Некипелов А. Становление и функционирование экономических институтов

Подождите немного. Документ загружается.

220 Глава

Частный анализ рыночной системы

изводных ПО величине факторов производства

(за

исключением

рабочей силы — из-за фиксированности

ее

количества):

jt? •

rent

Щ=РГ2-РНМ=0',

(6.31)

W,=p-f,-KY=0.

Отсюда следует, что при достижении функцией трудового до-

хода максимума предельная ценностная производительность

земли, предметов труда

капитала будет равняться соот-

ветственно ренте, цене предметов труда

величине арендной

платы

за

пользование основным капиталом.

Напомним, что достаточное условие наличия максимума

за-

дач

несколькими переменными без ограничений состоит

том,

чтобы все главные миноры ^-го порядка

(^ = 1, ..., п)

матрицы,

составленной из вторых частных производных целевой функции

(в данном случае W-j), имели знак (—1)*. Поскольку

р >

О,

по-

стольку

рассматриваемом случае это требование эквивалентно

соблюдению соответствующих условий

цля

главных миноров

матрицы, составленной

из

вторых частных производных произ-

водственной функции:

/^у.

Отсюда

первую очередь следует,

что /"„

(т.е. предельная производительность каждого фак-

тора производства должна быть убывающей функцией),

' fjj

fif ^ 0.

Кроме того, должно соблюдаться весьма гро-

моздкое

и не

поддающееся простой экономической интерпрета-

ции условие^:

/зз

• (Ai

•

f^ -

/32

/11)

/21

(/зз

• /12

/з2

Аз)

/22 • (/ЗЗ

•

fu - Аз') < 0.

Однако наличие

функции

максимума еще

не

означает,

что рассматриваемый хозяйственный субъект вообще будет про-

изводить соответствующий товар. Принимая решение

специали-

зации, он будет стремиться найти такой вид деятельности, где эта

величина максимальна. Иными словами, он должен провести со-

ответствующие расчеты по всем возможным вариантам специали-

зации

только после этого сделать свой выбор.

^ Логично предположить, что /) (г

^j)

> О, т.е. что предельная производитель-

ность одного фактора производства возрастает при увеличении количества второго.

Тогда оказывается, что разность первых двух выражений положительная величи-

на,

третье выражение

—

отрицательная. Соответственно, для того, чтобы соблю-

далось неравенство, необходимо, чтобы

\f22

•

(/33

' f\\ ~ Лз

I /23

(/31

f\2 ~

~ /32 '

f\\^ ~

fix

((ЪЪ

f\2 ~

/32

•

Аз^1-

Функция спроса на факторы производства и функция предложения 221

Но предположим, что найден максимум функции W, отве-

чающий оптимальной специализации простого товаропроизводи-

теля. Тогда система уравнений (6.31) будет не просто иметь ре-

шения, но эти решения будут определять оптимальное для дан-

ного хозяйственного субъекта сочетание материальных факторов

производства:

х^

x](rent,Pf^j^,KY,p), (6.32)

где х, — функция спроса на i-u фактор производства, макси-

мизирующая трудовой доход W рассматриваемого производи-

теля.

Подставив х^ в систему уравнений (6.31), получаем следую-

щие тождества:

р •

/;(х\

(rent,

Pf^j^,

KY, р), х](rent, pj^j^,KY,p),

xl(rent,pf^j^,KY,p)) - rent

pf2(x\(rent,pj^^,KY,p),x\(rent,pj^j^,KY,p), (6.33)

x\(rent,pjij^,KY,p))-pj^j^ =0;

p '

(-^(x](rent,

PJ^^,

KY, p), x\(rent,

Pf^j^,

KY, p),

x\(rent,pj^j^,KY,p))-KY =0.

Продифференцируем обе части этих тождеств, например, по

rent (аналогичные результаты получаются при дифференцирова-

нии по

PJ^J^

^ KY)\

г. аХ\ г оХ-у f аХг, .

^ '^' brent '^ '^^ drent ^ '^^ drent

Анализ этой системы позволяет прийти к следующим выво-

дaм^ Во-первых, дх{/drent < О, т.е. спрос на фактор производ-

^ См., например: Silberberg, Е. Ор. cit. Р.

164 —

166.

222 Глава 6. Частный анализ рыночной системы

ства (в данном случае на землю) является убывающей функ-

цией его цены. Во-вторых, нельзя однозначно определить направ-

ление изменения спроса на данный фактор производства в зависи-

мости от изменений цены другого фактора.

Если же продифференцировать тождества по цене товара,

производимого рассматриваемым товаропроизводителем, то полу-

чится следующая система:

(6.35)

Pfw

•

/21

Pf3i

дх, J.

дх* г

ЭлГо

Эх^ _ г

Ее анализ свидетельствует о невозможности однозначного оп-

ределения направления влияния изменения цены производимого

блага на спрос на конкретные факторы производства. Правда,

справедлив вывод, в соответствии с которым рост этой цены обя-

зательно приведет к увеличению применения хотя бы одного из

факторов производства\

Очевидно, что лля данного хозяйственного субъекта функ-

ция спроса на средства производства и функция предложения

взаимосвязаны. В самом деле, если решения уравнений первого

порядка (6.32) подставить в целевую функцию (6.30), то будем

иметь:

р- f{x\

{rent,

PJ^^

,KY,p),x\

{rent,

pj^j^

,KY,p),

x^{re?it,Pf^^f,KY,p),x^

\)) - rent

•

x^{rent,Pf^j^,KY,p) - (6.36)

-PRM

^2(^ent,

Pf^^^,

KY, p) - KY

•

x\{rent, pj^^, KY, p).

Ho ведь у = f{x^\rent, Pf^^, KY, p), Xjirent, pj^^, KY, p),

x^Xrent,

Pf^^p

KY, yt?),

= 1)

—

функция предложения соответст-

вующего хозяйствующего субъекта, поскольку она характеризует

величину выпуска, обеспечивающую максимальный трудовой до-

ход при различных значениях параметров (величины рентных

См.,

например: Silberberg, Е. Ор. cit. Р. 166.

Функция цены производства (альтернативных издержек) 223

платежей и отдачи капитала, цены приобретаемых на рынке мате-

риалов и цены производимой продукции). Чтобы определить, как

влияет изменение последнего параметра на объем производства

(предложения), продифференцируем эту функцию по р\

Знак этого выражения неочевиден, и наиболее простой способ

его определения состоит в следующем. Дважды продифференци-

руем по р косвенную целевую функцию (6.36):

Ър Ър др др

Равенство правых частей уравнений (6.37) и (6.38) связано с

тем, что первая частная производная косвенной функции полез-

ности по р равняется^ функции предложения у. Продифференци-

ровав дважды по р целевую функцию (6.30), получим W^^ = 0.

Поскольку, по лемме об огибающей^

W^^p

—

W^* < О, постольку

b'W* _ду _ дх\ .Эх^^/- .Эх; . .

др'

~др-^' др ^^' др ^^' др ^^' ^^'^^^

Таким образом, функция предложения рассматриваемого

нами простого товаропроизводителя всегда будет возрастающей

по цене.

Что касается функции общественного (совокупного) предло-

жения, то она является результатом суммирования величин пред-

ложения всех производителей данной продукции на всех уровнях

цен. При этом надо иметь в виду, что при разных уровнях цен на

товар количество производителей будет разным: чем выше цены,

тем для большего количества хозяйственных субъектов данный

вид деятельности будет оптимальным.

^ В самом деле, W* = р \f\ (Эдг^УЭр) + /з Ох2/др) + f-^ Ох^/др)] +

+ f(x^(rent, pj^j^j rentls, р), X2(rent,

Pf>f^,

rentals, p), x^irent, Рпм^ rentals, p),

x^ = 1)

—

rent Ox^/dp)

—

^f^j^ 0x2/dp)

—

rentals Ох^/Эр). Однако, поскольку в

соответствии с (6.31) (Эд:, /др) • (р

•

d — wd = О {Wj — соответственно рента,

цена сырья и отдача физического капитала), постольку W = f{x^(rent, Pj^^,

rentals, р), X2(rent, Pj^j^, rentals, p), x^irent,

p^js^,

rentals, p), x^ = 1).

2 См.: Silberberg, E. Op. cit. P. 195-197.

224 Глава 6. Частный анализ рыночной системы

5. Функция цены производства

(альтернативных издержек)

Трудовой доход W представляет собой разность между общим до-

ходом TR(Q), с одной стороны, и общими издержками и нор-

мальной отдачей капитала

—

с другой: W = TR(Q)

—

PC(Q), где

—

величина выпуска, а PC(Q) = TC(Q) + KY(Q)

—

цена про-

изводства, пользуясь терминологией Д. Рикардо (ее активно ис-

пользовал Маркс), или альтернативные (экономические) издерж-

ки согласно принятой сегодня терминологии.

Условием максимизации трудового дохода является равенство

его первой производной по величине выпуска Q нулю: W =

= TRXQ) - РС(0) = MR- MFC =

О,

где MR и МРС - соответ-

ственно предельный доход и предельная цена производства (пре-

дельные альтернативные издержки). Иными словами, необходимым

условием максимизации трудового дохода является выбор произво-

дителем такого уровня выпуска, при котором обеспечивается равен-

ство предельной цены производства предельному доходу.

Из сказанного можно сделать два содержательных вывода.

Первый состоит в важности изучения функции цены производства,

поскольку от ее особенностей зависит возможность максимизации

целевой функции хозяйственного субъекта (в данном случае —

трудового дохода). Второй заключается в том, что природа этой

функции производна от мотивации хозяйственного субъекта и, сле-

довательно, она не будет одинаковой в различных общественных

условиях. Например, в рамках рассматриваемой модели доход, ас-

социируемый с трудовыми усилиями, входит в целевую функцию,

тогда как в условиях рыночной системы, предполагающей приме-

нение наемного труда, он является частью денежных издержек'.

^ Эта идея хорошо сформулирована Е. Зильбербергом: «...для того, чтобы

иметь возможность утверждать, что мы имеем хорошо определенную функцию

[альтернативных. — А.Н.] издержек, необходимо, по меньшей мере, предвари-

тельно сформулировать теорию фирмы. При этом мы явным образом признаем,

что издержки производства зависят от того, что собственники фирмы или ее

управляющие собираются делать (теоретические утверждения) и с какими ограни-

чениями они сталкиваются, например, в виде самой производственной функции,

правил совершения сделок или, при определенных условиях, факторных цен.

У максимизирующей богатство фирмы функция издержек будет не такой, как у

фирмы типа «социалистического кооператива», которая стремится максимизиро-

вать,

например, величину выпуска на одного занятого на фирме... Даже при оди-

наковых производственных функциях функции издержек этих фирм будут разли-

чаться» {Silberberg, Е. Ор. cit. Р.

223 —

224).

Функция цены производства (альтернативных издержек) 225

Функция цены производства однозначно не определяется про-

изводственной функцией, но, несомненно, зависит от нее. Если

представить себе, что существует лишь одна технология выпуска

некоторого изделия, предполагающая единственно возможное со-

четание факторов производства, то с учетом мотивации, свойствен-

ной для хозяйственного субъекта данного типа, величина цены

производства будет однозначно определена. В этом случае мы,

строго говоря, вообще не можем говорить ни о производственной

функции, ни о функции цены производства, ни о целевой функ-

ции. Соответственно и проблема максимизации последней приоб-

ретает здесь чисто формальный характер: хозяйственному субъек-

ту надо лишь решить, собирается ли он выпускать данное количе-

ство продукции с жестко заданной величиной цены производства и

соответственно трудового дохода или нет. Величина выпуска

должна в таком случае устанавливаться на уровне, на котором пре-

дельная полезность времени, затрачиваемого на производство, ока-

зывается равной предельной полезности свободного времени.

В предыдущих параграфах мы, однако, исходили из иного

предположения. Рассматривая величину применяемого труда как

жестко фиксированную (один работник, занятый производством в

течение 8 часов в сутки), мы в то же время допускали наличие раз-

личных технологий, связанных с неодинаковой оснащенностью

производителя другими факторами производства. Только благода-

ря последнему обстоятельству мы имели возможность вывести со-

держательные функции спроса рассматриваемого хозяйственного

субъекта на факторы производства и его функцию предложения.

В рамках этих предпосылок мы будем здесь исследовать и функ-

цию цены производства: ведь отказ от возможности варьирования

производителем количества применяемых им материальных факто-

ров производства делает проблему бессодержательной, а снятие ог-

раничения на количество применяемой рабочей силы вывело бы

нас за рамки рассматриваемой модели хозяйства^.

Определить функцию цены производства — значит показать

наименьшие ее значения при различных масштабах выпуска. Вели-

чина денежных затрат, связанных с применением того или иного

^ В действительности, как отмечалось выше, мы могли бы допустить очень

небольшую гибкость в применении рабочей силы, отказавшись от ограничения, в

соответствии с которым каждый производитель «чтит трудовой кодекс» и работает

ровно 8 часов в сутки. Не способствуя особому приращению в знаниях, снятие

данного ограничения вело бы даже к некоторому размыванию особенностей рас-

сматриваемой системы, основанной на индивидуальном труде.

226 Глава 6. Частный анализ рыночной системы

фактора производства, представляет собой произведение цены дан-

ного фактора на его количество. Общая отдача капитала за соответ-

ствующий период, как было показано в главе 5, может рассчиты-

ваться двумя способами: либо как сумма амортизации авансирован-

ного капитала и процентного дохода на него, либо как величина

обесценения капитала плюс процентный доход на его остаточную

ценность. Если KY — общая отдача одного элемента средств труда

(одного орудия труда), то общая отдача всех элементов физического

капитала будет прямо зависеть от их количества. С учетом сказанно-

го математическая модель минимизации цены производства при раз-

личных объемах выпуска приобретает следующий вид:

MinPC

x^-w^

+ X2-W2 +

Х;^-

при (6.40)

\Х^fX2jX^,X^

= l) = у у

где Хр дгз, Хз, х^= i — соответственно количество земли, предме-

тов и средств труда, рабочей силы, применяемых в течение вось-

мичасового рабочего дня, а г/^ — фиксированный уровень произ-

водства. Для удобства заменим KY на w^.

Функция Лагранжа и система уравнений, составленная из ее

приравненных к нулю первых частных производных, будут иметь

следующий вид:

S =

Х^

+ Х2

•

W2 + Х^

•

W^ + X

•

(у^ - f(XpX2,X^)). (6.41)

S2=W2-X'f2=0] (6.42)

Зз=ХУ-Х./з=0;

2,=y'-f(x„...,xJ=0.

Для минимизации на данном уровне выпуска цены производ-

ства комбинация факторов производства должна быть выбрана

таким образом, чтобы соотношение их предельных производи-

тельностей равнялось соотношению их цен (применительно к ос-

новному капиталу — его удельной отдачи за соответствующий пе-

риод времени): w/Wj = f/fj.

Решение системы уравнений (6.42) дает нам те количества

факторов производства и значение множителя Лагранжа, кото-

Функция цены производства (альтернативных издержек) 227

рые минимизируют цену производства при данном выпуске, соот-

ветственно X, = X*{W^,

W^y W^y

у^) и Х= X\w^,

Х02у

W^, у^).

Подставив минимизирующие цены производства количества

факторов производства в целевую функцию (6.40), получаем кос-

венную функцию цены производства (которую принято называть

просто функцией [альтернативных] издержек):

x\{w^,W2,W^,y^)-W^ + x\{w^,W2,W^y у^)

• W2

+ /g 43)

+x\{w^,W2,W-^yy^)-W^ = PC\w^,W2yW^,y^).

Функции предельных и средних цен производства будут соот-

ветственно иметь следующий вид:

МРС ^ ^PC\w,yW2.w,,y'),^ (g 44)

ду

^pC^PC\w,yW2,w,,y') (g45)

продифференцировав обе части выражения (6.45) по у (мы

имеем право делать это: ведь соответствующее выражение пред-

ставляет собой тождество, ибо задано по определению), после не-

сложных преобразований получаем:

МРС*

АРС* + ^^^^

•

у. (6.46)

^У

Для прояснения экономического смысла

проведем следую-

щие преобразования. Продифференцировав по у обе части выра-

жения (6.43), получаем:

оРС оХл

Эх J

0X0 /^

-_ч

--—

w^'--^

W2-

w^' —^. (6.47)

ду ' ду ^ ду ^ ду

Имея в виду, что г^^ =

•

/^, получаем:

Несложно доказать, что выражение в скобках равняется 1.

Для этого подставим в последнее из уравнений (6.42) величины

факторов производства х^ = x*(w^,

W2,

w^y г/^), минимизирующие

цену производства, и продифференцируем обе части по у. В ре-

зультате получим:

228 Глава 6. Частный анализ рыночной системы

Таким образом, множитель Лагранжа в модели минимиза-

ции затрат равняется предельной цене производства.

Далее, умножив уравнения (6.42) соответственно на х\, х\ и

^3,

затем сложив их и проведя несложные преобразования, полу-

чаем:

-к = ^^ . /^. ^ . . (6.50)

Уравнение (6.50) характеризует оптимальное с точки зрения

минимизации цены производства соотношение факторов произ-

водства. Если теперь увеличить количество г-го фактора на не-

большую величину Лг,, то цена производства возрастет на Аг^

•

ш^,

а выпуск продукции — на Аг^ • /^. Соответственно предельная

цена производства, связанная с увеличением г-го фактора произ-

водства, составит

Ал:^

•

w^/Isx^

•

d = w/f^. Но из уравнений (6.42)

следует, что w/f^ = X*. Следовательно, условием минимизации

цены производства является равенство предельных цен произ-

водства при увеличении использования различных факторов

производства.

6. Неопределенность и выпуск

В п. 3 главы 3 мы рассматривали влияние фактора неопределенно-

сти на выбор направлений хозяйственной деятельности в условиях

экономики, основанной на товарном обмене. Здесь речь пойдет об

ином аспекте проблемы, который становится очевидным лишь в ус-

ловиях денежного хозяйства. Нас будет интересовать влияние не-

определенности цены готового изделия на уровень его выпуска ра-

циональным хозяйственным субъектом. При этом мы будем опи-

раться на математическую модель, приводимую, в частности, в

книге Е. Зильберберга\ имея при этом в виду те отличия в исполь-

зуемом нами категориальном аппарате, о которых речь шла выше.

Как и в предыдущем параграфе, мы допускаем наличие раз-

личных технологий производства, характеризующихся неодина-

ковой величиной капитало- и «землевооруженности» индивиду-

^ Silberberg, Е. Ор. cit. Р. 456-458.

6. Неопределенность и выпуск 229

ального труда. Только в этом случае производитель имеет воз-

можность изменять величину выпуска, варьируя количество при-

меняемых орудий труда и естественных факторов производства.

Задача индивидуального производителя состоит в максимиза-

ции ожидаемого уровня полезности от величины трудового дохода:

mdixМ[и(р у-PC(у)1 (6.51)

где р — величина цены, у — масштаб выпуска, РС(у) — цена

производства при выпуске, равном у. Дважды дифференцируем

функцию (6.51) по у и получаем сначала условия максимизации

первого, а затем и второго порядка:

М[и'(р

•

у - РС(у))' (р - Ра(у))]

= 0;

(6.52)

D = М[г/"(р

•

у - РС(у))

•

(р - Ра(у)У - (б 53)

-и'(р

•

у - РС(у))

•

PC'iy)]

Предполагая, что рассматриваемый индивидуальный произво-

дитель негативно относится к риску (т.е. w" < 0), мы можем сде-

лать вывод о том, что достаточные условия (6.53) соблюдаются.

Представим, далее, необходимые условия (6.52) в следующем

виде:

М[и'(р

•

у - РС(у))

•

р]

М[Ы{р

у - РС(у)). Ра(у))1 (6.54)

Пусть р — среднее значение случайной величины р. Вычитаем

из обеих сторон уравнения выражение М[и\р

•

—

РС(у)

•

р)]:

MWip

•

у - РС(у)). (р - р)] = (g 55)

= М[Ы(р. у - РС(у))

•

(Ра(у) - р)1

Левая часть уравнения (6.55) выражает ковариацию цены и

предельной полезности трудового дохода. Когда цена находится

на высоком уровне, предельная полезность в силу ее убывания

—

на низком, и наоборот. Поэтому левая часть уравнения имеет от-

рицательное значение. Такой же знак, естественно, имеет и пра-

вая часть. А из этого следует, что РС\у) < р.

Таким образом, в условиях неопределенности выпуск устанав-

ливается производителем на таком уровне, при котором предель-

ная цена производства (предельные экономические издержки)

ниже уровня ожидаемой цены. Это означает следуюш;ее: если

предельная цена производства является возрастающей функцией

выпуска, то объем производства в условиях ценовой определенно-