данных образцов, то в науке и искусстве необ-

ходимо сделать нечто новое или, по крайней мере, дать новый взгляд

на старое. В искусстве, хотя каноны и невербализованы и не требуют

обоснования, так же как и в ремесле, требуется их нарушение (чего не

требуется в науке), и вкус художника определяется тем, насколько он

чувствует допустимую меру их нарушения (а вот это справедливо и для

новых направлений в науке). Так что наука органически занимает место

между искусством и ремеслом, отличаясь от них требованием обосно-

ванности канонов.

Если рассмотреть соотношение ремесла, искусства и науки с другой

стороны, со стороны используемого языка, то отличие науки в том, что

она не останавливается на стадияx ощущений, образов и представле-

ний, как ремесло либо искусство, но требует развития понятий и тер-

минов. Понятие — это языковая единица, имеющая достаточно четко

определенный смысл; термин — слово, смысл которого фиксирован.

Понятие остается живым, его смысл меняется более или менее дина-

мически, сохраняя вместе с тем значительную устойчивость, термин —

это монумент понятия

. Точные науки (прежде всего математика) отли-

чаются тем, что могут работать лишь с терминами, да и то не со всеми.

Логика — наука, изучающая с формальной точки зрения понятия,

методы их определения и преобразования, суждения о них и структуры

доказательных рассуждений. Ее создание сделало возможным развитие

европейской науки, а ее переход на стадию математической логики ока-

зал большое влияние на всю европейскую научную мысль.

Логика как наука имеет уникальную историю. Она была создана на

заре европейской цивилизации,в классической Греции, практически од-

ним человеком — Аристотелем. В те времена впервые высказывания и

рассуждения стали проверяться не на соответствие авторитету, а на убе-

дительность для равных тебе граждан. Естественно, что в обстановке

переоценки ценностей появилась орда софистов и демагогов, нагло на-

дувавшиx не только народ, но и достаточно образованных людей тонкой

подменой понятий, некорректными переходами в благопристойно вы-

глядящих рассужденияx, и т. п. Например, приведем следующее в выс-

Данной метафорой автор обязан О. M. Аншакову.

xii

ВВЕДЕНИЕ

шей мере “логичное” рассуждение.

Европейцы владели большей частью мира.

Удмурты — европейцы.

Значит, удмурты владели большей частью мира.

(1)

Это потребовало противоядия, создания канона доказательных рассу-

ждений, создания, как выразился Кант, «цензуры мысли». Аристотель

дал инструмент в столь совершенной форме, что более двух тысяч лет

его оставалось лишь комментировать и шлифовать. Он воспользовался

высшими достижениями тогдашней научной мысли, в частности, широ-

ко применяя буквенные обозначения для переменных, незадолго перед

тем изобретенные математиками.

Аристотелева логика часто называется философской либо формаль-

ной. Она стала неотъемлемым компонентом образования европейских

философов,юристов,теологов, т. е. людей, длительное время составляв-

ших подавляющую и самую влиятельную часть образованного слоя об-

щества.

Можно считать, что отношение к логике явилось одним из межевых

камней между западной и восточной культурами. Аверроэс (Ибн-Рушд,

мавританский ученый XII века, традиционные даты жизни 1126–1198)

поставил вопрос:

« Подчиняется ли Бог законам логики?» (2)

Христиане разных толков, иудеи и мусульмане восприняли этот вопрос

серьезно

и ответили на него по-разному. Католики решили, что, конеч-

но же, подчиняется,поскольку Он — благая сила и соблюдает те законы,

которые Сам установил. Мусульмане столь же ясно и недвусмысленно

заявили, что требовать, чтобы Аллах чему-то подчинялся, — оскорбле-

ние Аллаха. Православные и иудеи заняли промежуточную позицию.

Заметим, что уже сама по себе постановка такого вопроса подчеркивает исключи-

тельную роль логики. Скажем, вопрос:

“Подчиняется ли Бог законам физики?” (3)

очевидно глуп. Тем не менее многие физики и люди, привыкшие считать физику осно-

вой научного взгляда на мир, втайне чувствуют себя уязвленными некорректностью

предыдущего вопроса и изо всей силы стремятся создать физическую теорию творе-

ния (см., например, [25] как глубокое исследование с данной целью и [27] как работу,

открыто высвечивающую цели данного направления).

0.1. ЧТО ТАКОЕ?

xiii

Но для применения в самой математике логика Аристотеля остава-

лась недостаточно сильной. Математикам не хватало аристотелевских

силлогизмов типа

Все змеи крылатые.

Автор данной книги — змея

Следовательно, автор данной книги имеет крылья.

(4)

которых было достаточно юристам и теологам

Традиционную логику стали подвергать критике с трех сторон с на-

чала Нового Времени. Естествоиспытатели пытались изобрести новую,

индуктивную, логику, позволяющую выводить общие законы из ряда

частных случаев.Евреи развивали логику толкований (называемую сей-

час герменевтикой), позволяющую по множеству перечисленных в ка-

нонических книгах правил и исключений выводить следствие для ново-

го конкретного случая

Пирс в XIX веке заметил, что выводы герменевтики являются част-

ным случаем необходимых для практики выводов частных случаев из

других частных. Логику такого вывода он назвал абдуктивной логикой

Вышеприведенное рассуждение с логической точки зрения не менее корректно, чем

знаменитый силлогизм,столько веков ошибочно создававший логике репутацию науки,

занимающейся лишь тривиальностями:

Все люди смертны.

Сократ — человек

Следовательно, Сократ смертен.

(5)

Формальная наука отличается тем, что она проверяет прежде всего форму и поэтому

может рассуждать про глокую куздру из знаменитого предложения академика Щербы

«Глокая куздра штеко быдланула бокра и кудрячит бокренка» столь же уверенно, как

про сивую кобылу.

Слово ‘герменевтика’ произошло от имени Гермеса Трисмегиста, не то бога, не то

жреца бога Гермеса, которому приписывался тайный трактат по магии и алхимии.Мало

того, что этот трактат не подлежал передаче непосвященным, он и написан был таким

темным и уклончивым языком, что истолковать хоть что-нибудь из него было почти

невозможно. Вот поэтому искусство толкования и назвали его именем.

Несколько замечаний о терминологии. Три сакраментальных термина современной

логики — индукция, дедукция и абдукция — происходят от одного и того же латинского

корня с разными приставками и обозначают, в исходном смысле, соответственно:

1. Получение общего закона по множеству частных случаев.

2. Получение из общего утверждения другого общего либо частного.

xiv

ВВЕДЕНИЕ

На самом деле герменевтика включает не только абдукцию, но и еще

по крайней мере два важнейших компонента: истолкование метафор и

перетолкование взаимно противоречивых норм, чтобы исключить про-

тиворечия в конкретном случае.

Математики заметили, что логика могла бы стать математической

наукой, но таковой еще не являлась

Предвестники нового этапа появились в работах Лейбница, когда

традиционная задача математики: “заменить вычисления рассужде-

ниями” была инвертирована и превратилась в задачу математической

логики: “заменить рассуждения вычислениями”. Аппарат для этого

начал возникать в трудах логиков XIX века, прежде всего английской

школы — де Моргана, Буля, и американского логика Пирса... А разви-

тие по-настоящему пошло лишь в XX веке, когда математика доросла

до того, чтобы применять свои методы для анализа своей собственной

структуры, и, таким образом, первой из наук перешла со стадии экс-

тенсивного роста на стадию рефлексии

. Появилась новая наука — ма-

тематическая логика, унаследовавшая задачи философской логики, но

использовавшая для их решения математический аппарат. Как сформу-

лировал А. А. Марков: «Математическая логика — логика по предмету,

математика по методу».

Конечно же, хотя замена средств и усилила мощь методов, она при-

вела и к ограничениям. Если традиционная логика прекрасно приспосо-

блена для работы с не до конца уточненными понятиями, математиче-

ская может иметь дело лишь с терминами, укладывающимися в рамки

(хотя и неизмеримо расширенного прежде всего ее собственными уси-

лиями) математического языка. Это уже точная наука со всеми ее до-

стоинствами и недостатками. Как правило, достоинства точной науки

3. Получение нового частного случая из множества частных случаев.

Естествоиспытатели, евреи и математики, конечно же, не члены деления в смысле

традиционной логики. Один и тот же человек может входить во все эти группы, и бо-

лее того, иногда вхождение в пересечение групп помогало первопроходцам. Например,

германский еврей-математик Г. Кантор создал теорию множеств, вдохновленный,в зна-

чительной степени, проблемой истолкования многих положений Талмуда и Каббалы,

касающихся таких бесконечных сущностей, как Бог и Высшие Силы.

Рефлексия — самоанализ, в науке — применение методов данной науки к ней самой.

Традиционное изложение традиционной логики,в частности, не выдерживает проверки

рефлексией.

0.1. ЧТО ТАКОЕ?

следующие:

1. Выписываются те предположения, при которых делаются выво-

ды (например, что субъективная привлекательность суммы денег

прямо пропорциональна количеству денег).

2. Понятия превращены в термины, так что не может возникнуть ни-

каких двусмысленностей при истолковании (например, интеллек-

туальность понимается как способность решать задачи из задан-

ного тестового набора).

3. Можно проверить,действительно ли сделанный вывод строго сле-

дует из принятой модели или же автор выдвигает лишь правдопо-

добную гипотезу.

4. Резко облегчается переход к структурам, приспособленным для

интерпретации на компьютере.

Соответственно, недостатки точной науки следующие:

1. Помимо выписанных предположений, очень многие, и зачастую

самые критичные для рассматриваемой ситуации, прячутся в об-

щий применяемый аппарат. Эти неявные предположения, как пра-

вило, не осознают даже специалисты. Например, когда в XX веке

наконец-то занялись вопросом, что же можно измерять действи-

тельными числами, выросла целая теория измерений, пользуясь

которой можно, в частности, практически всегда отвергнуть пред-

положение, сделанное в соответствующем пункте достоинств.

2. Поскольку термин —монумент понятия,он полностью теряет гиб-

кость и зачастую в конкретной ситуации он начинает означать во-

все не то, что имелось в виду первоначально. Например, способ-

ность решать задачи из тестового набора может не иметь никакого

отношения к способности гибкого реагирования на изменяющую-

ся реальную ситуацию.

3. Поскольку строгое доказательство может содержать много шагов

и вовлекать многие утверждения, которые, как стыдливо говорят

ученые, «выполнены в реальной ситуации лишь приближенно»,

в ходе такого обоснования соответствие реальности может поте-

ряться, так что строго доказанный результат требует содержатель-

ной перепроверки при применениях.

xvi

ВВЕДЕНИЕ

4. Поскольку теоретические структуры для тонких моделей слиш-

ком сложны, переход к компьютерному моделированию стимули-

рует применение грубых моделей, которые (в частности в физике)

начали подменять собою реальность.

Эти списки не исчерпывающие, но каждое достоинство неуклонно

сопровождается соответствующим недостатком.

Первым широко прозвучавшим рефлексивным результатом матема-

тической логики была серия теорем Гёделя,появившихся в 1930–1931 гг.

До этого было общепринято

считать, что математика может быть уточ-

нена таким образом, чтобы в принципе любое истинное математическое

утверждение могло быть доказано, и конечно же, такое уточнение явля-

ется непротиворечивым. Таким образом, предполагалось, что математи-

ческая теория должна быть полной и непротиворечивой. Естественно,

не исключалось, что существующая теория неполна, но ставилась зада-

ча ее пополнения. Гёдель доказал, что полна и непротиворечива лишь

чистая логика. Любая достаточно сильная конкретная теория неполна,

в ней есть утверждение, которое нельзя ни доказать, ни опровергнуть

средствами этой теории. Более того, непротиворечивость никакой мате-

матической теории, включающей понятие (по крайней мере) натураль-

ных чисел, не может быть доказана внутри этой теории

На самом деле рефлексивные результаты появились лет на 20 рань-

ше, но шведского логика Лёвенгейма, доказавшего, что ни одна матема-

тическая теория не может, в частности, однозначно определить множе-

ство натуральных либо действительных чисел, постигла судьба многих

первооткрывателей: он угодил в психлечебницу, оставшись непонятым,

а его результаты вспомнили тогда, когда сообщество до них дозрело.

Слабые возражения о том, что теоремы Гёделя не имеют никако-

го отношения к утверждениям, реально используемым математиками,

Слово ‘общепринято’ означает мнение подавляющего большинства специалистов;

с этим уточнением общепринятое мнение практически всегда правильно, если вопрос

элементарен, но отнюдь не всегда правильно, если вопрос требует многостороннего

рассмотрения. Если же общепринятым мнением считать мнение большинства людей,

то даже первая часть предыдущего утверждения не имеет места.

Впрочем, если бы голубая мечта логиков и математиков начала XX века — обосно-

вать математику средствами самой математики — осуществилась бы, то математика

превратилась бы из науки в учение, ничем не отличающееся от марксизма-ленинизма:

“Учение всесильно, потому что оно верно”. Ученый не может глаголить истины, он

должен проверять то, что претендует на статус истины.

0.1. ЧТО ТАКОЕ?

xvii

позволили самодовольной математической точке зрения цепляться за

видимость обоснованности еще тридцать лет, а затем пошел косяк ре-

зультатов, устанавливавших, что не могут быть решены многие пробле-

мы, волновавшие математиков. Последняя группа результатов о нераз-

решимости показала, что даже обоснование правильности компьютер-

ной программы подпадает под те же ограничения,причем обосновывать

ее тем сложнее, чем эффективней она написана.

Надо сказать, что рефлексивные возможности формализованной ло-

гики сделали ее мощным инструментом для решения некоторых нефор-

мальных задач. В частности, при приложениях математики все время

приходится подбирать математическую модель для рассматриваемого

явления. Подбор модели начинается с подбора соответствующей тео-

рии, определяющей базовые структуры данных и операции в модели.

Например, если мы в качестве базовой теории возьмем математический

анализ, то у нас появятся действительные числа вместе со всеми опе-

рациями; если возьмем графы, у нас появятся пути, циклы, топологи-

ческие преобразования графов и т. п. Далее в выбранной теории дается

представление исследуемых понятий. Например, принимается решение

считать плотность материала действительным числом, а не функцией

от точки пространства, считать зависимость одной характеристики от

другой непрерывной, либо просто записываются графы в случае более

привычного для нынешней информатики способа описания. Пишутся

уравнения, связывающие характеристики элементов, либо другие соот-

ношения между представлениями понятий, и на этом построение моде-

ли завершается, чтобы сразу же начаться снова, потому что, как прави-

ло, модель оказывается неадекватной

. Так что подбор формализации

столь же важен для задачи, как выбор супруга для человека, и часто де-

лается столь же безответственно, что превращает работу в мазохистское

самоистязание либо в шарлатанство высшего класса, прикрытое весьма

умными терминами, но начисто забывшее о реальной цели, для которой

все делалось. Именно здесь очень полезен логический анализ, позво-

ляющий быстро вскрывать глубинные корни недостатков в формализа-

ции и выявлять неадекватность патентованных и широко рекламируе-

мых средств.

Слово адекватный является практически синонимом слова подходящий,но мы пред-

почитаем данный, более “ученый” термин русскому слову потому, что адекватность мо-

дели порою настолько далека от здравого смысла, что лучше уж избежать всякой ссылки

на обыденное сознание, содержащейся в слове ‘подходящий’.

xviii

ВВЕДЕНИЕ

§ 0.2. МЕТОДОЛОГИЧЕСКИЕ ПРИНЦИПЫ,

НА КОТОРЫХ ОСНОВАНО ДАННОЕ ИЗЛОЖЕНИЕ

Автор осознает, что данное пособие написано не в стиле, привычном

для русской научной литературы, что оно также не подходит ни под

стиль научно-популярных работ, ни под становящийся в последнее вре-

мя модным общепринятый американский стиль легкого, зато профани-

рующего

, изложения. Тяжелый выбор — идти практически непрото-

ренным путем

— был сделан сознательно. Логика отличается от дру-

гих наук фундаментальностью рассматриваемых проблем, а математи-

ческая логика — сочетанием весьма сложного аппарата с сохранением

философской глубины и с полностью неординарным взглядом на мате-

матический мир. Видимо, современная логика — лишь зачаток первой

из наук нового поколения, призванных сочетать аналитичность научно-

го метода с синтетическим восприятием гуманитарного взгляда. Циви-

лизация, даже высшие слои которой несут в себе по крайней мере две

практически невзаимодействующие культуры, обречена.

Автор начнет с того, что он абсолютно не разделяет системы взгля-

дов “религии прогресса”

, de facto сделавшейся основой современно-

В древней Греции профан — человек, не посвященный в некоторые таинства. В

таком смысле нехристь — профан для христиан. Профанация — в Греции так называ-

лось преступление, связанное с раскрытием священных тайн непосвященным, а в наше

время так называют представление сложных вопросов в форме,где опускаются “излиш-

ние” тонкости в целях увеличения объема продаж соответствующей книги путем созда-

ния у невежд иллюзии, что они все понимают. Профанация ведет к взрывообразному

расширению слоя полуобразованных людей, которые являются страшнейшим злом: у

них нет сомнений в том, что они все знают; они зачастую принимают за знания самые

дикие предрассудки либо перемешивают их с предрассудками; и, наконец, если они

что-то, как считают, поняли, они готовы свернуть шею любому, кто понимает данный

вопрос иначе.

За свои убеждения люди порою шли на костер, но гораздо охотнее посы-

лали на костер других.

(Станислав Ежи Лец)

Здесь примерами могли служить лишь, пожалуй, лучшие образцы элитной амери-

канской популярной литературы, прежде всего книги Р. Смальяна. Так что вопрос не в

том, где брать образец для подражания, а в том, как его выбирать.

Известно, что религия занимает важное место в системе человеческих взглядов, слу-

жа основой морали и мировоззрения. Она дает общую позицию в отношении Челове-

ка и Мира, Добра и Зла. Когда религия ослабевает или разрушается, появляются псев-

дорелигии и тоталитарные секты, пытающиеся решить главнейшие вопросы самыми

простыми средствами. Некоторые из таких систем взглядов, например, стоицизм и “ре-

0.2. МЕТОДОЛОГИЧЕСКИЕ ПРИНЦИПЫ

xix

го научного мировоззрения. Каждое достижение человечества требует

жертв. Познавая,мы заодно забываем,уничтожаем старые знания и уме-

ния,которые через один этап,возможно,оказались бы вновь весьма цен-

ны. Умножая наше знание, мы в еще б

ольшей степени умножаем незна-

ние. Это — первая и важная причина, по которой не годятся ни тра-

диционный научный стиль, ни другие, перечисленные выше: все они

ориентированы на выпячивание успехов и замалчивание трудностей и

недостатков

, на декларирование прогресса, а мы хотели бы создать

условия для него, а не объявить его декларативно.

Вторая причина уже звучит по-разному для научного и популярных

стилей. Большим достоинством научного стиля, особенно до тех пор,

пока он не оказался под разлагающим влиянием современной системы

грантов, требующей популярного объяснения сложных вещей профа-

лигия прогресса”, менее примитивны и тоталитарны, хотя и носят на себе печать того

же первородного греха — самопереоценки человеческих возможностей и недооценки

Мирового Порядка.

В частности, религией прогресса называют никогда полностью не формулировавшу-

юся явно систему взглядов, берущую начало в мировоззрении французского Просвеще-

ния XVIII в. и воспринятую естествоиспытателями в XIX в., а математиками, филосо-

фами, гуманитариями и обыденным сознанием — в XX веке. В этой системе взглядов

на роль высочайшего Добра претендует идол Прогресса. Считается, что научное миро-

воззрение и научные критерии истинности единственно правильны, что наука приносит

благо,а выявившиеся отрицательные последствия — результаты ошибок и извращений.

Смотрите, в частности, труды В. И. Вернадского [10], П. Тейяр де Шардена [30],

И. Пригожина [25].

Заметим, что религия прогресса не обязательно сопровождается материализмом и

атеизмом, хотя весьма часто и хорошо сочетается с ними. В частности, П. Тейяр де

Шарден был убежденным католиком, хотя Ватикан и осудил его взгляды как подозри-

тельные с точки зрения ереси.

Заметим здесь скрытое противоречие. Как известно, ориентация на успех любой це-

ной и на замалчивание поражений ведет вовсе не к прогрессу, а к застою. Так что ми-

ровоззрение, декларирующее поклонение прогрессу, на самом деле делает многое для

того, чтобы его затормозить. Такие скрытые (концептуальные) противоречия являются

непременным элементом любой квазирелигии. Настоящая религия отважно смотрит им

в глаза и пытается, в силу человеческих возможностей, преодолеть, а там, где пока что

не удается, хотя бы поставить предупредительные флажки. Одним из таких предупре-

дительных флажков является обострение концептуального противоречия и перевод его

в то, что на обычном уровне интерпретации становится прямым противоречием. Так,

например, поступили христиане, постулировав триединство Бога. Так же должно по-

ступать и любое другое настоящее мировоззрение, в том числе и наука. Пока она так не

поступает, все претензии науки на Истину остаются беспочвенными и вредными.

ВВЕДЕНИЕ

нам либо просто равнодушным и незаинтересованным лицам

, явля-

ется нежелание отступать перед техническими сложностями. Многие

действительно фундаментальные вещи нельзя понять, если не затратить

серьезного труда. Как говорил еще Евклид, в науке нет царского пути.

Точнее, он порою появляется, но намного позднее того, как открытие

сделано, и тогда, когда “золотая пора” его применений уже на самом де-

ле позади. Вот нежелание прокладывать эти царские пути — причина,

по которой не хочется следовать научному стилю, а слишком большое

желание их проложить и, соответственно, игнорирование того, что пока

находится в буреломах и болотах переднего фронта настоящей науки,—

причина того, что и к другому берегу (к профанаторам) не примыкаем.

Итак, мы стремимся искать удобные пути и даже намечать те места, где

они, может быть, будут проложены, но не замыкаемся на удобствах.

Более того, я надеюсь, что в данной книге читатели смогут увидеть

несколько примеров того, как, перебредя через болота и продравшись

сквозь чащи, мы вновь выходим на открытое место, где можно насла-

диться красотой невиданных конструкций, оказывающихся к тому же и

полезными.

Поскольку считается, что задача науки — поиск истины, то обуче-

ние, как правило, строится так, как будто Истина уже найдена. Не при-

нято, чтобы преподаватель сомневался, а тем более высказывал свои со-

мнения письменно. Учить, дескать, надо тому, что бесспорно. Но бес-

спорно только бесполезное. Слишком многие общепризнанные истины

напоминают Неуловимого Джо из анекдота

. Как только их кто-то на-

чинает ловить, в них образуется большая дыра. Например, упрямство

оказывается признаком слабости характера, а не его силы. Профессио-

нальные военные оказываются более слабыми офицерами в сражениях

против партизан, чем вчерашние выпускники лучших вузов, привык-

шие сами искать решения в нестандартных ситуациях. Повышение на-

логов оказывается самым прямым путем к разорению государства ввиду

уменьшения поступающих сумм и т. п.

Что даже хуже, чем научные противники.

Зашел приезжий в ковбойский бар. Вдруг к бару подъезжает ковбой на лошади, на-

чинает стрелять в воздух и ругаться, затем выпивает, расплачивается и уезжает.

— Кто это?

— Неуловимый Джо.

— А его действительно никто не может поймать?

— Действительно. На коего черта это кому-то нужно?