Мирошник И.В., Бобцов А.А. Теория автоматического управления

Подождите немного. Документ загружается.

(4.81)          

называется передаточной функцией (разомкнутой системы) по ошибке слежения. Выбирая передаточную

функцию регулятора как

(4.82)          

получим =0 и, следовательно,

(4.83)           y(t)=y*(t).

Таким образом, соответствующий выбор структуры регулятора (4.77)

позволяет обеспечить абсолютную точность решения задачи слежения.

Недостатки разомкнутых систем указаны в п. 4.3.1 и, кроме того, связаны с

трудностями практической реализации оператора (4.82).

Замкнутые регуляторы ( регуляторы отклонения) вводят в состав системы обратную связь по

рассогласованию

(4.84)           ,

где - интегро-дифференциальный оператор обратной связи (передаточная функция регулятора).

Подставляя (4.84) в уравнение ОУ (4.76), после простейших преобразований получаем уравнение замкнутой

системы

(4.85)          

или

(4.86)           ,

где W(p) - передаточная функция разомкнутой части системы

(4.87)           .

Уравнение (4.87) можно записать в виде (см. п. 2.4.2)

(4.88)           ,

где - передаточная функция замкнутой системы

(4.89)           .

Подставляя (4.86) в уравнение (4.70) нетрудно получить модель ошибки слежения

(4.90)          

или

(4.91)           ,

где - передаточная функция замкнутой системы по ошибке слежения

(4.92)           .

Отметим, (см. также п. 2.4.2) что замыкание системы приводит к изменению ее передаточной функции (ср.

выражения (4.76) и (4.92)) и, следовательно, динамических свойств и точностных показателей.

В зависимости от частной реализации оператора различают пропорциональные (П),

пропорционально-дифференциальные (ПД), пропорционально-интегральные (ПИ) и пропорционально-интегрально-

дифференциальные (ПИД) регуляторы (см. также п. 1.5.1 ):

П-регуляторы описываются алгебраическим уравнением:

(4.93)           ,

где К

- постоянный коэффициент обратной связи. Значение К

выбирается таким образом, чтобы уменьшить

величину отклонения , вызванного действием возмущения f(t), начальным рассогласованием

, и, возможно,

высоким темпом изменения задающего воздействия у* (t). Увеличение К

обычно обеспечивает снижение ошибки

(см. выражения (4.89) и (4.92) при K(p)=K

) ), но приводит к ухудшению динамических свойств системы -

повышению колебательности. Поэтому задача выбора коэффициента обратной связи решается компромиссным

образом.

Для улучшения динамических свойств САУ (снижения колебательности) в закон управления вводят

производные от отклонения . Тем самым формируется алгоритм ПД-регулятора :

(4.94)           ,

т.е. регулятора с передаточной функцией

(4.95)           ,

где К

- коэффициент обратной связи по скорости изменения ошибки (t). Дифференциальная

составляющая алгоритма (4.94) препятствует быстрым движениям ОУ и демпфирует колебания. В то же время

значительное увеличение коэффициента замедляет переходные процессы и, следовательно, ухудшает динамику

системы управления.

Повышение точности САУ (снижение установившейся ошибки

) достигается при использовании ПИ-

регулятора :

(4.96)          

с передаточной функцией

(4.97)           ,

где K

- коэффициент обратной связи по интегралу от ошибки. Интегральная составляющая алгоритма (4.96)

со временем накапливает информацию об отклонении , вызванным влиянием возмущения f и быстрым

изменением задания у* (t ), и тем самым обеспечивает компенсацию возможной установившейся ошибки

Увеличение коэффициента К

ускоряет процессы накопления и компенсации, но обычно приводит к колебаниям

системы.

Одновременное улучшение динамических свойств и точности САУ обеспечивается ПИД-регулятором :

(4.98)          

с передаточной функцией

(4.99)           ,

а также более сложными типами линейных регуляторов выхода (4.84).

Применение регуляторов отклонения ограничивается рядом отрицательных факторов. Во-первых,

использование операции дифференцирования сопряжено с усилением помех измерения и "зашумлением" канала

управления. Во-вторых, компенсация возмущающего влияния внешних воздействий f и у* требует определенных

временных затрат. В третьих, для задач терминального управления (см. п. 1.4.1), в которых начальные значения

отклонения велики, управляющие воздействия принимают недопустимо большие значения.

Более эффективный метод повышения точности САУ предлагают линейные регуляторы комбинированного

типа, содержащие кроме обратных связей по отклонению прямые связи по задающему воздействию:

(4.100)           ,

а также связи по возмущающему воздействию (рис. 4.10):

(4.101)           ,

Рис. 4.10. Система комбинированного управления выходом

где L( р ) и L

(p ) - интегродифференциальные операторы прямых связей.

Подставляя уравнение регулятора (4.100) в (4.76), находим уравнение замкнутой системы с

комбинированным управлением

(4.102)          

или уравнение (4.88), где передаточная функция (p ) принимает вид

(4.103)           .

Уравнение ошибки слежения находится как

(4.104)          

или в форме (4.91), где передаточная функция замкнутой системы по ошибке слежения находится

как:

(4.105)           .

Выбор операторов прямых связей L( р ) ( и L

(p)) осуществляется из условия компенсации возмущающего

влияния задающего воздействия у* ( и при необходимости возмущения f ) . При

(4.106)          

как и в случае разомкнутой системы получим =0 и, следовательно,

         

y(t)=y*(t).

Таким образом, дополнение системы прямыми связями обеспечивает абсолютную точность ее работы ( =

0), а в функцию обратных связей (составляющей ) входит обеспечение заданных динамических свойств

переходного процесса. При этом исчезает необходимость в подключении интегральных составляющих управления

и оператор выбирается как оператор П- или ПД-регулятора.

Итак, модели одноконтурных систем легко получаются в операторном виде методами преобразования

передаточных функций. Для невозмущенных моделей ( f(t) = 0) - это выражения (4.102) или (4.104). Аналогичные

модели могут быть получены для систем с возмущением (см. п. 2.1.4).

4.3.3. Регуляторы и модели систем управления состоянием. Системы с регуляторами состояния

относятся к многоконтурным системам и, следовательно, обладают лучшими точностными и динамическими

свойствами, чем одноконтурные. Они используются для управления как одноканальными, так и многоканальными

ОУ. Проанализируем системы с линейными регуляторами состояния в одноканальных задачах стабилизации и

слежения (см. п. 1.4.1). В общем случае в состав модели ВСВ входит следующие блоки:

Рис. 4.11. Система управления состоянием

 модель ОУ:

(4.107)           ,

(4.108)           ;

 задающий блок ЗБ (генератор задающего воздействия)

(4.109)           ,

(4.110)           ;

 модель внешней среды ВС (генератор возмущающего

воздействия)

(4.111)           ,

(4.112)           ;

 регулятор Р, представленный одной из общих моделей вида (4.72), (4.73), (4.75).

Рассмотрим системы с наиболее распространненными типами регуляторов состояния.

Сначала проанализируем задачу стабилизации ОУ в точке x=x*=0. Простейший регулятор состояния -

пропорциональный (П-регулятор состояния, или модальный) регулятор - вводит обратные связи по переменным x

Алгоритм его работы описывается алгебраическим уравнением

(4.113)           ,

где K - матрица-строка коэффициентов обратной связи

          K= .

Алгоритм (4.113) можно записать в развернутой форме

(4.114)           .

Выбор коэффициентов k

матрицы обратных связей K обеспечивает получение заданных динамических

свойств системы: быстродействия и колебательности.

Замечание 4.2. Для одноканального ОУ в качестве координат х

вектора х можно выбрать фазовые

переменные (см. 3.3). Тогда первые члены формулы (4.114) будут соответствовать описанию

ПД-регулятора выхода (4.95) при задании y* = 0.

(4.115)           .

Поэтому регуляторы состояния являются обобщением ПД - регуляторов, хотя и не содержат в явном виде

дифференцирующих звеньев.

Рассмотрим простейший случай задачи стабилизации ОУ

(4.116)           ,

в нулевой точке: . Воспользуемся пропорциональным регулятором (4.113). Замкнутая система

принимает вид

(4.117)           ,

Рис. 4.12. Система с пропорциональным регулятором состояния где

=A-BK - матрица замкнутой системы, определяющая динамические свойства системы с пропорциональным

регулятором состояния.

Отметим, что в рассматриваемом случае (при отсутствия возмущений) регулятор (4.113) обеспечивает

абсолютную точность стабилизации системы в заданной точке x*=0.

Пример 4.4. Для объекта второго порядка вида

(4.118)          

(см. пример 3.1) модель (4.116) принимает вид

(4.119)           ,

(4.120)           +bu,

(4.121)           ,

т.е.

Рис. 4.13. Система второго порядка

          , ,

Здесь пропорциональный алгоритм управления имеет вид

(4.122)           ,

т.е.

          .

Модель замкнутой системы принимает вид

(4.123)          

или (4.117), где матрица замкнутой системы находится как

          .

В условиях действия на ОУ внешних возмущений точностные показатели системы с пропорциональным

регулятором состояния ограничены. Повышение установившейся точности достигается введением в состав

регулятора контуров интегральных обратных связей. ПИ-регулятор состояния реализует алгоритм:

(4.124)           ,

где К

- матрица коэффициентов обратной связи по интегралу от вектора состояния. Интегральная

составляющая алгоритма (4.124) c течением времени обеспечивает частичную или полную компенсацию

возмущения f (t).

Комбинированный регулятор состояния позволяет обеспечить компенсацию возмущения за счет прямых

связей по возмущению f (t ). Отметим, что наилучшие результаты могут быть получены при использовании

достаточно полной информации о возмущении, что соответствует введению прямых связей по вектору состояния

внешней среды (t):

(4.125)           ,

где L

- матрица прямых связей. Во многих случаях вектор , составлен из возмущения f и его производных.

Задача слежения рассматривается как задача отработки расширенного вектора задания x*(t ). П-регулятор

состояния в подобных следящих системах вырабатывает управляющие сигналы, пропорциональные вектору

отклонения е = х*-х, т.е. описывается уравнением

(4.126)           .

Алгоритм (4.126) можно записать в развернутой форме

(1.27)           u= ,

где

(4.128)           .

Замечание 4.3. В качестве координат х

вектора х можно выбрать фазовые переменные

(см. замечание 4.2), а в качестве координат вектора x* - функции . Тогда

(4.129)          

и первые члены формулы (4.127) будут соответствовать описанию ПД-регулятора выхода (4.94):

(4.130)           .

ПИ-регулятор состояния дополняет структуру системы интегральными связями и описывается выражением

(4.131)           .

Интегральная составляющая алгоритма (4.131) обеспечивает c течением времени частичную или полную

компенсацию возмущающего влияния задающих воздействий и возмущений.

Эффективная компенсация отклонений, вызванных возмущением f(t ) и текущими вариациями задания x*(t ),

достигается при использовании комбинированного алгоритма управления (рис. 4.14)

Рис. 4.14. Комбинированная система управления состоянием

(4.132)           .

Замечание 4.4. В отличие от регуляторов выхода большинство алгоритмов управления состоянием

(алгоритмы (4.113), (4.125), (4.126), (4.132)) не используют динамических операторов, что обеспечивает их более

простую практическую реализацию.

Рассмотрим задачу стабилизации невозмущенного ОУ (4.116) в произвольной точке: . Задача

сводится к задаче слежения, где задающий блок представлен уравнением

(4.133)          

с начальным значением x*(0) = x* . Воспользуемся пропорциональным регулятором (4.126). Модель ошибки

получается дифференцированием по времени выражения (4.74) и подстановкой уравнений (4.116) и (4.109):

(4.134)           .

Она имеет структуру возмущенной модели (4.107), где роль возмущения играет компонента Ax* . При

использовании пропорционального регулятора

(4.135)           ,

модель ошибки (4.134) принимает вид

(4.136)           ,

где - матрица замкнутой системы. Если det A

0, из условия получим значение уставившейся

ошибки (см. п. 3.2.3)

(4.137)          