Некипелов А. Становление и функционирование экономических институтов

Подождите немного. Документ загружается.

200 Глава 6. Частный анализ рыночной системы

тых выше особенностях результатов, получаемых на его основе.

А это возможно только в том случае, если отраслевому анализу

предшествует освоение проблематики обш;его равновесия, не гово-

ря уже о понимании природы денег, без которых существование

отраслевых рынков просто невозможно.

Частный анализ сопряжен с широким использованием ме-

тода сравнительной статики\ Его особенность состоит в сле-

дующем. Поскольку на исследуемое явление, как правило,

влияют многие факторы, постольку вычленить воздействие

лишь одного из них можно только в том случае, если зафикси-

ровать значения всех остальных переменных. Точная структура

функции, определяющая зависимость между переменными, как

правило, неизвестна, поэтому задача, решаемая при помощи

этого метода, — определение не интенсивности влияния того

или иного фактора на исследуемое явление, а лишь направле-

ния такого влияния^

Во многих случаях применение метода сравнительной статики

приводит к результатам, хорошо известным из повседневной

практики. Например, с его помощью из принятых предпосылок в

отношении функции полезности потребителя строго выводится

как функция спроса, так и два фактора — эффект субституции и

эффект дохода, взаимодействие которых определяет характер за-

висимости между изменением цены того или иного потребитель-

ского блага и величиной спроса на него. Этот анализ позволяет

понять, почему в подавляющем большинстве случаев функция

спроса является убывающей; в то же время из него становится

ясно,

при каких условиях возможны исключения из этого общего

правила. Значение такого результата с научной точки зрения со-

стоит в том, что он подтверждает совместимость принятых нами

^ Вообще говоря, мы уже использовали этот метод при исследовании поведе-

ния Робинзона. Характеристика его общих особенностей дается здесь лишь ис-

ключительно в силу традиции: обычно метод сравнительной статики ассоциирует-

ся с анализом отдельных рынков.

^ «Теорией сравнительной статики» в экономической науке называется ло-

гическая симуляция, проводимая обычно с использованием математики, для про-

верки теорий. Слово «статика» является неудачным. В действительности ничего

статичного не содержится в процедуре проверки теорий. Следует вспомнить, что

в экономической науке теории подвергаются проверке на основе изменения пере-

менных, связанных с изменением некоторых тестовых условий, или допущений.

Термин «сравнительная статика» связан с тем, что при помощи этого метода фор-

мулируются предположения относительно направления изменения во времени

переменных, а не темпов их изменения» {Silberberg, Е. The Structure of

Economics. P. 15).

Функция потребительского спроса 201

ИСХОДНЫХ гипотез (здесь — в отношении потребительских пред-

почтений) с фактами реальной жизни. Если бы между выводами,

вытекающими из исходных предположений, и повседневной ре-

альностью существовало противоречие, то нам пришлось бы от

этих предположений отказаться и строить теорию на основе ка-

ких-то иных аксиом.

Функция потребительского спроса

В п. 1 главы 1 были сформулированы основные допущения, ко-

торые экономическая теория со времен Парето принимает в от-

ношении функции потребительских предпочтений (монотон-

ность и локальная ненасыщаемость потребностей, свойство суб-

ституции одних потребительских благ другими, строгая квази-

выпуклость вверх функции полезности). Фундаментальное

значение этих гипотез традиционная экономическая теория свя-

зывает с тем, что они позволяют математически строго вывести

функцию потребительского спроса, дающую возможность адек-

ватно объяснять факты реальной жизни. Всем предшествующим

анализом мы пытались показать, что на деле ее роль существен-

но больше. С опорой на соответствующие допущения удалось

понять особенности экономического поведения изолированного

индивида, выявить основы развития обмена, сформулировать

особенности общего равновесия для модели простого рыночного

хозяйства, понять природу денег, цен, издержек и дохода.

И только после всего этого мы, как представляется, можем, не

впадая в тавтологию, ставить действительно важный вопрос о

выведении функции потребительского спроса^.

С математической точки зрения структура используемой для

этой цели модели аналогична той, которая применялась в главе 1

для характеристики поведения изолированного индивида. Задача

у рассматриваемого здесь потребителя та же, что и у Робинзо-

на — максимизация степени удовлетворения потребностей, прав-

^ Последующее изложение не претендует на оригинальность, поскольку

относится к хорошо разработанным в экономической теории вопросам. С точки

зрения задач настоящего исследования важно было показать, каким образом

традиционная концепция потребительского спроса интегрируется в новый под-

ход к построению экономической теории. Поэтому последующее изложение из-

вестных вопросов оправдано лишь желанием сохранить у читателя ощущение

целостности изложения, которое неизбежно нарушается при отсылках к другим

источникам.

202 Глава 6. Частный анализ рыночной системы

да, средства достижения этой цели иные — расходование имею-

щегося денежного дохода на приобретение по сложившимся на

рынке ценам потребительских товаров. В результате в функции

полезности из числа благ мы исключаем свободное время индиви-

да (оно не является объектом купли-продажи); в ограничениях

модели место удельной трудоемкости производства соответствую-

щих потребительных ценностей занимают цены, а времени трудо-

вой деятельности и отдыха — денежный доход. Формулировка

исходной задачи на максимизацию полезности индивида приобре-

тает в этих условиях следующий вид:

тахС/

= и(х^, ..., xj, i = 1, ..., п; (6.1)

при ограничении

где X

—

набор потребительских благ, р — вектор цен на эти това-

ры,

М — денежный доход рассматриваемого потребителя.

Функция Лагранжа (3) будет иметь следующий вид:

U(x^,...xJ

X(M-J^Pi'Xi). (6.2)

Необходимым условием наличия у этой функции максимума

будут равенства ее первых частных производных нулю:

3, = С/, - X

•

;?j

= 0;

=Ui-X'Pi =0; (6.3)

S^=M-^PrX,=0.

Достаточное условие для наличия максимума у задач с не-

сколькими переменными с ограничением состоит в том, чтобы все

«сохраняющие границы основные миноры» (border-preserving

principal minors) ^-го порядка (k = 2, ..., п) матрицы, составлен-

ной из вторых частных производных функции Лагранжа (3^, 3,^^

Zxjy

3^), имели знак (—1)^. При этом под минором ^-го порядка

понимается минор, остающийся после удаления п

—

k строк из

Функция потребительского спроса 203

определителя упомянутой матрицы. Поскольку в последней име-

ется гг + 1 строк и столбцов, постольку минор ^-го порядка имеет

размер (/г + 1)х (А: + IV.

В рассматриваемом случае данное условие соблюдается благо-

даря принятым в рамках ординалистской концепции предпосыл-

кам в отношении функции полезности — дифференцируемая,

возрастающая и строго квазивыпуклая вверх. С учетом этого воз-

вращаемся к анализу системы уравнений первого порядка (6.3).

В этих п + I уравнениях 2п + 2 члена (х^, ..., х„;

р^,...,

^9„; X,

М).

Поскольку якобиан системы уравнений первого порядка сов-

падает с упомянутым выше определителем Гесса и не равен О

(фактически он, как отмечалось, больше нуля), постольку мы мо-

жем решить уравнения первого порядка относительно х^, ..., x„, и

X через р^, ..., р„ и М. В результате получаем:

•^1

=х'^(р^,.,.р^^,МУ,

X; =Xi (р,,...р^,М); (5.4)

^п =х^(р^,...р,,,М)]

Х =

Х^(р„...р^^,МУ

Первые п уравнений системы (6.4) представляют собой

функции спроса рассматриваемого индивида, поскольку они

определяют количество потребительских благ х^, ..., x„, которое

он готов приобрести при имеющемся у него денежном доходе М

и при сложившихся на рынке пропорциях обмена р^, ..., yt?„. Ин-

декс М имеет двойной мнемонический смысл: с одной стороны,

он указывает на то, что одним из параметров, определяющих

спрос, является величина денежного дохода (money income), а

с другой— на то, что такие кривые спроса принято именовать

«маршаллианскими»^.

Подставив решения (6.4) в функцию полезности, получим

следующее тождество:

^ См.: Silberberg, Е. Ор. cit. Р. 175-176.

^ Именно А. Маршаллу принадлежит приоритет в представлении величины

спроса как функции цены при заданном уровне денежного дохода.

204 Глава 6. Частный анализ рыночной системы

и\р,....р,М)^и{х^{р,....р,М),....х^^{р„,..р,,М)). (6.5)

Это — косвенная функция полезности U\p^, ...,

р^^,

М),

дающая максимальные ее значения при различных величинах па-

раметров р- и М.

Из полученной системы уравнений первого порядка (6.3)

можно получить три важных следствия. Первое состоит в том, что

для выведения кривой спроса никакой необходимости в

кардиналистской трактовке полезности нет, так как

иная индексация кривых безразличия, полученная при помощи

монотонной трансформации исходной функции полезности, при-

водит к той же функции cпpoca^ Соответственно для выведения

кривой спроса нет никакой необходимости в опоре на

принцип убывающей предельной полезности^.

Второе следствие заключается в том, что функция спроса яв-

ляется однородной нулевого порядка относительно параметров

p^j

..., yf?„, М. Это прямо вытекает из «условий касания»: очевидно,

что U/Uj = p/pj = (pi

•

t)/(pj

•

t). Таким образом обосновывается

известное положение неоклассики, в соответствии с которым на

принятие индивидами решений оказывает влияние не аб-

^ Кривая спроса может быть выведена из того факта, что при данных про-

порциях обмена максимизирующий полезность товарный набор определяется той

точкой в системе координат, в которой бюджетное ограничение является касатель-

ной по отношению к одной из кривых безразличия. Бюджетное ограничение выра-

жается функцией М

— ILpi •

X, = О, «условие касания»

—

следующей формулой,

прямо вытекающей из уравнений первого порядка: U^Z U: = pj/p.-. Если заме-

нить при помощи монотонной трансформации функцию С/(Х|,...,x„) функцией

У(х,,...,х„) = F(U(x^,...,xJ), то У,- = dV/dU • С/,, а Vj = dV/dU • Uj.

Тогда У^/У

•

= иj/U

•,

т.е. «условие касания» остается тем же самым. Посколь-

ку при монотонной трансформации dV/dU=^F' > О, постольку равенство

F,/

•

= Pi/pj означает, что точке касания кривой безразличия новой функции и

старого бюджетного ограничения соответствует набор товаров, максимизирую-

щий, а не минимизирующий полезность (см.: Silberberg, Е. Ор. cit. Р. 311—312).

^ Доказать это утверждение — это значит показать, что в условиях ордина-

листского подхода к полезности скорость изменения предельной полезности блага

зависит от характера монотонной трансформации функции полезности и, следова-

тельно, не определяет функцию спроса. В самом

д,еле,

поскольку при монотонной

трансформации функции U в функцию V первая частная производная последней

равна V^ - F' • Ui, постольку У, = F' • и^- + F"

•

Uj . В то время как F',

и j и и

•

положительны, однозначно определить знак F'' невозможно. Поэтому

вполне допустимо, что при убывающей предельной полезности блага

по функции

и (т.е. Цц < 0) предельная полезность этого же блага по функции V будет воз-

растающей (если F" > О и F"

•

U- > (-F'

•

U^^)) (см.: Silberberg, Е. Ор. cit.

Р.

312).

Функция потребительского спроса 205

солютный уровень цен, а меновые ценности благ, или

пропорции обмена\

Наконец, третье следствие касается экономической природы

множителя Лагранжа

Из (6.3) следует, что X = U/р^. Это зна-

чит, что прирост полезности на единицу связанных с ее получе-

нием дополнительных затрат в состоянии равновесия должен

быть одинаков для всех благ.

Продифференцируем теперь функцию Лагранжа (6.2) по М\

ЭЗ/ЭМ = X. Поскольку по лемме об огибающей dU*/дМ =

= ЭЗ/ЭМ, постольку Х^ представляет собой предельную полез-

ность денежного дохода рассматриваемого потребителя.

В силу условия локальной ненасыщаемости потребностей А,^ > 0.

Аналогичным образом поступим в отношении параметра р^.

Имея в виду, что по лемме об огибающей dU*/др^ = ЭЗ/Э/?,, по-

лучаем тождество Руа:

dUVdpi =dZ/dp

-Х^^

•

х^. (6.6)

Это выражение характеризует скорость изменения макси-

мальной полезности в зависимости от изменения цены блага,

входящего в потребительский набор. Поскольку Х^ и х,^ — по-

ложительные величины, постольку функция dU*/др^ имеет от-

рицательный наклон. Решая уравнение в отношении х^^ и имея

в виду, что Х^ =

dU*/дМ,

получаем:

эи*/эм' ^ ^

Таким образом, спрос потребителя на г-е благо оказывается

равен взятому со знаком минус соотношению скоростей изме-

нения максимального уровня извлекаемой им полезности в за-

висимости от динамики соответственно цены данного блага и

денежного дохода.

Ключевой вопрос с точки зрения характеристики функции

спроса состоит в следующем: можно ли на основе принятых

^ На деле этот вывод верен только при предположении о наличии у прини-

мающих решения индивидов полной информации относительно реальных величин

их дохода. Но именно это обстоятельство ставится под сомнение сторонниками

концепции «денежных иллюзий». Поэтому попытка создать впечатление, что эта

концепция противоречит строгим законам математики (см.: Silberberg, Е. Ор. cit.

Р.

313), некорректна.

206

Глава 6. Частный анализ рыночной системы

предположений в отношении потребительского поведения точно

определить направление изменения спроса на товар в зависимо-

сти от динамики его цены, цен других товаров, а также динами-

ки денежного дохода потребителя? Для ответа на него вернемся

к системе уравнений (6.3), представив ее в форме системы тож-

деств:

М\ лМ

^/хГ,...,х,7)-Х^-р, ^0;

и,(х^,...,х^')-Х^р.^О;

(6.8)

(/,(хГ,...,хГ)-Х^-р„^0;

Продифференцируем каждое из этих тождеств по цене одного

из товаров, например первого (т.е. по р^):

(/^^.l^l

^^^f—'^

др^

М )

+ ...

Эх

•Р\'

др^

(/,,.

Эх

др,

t7...

Эх

др,

+ ... + U:.,-

Эх

м\

Pi-

дХ I ^м

г" = 0; (6.9)

и.,

Эх.

+ и..

^дх^^

l^Pi J

+ ...

U..

Эх

Эр,

-Рп-

^ЭХ^

Эр,

:0;

-Pi-

(м

-X,

-рз-

0X2

•Рп-

^ЭхГ^

уър

1 J

= 0;

Анализ полученной системы тождеств^ показывает, что знак

скорости изменения спроса на г-е благо в зависимости от измене-

^ См., например: Silberberg, Е. Ор. cit. Р.

326

—

328.

Функция потребительского спроса

207

КИЯ цены на /-й товар (dXj^^/dpj, где i может быть равно /) одно-

значно не определен. Это означает, что, в принципе, кривая спро-

са товара может иметь любой наклон

—

как отрицательный, так и

положительный. Последний случай характерен, как известно, для

товаров Гиффена.

Продифференцировав систему тождеств (6.8) по денежному

доходу (М), получаем:

^11-

'дх^^

дМ

+ U,.

дх

М\

дМ

+...+(/„

дх

м\

дМ

-Р\-

^дХ""

дМ

^п

^дх^

дМ

^и.

^дх^^

дМ

+...+С/,

дМ

•Pi

дМ

^0;

(6.10)

и..

дх

дМ

и^

«2

дх

дМ

+..ли

дх

М\

дМ

-Рп

дХ

дМ

= 0;

\-р,

дМ

•Р2

дх£

дМ

-'•'-Рп-

дх1

дМ

и данная система тождеств, как показывает анализ^ не позво-

ляет сделать определенный вывод в отношении направления из-

менения спроса, теперь уже в зависимости от динамики денежно-

го дохода. Это означает, что наряду с благами, потребление кото-

рых растет с увеличением денежного дохода (нормальные това-

ры),

могут быть и такие, спрос на которые падает при росте

дохода (товары низшего качества).

Отсутствие однозначных выводов в отношении направлений,

в которых воздействуют на спрос на рассматриваемое потреби-

тельское благо изменения товарных цен (как собственной, так и

других благ), с одной стороны, и доходов потребителя — с дру-

гой,

могло бы в значительной степени обесценить весь анализ.

К счастью, благодаря усилиям Е. Слуцкого^ и последующим ис-

^ См.: Silberberg, Е. Ор. cit. Р. 324-326.

^ Slutsky, Е. Sulla Teoria del Bilancio del Consumatore. P.

19 —

23.

208 Глава 6. Частный анализ рыночной системы

следованиям Дж. Р. Хикса^ эффект изменения цен удалось раз-

бить на две части

—

эффект субституции и эффект дохода.

Вопреки хронологии построим изложение на основе подхода

Дж. Р. Хикса. Последний переформулировал исходную модель

максимизации степени удовлетворения потребностей потребителя

на модель минимизации его расходов, необходимых для поддер-

жания заданного уровня удовлетворения потребностей («реально-

го дохода»). Очевидно, что вторая задача является двойственной

по отношению к первой.

ттМ = ^р-

•

Xj, i = 1, ..., п (6.11)

при ограничении

С/(х„ ..., xj = и'.

Функция Лагранжа в этом случае будет иметь следующий вид:

Z^^j^Pi-Xi

X- (и^ -U(x^,...xJ). (6.12)

1=1

Необходимым условием наличия у этой функции минимума

будет равенство ее первых частных производных нулю:

/?!

X •

(7,

= 0;

=p--XUi =0; (6.13)

3,=р,-Х-и,,=0;

=и'^ -U(x^,...,xj

Примем без доказательства, что достаточные условия для на-

личия минимума у функции Лагранжа соблюдаются^. Тогда реше-

ния системы уравнений будут иметь следующий вид:

^ Hicks, J.R. Value and Capital. 2nd. ed. Oxford University Press, London,

1946.

^ Достаточное условие для наличия минимума у задач с несколькими пере-

менными с ограничением состоит в том, чтобы все «сохраняющие границы основ-

ные миноры» (border-preserving principal minors) ^-го порядка (k = 2, ..., п) мат-

рицы, составленной из вторых частных производных функции Лагранжа (3/у, 3/;^,

^V "^хх^' были отрицательными.

Функция потребительского спроса

209

'д:,.

=х,^(р„...,р„,17''); (6.14)

Первые

уравнений системы (6.14) представляют собой,

как

и соответствующие уравнения (6.4), функции спроса рассматри-

ваемого потребителя. Однако

данном случае они определяют

спрос на блага х^ ... х„ при условии, что реальный доход (уровень

удовлетворения потребностей),

а не

денежный (номинальный)

доход рассматривается

качестве заданного.

Их

называют так-

же «хиксианскими» функциями спроса. Частные производные

этих функций

по

ценам характеризуют чистый эффект суб-

ституции (замещения), поскольку реальный доход при этом не

претерпевает изменений. Подстановка решений (6.14)

целевую

функцию (6.11) дает

так

называемую функцию минимальных

расходов, характеризующую наименьшие затраты, необходимые

индивиду для обеспечения заданного уровня удовлетворения по-

требностей при различных товарных ценах:

М\р,..,.,р,,и')

^Ргх\\р„...,р,,и'У

(6.15)

Из (6.13) следует, что p/pj=U/Uj, т.е. «условие касания»

модели на минимизацию расходов, то же, что

и в

модели на мак-

симизацию полезности. В то же время из этих же уравнений выте-

кает, что Х^ = Рх/и^ = ...

рУи^^у т.е. Х^

= \/Х^.

Соответственно

если Х^ представляет собой предельную полезность денежного до-

хода,

то Х^

— предельные издержки полезности.

Представим теперь уравнения (6.13)

виде тождеств подобно

тому, как мы это делали

отношении уравнений первого порядка

функции максимизации полезности:

р,-Х^(р,,...,р„,(/«).Ц(х[^(р,,...,;?„,^Ч...,х^Чр,,-..,;?„,^'))^0;

p,--X^\p,,...,p,,U').U,(x^\p,,,..,p,,U'\...,xi:(p,,.,.,p,,U'))^om^^