Мордухай-Болтовской Д.Д. Философия, психология, математика

Подождите немного. Документ загружается.

можно петь на различные мотивы, и одна и та же, даже бедная, мысль

может рождать различные полосы чувственных переживаний и связанных

с ними образов,

И то же следует сказать о средневековой поэзии. Ведь все те же

евангельские проповеди и события повторяются и в молитвах, и в религи-

озных стихах. Содержание бедно. Но как богат в них мир душевных пере-

живаний!

Христос и Божья Мать являются св. Бернарду, Франциску и дру-

гим,

но всякий раз в другом виде.

И в мрачных проповедях св. Бернарда, звучащих как погребаль-

ный колокол, и в кротких проповедях Франциска мы слышим разные мо-

тивы,

мы улавливаем разные чувства.

В прекрасной средневековой песне "Stabat mater dolorosa"

, как и

в Троице Рублева, ярко светит средневековая верующая и ищущая подвига

душа.

Ярче, чем самое вдохновенное стихотворение настоящего време-

ни,

она воскрешает, с одной стороны, на кресте образ подвижника, прино-

сящего себя в жертву идее, с другой стороны - страдающую за сына мать,

идущую вместе с сыном на великий подвиг.

Эмбриология современной науки.

Я все говорил о воле и чувстве. Я указывал на то, что интеллектуально

средневековье следует поставить ниже эпохи Возрождения. Но можем ли

мы сказать, что здесь только пустое место!

Мы можем непосредственно проследить жизнь ребенка начиная с

его рождения, но моисем ли мы сказать, что до этого ничего ие было! Пси-

хологический подход к истории подводит нас к вопросам эмбриологии идей.

И все основные научные идеи имеют свою, так сказать, утробную жизнь.

Математические идеи сперва родятся в форме смутных метафи-

зических идей и только затем развиваются в математические, ищущие себе

обоснования.

Эти эмбрионы всегда вначале имеют эмоциональную окраску, вы-

зываются чувственными переживаниями. Сперва бесплодные, без всяких

выводов, они подвергаются только анализу и пока ничего не объясняют.

Чтобы они приобрели объясняющую силу, необходимо их дозревание. Бо-

лее того, необходимо чтобы в борьбе за существование они взяли верх над

другими многочисленными эмбрионами-идеями, подымающимися вмес-

те с ними. И эти другие должны заглохнуть, как глохнет молодняк, из кото-

рого дорастают до большого дерева только избранные.

Но тонкое исследование средневековой мысли принадлежит буду-

щему.

442

Ведь здесь приходится выслеживать мелкие ростки, порой очень

мало похожие на те растения, в которые они потом обратятся.

уверен, что только тогда вместо постоянно подчеркиваемой бед-

ности откроется богатство идеи, правда, находящихся только в эмбрио-

нальном состоянии. В иных случаях обнаруживается возможность экстра-

полирования, т.е. построения дальнейшего возможного развития задержан-

ных в развитии идей.

Обычно стараются представить средневековую мысль совершенно

бессодержательной,

опер1фующей

только словами. Но здесь глубочайшее

непонимание средневековья, которое оперирует ие словами, а понятиями.

Я скажу более, что именно средневековье богато понятиями, что оно вла-

деет тонкими их различиями, которые теряются следующими эпохами.

Снллогастические операции рационалистов оказываются возможнымитоль-

ко при упрощении этих понятий, при исключении всех тех плоскостей су-

ществования, на которых оперирует схоластическая мысль.

§10. Рождение бесконечности.

Укажем наиболее существенную заслугу средневековой мысли. Это - со-

здание научного понятия о бесконечности, причем в этой бесконечности

средневековая мысль находит себе смерть. Она в начале, так античная

мысль, живет конечным, живет на земле, на которую опускается Бог, кото-

рый страдает, как человек, но, оставляя землю, не порывает связь с ней.

Дантова вселенная с ее приближающимися

Богу сферами, со всей

этой мировой гармонией, управляемой ангелами, так не похожа на. совре-

менную вселенную - на этот мрачный ад, в котором гармоническое пра-

вильное движение планет является только исключением, а правилом - бес-

порядочное движение звездных потоков, в недрах которых происходит не-

прерывная гибель звезд н конечная судьба которой

—

тепловая смерть.

Конечно, в дантову вселенную теперь уже никто не верит. Музыка

сфер перестала звучать в наших ушах. Но согласитесь, что эти образы были

прекрасны, и душа, их создавшая, была тоже прекрасна. И вот кристалли-

ческие сферы разбиты, и открылись пути к бесконечности...

Но вместе с тем Бог ушел от человека, он устремился ввысь, куда

устремляются крыши готических колоколен и вместе с ними и душа сред-

невекового человека.

Средневековая мысль должна была умереть вместе с исчезнувшей

готической архитектурой. Но звук от оборванных струн слышался еще дол-

го...

И в настоящее время он еще слабо звучит, когда мы забываем о суто-

локе современной жизни.

В полумраке средневекового мышления медленно совершается про-

цесс рождения актуальной бесконечности, которая мыслится сначала

Богом, оказывающимся вне аристотелевых категорий, выше субстанции, а

443

потому и без формы, но это уже не несовершенство, как для античной мыс-

ли,

а наоборот, признак высшего совершенства.

За бесконечностью Бога выдвигается бесконечность его творений,

таге как бесконечной причине отвечает бесконечный эффект. Таким обра-

зом,

мысль подходит к бесконечности вселенной. Но средневековая мысль

все-таки не выходит за границы античных кристаллических сфер и не ре-

шается объявить вселенную бесконечной, Даже Коперник еще не вполне

освобождается от этих сфер.

Путь же

бесконечность открывает только Бруно, который уже впол-

не подходит к современному представлению вселенной, по мнению кото-

рого звезды такие же системы, как наше солнце, окруясенкое планетами.

Следующий этап - это математическая бесконечность. Николая

Кузаиского следует отнести к промежуточной степени, на которой матема-

тизируется космическая бесконечность.

Бог и его творение сперва только чувствуются, затем начинают

мыслиться как сверхлогическая бесконечность, которая затем переносится

в область логического.

Мы видим, что(колыбелью даже самых абстрактных идей является

чувство. Из него родится и воля, приводящая к действию, из него родится

и мысль.

Мы видим, что средние виса, которые главным образом принадле-

жат чувству, были и колыбелью мысли. Наши абстракции, бледные как'

вечерний туман, постепенно обращающиеся в бессодержательные симво-

лы,

которыми работает современная наука, как фабрик! работает колеса-

ми,

- раньше были живыми, заставлявшими биться сердца, чувствами.

Поймем же, наконец, средние века, увидим в них юность челове-

чества и пожалеем в них многое, что мы жалеем в нашей ушедшей и ни-

когда уже не возвращающейся юности.

ПРИЛОЖЕНИЯ

/. МАТЕМАТИКИ И ВЫЧИСЛИТЕЛИ.

В воскресенье, 1 апреля состоялось, при большом стечении публики, об-

щее собрание Общества Естествоиспытателей при СКГУ, на котором были

сделаны доклады, посвященные анализу ума и работы вычислителей и

математиков в собственном смысле.

Ознакомление широкой публики с этими вопросами имеет важное

значение вследствие переоценки феноменальных вычислителей в ту или

другую сторону.

Основное положение, защищаемое в моем докладе "Психология

математического мышления", состоит в том, что феноменальные вычисли-

тели,

вроде Диаманди и Иноди, признаются патологическими типами ма-

тематического ума, в котором все психические элементы, необходимые для

математика, даны, но только в ненормальных пропорциях: с гипертрофией

некоторых из них в ущерб другим элементам числовой памяти, причем

более воспринимающей, чем удерживающей. В подтверждение этого,

опи-

сал по своему самонаблюдению процесс собственной умственной работы,

в котором выявились те же способности, но в несравненно меньшей дозе,

чем у Шишкина, и в большей, чем у нематсматиков. Демонстрирование

воспроизведения большого числа знаков числа 71 сделано не столько для

выявления хорошей числовой памяти у математшеа-профессионала, как

для ознакомления с процессом воспоминания при нормальной ассоциа-

тивной памяти, резко отличающейся от конкретно-зрительной памяти Н.

Н. Шишкина, демонстрировавшего такой же опыт.

Так как сила феноменальных вычислителей лежит в их числовой

памяти, то в докладе главное внимание обращено на анализ памяти мате-

матика. Указано, что наряду с вычислителями типа Н. Н. Шишкина суще-

ствует еще другой тип вычислителя, не обладающего феноменальной зри-

тельной числовой памятью, а особой памятью на числовые отношения,

быстротой в вычислениях, значительно превосходящий первый тип. В то

время, как вычислители этого второго типа ие могут экспериментировать с

рядами 5-б-значных чисел, читая их прямо, в обратном порядке, по диа-

гонали, по спирали, - вычислители первого типа не могут выдержать "строч-

ки",

т.е, быстро идущего за словесным заданием производства ряда дей-

ствий над двухзначными числами. Присутствовавший на докладе В. С. Ро-

зенталь, обладающий редкой способностью быстрого счета, демонстриро-

вал свои опыты быстрого счета, выдерживая длинную строчку, умножая

пятизначные числа в 30 секунд, складывая длинный ряд пятизначных чи-

сел мгновенно и т.д.

445

Дальше в докладе был произведен психологический анализ само-

го процесса математического мышления, обнаруживший огромную роль

подсознательной работы в выборе и проверке гипотез, всплывающих за-

тем за поры сознания. Проведена параллель мелсду математиком и фило-

софом, как типом сознательного мыслителя. Исследован математический

ум в отношении быстроты, остроты, глубины и широты. Выявлены три

основные типа математического ума: алгебраический, геометрический и

аналитический (иначе - логический), причем указаны "симбиозы" их спо-

собностей: первого с способностями филолога, второго - художника, тре-

тьего - философа. Присутствовавшим на докл. проф. А. И. Ющенко были

даны ценные указания по предмету доклада кис относительно типов ума,

нормального и патологического, так и относительно некоторых результа-

тов психологического анализа докладчика, в особенности относительно

апперцепции, которую проф. А. И. Ющенко понимает, как процесс более

сложный, чем думает докладчик, включающий и подсознательные элемен-

ты.

Большой интерес возбудил доклад ассистента

Ы.

М. Нестеровича о

приемах быстрого счета: умножения, возведения в степень, извлечения

корней, как нечетной, так и четной степени. Эти приемы употребляются

вычислителями, преимущественно имеющими математическое образова-

ние, как например, Н. Н. Шишкин. Эти приемы имеют и некоторое мето-

дическое значение, и знание их полезно и для преподавателей.

Такой доклад, конечно, не следует понимать в смысле разоблаче-

ния,

ашгулнрующего способности феноменальных вычислителей, которые

в глазах математиков от этого становятся не менее интересными, являясь

своего рода "математическими артистами", соединяющими свои удивитель-

ные способности с эстетическим элементом красивых приемов вычисле-

ний.

И Эволюция понятия функции в прошлом и настоящем

Метафизическим предком функции, притом сперва функции от време-

ни,

является форма Дунса Скотта

с формальностями, разрешающая спор

о том, какой из аристотелевских элементов субстанции - материя или фор-

ма - изменяется при изменении субстанции. Формальности или формы

форм при математизации становятся значениями переменного.

Впервые это метафизическое понятие подвергается математи-

зации у схоластика Орезма

(ученика Оккама) в его учении о широтах н

долготах.

Полную математизацию следует относить не к Декарту, а к Нью-

тону'

, которым флюэнта мыслится как функция универсального независи-

мого переменного - времени.

446

Лейбницианская

функция это то, что строится для точки кри-

вой.

Такое понимание является конструктивно-геометрическим.

5. Первоначальное эйлеровское

понимание - это конструктив-

но-аналитическое (фуикция=выра>1сение).

7. Принцип непрерывности Эйлера (т.е. продолжаемость графика

за заданную дугу) соединяет оба направления Ньютона и Лейбница, т.е.

динамическое и конструктивное.

7. Разрывные эйлеровскис функции подводят к графическому по-

ниманию функции.

8. Динамическое" понятие функции от х (то, что меняется вместе с

х),

происходящее от флюэиты, никогда ие является в чистом виде, а всегда

соединено с инструктивным.

9. К понятию функции, как соответствия, наука подходит только

после развития теории множеств, причем далее у Дирихле

оно не вполне

выявлено и точная формулировка впервые повляется у Таннери.

10.

Необходимость выхода из чисто конструктивного понятия не-

сомненно сознается улее в ходе споров о функциях, выражаемых тригоно-

метрическими рядами.

П. Понятие о многозначной функции вещественного переменного

вполне выявляется только после создания Коши теории функции комплек-

сного переменного.

12.

Сужение понятия функции выставлением требования ее про-

должаемости находим у Эйлера, Моргана

в его постулатах

Вейерштрас-

са

в аналитическом продолжении функции.

13.

Понятие функции Всйерштрасса требует коренных изменений

в теории дифереициальных уравнений, созданной на основании конструк-

тивного ее понимания.

14.

То, что следует признать за решение или интеграл при конст-

руктивном понимании, улее молсет не явиться таковым при венерштрассо-

вом.

15.

Современная теория функций вещественного переменного, рас-

ширяющая понятие функции устранением ряда подразумевавшихся свойств

(например, существования производной), ведет к изучению патологии ди-

фереициальных уравнений, в которой и само диферсицлальное уравнение

оказывается имеющим бесконечное число значений (в зависимости от кри-

вых Q, "по которым" взята производная), решение лее молсет содерлсать

произвольности высших порядков. (Например, вместо произвольных по-

стюяшшх-произвольные функции).

16.

Интуитивистическая точка зрения Вейля

сулсивает понятие

функции и, ставя ее в зависимость от ее построяемости, вносит в ее поня-

тие время и тем сближается с ньютоновским.

17.

Препозиционную функцию в математической логике молено

рассматривать как дальнейший путь к обобщению понятия функции.

447

Дололсено на заседании Физико-Математической Конференции 29

сентября 1936 г.

III. ПРИНЦИП ДОСТАТОЧНОГО ОСНОВАНИЯ

В МЕХАНИКЕ И В ГЕОМЕТРИИ

Принцип достаточного основания, сформулированный Лейбни-

цем и Вольфом, как метафизический принцип, допускает математическую

формулировку и в ней - применения к механике и геометрии,

Преледе всего заслулшвает внимания приложение его к выводу

правила параллелограмма сил.

При лейбницианском определении параллельных, является воз-

молсным логический вывод аксиомы о параллельных с помощью принци-

па достаточного основания.

То лее следует сказать о теории конгруэнции и подобия; за теори-

ей подобия К. Вольфа остается хотя бы методическое значение.

5. Закон инерции, согласно Эйлеру, является следствием пршщипа

достаточного основания.

6. Тот же принцип находит себе применение в теории удара.

БИБЛИОГРАФИЯ

(По изданию: СЕ. Белозеров, СИ. Миссерова, В.А. Ткачева. Механико-

математический факультет (библиографический сборник). Вып. 2. Ро-

стов-иа-Дону. 1972.)

1898

Задачи по математике. Варшава. 1898-1899. Литографированное издание.

1899

Задачник по дифференциальному и интегральному исчислению. Харьков.

1899-1900. С. 197. Литопэафггоованное издание.

Задачи по приложениям дифференциального и интегрального исчислений.

Варшава. 1899-1900. 384 с. (литогр.).

1900

Задачи по дифференциальному и интегральному исчислениям. Варшава.

1899-1900. 197 с. (литогр.).

Задачи по интегрированию функций. Варашава. 1900. 149 с. (литогр.).

1902

К теории абелевых интегралов. Протоколы заседаний и труды общества

естествоиспытателей при Варшавском университете. XIII, 1902 //Про-

токолы отделения физики и химии. № 1. С. 3 (не иапеч.).

Об одном обобщении теоремы Абеля // Сообщения Харьковского матема-

тического общества. Серия 2. 1902. Т. 7. №6. С. 268-283.

Об инвариантных преобразованиях ультраэллиптических интегралов //

Сообщения Харьковского математического общества. Серия 2. 1902.

Т. 8,№ 1-3. С. 1-67.

1903

Задача по дифференциальным и интегральным исчислениям. Издана студ.

М. Верника. 1902/03. Варшвава. 1903. 210 с,

О некоторых биноминальных интегралах, приводимых к эллиптическим и

ультраэллиптическим интегралам. Варшава. 1903. 10 с.

О приведении абелевых интегралов к ультраэллиптическим интегралам

первого класса // Известия Варшавского политехнического ин-та. 1903.

Вып.

1. С. 1-87.

1904

К учению Д. Бернулли о нравственном имуществе и нравственном ожида-

нии // Протоколы заседаний

труды обцества естествоиспытателей при

Варшавском университете. XIV, XV. 1903-1904. Протоколы отделения

физики и химии. № 1. С. 8-11.

Систематический сборник элементарных упражиештй по дифференциаль-

ному и интегральному исчислениям. Вып. 1. Теория пределов, диффе-

ренцирование и интегрирование функций. Варшава. 1904. 426 с.

То же на польском языке.

449

1905

450

О приведении абелевых интегралов к низшим трансцендентным // Извес-

тия Варшавского политехнического института, 1905. Вып. 1. С. 1-96.

То же: Известия Варшавского политехнического института. 1905. Вып. 2,

XV. 407 с.

Об определении в конечном виде абелевых

HHreqjaflOB

// Математический

сборник. 1905. Т. 26. Вып. 1. С. 51-94.

1906

О некоторых биноминальных интегралах, приводимых к эллиптическим и

ультраэллиптическим интегралам // Протоколы заседания и труды об-

щества естествоиспытателей при Варшавском университете. XIV, XV.

1903-1904. Протоколы отделения физики и химии. № 7. Варшава. 1906.

С.

42-51.

О приведении абелевых интегралов к низшим трансцендентным. Варша-

ва.

1906. XV. 407 с.

1907

Математические и умозрительно-философские исследования основного

психо-физического закона. Варшава. 1907. 52 с.

О законе непрерывности // Вопросы философии и психологии. 1907. Кн.

87 (2). С. 168-184.

Тоже:М. 1907. 19 с.

О кривизне плоских кривых. Варшава. 1907. 32 с.

О некоторых арифметических свойствах регулярных интегралов линейных

дифференциальных уравнений // Математический сборник. 1907. Т.26.

Вып.

2. С. 130-198.

Об одном обобщении дифференциального уравнения Эйлера // Известия

Варшавского политехнического института. 1907. Вып. 2. С. 1-15.

Общие исследования, относящиеся к интегрированию в конечном виде

дифференциальных уравнений первого порядка// Статья 1. Сообще-

ния Харьковского математического общества. Серия 2. 1907. Т. 10. №

С. 34-64.

Общие исследования, относящиеся к шгтегрнрованию в конечном виде

дифференциальных уравнений первого порядка // Статья 2. Сообще-

ния Харьковского математического общества. Серия 2. 1907. Т. 10. №

5, 6. С. 231-270.

Систематический сборник элементарных упражнений по дифференциаль-

ному и интегральному исчислениям. Вып. 1. Теория пределов, диффе-

ренцирование и интегрирование функций. Варшава. 1907. 425 с.

1908

Курс дифференциального интегрального исчисления. Ростов-на-Дону.

1908.

Листы 1-9 (литографированный курс).

О кривизне плоских кривых // Известия Варшавского политехнического

инсппута. 1908. Вып. 2. С. 1-32.

О преобразовании ультраэллиптических интегралов 1-го класса формы

общества. Серия 2. 1908. Т. 10. № 5-6. С. 202-216.

Практические упражнения по аналитической геометрии. Новочеркасск. Изд.

студентов Донского политехнического ин-та. 1908.

Психология математического мышления // Вопросы философии и психо-

логии. 1908. 19. Кн. 4 (94), С. 491-534.

1909

Аналитическая геометрия. Курс лекций. Варшава. 1909. (литографирован-

ный курс).

Арифметика теоретическая. Лекции, прочит, на 1 курсе Высших женских

курсов при Варшавском университете. [Варшава!. 1909. С. 50 (литогр.).

Василий Афанасьевич Аиисимов. Некролог // Известия Варшавского по-

литехнического института. 1909. С. 1-14 с портр. Список печатных

трудов 28 назв.

Курс дифференциального и интегрального исчисления. Варшава. 1909.

Литографированное издание.

Курс дифференциального и интегрального исчислений. Лекции, читанные

в Донском политехи, ии-те в 1908-1909 гг. Новочеркасск. Изд. студ.

Джевулского. 1909. 398 с.

Курс дифференциального и интегрального исчислений. Новочеркасск. 1909.

Листы 10-14. Литографированное издание,

Курс дифференциального и интегрального исчислений. Ростов-на-Дону,

лит. И. Я. Алексаиова. 1909, 224 с. с черт.

О геометрических построениях с помощью алгебраических кривых. Вар-

шава. 1909. 23 с.

О спрямляемой сумме дуг алгебраической кривой // Известия Варшавско-

го политехнического инсппута. 1909. Вып.1

С.

1-6.

Об интегрировании линейных дифференциальных уравнений в конечном

виде // Варшавские университетские известия, 1909, № 8. С. 1-16; №

9. С. 17-48.

Об одном приложении исследований Врио и Букэ, относящихся к диффе-

ренциальным уравнениям первого порядка // Известия Варшавского

политехнического института. 1909. С. 1-5.

Об одном свойстве абелевых интегралов с проводящейся системой перио-

дов // Известия Варшавского политехнического ин-та. 1909. С. 1-7,

Общие исследования, относящиеся к интегрированию в конечном виде

дифференциальных уравнений первого порядка // Статья 2. Харьков.

1909.

40 с.

// Сообщения Харьковского математического

451