Мота А.Н. Конспект лекций по начертательной геометрии
Подождите немного. Документ загружается.
102
ность проецируется в натуральную величину (см. 1.5., свойст-
во 2
б ). А на вторую плоскость проекций — в отрезок, равный
ее диаметру d.
Окружность, расположенная в плоскости α, перпендикуляр-
ной плоскости проекций (α
⊥
π
2
, рис. 110, б ), проецируется на
эту плоскость проекций в отрезок (см. 1.5., свойство 2
б), рав-
ный диаметру d, а на вторую плоскость проекций — в эллипс.
Большая ось эллипса [С
1
D
1
] равна диаметру окружности d, а ма-
лая [А
1
В
1
] — проекции диаметра окружности АВ (в данном слу-
чае на плоскость π
1
).
Если плоскость окружности занимает общее положение от-
носительно плоскостей проекций, то ее проекции — эллипсы
(рис. 110, в). Большие оси эллипсов направлены по линиям
уровня плоскости окружности (АВ ⊂ h, А
/
В
/
⊂ f ) и равны ее
диаметру ( | АВ | = | А
/
В
/
| = d
), а малые оси эллипсов принадле-
жат соответственным линиям наибольшего наклона плоскости
окружности (см. 3.6.) к плоскостям проекций (CD
⊥
h ≡ АВ,
C
/
D
/
⊥ f ≡ А
/
В
/
). Длины малых осей эллипсов [С
1
D
1
] и [
/
2
C
/
2
D
]
можно определить с помощью прямоугольного треугольника
(см. 2.7.), так как точки С, D, C
/
и D
/
принадлежат плоскости
окружности и натуральная величина отрезков [С
1
D
1
] и [
/
2
C
/
2
D
]
равна диаметру.
O
2
= C
2
= D
2
A
1
À
2
B
2
a
2
C
1
B
1
D
1
O
1
A
1
À
2
B
2
a
2
C
1
B
1
D
1
O
1
O
2
= C
2
= D
2
d
d
O
1
O
2
h
2
f
2
f
1
h
1
A
/
1
B
/
1
B
/
2
À
/
2
B
1
A
1
C
/
2
B
2
D
/
2
À
2
D
1
C
1
а б в
Рис. 110
103
Окружность в аксонометрии
В общем случае окружность проецируется в эллипс, если
плоскость окружности расположена под углом к плоскости про-
екций. Следовательно, аксонометрией окружности является эл-
липс.
Построение аксонометрии окружности, расположенной в
проецирующей плоскости или плоскости общего положения,
аналогично построению аксонометрии любой кривой.
Для построения прямоугольной аксонометрии окружности
лежащей в координатных или им параллельных плоскостях
нужно определить:
1.
Координаты центра окружности.
2.
Направление большой оси эллипса (аксонометрии окружно-
сти).
3.
Длины большой и малой осей эллипса (аксонометрии ок-
ружности).
Координаты центра эллипса, являющегося аксонометриче-
ской проекцией окружности, определяют с помощью коорди-
натной ломаной (см. 1.6., рис. 11).
Направление большой
оси эллипса (аксонометрии
окружности) определяют по
следующему правилу:
большая ось эллипса перпен-
дикулярна отсутствующей
координатной оси в плоско-
сти расположения окруж-
ности.
В прямоугольной изо-
метрии окружности равных
размеров, расположенные в
координатных плоскостях,
проецируются в эллипсы
одинаковые по форме и
размерам (рис. 111).
Рис. 111
3
0
2
0
4
0
1
0
C
0
B
0
D
0
A
0
3
0
2
0
4
0
1
0
C
0
B
0
D
0
A
0
C
0
A
0
1
0
D
0
4
0
2
0
B
0
3
0
z
0
y
0
x
0
O
0
104
Построение овала, приближенно заменяющего прямоугольную
изометрическую проекцию окружности
Пусть заданы проекции окружности, расположенной в плос-
кости α
(α || π
1
), с центром в точке О и диаметром d (рис. 112, а).
O
3
O
4
O
1
O
2
d
x
2
z
2
O
2
≡
y
2
O
1
≡
z
1
x
1
y
1
a
2
A
B
D
C
z
0
x
0
y
0
0 , 7 1 d
1 , 2 2 • d
C
0
D
0
B
0
A
0
R
r
O
0
а б
Рис. 112
Отнесем окружность к прямоугольной системе осей коорди-
нат x y z так, чтобы начало осей координат совпало с ее цен-
тром. Тогда координаты центра окружности О
0
(0, 0, 0).
Плоскость окружности α совпадает с плоскостью хОу. В
этой плоскости отсутствует ось z, поэтому на рис. 112, б ось эл-
липса [А
0
В
0
] ⊥ z
0
(см. правило), а ось [С
0
D
0
] ⊥ [А
0
В
0
]. Длины
осей эллипса в изометрии определяют построением
(рис. 112, а): |СD | = 0,71
d — малая ось эллипса определяется,
если соединить точки пересечения заданной окружности с про-
екциями осей координат (х
1
⊥ у
1
) или любыми двумя ее взаимно
перпендикулярными диаметрами; | АВ | = 1,22 d — большая ось
находится с помощью точек пересечения двух дуг, радиус каж-
дой из которых равен |CD |, а центрами являются точки
C и D.
Определив координаты центра, направление большой и ма-
лой осей эллипса и их длины, строят четырехцентровой овал
(рис. 112,
б). Оси овала [А
0
В
0
] и [С
0
Д
0
] равны соответственно
отрезкам [АВ
] и [СD
] на рис. 112, а.
Из точки О
0
как из центра проводят дуги окружности радиу-
сом, равным малой полуоси и отмечают центры О
1
, О
2
и точки
105
С
0
, D
0
. Затем из того же центра проводят дуги окружности ра-
диусом, равным большой полуоси и отмечают центры О
3
, О
4
и
точки А
0
, В
0
. Овал образуют сопряженные дуги окружностей
радиуса r = |О
1
А
0
| = |О
2
В
0
|, проведенные из центров О
1
и О
2
и
радиуса R = |О
3
D
0
| = |О
4
С
0
|, описанные из центров О
3
и О
4
.
106
Лекция 9 (2 часа)
Тема «Поверхности»
План
1.
Понятия и определения.
2.
Образование поверхности и ее ортогональные проекции.
3.
Определитель поверхности.
4.
Классификация поверхностей.
5.
Поверхности вращения.
6.
Винтовые поверхности.
9.1. ПОНЯТИЯ И ОПРЕДЕЛЕНИЯ
Одним из самых разнообразных и важных геометрических
образов (см. 1.3., табл. 1) считают поверхность. По своему зна-
чению при формировании различных геометрических фигур, по
той роли, которую они играют в науке и технике, поверхности
не имеют себе равных среди других геометрических образов.
В математике под поверхностью понимают непрерывное множе-
ство точек, между координатами которых может быть уста-
новлена зависимость, определяемая в декартовой системе коор-
динат уравнением вида F (x, y, z) = 0, где F (x, y, z) — многочлен
n-ой степени или какая-либо трансцендентная функция.
В зависимости от вида F
(
x, y, z) поверхности называют ал-
гебраическими или трансцендентными.
В начертательной геометрии поверхность рассматривают как
совокупность всех последовательных положений перемещаю-
щейся в пространстве линии.
9.2. ОБРАЗОВАНИЕ ПОВЕРХНОСТИ И ЕЕ ОРТОГОНАЛЬНЫЕ
ПРОЕКЦИИ
Как отмечалось ранее, поверхностью называют множество
последовательных положений некоторой линии g
j
, перемещаю-
щейся в пространстве по определенному закону. Закон переме-
щения линии задают графически с помощью совокупности ли-
ний {d, …} и описания характера перемещения.
107
Перемещающаяся линия в процессе образования поверхно-
сти может оставаться неизменной или менять свою форму, быть
прямой (
j
g
) или кривой (
j
g
~
) линией. Подвижная линия назы-
вается образующей, неподвижные линии {d, …} — направляющи-
ми.
Описанный способ образования поверхности называют ки-
нематическим. Кинематическим способом можно образовать и
задать на чертеже разнообразные поверхности.
9.3. ОПРЕДЕЛИТЕЛЬ ПОВЕРХНОСТИ
Кинематический способ образования поверхности позволяет
определить ее как геометрическое множество (место) всех по-
ложений линии, движущейся в пространстве по определенному
закону.
При таком подходе к образованию поверхности можно ут-
верждать, что поверхность задана, если в любой момент дви-
жения образующей известны ее положение и форма, что по-
зволяет однозначно ответить на вопрос, принадлежит ли точка
пространства данной поверхности или нет. Поэтому определи-
телем поверхности считают необходимую и достаточную сово-
купность геометрических фигур
и связей между ними, которые
однозначно определяют поверхность.
Итак, определитель поверхности состоит из двух частей:
1.
Совокупность геометрических фигур, участвующих в обра-
зовании поверхности.
2.
Закон перемещения образующей.
Первую часть определителя называют геометрической (Г ), а
вторую — алгоритмической (А ). Чтобы отличать геометрическую
часть от алгоритмической, последнюю, при записи структурной
формы определителя, заключают в квадратные скобки:
Ф( Г ); [ А ].
В этой условной записи: Ф — поверхность, (Г )
— геометри-
ческая часть определителя поверхности Ф, [ А ] — алгоритмиче-
ская часть определителя поверхности Ф.
9.4. КЛАССИФИКАЦИЯ ПОВЕРХНОСТЕЙ
С геометрической точки зрения классификация поверхно-
стей не может иметь научного обоснования, так как многообра-
зие поверхностей и способов их получения не имеет предела.
108
Однако для облегчения процесса изучения поверхностей, целе-
сообразно произвести их систематизацию, в основу которой
может быть положен их определитель.
По геометрической части определителя все многообразие
поверхностей можно разделить на два класса:
первый класс — нелинейчатые поверхности, образующие кото-
рых
j
g
~
— кривые линии;
второй класс — линейчатые поверхности, образованные пря-
мой линией
j
g
(рис. 113).
По алгоритмической части определителя (закону движения
образующей) из первого и второго классов выделяют три под-
класса (рис. 113).
i
d
~
g
g
~
d
~
К л а с с I
П о в е р х н о с т и
н е л и н е й ч а т ы е
К л а с с I I
П о в е р х н о с т и
л и н е й
ч а т ы е
П о д к л а с с 1
Ф (
g
,
d
) ; [
g
j
= T
d
(
g
) ]
П о д к л а с с 2
Ф (
g
,
i
) ; [
g
j
= R
i
(
g
) ]
П о д к л а с с 3
Ф (
g
,
i
) ; [
g
j
= T
i
(
g
)
R
i
(
g
) ]
i
i
i
g
~
g
~
g
g
Рис. 113
109
Подкласс 1 — поверхности параллельного переноса. Они обра-
зуются поступательным движением образующей линии. Выра-
жение T
d
(
g) — поступательное движение вдоль d, указывает в
определителе поверхностей на характер движения образующей
g: Ф
(
g, d ); [
g
j
= T
d
(
g)].
Подкласс 2 — поверхности вращения. Их получают вращением
образующей g. Выражение R
i
(
g
) — вращение вокруг оси i
. Оп-
ределитель поверхностей вращения: Ф
(
g, i ); [
g
j
= R
i
(
g)].
Подкласс 3 — винтовые поверхности, созданные винтовым
перемещением образующей. Их определитель: Ф
(
g, i );
[g
j
=T
i
○
R
i
( g )], где T
i
○ R
i
( g ) — совокупность двух движений:
параллельного перемещения по оси i и вращения вокруг оси i.
Поверхности подклассов 1, 2 и 3 имеют одинаковую геомет-
рическую часть определителя. В зависимости от вида образую-
щей (кривая или прямая) поверхности параллельного переноса,
вращения и винтовые могут быть отнесены как к первому (
g
~
—
кривая), так и ко второму (
g
— прямая) классам (рис. 113).
Поверхности параллельного переноса (подкласс 1)
Поверхности параллельного переноса образуются поступатель-
ным перемещением плоской линии, при этом образующие поверх-
ности всегда параллельны между собой.
A
d
A
/
~
g
1
~
g
g
2
g
3
g
n
d
Рис. 114 Рис. 115
На рис. 114 показано образование такой поверхности. Под
параллельными кривыми линиями подразумеваются линии, по-
лученные одна из другой путем параллельного переноса при-
надлежащих им точек на некоторое одинаковое расстояние. Оп-
ределитель поверхности параллельного переноса имеет вид
Ф
(
g, d ); [
g
j
= T
d
(
g)].
110
В геометрической части определителя входят две линии (об-
разующая g и направляющая d
), которые могут быть как пря-
мыми, так и кривыми линиями. Если образующая
g
и направ-
ляющая
d
— прямые, поверхность параллельного переноса яв-
ляется плоскостью (рис. 115).
Рассмотрим более подробно поверхности, входящие в под-
класс 2 и 3.
9.5. ПОВЕРХНОСТИ ВРАЩЕНИЯ (ПОДКЛАСС 2)
Поверхностью вращения общего вида называется поверхность,
образованная вращением произвольной кривой линии вокруг непод-
вижной оси.
Геометрическая часть определителя поверхности вращения
(рис. 116) состоит из образующей g и оси вращения i, а алго-
ритмическая часть содержит условие о том, что образующая g
вращается вокруг оси i:
Ф
(
g, i ); [
g
j
= R
i
(
g)].
Окружности, которые описывают точки образующей (А, В,
С, D, E) при вращении вокруг оси i называются параллелями.
Центры всех параллелей лежат на оси i
. Параллель наибольше-
го радиуса называют экватором, а параллель наименьшего ра-
диуса — горлом (шейкой).
b
a
A
B
C
D
E
ã î ð ë î
ì å ð è ä è à í
ï à ð à ë ë å ë ü
ý ê â à ò î
ð
ã ë à â í û é
ì å ð è ä è à í
g
î ñ ü i
Рис. 116
111
Плоскости, проходящие через ось поверхности вращения,
называют меридиональными, а линии, по которым они пересека-
ют поверхность — меридианами.
Меридиональную плоскость α, параллельную плоскости
проекций называют главной меридиональной плоскостью, а линии
ее пересечения с поверхностью вращения — главным меридиа-
ном.
У поверхности вращения главное меридиональное сечение
представляет собой одну или две кривые линии
, симметрично
расположенные по отношению к оси поверхности вращения.
Особенно распространены поверхности вращения, имеющие в
меридиональном сечении кривую второго порядка или две пря-
мые, на которые распадается эта кривая.
Рассмотрим некоторые частные виды поверхности враще-
ния:
1.
Тор.
Тором называется поверхность, образованная вращением окруж-
ности g вокруг оси
i
, принадлежащей плоскости окружности и
не проходящей через ее центр.
В зависимости от соотношения величин R (радиус образую-
щей окружности) и t (расстояние от центра окружности до оси
вращения) различают следующие поверхности тора:
открытый тор (кольцо) при R < t (рис. 117, а);
закрытый тор при R
> t (рис. 117, б ).
i
g
R
t
R
t
i
i
g
R
R
g
i
g
O
O
O
O
а б в г
Рис. 117
2.
Сфера.
Сфера образуется вращением окружности вокруг оси, прохо-
дящей через ее центр O
∈
i . Поэтому сферу можно считать ча-
стным случаем тора, у которого t = 0 (рис. 117, в).