Мота А.Н. Конспект лекций по начертательной геометрии

112

3.

Глобоид.

Поверхность глобоида образуется вращением дуги окружно-

сти, плоскость которой, в общем случае, не проходит через ось

вращения (рис. 117, г).

4.

Эллипсоид вращения.

A

D

B

C

i

B

C

D

A

i

g

а б

Рис. 118

Образующая этой поверхности представляет собой эллипс, а

ось вращения совпадает с одной из его осей. Если за ось вра-

щения принять малую ось эллипса [

CD

], то получится сжатый

эллипсоид вращения (рис. 118, а); когда вращение осуществляется

вокруг большой оси [AB ] — образуется вытянутый эллипсоид

вращения (рис. 118, б ).

5.

Параболоид вращения.

Этот вид поверхности образуется вращением параболы во-

круг ее оси, т. е. ось вращения i совпадает с осью параболы

(рис. 119).

i

g

i

g

i

а б

Рис. 119 Рис. 120

113

6.

Гиперболоид вращения.

Вращая гиперболу вокруг мнимой оси получают однополост-

ный гиперболоид (рис. 120, а), а при вращении гиперболы вокруг

ее действительной оси образуется двуполостный гиперболоид

(рис. 120, б ).

7.

Цилиндр вращения.

Эту поверхность получают вращением прямой g вокруг па-

раллельной ей оси i (рис. 121).

8.

Конус вращения.

Поверхность конуса получают вращением прямой g вокруг

оси i, причем образующая g и ось вращения i имеют общую

точку S

: g

I

i

=

S (рис. 122).

Поверхности вращения: тор, сферу, эллипсоид называют

замкнутыми; а параболоид, гиперболоид, цилиндр и конус —

незамкнутыми поверхностями.

S

i

g

Рис.121 Рис.122

Проекции геометрических фигур, входящие в состав опреде-

лителя и однозначно определяющие поверхность вращения, не

дают о ее форме полного представления. Поэтому при задании

поверхности вращения обычно указывают проекции ее оси,

главного меридиана и экватора (или проекции окружности, по

которой поверхность вращения пересекается с плоскостью про-

екций). При этом указывают горизонтальную проекцию

эквато-

ра и фронтальную проекцию главного меридиана, если ось по-

верхности i

⊥

π

1

. Если же ось вращения i

⊥

π

2

, то указывают

фронтальную проекцию экватора и горизонтальную проекцию

главного меридиана.

114

g

2

g

1

i

2

i

2

i

1

i

1

g

2

g

1

g

2

g

1

i

2

g

1

g

2

g

1

g

2

g

1

g

2

i

1

i

1

i

1

i

1

а б в

г д е

Рис. 123

Чертежи на рис. 123 дают представление об ортогональных

проекциях следующих поверхностей: тора (кольца) (рис. 123, а),

сферы (рис. 123, б ), глобоида (рис. 123, в), вытянутого эллип-

соида (рис. 123, г), параболоида (рис. 123, д), однополостного

гиперболоида (рис. 123, е).

При проецировании поверхности Ф на плоскость проекций

(рис. 124) проецирующие лучи касаются этой поверхности в

точках, образующих на ней

некоторую линию l, которая назы-

вается контурной линией. Проекция контурной линии, совпа-

дающая со следом проецирующей поверхности α, называется

очерком поверхности. На эпюре любая поверхность имеет: на π

1

— горизонтальный очерк, на π

2

— фронтальный очерк, на π

3

—

профильный очерк. Очерк включает в себя, кроме проекции

115

линии контура, также проекцию

линии обреза. На рис. 129 фрон-

тальная проекция главного мери-

диана g всех поверхностей вра-

щения совпадает с фронтальным

очерком, а горизонтальная про-

екция экватора на рис. 123, а, б и

г совпадает с горизонтальным

очерком. На рис. 123, в и е гори-

зонтальный очерк поверхностей

образуют проекции линий

горла

и окружностей, являющихся ли-

ниями обреза. У параболоида

вращения (рис. 123, д) горизон-

тальный очерк образует только

проекция окружности (линии об-

реза).

9.6. ВИНТОВЫЕ ПОВЕРХНОСТИ (ПОДКЛАСС 3)

Поверхность называется винтовой, если она образуется винто-

вым перемещением некоторой линии.

Линия g, совершающая винтовое движение, называется обра-

зующей поверхности.

Под винтовым движением g понимают движение, представ-

ляющее собой совокупность двух движений: поступательного

движения, параллельного оси i — T

i

(

g

), и вращательного во-

круг той же оси i — R

i

(

g

).

Определитель винтовой поверхности имеет вид:

Ф

(

g, i ); [

g

j

= T

i

○

R

i

(

g)].

Если образующая g винтовой поверхности прямая линия, а

направляющая — гелиса (см. 8.2.), то поверхность называется

геликоидом.

В зависимости от величины угла наклона образующей к оси,

геликоиды бывают прямыми, если этот угол равен 90°, и косыми

(наклонными), если угол произвольный, отличный от 0° и 90°.

Проекции поверхности косого геликоида, полученного

при

винтовом движении прямой g, пересекающей ось i , показаны

на рис. 125.

Рис. 124

l

p

1

Ô

l

1

≡

h

0

a

116

Образование прямого геликоида аналогично образованию

косого (наклонного). На рис. 126, а дано наглядное изображе-

ние прямого геликоида, а на рис. 126, б — его ортогональные

проекции.

A

3

1

A

2

1

A

1

A

1

h

1 2

h

d

1

g

1

i

2

g

2

d

2

g

2

g

1

A

2

A

1

2

A

2

A

3

2

≡

B

2

i

1

≡

B

1

i

2

B

1

2

B

2

B

3

2

1 0

1

1 1

1

1 2

1

i

1

≡

A

1

2

3

2

4

2

5

2

6

2

7

2

8

2

9

2

1 0

2

1 1

2

1 2

2

A

1

2

A

2

A

3

2

A

5

2

A

6

2

A

7

2

d

2

d

1

9

1

8

1

7

1

6

1

5

1

4

1

3

1

2

1

i

g

d

h

а б

Рис. 125 Рис. 126

Прямые и косые геликоиды подразделяют на открытые и

закрытые. Такое название зависит от взаимного расположения

оси геликоида и его образующей. Если ось и образующая пере-

секаются, геликоид называют закрытым (рис. 125 и 126), а если

скрещиваются — открытым.

117

Лекция 10 (2 часа)

Тема «Поверхности. Сечение поверхности плоскостью»

План

1.

Принадлежность точки поверхности.

2.

Принадлежность линии поверхности.

3.

Алгоритм построения точки, принадлежащей линии пересе-

чение поверхностей.

4.

Пересечение поверхности с плоскостью.

5.

Алгоритм построения точки пересечения прямой с поверхно-

стью.

10.1. ПРИНАДЛЕЖНОСТЬ ТОЧКИ ПОВЕРХНОСТИ (A ⊂ Ф)

В 1.5. отмечалось, что все задачи, решаемые графическим

путем, могут быть условно разделены на позиционные и метриче-

ские.

В этой главе будут рассмотрены различные виды позицион-

ных задач и указаны алгоритмы их решения. Под позиционны-

ми задачами подразумеваются задачи, решение которых позво-

ляет получить ответ об инцидентности (принадлежности) эле-

мента (точки) или

подмножества (линии) множеству (поверхно-

сти). К позиционным относятся также задачи на определение

общих элементов, принадлежащих различным геометрическим

множествам (фигурам); т. е. здесь будут рассмотрены взаимо-

действия поверхностей с геометрическими образами, отражен-

ные в табл. 1 и 5 (см. 1.3).

Все многообразие позиционных задач может быть сведено к

решению задач на инцидентность (принадлежность): 1) A

∈ a;

2) A ∈ Ф; 3) a ⊂ Ф. Вопрос об инцидентности точки прямой

линии был рассмотрен в 2.5. Условие принадлежности точки

любой линии аналогично условию принадлежности точки пря-

мой линии, базирующемуся на инвариантном свойстве 2

(см. 1.5.):

A ⊂ a ⇔ (A

1

∈ a

1

) ∧ ( A

2

∈ a

2

)

Рассмотрим условие принадлежности точки поверхности

(A ∈ Ф).

118

Для того чтобы на чертеже поверхности построить проекции

принадлежащей ей точки, необходимо сначала построить про-

екции какой-либо линии, принадлежащей поверхности, а затем

на этой линии отметить точку.

Поэтому:

A ∈ Ф ⇔ (A

1

∈ a

1

∈ Ф

1

) ∧ (A

2

∈ a

2

∈ Ф

2

) (см. свойство 2, 1.5.), т. е.

точка принадлежит поверхности, если она принадлежит линии,

расположенной на этой поверхности.

Для построения точки, принадлежащей поверхности обычно

выбирают графически простую линию: окружность (для поверх-

ностей вращения), или прямую (для линейчатых поверхностей).

На рис. 127 построена горизонтальная проекция точки A,

принадлежащей поверхности вращения α ( g, i ), по ее известной

видимой фронтальной проекции A

2

(рис. 127).

i

2

a

2

g

1

g

2

A

1

A

2

R

h

2

O

2

R

h

1

a

1

O

1

≡

i

2

Рис. 127

10.2. ПРИНАДЛЕЖНОСТЬ ЛИНИИ ПОВЕРХНОСТИ (

a ⊂ Ф )

Построение линии, принадлежащей поверхности, сводится к

построению точки, принадлежащей поверхности.

119

Линия принадлежит поверхности, если каждая ее точка принад-

лежит этой поверхности.

При построении линии, лежащей на поверхности, опреде-

ляют проекции не одной, а n точек, принадлежащих линии.

Среди точек кривой выделяют опорные точки. К ним относят

экстремальные точки и граничные точки видимости.

Экстремальными точками называют: самую высокую (высшую) и

самую низкую (низшую), крайнюю левую и крайнюю правую, са-

мую далекую и самую близкую точки кривой.

На рис. 128 на линии, принадлежащей поверхности конуса, са-

мая высокая — точка C, а самая низкая — точка A. Точка A яв-

ляется одновременно и крайней левой и самой близкой точкой

кривой. Точка B — самая далекая точка кривой. При построе-

нии этих точек на поверхности конуса проведены параллели

(окружности радиусов: R

1

, R

2

и R

3

).

Видимость проекций кривой, принадлежащей поверхности,

определяют с помощью граничных точек видимости.

Граничные точки видимости кривой, принадлежащей поверхно-

сти, лежат на очерках поверхности и отделяют видимую часть

проекции кривой от ее невидимой части.

На рис. 128 точка D является гра-

ничной точкой видимости для фрон-

тальной проекции кривой. Она лежит

в плоскости α (α

1

= h

0

α

) ||

π

2

, которая

пересекает поверхность конуса по

главному меридиану, совпадающему

с фронтальным очерком конуса.

Граничных точек видимости для

горизонтальной проекции кривой на

рис. 128 нет, так как все горизон-

тальные проекции точек кривой ви-

димы.

Точки кривой, не являющиеся

опорными, называют промежуточны-

ми (произвольными) точками. На

рис. 128 построена одна промежуточ-

ная точка 1

кривой, принадлежащей

поверхности конуса.

Рис. 128

A

1

R

1

R

2

R

3

R

1

R

2

A

2

1

2

D

2

C

2

i

2

g

2

g

1

a

1

≡

h

0

a

1

C

1

D

1

B

1

i

1

B

2

R

3

120

10.3. АЛГОРИТМ ПОСТРОЕНИЯ ТОЧКИ, ПРИНАДЛЕЖАЩЕЙ

ЛИНИИ ПЕРЕСЕЧЕНИЯ ПОВЕРХНОСТЕЙ

Ранее (см. 4.5.) был рассмотрен алгоритм построения точки,

принадлежащей линии пересечения двух плоскостей. В данном

случае будет рассмотрен более общий алгоритм построения точ-

ки, принадлежащей линии пересечения любых поверхностей.

Линией взаимного пересечения по-

верхностей, в общем случае является

пространственная кривая линия:

Ф I Ф

1

= l (рис. 129). Эту линию l строят

по принадлежащим ей точкам K

j

. Каждая

точка на линии принадлежит как по-

верхности Ф, так и поверхности Ф

1

, т. е.

точка K

j

общая для линий m

j

и n

j

, рас-

положенных соответственно на поверх-

ностях Ф и Ф

1

, и принадлежит секущей

поверхности γ

j

. Для построения любой точки необходимо ре-

шить две задачи: первая — на принадлежность линии поверхно-

сти (a ⊂ Ф) (см. 10.2.), вторая — на пересечение линии с линией

(m I n), т. е. на принадлежность точки линии (см. 10.1.).

Одна и та же последовательность построения для любой

точки K

j

лежит в основе следующего алгоритма:

1. Ввести вспомогательную секущую поверхность:

γ

j

2. Построить линии пересечения каждой из поверхностей со

вспомогательной поверхностью:

m

j

= Ф I γ

j

n

j

= Ф

1

I γ

j

3. Определить точку пересечения построенных линий:

K

j

= m

j

I n

j

10.4. ПЕРЕСЕЧЕНИЕ ПОВЕРХНОСТИ С ПЛОСКОСТЬЮ (Ф I α)

(ПОСТРОЕНИЕ СЕЧЕНИЯ)

Если одна из двух пересекающихся поверхностей — плос-

кость, то линия их пересечения является плоская кривая (сече-

ние). Каждая точка кривой строится по алгоритму, рассмотрен-

ному в 10.3. В качестве секущих поверхностей выбирают плос-

Ô

1

Ô

l

n

j

m

j

K

j

g

j

Рис. 129

121

кости γ

j

. Меняя положение секущей плоскости γ

j

и повторяя

многократно последовательность операций, представленных в

алгоритме, получают множество точек K

j

, определяющих пло-

скую кривую l, общую для поверхности Ф и плоскости α:

l = ( K

1

U

K

2

U K

3

U … K

n

); [K

j

= (Ф I γ

j

) I (α I γ

j

)]

Построение сечения поверхности вращения

Для построения сечения поверхности вращения Ф плоско-

стью β находят точки K

j

, принадлежащие как поверхности Ф,

так и плоскости β. В данном случае в качестве вспомогательных

секущих поверхностей выбирают плоскости γ

j

, перпендикуляр-

ные оси вращения поверхности. Если ось поверхности перпен-

дикулярна какой-либо плоскости проекций, то плоскости γ

j

бу-

дут пересекать поверхность Ф по окружностям, а плоскость β по

линиям уровня. Определение точек K

j

сводится к нахождению

точек пересечения прямой с окружностью. Сечение обычно

строят в следующем порядке:

1. Определяют опорные точки;

2. Находят промежуточные точки;

3. Соединяют между собой построенные точки с учетом ви-

димости.

ЗАДАЧА. Построить сече-

ние поверхности Ф(g, i ) плоско-

стью δ ⊥ π

1

(рис. 130).

РЕШЕНИЕ.

1.

В сечении поверхности плос-

костью получается плоская

кривая l, построение которой

начинается с построения экс-

тремальных точек (высшей,

низшей и т. д.). Точка 1 —

самая низкая. Она находится

в плоскости β (β

1

), проходя-

щей через ось вращения i, и

перпендикулярной δ (δ

1

). Го-

ризонтальная проекция ок-

ружности (параллели), на ко-

торой находится точка 1, ка-

сается δ

1

, а фронтальная ее

Рис. 130

d

1

b

1

g

3

2

g

2

g

1

2

g

2

g

4

2

g

5

2

a

2

A

1

3

1

i

1

A

2

1

2

3

2

4

2

5

2

6

2

7

2

9

2

8

2

1 0

2

1 1

2

1 4

2

1 5

2

1 2

2

1 3

2

1

4

1

6

1

1 4

1

1 5

1

9

1

7

1

5

1

g

6

2

i

2

l

1

g

2

Ô

2

Ô

1

g

2

8

1

l

2

l

1

Мота А.Н. Конспект лекций по начертательной геометрии

Подождите немного. Документ загружается.