Михалевська Т.В., Ісаєнко В.М., Гроза В.А. Основи статистичного обліку і банки інформації в екології. НАУ-друк, 2009

Подождите немного. Документ загружается.

141

атмосфери на спостережному пункті, що знаходиться на відстані

100 м від автомагістралі, на основі звітних даних за період 70 днів.

Нехай існує статистика вимірювання концентрацій з (NO

) за ро-

бочими днями тижня (5 днів), коли навантаження на автомагістраль

максимальне (рис. 7.1).

— фактичні значення;

— прогнози

на 5 днів; — прогнози

K на місяць

Рис. 7.1. Графіки фактичних і прогнозних значень коефіцієнта ступеня

очищення технологічних стоків підприємства

Ці дані зображено у вигляді таблиці коефіцієнта концентрацій за

тиждень

вфп

KQQ= , де

Q — фактичні значення концентраці;

Q — позначення концентрації, що заплановане (прогнозоване).

Як вихідні дані для прогнозування будемо використовувати по-

слідовність з 12 спостережень, тобто фактично дані за двомісячний

період. Використовуючи програми, складені відповідно до методи-

ки, викладеної вище, для вибору р-порядку моделі АР, оцінки її па-

раметрів і власне прогнозування, отримаємо наступні результати.

На рис. 7.2 подано

результати розрахунків автокореляційної і час-

тинної автокореляційної функцій (7.27), (7.28). Аналіз показує, що

1,08

1,06

1,04

1,02

1,00

0,98

0,96

0,94

0,92

0,9

15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 70

142

АКФ плавно спадає, а ЧАКФ має різкий спад при =k 2. Це дає змо-

гу зробити висновок про те, що, по-перше, розглянутий процес є

процесом авторегресії і, по-друге, що це процес авторегресії другого

порядку. Таким чином, обираємо модель з

2=p .

За допомогою лінійного методу найменших квадратів, розв’я-

зуючи систему нормальних рівнянь (7.29), визначимо параметри

моделі:

0,739b =

;

0, 205.b =

2 3

4 5

7 8

9 10

АКФ

–

1,0

2 3

4 5

7 8

9 100

ЧАКФ

–

1,0

Рис. 7.2. Графіки автокореляційної (АКФ) і частинної

автокореляційної функцій (ЧАКФ) для статистики

виконання плану очищення стічних вод підприємством

Знаючи параметри моделі і використовуючи основну формулу

авторегресійної моделі (7.28), розрахуємо прогнозні значення про-

цесу на

l кроків уперед. У нашому прикладі ми приймемо =l 1, 2,

3, 4, 5, 6, тобто будемо давати прогнозні оцінки концентрації NO

на

8, 10, 15, 20, 30 днів наперед. Для оцінки точності моделі ми проводили

розрахунок

1t+

z на ретроспективній ділянці, що забезпечило мож-

ливість порівняння результатів прогнозу з фактичними значеннями.

143

На рис. 7.1 зображено графіки фактичного коефіцієнта концент-

рації NO

, плану, результати прогнозів на 1 крок (тобто п’ятиденку)

і на 6 кроків (тобто місяць).

Критеріями точності прогнозу й адекватності побудованої моделі

вихідному тимчасовому ряду є характеристики відхилень фактичних

даних від прогнозних:

— середнє відхилення

ε /;

zzn

∏

⎛⎞

=−

⎜⎟

⎝⎠

∑

— абсолютне середнє відхилення

zzn

∏

ε= −

∑

— середньоквадратичне відхилення

()

σ ;

∏

−

∑

— максимальне відхилення

max

ε max ,

∏

=−

≤≤

де

∏

— прогнозне значення в момент часу i ;

z — фактичне зна-

чення в момент часу

Результати оцінки точності одержуваних прогнозів наведено в

табл. 7.1.

Таблиця 7.1

ОЦІНКИ ТОЧНОСТІ ПРОГНОЗІВ, ОДЕРЖАНИХ ЗА АВТОКОРЕЛЯЦІЄЮ

Результати прикладу показують, що застосування авторегресій-

них методів для одномірних часових рядів дає гарні практичні ре-

зультати. Ці методи використовуються в оперативному прогнозу-

Критерії відхилення

Час

випередження

max

1 0,074 0,0275 0,0352 0,0895

2 0,0132 0,0350 0,0428 0,1013

3 0,0168 0,0367 0,0438 0,0983

4 0,0197 0,0380 0,0465 0,1100

5 0,0217 0,0399 0,0478 0,932

6 0,0233 0,0425 0,0498 0,1009

144

ванні екологічних показників, значення яких у майбутньому істотно

залежать від їхніх законів зміни в минулому. Відомі більш складні

методи прогнозування за автокореляційними моделями, що викорис-

товують нелінійні способи оцінки параметрів, облік додаткової пе-

ріодичної складової й інші процедури, що забезпечують високий

ступінь адекватності моделі і прогнозованого випадкового процесу.

КОНТРОЛЬНІ ПИТАННЯ

1. Що називають авторегресійними моделями?

2. Що лежить в основі авторегресійних методів?

3. На чому заснований метод прогнозування із застосуванням моделі АР?

4. Етапи АР моделей.

5. Схарактеризуйте кожен з цих етапів.

7.4. Факторний аналіз у прогнозуванні багатовимірних

стохастичних процесів

Системний підхід до прогнозування складних об’єктів означає

максимально можливе урахування сукупності змінних, що характе-

ризують об’єкт, і взаємозв’язків між ними. У процесі дослідження

прогнозист змушений вибирати компромісний варіант між числом

змінних в описі об’єкта і складністю й трудомісткістю аналізу та

прогнозу. Якщо до того ж більшість чи

усі з цих змінних мають сто-

хастичний характер, то завдання значно ускладнюється. Методи

зниження розмірності описів складних об’єктів у зв’язку з цим дуже

актуальні для прогнозування. У цьому плані використовуються до-

сягнення таких наук і областей, як теорія інформації, кореляційний

аналіз, розпізнавання образів, теорія вимірювань і ряду інших.

Остан-

нім часом значні успіхи досягнуті у сфері теорії і практики викорис-

тання факторного аналізу в розв’язуванні задач зниження розмірності і

системного дослідження складних статистичних комплексів.

Факторний аналіз у сучасному вигляді являє собою визначений

розділ математичної статистики. Появу його на початку минулого

століття зв’язують з іменами психологів Ч. Спірмена

, С. Барту,

Л. Терстоуна й ін. Початкова мета його полягала у побудові матема-

тичних моделей здібностей і поведінки людини. При цьому в основу

закладалися результати різних психологічних і фізичних тестів, а на

виході формувалися деякі узагальнені показники-фактори. У цій об-

ласті факторний аналіз успішно застосовується і зараз, однак за

ми-

нулі десятиліття він активно поширювався на інші галузі: екологію,

соціологію, економіку, геологію, метеорологію, техніку і т.д. Існує

багато методів факторного аналізу та їх модифікації.

145

Ми розглянемо деякі з них.

Нехай —

-мiрний випадковий фактор, що зображує випад-

кову вибірку вимірів сукупності взаємозалежних параметрів

;

—

-мiрний вектор, компонентами якого є змінні (фактори), що без-

посередньо не спостерігаються;

— математичне сподівання век-

тора

;

U — вектор сум помилок за рахунок факторів, що не під-

лягають врахуванню. Відповідно до основного припущення багато-

факторного аналізу кожен конкретний вимір вектора

Х — x

, може

розглядатись як сума впливів деякого невеликого числа групових

факторів

(узятих з певною вагою

a ), специфічного фактора

що впливає тiльки на дану змінну, і похибки виміру

Оскільки

e у факторному аналізі не розрізняються, їх зазви-

чай розглядають як суму

iii

esu += . Нехай А — матриця порядку

()

nkn k×>, елементи якої — факторні ваги

a , що визначають

вплив

i -ї змінної на

-й фактор, m — число спостережень над век-

тором

за яким проводиться оцінювання. Запишемо основне

співвідношення факторного аналізу в матричній формі:

= АР + Х + U. (7.31)

Прирівняємо для простоти всі середні нулю:

0X = , тобто будемо

розглядати далі незміщені розподіли

x . Позначимо добуток

AF Q= , тоді

ÕQU=+

, (7.32)

де

Q прийнято називати загальною частиною, а U — специфічною

частиною.

Передбачається, що

U не залежить від Q і всі

не корелюють

між собою. При цьому матриця

()

0MQU

′

= , а матриця

()

′

—

діагональна (М — оператор математичного сподівання, U

′

— транс-

понована матриця

U). Тоді

()

XX' = [( )( ) ]

QUQU'++=() ()

QQ' M UU'++

() ()

QU' M UQ'++ () ().

QQ' M UU' =+ (7.33)

Якщо пронормувати вектор

Х за величинами стандартних відхи-

лень

(/σ

iipi

zx= , де

— компонента вектора X, p — порядко-

вий номер одиничного спостереження над вектором X), то

()

ZZ R

′

= — кореляційна матриця.

146

Формулу (7.33) можна подати у вигляді

(2) 2

RU R IH=+ =++ , (7.34)

де

— вихідна матриця з одиницями на головній діагоналі;

—

так звана скорочена матриця;

U — діагональна матриця з квадра-

тів сум специфічних факторних ваг і помилок;

H — діагональна

матриця так званих комунальностей;

— одинична матриця.

Розкладанню у факторному аналізі підлягає, як правило, матри-

ця

, що визначається з виразу (7.34). При цьому

апроксимуєть-

ся добутком:

′

= , (7.35)

де

A приймається за матрицю факторних ваг порядку nk× (

′

—

матриця, транспонована до

Фактори

,…,

передбачаються некорельованими. У цьо-

му випадку факторні ваги можна розглядати як коефіцієнти в ліній-

ному рівнянні регресії для оцінки змінних за факторами.

Якщо у формулі (7.32) знехтувати ,

U то

збігається з A i

збігається з

R, отже, розклад буде тим ближче до оригіналу, чим ма-

триця комунальностей

буде ближче до одиничної.

При оцінці

A звичайно застосовують метод головних компоне-

нтів, ідея якого полягає в наступному. Оскільки

— дійсна симет-

рична матриця, то ортогональним перетворенням подібності її мож-

на привести до діагонального вигляду:

RB L

−

BLB

′

= (7.36)

Через ортогональність :

BLB

−

= , (7.37)

де

L — дiагональна матриця, складена з характеристичних коренів

з урахуванням їх кратності; B — ортогональна матриця перетво-

рення, стовпцями якої є власні вектори

, що утворюють ортонор-

мовану систему;

−

— матриця, обернена до B;

′

— транспонова-

на матриця

B. З (7.35), (7.36) маємо

12 12

000

BLLB AA

′′

==, (7.38)

звідки

ABL= , де L — діагональна матриця з квадратних коренів

власних чисел.

147

Таким чином, стовпці матриці факторних ваг можуть бути отри-

мані як добутки власних векторів матриці

на значення квадрат-

них коренів з відповідних характеристик чисел.

Розв’язок рівняння (7.38) для матриці

і є найбільш істотною

частиною обчислювальних процедур факторного аналізу. Геометрич-

но описані перетворення рівноцінні обертанню вихідної системи

координат таким чином, аби нові базисні осі збігалися з осями си-

метрії (головними осями) розподілу вектора

Розрізняють два способи визначення оцінок комунальностей

1) оцінки комунальностей приймають рівними одиниці (це так

звана закрита модель факторного аналізу);

2) оцінки комунальностей беруть нижче одиниці, розраховуючи

їх за емпіричними даними (відкрита модель).

Ми розглянемо закриту модель як більш простий спосіб, який

виправдав своє застосування в ряді практичних завдань.

Після визначення факторних навантажень, що відповідають сукуп-

ності змінних (

факторів), зазвичай іде спроба їх інтерпретації, тобто

корисного і загальнодоступного тлумачення сутності різних сторін

складного явища, які відображаються виділеними факторами. У зв’язку

з тим, що процедура одержання навантажень у факторному аналізі не

приводить до однозначного результату (за числа факторів, більшого

одиниці), можна діставати еквівалентну множину навантажень ортого-

нальним перетворенням. Геометрично

це буде відповідати додатково-

му обертанню факторів у просторі вимірів. У статистичній науці відо-

мо досить багато критеріїв знаходження оптимального (в смислі ін-

терпретації) положення факторних осей у просторі.

У ряді досліджень на практиці добре себе зарекомендував варимакс-

критерій, зміст якого полягає у зведенні навантажень факторів до най-

більш простого

вигляду. Простота V деякого фактора визначається в

даному випадку як дисперсія квадратів відповідних факторних ваг:

22 2

() /.

iijij

Vna a n

⎡⎤

⎛⎞

=−

⎜⎟

⎢⎥

⎝⎠

⎣⎦

∑∑

За варимакс-критерієм максимізується сума: max.

VV=→

∑

Для незміщеного оцінювання значення

a нормуються через

розподіл на відповідні комунальностi

h .

Остаточно варимакс-критерій визначається співвідношенням

222 22 2

(/) / / max

ij i ij i

ji i

V n ah ah n

⎧⎫

⎡⎤

⎪⎪

⎛⎞

=− →

⎨⎬

⎜⎟

⎢⎥

⎝⎠

⎪⎪

⎣⎦

⎩⎭

∑∑ ∑

, (7.39)

148

а розв’язок записується у вигляді

AAT= , де A — матриця фактор-

них ваг, отримана методом головних компонентів; T

— ортогональна

перетворювальна матриця, обрана таким чином, аби простота V ма-

триці

A була максимальною.

В описаному методі найбільш трудомісткою частиною є розрахунок

власних векторів матриці

за методом головних компонентів.

Програма факторного аналізу використовувалася при ретроспек-

тивному аналізі в прогнозуванні таких складних статистичних ком-

плексів, як Державна бібліотека ім. В. І Вернадського, парк ЕОМ

США, пасажиропотoки мережі магістральних авіаліній СРСР і в ряді

інших завдань. В усіх перелічених завданнях у результаті статистич-

ної обробки за 40—50 вихідними

випадковими змінними вдавалося

виділити від 2 до 5 головних факторів, що забирають на себе 80—

90 % загальної дисперсії вибірки. Таким чином, розмірність задачі

знижувалася порівняно з вихідною в 10—20 разів при зниженні точ-

ності статистичного опису приблизно на 10—20 %.

Для пошукового прогнозування розвитку всього багатомірного

процесу у взаємозв’язках складових його змінних доцільно дослід-

жувати тенденції

розвитку головних факторів процесу як деякі уза-

гальнені показники.

Відповідно до формул (7.31) і (7.32),

AF U=+

де

UIH=− — матриця специфічних факторів і помилок тим ближ-

че до нуля, чим матриця комунальностей

H ближче до одиничної.

У закритій моделі, яку ми використовували, передбачається, що

H — одинична матриця і, отже, можна вважати

AF.=

Ретроспективним аналізом n-мірного випадкового вектора

ми

визначили матрицю факторних навантажень A розмірності nn× .

При розгляді цієї матриці з’ясувалося, що лише невелике число фак-

торів kn< визначає сутність розвитку нашої багатопараметричної

стохастичної системи, що описується вектором

Відібравши відповідні k стовпців матриці A , дістанемо матри-

цю

розмірності nk× . Їй буде відповідати рівність

AF= . (7.40)

Визначимо матрицю

−

, обернену до ,A і помножимо ліву час-

тину рівняння (7.40) на

−

AX F

−

= . (7.41)

149

Матимемо матрицю значень

розмірності nm× , де m — чис-

ло вимірів вектора

в ретроспективний період. З цієї матриці виді-

лимо рядки, що відповідають відображеним нами раніше головним

факторам, і дістанемо підматрицю

. Кожним рядком цієї

пiдматрицi буде визначатися процес розвитку в часі деякої узагаль-

неної характеристики

, що не спостерігається, складного стохас-

тичного процесу за умови, що всі т вимірів являють собою послідов-

ність у часі. Виходячи з основного положення факторного аналізу,

саме ці

k характеристик (

kn<

) визначають процес у цілому досить

повно з урахуванням усіх внутрішніх статистичних зв’язків.

Відповідно до основного принципу дослідницького прогнозу-

вання припускаємо, що статистична структура прогнозованої систе-

ми зберігається на відрізку часу випередження T (

constA =

) й основ-

ні тенденції розвитку факторів також.

Кожним із перелічених методів (головним чином методами екст-

раполяції) прогнозується розвиток кожного з

k факторів на заданий

час випередження

. У результаті ми отримаємо описи додатково

q значень

, де /

qT t=Δ, а

tΔ — крок вимірів у ретроспектив-

ному періоді.

Тоді матриця

з новими q стовпцями набере вигляду матриці

розмірності ()kmq×+. Підставивши

у формулу (7.40), отри-

маємо значення

в ретроспективний і майбутній період T :

12pT

= . (7.42)

Перші т стовпців матриці (7.42) дадуть нам оцінки всіх показників

для минулих m вимірів і можуть бути використані для перевірки точ-

ності апроксимації. Решта q стовпців виразу (7.42) дадуть прогнозовані

значення параметрів

у різні моменти періоду випередження.

Якщо розраховувати ретроспективні значення

не має сенсу, то

майбутні значення можна розрахувати за формулою:

12Tq

AF= , (7.43)

де

— матриця, що складається з решти q стовпців матриці

На закінчення ще раз треба підкреслити, що основною перевагою

прогнозування розвитку факторів, а не окремих змінних, є навіть не

те, що це істотно зменшує розмірність задачі ( kn<< ), а що в проце-

сі прогнозування факторів автоматично розв’язується завдання син-

тезу й ув’язування прогнозів окремих показників. У цьому і полягає

150

основна перевага та перспективність використання методів фактор-

ного аналізу в дослідженнях складних багатопараметричних стохас-

тичних процесів.

Поряд із викладеною вище процедурою прогнозування, що викори-

стовує безпосередню екстраполяцію головних факторів з наступним їх

розкладанням на сукупність прогнозних значень вихідних змінних,

факторний аналіз може використовуватися в сполученні з моделями

регресійного аналізу. У цьому

випадкові будують регресію деякого

вихідного показника (чи кількох) досліджуваного комплексу, але не на

сукупності вхідних показників (аргументів), як зазвичай, а на головних

компонентах, отриманих у процесі факторного аналізу.

У векторній формі рівняння регресії має вигляд

YDA=



, (7.44)

де Y — вектор вихідних (залежних змінних);

— матриця голов-

них компонентів; A



— вектор коефіцієнтів регресії.

Розв’язуючи (7.44) відповідно до коефіцієнтів регресії, дістанемо:

(1) ();

(1) ,

rrrii

Am FY

mfy

−−

=−Λ

γ= − λ

∑



де m

— об’єм вихідної вибірки;

rі

— значення

-ї головної ком-

поненти в

i -й точці;

— дисперсія

-ї головної компоненти.

Стандартні відхилення коефіцієнтів регресії визначаються за фор-

мулою

1/ 2 1/2

σ()= ( 1) (),

rr r

mSy

−−

γγ− λ

де ()Sy — стандартне відхилення у для фіксованого

Коефіцієнти кореляції між головними компонентами можна об-

числити за формулою

1/2 1

(, )= ()

rr r

ryf y

−−

λσ

де ()yσ — середньоквадратичне відхилення

у від загального серед-

нього

y за всією вибіркою.

Як вказувалося вище, виділення головних факторів у компонент-

ній моделі відбувається за максимумом дисперсії вибірки, що їм

відповідає. При цьому, як правило, уже невелике число (

nk <<

)

головних компонентів забирає на себе 80—90 % загальної дисперсії.

У зв’язку з цим компоненти, що залишилися незначимі в рівнянні

регресії, відкидаються з розгляду.