Меньков А.В., Острейковский В.А. Теоретические основы автоматизированного управления

Подождите немного. Документ загружается.

210

ветора X, масимизирет значение математичесо о ожидания

F = М[Q] исходно о поазателя эффетивности Q, т. е.

= F (, A, B) = max F(X, A, B) =

= M [X, A, y

, y

, ..., y

]. (6.10)

В том слчае, если число возможных страте ий i онечно i =

и число возможных исходов j онечно j = , то выражение (6.10)

переписывается в виде

= F () = [F(X

)] = , (6.11)

де Q

— значение поазателя эффетивности правления в слчае

появления j-то о исхода при выборе i страте ии правления; P

— ве-

роятность появления j-то о исхода при реализации i-той страте ии.

Из выражений (6.10) и (6.11) следет, что оптимальная страте-

ия приводит  арантированном наилчшем резльтат

тольо при мно оратном повторении ситации в одинаовых

словиях. Эффетивность аждо о отдельно о выбора связана

с рисом и может отличаться от средней величины а в лчшю,

та и в хдшю сторон.

Сравнение двх рассмотренных принципов оптимизации в

стохастичесих ЗПР поазывает, что они представляют собой де-

терминизацию исходной задачи на разных ровнях влияния сто-

хастичесих фаторов. «Иссственное сведение  детерминиро-

ванной схеме» представляет собой детерминизацию на ровне

фаторов, «оптимизация в среднем» — на ровне поазателя эф-

фетивности.

После выполнения детерминизации мо т быть использова-

ны все методы, применимые для решения одноритериальных

статичесих детерминированных ЗПР.

Рассмотрим пример одноритериальной статичесой задачи

принятия решений в словиях риса.

Для создания арто рафичесой базы данных необходимо о-

дировать арто рафичесю информацию. Использование поэ-

лементно о одирования приводит  необходимости использова-

ния чрезвычайно больших объемов памяти. Известен ряд методов

одирования, позволяющих сщественно соратить требемый

объем памяти (например, линейная интерполяция, интерполя-

ция лассичесими мно очленами, бичесие сплайны и т.п.).

Основным поазателем эффетивности метода одирования яв-

ляется оэффициент сжатия информации. Однао значение это-

max

X ° Ω

1 I,

1 J,

F X max

1 m i m I

max

1 m i m I

∑

211

о оэффициента зависит от вида одиремой арто рафичесой

информации ( идро рафия, раницы вида рафичесой одире-

мой информации и т. п.). Обозначим через Q

i = ; j = зна-

чение оэффициента сжатия i-то о метода одирования для j-то о

вида информации. Конретный район, подлежащий одирова-

нию, заранее неизвестен. Однао предварительный анализ арто-

рафичесой информации все о ре иона и опыт предыдщих раз-

работо позволяет вычислить вероятность появления аждо о из

видов информации. Обозначим через P

вероятность появления

j-то о вида, = 1. То да, использя метод оптимизации в

среднем, следет выбрать таой метод одирования, для оторо о

= max , i = .

6.7. Принятие решений в словиях неопределенности

Прежде все о отметим принципиальное различие межд сто-

хастичесими фаторами, приводящими  принятию решения в

словиях риса, и неопределенными фаторами, приводящими

 принятию решения в словиях неопределенности. И те, и др-

ие приводят  разброс возможных исходов резльтатов п-

равления. Но стохастичесие фаторы полностью описываются

известной стохастичесой информацией, эта информация и поз-

воляет выбрать лчшее в среднем решение. Применительно  не-

определенным фаторам подобная информация отстствет.

В общем слчае неопределенность может быть вызвана либо

противодействием размно о противниа, либо недостаточной

осведомленностью об словиях, в оторых осществляется выбор

решения.

Принятие решений в словиях размно о противодействия

является объетом исследования теории и р. Мы здесь не бдем

асаться этих вопросов.

Рассмотрим принципы выбора решений при наличии недо-

статочной осведомленности относительно словий, в оторых

осществляется выбор. Таие ситации принято называть «и ра-

ми с природой».

В терминах «и ры с природой» задача принятия решений мо-

жет быть сформлирована следющим образом. Псть лицо, при-

нимающее решение, может выбрать один из m возможных вари-

1 n,

1 m,

∑

F P

∑

1 n,

212

антов своих решений: x

, x

, …, x

и псть относительно словий,

в оторых бдт реализованы возможные варианты, можно сде-

лать n предположений: y

, y

, …, y

. Оцени аждо о варианта ре-

шения в аждых словиях (x

, y

) известны и заданы в виде матри-

цы выи рышей лица, принимающе о решения: A = |a

Предположим вначале, что априорная информация о вероят-

ностях возниновения той или иной ситации y

отстствет.

Теория статистичесих решений предла ает несольо рите-

риев оптимальности выбора решений. Выбор то о или ино о

ритерия неформализем, он осществляется человеом, прини-

мающим решения, сбъетивно, исходя из е о опыта, интиции

и т. п. Рассмотрим эти ритерии.

Критерий Лапласа. Посоль вероятности возниновения

той или иной ситации y

неизвестны, бдем их все считать рав-

новероятными. То да для аждой строи матрицы выи рышей

подсчитывается среднее арифметичесое значение оцено. Оп-

тимальном решению бдет соответствовать таое решение, о-

тором соответствет масимальное значение это о средне о

арифметичесо о, т. е.

= F(, Y ) = .

Критерий Вальда. В аждой строче матрицы выбираем мини-

мальню оцен. Оптимальном решению соответствет таое

решение, отором соответствет масимм это о минимма, т. е.

= F (, Y ) = a

Этот ритерий очень осторожен. Он ориентирован на наихд-

шие словия, тольо среди оторых и отысивается наилчший и

теперь же арантированный резльтат.

Критерий Сэвиджа. В аждом столбце матрицы находится

масимальная оцена a

и составляется новая матрица, эле-

менты оторой определяются соотношением

= a

– a

Величин r

называют рисом, под оторым понимают раз-

ность межд масимальным выи рышем, оторый имел бы мес-

то, если бы было достоверно известно, что настпит ситация y

и выи рышем при выборе решения x

в словиях y

. Эта новая

X max

1 m i m m

⎝

⎛

-- -

⎠

⎞

∑

max

1 m i m m

min

1 m j m n

max

1 m i m m

max

1 m i m m

213

матрица называется матрицей рисов. Далее из матрицы рисов

выбирают таое решение, при отором величина риса принима-

ет наименьшее значение в самой небла оприятной ситации, т.е.

= F (, Y ) = a

– a

Сщность это о ритерия залючается в минимизации риса.

Ка и ритерий Вальда, ритерий Сэвиджа очень осторожен.

Они различаются разным пониманием хдшей ситации: в пер-

вом слчае — это минимальный выи рыш, во втором — маси-

мальная потеря выи рыша по сравнению с тем, че о можно было

бы достичь в данных словиях.

Критерий Грвица. Вводится неоторый оэффициент α, на-

зываемый «оэффициентом оптимизма», 0 < α < 1. В аждой

строе матрицы выи рышей находится самая большая оцена

и самая маленьая a

Они множаются соответственно на α и (1 – α) и затем вычис-

ляется их смма. Оптимальном решению бдет соответствовать

таое решение, отором соответствет масимм этой сммы, т.е.

= F (, Y ) = α a

+ (1 – α) a

При α = 0 ритерий Грвица трансформирется в ритерий

Вальда. Это слчай райне о «пессимизма». При α = 1 (слчай

райне о «оптимизма») челове, принимающий решение, рас-

считывает на то, что ем бдет соптствовать самая бла оприят-

ная ситации. «Коэффициент оптимизма» α назначается сбъе-

тивно, исходя из опыта, интиции и т.п. Чем более опасна сита-

ция, тем более осторожным должен быть подход  выбор решения

и тем меньшее значение присваивается оэффициент α.

Примером принятия решений в словиях неопределенности

может слжить рассмотренная выше задача выбора метода оди-

рования арто рафичесой информации, о да вероятности по-

явления то о или ино о вида этой информации известны.

6.8. Мно"оритериальные задачи принятия решений

В примере, рассмотренном в предыдщем пара рафе, имелся

все о один ритерий — F, но значительно чаще принимаемое ре-

шение описывается совопностью ритериев f

, f

, …, f

. Кроме

то о, аждый из этих ритериев, назовем их лоальными рите-

X max

1 m i m m

min

1 m j m n

⎝

⎛

max

1 m i m m

⎠

⎞

max

1 m j m n

min

1 m j m n

F X max

1 m i m m

max

1 m j m n

min

1 m j m n

212

антов своих решений: x

, x

, …, x

и псть относительно словий,

в оторых бдт реализованы возможные варианты, можно сде-

лать n предположений: y

, y

, …, y

. Оцени аждо о варианта ре-

шения в аждых словиях (x

, y

) известны и заданы в виде матри-

цы выи рышей лица, принимающе о решения: A = |a

Предположим вначале, что априорная информация о вероят-

ностях возниновения той или иной ситации y

отстствет.

Теория статистичесих решений предла ает несольо рите-

риев оптимальности выбора решений. Выбор то о или ино о

ритерия неформализем, он осществляется человеом, прини-

мающим решения, сбъетивно, исходя из е о опыта, интиции

и т. п. Рассмотрим эти ритерии.

Критерий Лапласа. Посоль вероятности возниновения

той или иной ситации y

неизвестны, бдем их все считать рав-

новероятными. То да для аждой строи матрицы выи рышей

подсчитывается среднее арифметичесое значение оцено. Оп-

тимальном решению бдет соответствовать таое решение, о-

тором соответствет масимальное значение это о средне о

арифметичесо о, т. е.

= F(, Y ) = .

Критерий Вальда. В аждой строче матрицы выбираем мини-

мальню оцен. Оптимальном решению соответствет таое

решение, отором соответствет масимм это о минимма, т. е.

= F (, Y ) = a

Этот ритерий очень осторожен. Он ориентирован на наихд-

шие словия, тольо среди оторых и отысивается наилчший и

теперь же арантированный резльтат.

Критерий Сэвиджа. В аждом столбце матрицы находится

масимальная оцена a

и составляется новая матрица, эле-

менты оторой определяются соотношением

= a

– a

Величин r

называют рисом, под оторым понимают раз-

ность межд масимальным выи рышем, оторый имел бы мес-

то, если бы было достоверно известно, что настпит ситация y

и выи рышем при выборе решения x

в словиях y

. Эта новая

X max

1 m i m m

⎝

⎛

-- -

⎠

⎞

∑

max

1 m i m m

min

1 m j m n

max

1 m i m m

max

1 m i m m

213

матрица называется матрицей рисов. Далее из матрицы рисов

выбирают таое решение, при отором величина риса принима-

ет наименьшее значение в самой небла оприятной ситации, т.е.

= F (, Y ) = a

– a

Сщность это о ритерия залючается в минимизации риса.

Ка и ритерий Вальда, ритерий Сэвиджа очень осторожен.

Они различаются разным пониманием хдшей ситации: в пер-

вом слчае — это минимальный выи рыш, во втором — маси-

мальная потеря выи рыша по сравнению с тем, че о можно было

бы достичь в данных словиях.

Критерий Грвица. Вводится неоторый оэффициент α, на-

зываемый «оэффициентом оптимизма», 0 < α < 1. В аждой

строе матрицы выи рышей находится самая большая оцена

и самая маленьая a

Они множаются соответственно на α и (1 – α) и затем вычис-

ляется их смма. Оптимальном решению бдет соответствовать

таое решение, отором соответствет масимм этой сммы, т.е.

= F (, Y ) = α a

+ (1 – α) a

При α = 0 ритерий Грвица трансформирется в ритерий

Вальда. Это слчай райне о «пессимизма». При α = 1 (слчай

райне о «оптимизма») челове, принимающий решение, рас-

считывает на то, что ем бдет соптствовать самая бла оприят-

ная ситации. «Коэффициент оптимизма» α назначается сбъе-

тивно, исходя из опыта, интиции и т.п. Чем более опасна сита-

ция, тем более осторожным должен быть подход  выбор решения

и тем меньшее значение присваивается оэффициент α.

Примером принятия решений в словиях неопределенности

может слжить рассмотренная выше задача выбора метода оди-

рования арто рафичесой информации, о да вероятности по-

явления то о или ино о вида этой информации известны.

6.8. Мно"оритериальные задачи принятия решений

В примере, рассмотренном в предыдщем пара рафе, имелся

все о один ритерий — F, но значительно чаще принимаемое ре-

шение описывается совопностью ритериев f

, f

, …, f

. Кроме

то о, аждый из этих ритериев, назовем их лоальными рите-

X max

1 m i m m

min

1 m j m n

⎝

⎛

max

1 m i m m

⎠

⎞

max

1 m j m n

min

1 m j m n

F X max

1 m i m m

max

1 m j m n

min

1 m j m n

214

риями, — харатеризется своим оэффициентом относительной

важности. Обозначим эти оэффициенты через λ

, λ

, …, λ

Ита, совопность лоальных или частных ритериев f

, де

q = , образет инте ральный или веторный ритерий опти-

мальности принимаемо о решения. Обозначим это та:

F = {f

де F — инте ральный ритерий.

В свою очередь, оэффициенты относительной важности λ

q = образют ветор важности: = {λ

Ка и прежде, задача залючается в том, чтобы найти опти-

мальное значение X из области допстимых значений λ

. Каждый

лоальный ритерий харатеризет одно аое-либо ачество

принимаемо о решения. Например, в задаче выбора ЭВМ ло-

альными ритериями мо т быть: стоимость, быстродействие,

объем оперативной памяти и т. п. Совопность этих лоальных

ритериев образет инте ральный ритерий, различный для аж-

до о типа машины, и с помощью не о можно производить срав-

нение различных типов машин, или сравнение ачества прини-

маемо о решения. Формально оптимальное решение может

быть словно записано следющим образом:

= ( ) = F (X ), . (6.12)

В этом соотношении, точнее оворя, в этой формальной за-

писи: — оптимальное значение инте рально о ритерия, —

оптимальные значения правляемых параметров задачи, opt —

оператор оптимизации, оторый определяет выбранный при-

нцип оптимизации, — ветор важности.

Область допстимых значений W

можно разбить на две не-

пересеающиеся подобласти:

1) — область «со ласия», в оторой ачество принимае-

мо о решения может быть лчшено по одном или несольим

лоальным ритериям без хдшения хотя бы одно о из остав-

шихся лоальных ритериев.

2) — область «омпромиссов», в оторой лчшение ре-

шения по одном или несольим лоальным ритериям обяза-

тельно приводит  снижению значений одно о или несольих

оставшихся лоальных ритериев.

Пример. Псть необходимо выбрать одн ЭВМ из двх раз-

личных типов, и псть лоальными ритериями являются стои-

мость и быстродействие.

1 k,

1 k, λ

F F X opt

X ° W

F X

215

Слчай 1 — псть ЭВМ-1 лчше и по стоимости и по быстро-

действию, чем ЭВМ-2, и то да, при переходе от ЭВМ-2  ЭВМ-1

оба ритерия «со ласны» лчшить свои значения. То да ово-

рят, что оба эти варианта лежат в области со ласия, и очевидно,

что выбирать следет первый вариант, а второй просто отбрасы-

вается.

Слчай 2 — псть  ЭВМ-1 лчше (меньше) стоимость, но хд-

шее быстродействие, чем  ЭВМ-2. Выбирая ЭВМ-1, мы лчша-

ем решение по стоимости, но хдшаем е о по быстродействию,

выбирая ЭВМ-2, мы хдшаем решение по стоимости, но лч-

шаем по быстродействию.

Для то о, чтобы выбрать оончательно аой-либо вариант,

мы должны найти неоторый омпромисс, поэтом оворят, что

эти два варианта лежат в области омпромиссов.

Поэтом первый этап принятия решений — это разбиение об-

ласти допстимых значений на область со ласия и область омп-

ромиссов. Это разбиение позволяет сщественно соратить чис-

ло рассматриваемых вариантов.

Далее необходимо задаться неоторой «схемой омпромис-

са», или, оворя иначе, расрыть смысл оператора оптимиза-

ции — opt — выражения (6.12).

В дальнейшем нам бдет добнее от допстимо о пространства

правляющих воздействий перейти  допстимом про-

странств лоальных ритериев и то да расписанная выше

модель может быть формализована следющим образом:

= ( ) = F(X), = F, . (6.13)

Рассмотрим основные схемы омпромисса, предпола ая, что

все лоальные ритерии нормализованы, т. е. все они имеют оди-

наовю размерность, либо являются безразмерными величина-

ми (это о раничение бдет снято). Кроме то о, все лоальные

ритерии имеют одинаовю важность (и это о раничение бдет

снято). И лчшим бдет считаться большее значение лоально о

ритерия (и это о раничение тоже бдет снято).

Необходимо отметить следющее обстоятельство: нет фор-

мальных правил выбора лчшей схемы омпромисса, т. е. оон-

чательное решение принимает челове.

Принцип равномерности. Он провоз лашает целесообразным

выбор тао о варианта решения, принадлежаще о области омп-

ромиссов, при отором дости алась бы неоторая «равномер-

ность» поазателей по всем лоальным ритериям.

F F X opt

x ° ω

λ opt

x ° ω

214

риями, — харатеризется своим оэффициентом относительной

важности. Обозначим эти оэффициенты через λ

, λ

, …, λ

Ита, совопность лоальных или частных ритериев f

, де

q = , образет инте ральный или веторный ритерий опти-

мальности принимаемо о решения. Обозначим это та:

F = {f

де F — инте ральный ритерий.

В свою очередь, оэффициенты относительной важности λ

q = образют ветор важности: = {λ

Ка и прежде, задача залючается в том, чтобы найти опти-

мальное значение X из области допстимых значений λ

. Каждый

лоальный ритерий харатеризет одно аое-либо ачество

принимаемо о решения. Например, в задаче выбора ЭВМ ло-

альными ритериями мо т быть: стоимость, быстродействие,

объем оперативной памяти и т. п. Совопность этих лоальных

ритериев образет инте ральный ритерий, различный для аж-

до о типа машины, и с помощью не о можно производить срав-

нение различных типов машин, или сравнение ачества прини-

маемо о решения. Формально оптимальное решение может

быть словно записано следющим образом:

= ( ) = F (X ), . (6.12)

В этом соотношении, точнее оворя, в этой формальной за-

писи: — оптимальное значение инте рально о ритерия, —

оптимальные значения правляемых параметров задачи, opt —

оператор оптимизации, оторый определяет выбранный при-

нцип оптимизации, — ветор важности.

Область допстимых значений W

можно разбить на две не-

пересеающиеся подобласти:

1) — область «со ласия», в оторой ачество принимае-

мо о решения может быть лчшено по одном или несольим

лоальным ритериям без хдшения хотя бы одно о из остав-

шихся лоальных ритериев.

2) — область «омпромиссов», в оторой лчшение ре-

шения по одном или несольим лоальным ритериям обяза-

тельно приводит  снижению значений одно о или несольих

оставшихся лоальных ритериев.

Пример. Псть необходимо выбрать одн ЭВМ из двх раз-

личных типов, и псть лоальными ритериями являются стои-

мость и быстродействие.

1 k,

1 k, λ

F F X opt

X ° W

F X

215

Слчай 1 — псть ЭВМ-1 лчше и по стоимости и по быстро-

действию, чем ЭВМ-2, и то да, при переходе от ЭВМ-2  ЭВМ-1

оба ритерия «со ласны» лчшить свои значения. То да ово-

рят, что оба эти варианта лежат в области со ласия, и очевидно,

что выбирать следет первый вариант, а второй просто отбрасы-

вается.

Слчай 2 — псть  ЭВМ-1 лчше (меньше) стоимость, но хд-

шее быстродействие, чем  ЭВМ-2. Выбирая ЭВМ-1, мы лчша-

ем решение по стоимости, но хдшаем е о по быстродействию,

выбирая ЭВМ-2, мы хдшаем решение по стоимости, но лч-

шаем по быстродействию.

Для то о, чтобы выбрать оончательно аой-либо вариант,

мы должны найти неоторый омпромисс, поэтом оворят, что

эти два варианта лежат в области омпромиссов.

Поэтом первый этап принятия решений — это разбиение об-

ласти допстимых значений на область со ласия и область омп-

ромиссов. Это разбиение позволяет сщественно соратить чис-

ло рассматриваемых вариантов.

Далее необходимо задаться неоторой «схемой омпромис-

са», или, оворя иначе, расрыть смысл оператора оптимиза-

ции — opt — выражения (6.12).

В дальнейшем нам бдет добнее от допстимо о пространства

правляющих воздействий перейти  допстимом про-

странств лоальных ритериев и то да расписанная выше

модель может быть формализована следющим образом:

= ( ) = F(X), = F, . (6.13)

Рассмотрим основные схемы омпромисса, предпола ая, что

все лоальные ритерии нормализованы, т. е. все они имеют оди-

наовю размерность, либо являются безразмерными величина-

ми (это о раничение бдет снято). Кроме то о, все лоальные

ритерии имеют одинаовю важность (и это о раничение бдет

снято). И лчшим бдет считаться большее значение лоально о

ритерия (и это о раничение тоже бдет снято).

Необходимо отметить следющее обстоятельство: нет фор-

мальных правил выбора лчшей схемы омпромисса, т. е. оон-

чательное решение принимает челове.

Принцип равномерности. Он провоз лашает целесообразным

выбор тао о варианта решения, принадлежаще о области омп-

ромиссов, при отором дости алась бы неоторая «равномер-

ность» поазателей по всем лоальным ритериям.

F F X opt

x ° ω

λ opt

x ° ω

216

Использются следющие реализации принципа равномер-

ности: принцип равенства, принцип вазиравенства и принцип

масмина (maxmin).

Принцип равенства. Он провоз лашает целесообразность вы-

бора тао о варианта, при отором все значения лоальных ри-

териев равны межд собой. Псть инте ральный ритерий F задан

табл. 6.1.

Таблица 6.1

1, 2, 3 — номера трех вариантов, один из оторых надо вы-

брать; f

, f

— неоторые лоальные ритерии ( пример, f

—

быстродействие, f

— объем оперативной памяти и т.д.); f

— зна-

чение лоально о ритерия f

для перво о варианта и т.п.

Псть, например, f

= f

, а остальные значения лоаль-

ных ритериев для перво о и второ о вариантов не равны межд

собой. То да вариант 2 признается лчшим.

В общем виде эта модель расписывается следющим образом:

= F = (f

= f

= ... = f

Принцип вазиравенства. Пратичеси достичь равенства ло-

альных ритериев не дается, то да лчшим признается вариант,

в отором лоальные ритерии наиболее близи  этом равенств.

Принцип масимина — maxmin. Формально он может быть за-

писан с помощью следющей записи:

= F = .

Иначе оворя, для аждо о варианта выбирается минималь-

ное значение лоально о ритерия, и оончательный выбор ос-

танавливается на варианте, в отором этот минимм дости ает

свое о масимма. В этом слчае равномерность обеспечивается

за счет «подтя ивания» лоально о ритерия с наименьшим зна-

чением поазателя.

1 f

2 f

3 f

Ло. р.

№ вар.

F opt

x ° ω

F opt

F ° ω

max

F ° ω

min

1 m g m k

217

Принцип справедливой стпи. Он основан на сопоставле-

нии прироста и были величин лоальных ритериев. Ко да два

или более вариантов находятся в области омпромиссов (а толь-

о таие ситации мы и рассматриваем), то при переходе от од-

но о варианта  др ом один (или несольо) лоальный ри-

терий может возрастать, др ой (др ие) может бывать. Данный

принцип и основан на сопоставлении сммарной прибыли и

сммарной были. Если сммарная прибыль превышает сммар-

ню быль, то новый вариант предпочтительнее старо о, старый

вариант отбрасывается и ведется сопоставление оставше ося ва-

рианта с новым вариантом. В том слчае, если сммарная при-

быль меньше сммарной были, то отбрасывается новый вари-

ант, а старый вариант сравнивается со следющим вариантом.

В том слчае, если быль равняется прибыли, то эти варианты

равнозначны.

При этом сравнение может вестись а по абсолютном зна-

чению прибыли и были — то да это принцип абсолютной стп-

и, либо по относительной величине прибыли и были — то да

это принцип относительной стпи.

Принцип абсолютной стпи. Формально он может быть вы-

ражен с помощью следюще о выражения:

= F = { |

l }.

В этом выражении J

(+)

— подмножество мажориремых, т.е.

величиваемых, ритериев; I

(– )

— подмножество минориремых,

т.е. меньшаемых, ритериев. Причем, а следет из определе-

ния, ∆ f

> 0, ∆ f

< 0, ∆ f

, ∆ f

— абсолютное значение величин при-

ращения, | — символ «таой, при отором». Лчшим по принцип

абсолютной стпи считается омпромисс, при отором абсо-

лютное значение сммы снижения одно о или несольих рите-

риев не превышает абсолютно о значения сммы приращений

оставшихся ритериев.

Пример: псть, а и прежде, значения лоальных ритериев

заданы табл. 6.1.

Сравниваем межд собой первый и второй варианты. При пе-

реходе от перво о варианта о втором мы имеем: ∆f

— прира-

щение перво о ритерия, ∆ f

= ∆ f

– ∆ f

, псть эта величина

оазалась положительной ∆ f

= ∆ f

– ∆ f

> 0.

Сравниваем эти два варианта по втором ритерию: ∆ f

= ∆ f

– ∆ f

, и псть эта величина оазалась отрицательной ∆ f

= ∆ f

– ∆ f

< 0.

opt

F ° ω

F f

∆

+()

∈

∑

∆

–()

∈

∑

216

Использются следющие реализации принципа равномер-

ности: принцип равенства, принцип вазиравенства и принцип

масмина (maxmin).

Принцип равенства. Он провоз лашает целесообразность вы-

бора тао о варианта, при отором все значения лоальных ри-

териев равны межд собой. Псть инте ральный ритерий F задан

табл. 6.1.

Таблица 6.1

1, 2, 3 — номера трех вариантов, один из оторых надо вы-

брать; f

, f

— неоторые лоальные ритерии ( пример, f

—

быстродействие, f

— объем оперативной памяти и т.д.); f

— зна-

чение лоально о ритерия f

для перво о варианта и т.п.

Псть, например, f

= f

, а остальные значения лоаль-

ных ритериев для перво о и второ о вариантов не равны межд

собой. То да вариант 2 признается лчшим.

В общем виде эта модель расписывается следющим образом:

= F = (f

= f

= ... = f

Принцип вазиравенства. Пратичеси достичь равенства ло-

альных ритериев не дается, то да лчшим признается вариант,

в отором лоальные ритерии наиболее близи  этом равенств.

Принцип масимина — maxmin. Формально он может быть за-

писан с помощью следющей записи:

= F = .

Иначе оворя, для аждо о варианта выбирается минималь-

ное значение лоально о ритерия, и оончательный выбор ос-

танавливается на варианте, в отором этот минимм дости ает

свое о масимма. В этом слчае равномерность обеспечивается

за счет «подтя ивания» лоально о ритерия с наименьшим зна-

чением поазателя.

1 f

2 f

3 f

Ло. р.

№ вар.

F opt

x ° ω

F opt

F ° ω

max

F ° ω

min

1 m g m k

217

Принцип справедливой стпи. Он основан на сопоставле-

нии прироста и были величин лоальных ритериев. Ко да два

или более вариантов находятся в области омпромиссов (а толь-

о таие ситации мы и рассматриваем), то при переходе от од-

но о варианта  др ом один (или несольо) лоальный ри-

терий может возрастать, др ой (др ие) может бывать. Данный

принцип и основан на сопоставлении сммарной прибыли и

сммарной были. Если сммарная прибыль превышает сммар-

ню быль, то новый вариант предпочтительнее старо о, старый

вариант отбрасывается и ведется сопоставление оставше ося ва-

рианта с новым вариантом. В том слчае, если сммарная при-

быль меньше сммарной были, то отбрасывается новый вари-

ант, а старый вариант сравнивается со следющим вариантом.

В том слчае, если быль равняется прибыли, то эти варианты

равнозначны.

При этом сравнение может вестись а по абсолютном зна-

чению прибыли и были — то да это принцип абсолютной стп-

и, либо по относительной величине прибыли и были — то да

это принцип относительной стпи.

Принцип абсолютной стпи. Формально он может быть вы-

ражен с помощью следюще о выражения:

= F = { |

l }.

В этом выражении J

(+)

— подмножество мажориремых, т.е.

величиваемых, ритериев; I

(– )

— подмножество минориремых,

т.е. меньшаемых, ритериев. Причем, а следет из определе-

ния, ∆ f

> 0, ∆ f

< 0, ∆ f

, ∆ f

— абсолютное значение величин при-

ращения, | — символ «таой, при отором». Лчшим по принцип

абсолютной стпи считается омпромисс, при отором абсо-

лютное значение сммы снижения одно о или несольих рите-

риев не превышает абсолютно о значения сммы приращений

оставшихся ритериев.

Пример: псть, а и прежде, значения лоальных ритериев

заданы табл. 6.1.

Сравниваем межд собой первый и второй варианты. При пе-

реходе от перво о варианта о втором мы имеем: ∆f

— прира-

щение перво о ритерия, ∆ f

= ∆ f

– ∆ f

, псть эта величина

оазалась положительной ∆ f

= ∆ f

– ∆ f

> 0.

Сравниваем эти два варианта по втором ритерию: ∆ f

= ∆ f

– ∆ f

, и псть эта величина оазалась отрицательной ∆ f

= ∆ f

– ∆ f

< 0.

opt

F ° ω

F f

∆

+()

∈

∑

∆

–()

∈

∑

218

Сравниваем межд собой эти два варианта по третьем рите-

рию: ∆ f

= ∆ f

– ∆ f

, и псть эта величина тоже оазалась отри-

цательной ∆ f

= ∆ f

– ∆ f

< 0.

Если выи рыш ∆f

оазался больше прои рыша ∆ f

+ ∆ f

, то

лчшим следет признать второй вариант, если ∆ f

< ∆ f

+ ∆ f

то лчшим следет признать первый вариант — прои рали боль-

ше, чем выи рали.

После это о хдший вариант отбрасывается и совершенно

анало ично сравнение ведется выбранно о варианта со следю-

щим по поряд вариантом. Таим образом, необходимо про-

смотреть все варианты.

Можно поазать, что принцип абсолютной стпи соот-

ветствет модель масимизации сммы лоальных ритериев:

= F = → max,

т.е. ищется смма по строам всех лоальных ритериев:

+ f

и та из этих смм, оторая оажется масимальной, соответствет

лчшем вариант.

Недостатом принципа абсолютной стпи является то, что

он чрезвычайно чвствителен  значению аждо о ритерия и

поэтом большая величина одно о ритерия может «по асить»

значения др их ритериев.

Принцип относительной стпи. Формально он может быть

записан с помощью следюще о выражения:

= F = { |

l },

де x

= , x

= есть относительные значения приращения

лоальных ритериев.

В аждом столбце находится масимальное значение лоально-

о ритерия. После это о необходимо перейти  новой таблице, по-

делив все числа в столбцах предыдщей таблицы на масимальное

значение в аждом столбце. Далее с этой новой таблицей выполня-

ются те же процедры, что и в принципе абсолютной стпи.

opt

F ° ω

q 1=

∑

F opt

F ° ω

F x

+()

∈

∑

–()

∈

∑

∆

j max

------------

∆

i max

------------

219

Можно поазать, что при использовании это о омпромисса

оптимальном вариант соответствет модель масимизации

произведения лоальных ритериев, формально:

= F = → max.

Или, для слчая трех ритериев: для аждой строчи вычис-

ляется произведение:

· f

и среди этих произведений ищется масимм — это и бдет лч-

ший вариант по данном омпромисс.

Достоинством это о омпромисса является то, что он не тре-

бет предварительной нормализации ритериев. Эта нормализа-

ция осществляется автоматичеси за счет деления на маси-

мальные значения в аждом столбце.

Принцип выделения одноо оптимизиремоо ритерия. Этот

принцип является самым простейшим: один из лоальных ри-

териев объявляется лавным и тольо по нем ищется наилчшее

решение. На остальные лоальные ритерии мо т наладывать-

ся (или не наладываться) о раничения.

Формально этот принцип может быть записан следющим

образом:

= F = maxf

; f

> или < f

q доп

, i ≠ q.

Принцип последовательной стпи. Псть теперь лоальные

ритерии имеют различню важность и псть, таже, самым важ-

ным является ритерий f

, вторым по важности является рите-

рий f

, третьим — f

и т. д.

Сначала отысивается вариант, обращающий ритерий f

масимм. После это о, исходя из неоторых соображений (на-

пример, из точности, с оторой мы знаем значение f

), на рите-

рий f

наладывается неоторая «стпа» ∆f

и при о раничении

1 max

– ∆ f

выбирается вариант, обращающий в масимм второй

по важности ритерий f

. Совершенно анало ично на ритерий f

может быть наложена «стпа» ∆f

, и при соблюдении словий

выбирается вариант, обращающий в масимм следющий по

важности ритерий

, и т. д.

opt

F ° ω

q 1=

∏

F opt

F ° ω

2 max

– ∆ f

1 max

– ∆ f

218

Сравниваем межд собой эти два варианта по третьем рите-

рию: ∆ f

= ∆ f

– ∆ f

, и псть эта величина тоже оазалась отри-

цательной ∆ f

= ∆ f

– ∆ f

< 0.

Если выи рыш ∆f

оазался больше прои рыша ∆ f

+ ∆ f

, то

лчшим следет признать второй вариант, если ∆ f

< ∆ f

+ ∆ f

то лчшим следет признать первый вариант — прои рали боль-

ше, чем выи рали.

После это о хдший вариант отбрасывается и совершенно

анало ично сравнение ведется выбранно о варианта со следю-

щим по поряд вариантом. Таим образом, необходимо про-

смотреть все варианты.

Можно поазать, что принцип абсолютной стпи соот-

ветствет модель масимизации сммы лоальных ритериев:

= F = → max,

т.е. ищется смма по строам всех лоальных ритериев:

+ f

и та из этих смм, оторая оажется масимальной, соответствет

лчшем вариант.

Недостатом принципа абсолютной стпи является то, что

он чрезвычайно чвствителен  значению аждо о ритерия и

поэтом большая величина одно о ритерия может «по асить»

значения др их ритериев.

Принцип относительной стпи. Формально он может быть

записан с помощью следюще о выражения:

= F = { |

l },

де x

= , x

= есть относительные значения приращения

лоальных ритериев.

В аждом столбце находится масимальное значение лоально-

о ритерия. После это о необходимо перейти  новой таблице, по-

делив все числа в столбцах предыдщей таблицы на масимальное

значение в аждом столбце. Далее с этой новой таблицей выполня-

ются те же процедры, что и в принципе абсолютной стпи.

opt

F ° ω

q 1=

∑

F opt

F ° ω

F x

+()

∈

∑

–()

∈

∑

∆

j max

------------

∆

i max

------------

219

Можно поазать, что при использовании это о омпромисса

оптимальном вариант соответствет модель масимизации

произведения лоальных ритериев, формально:

= F = → max.

Или, для слчая трех ритериев: для аждой строчи вычис-

ляется произведение:

· f

и среди этих произведений ищется масимм — это и бдет лч-

ший вариант по данном омпромисс.

Достоинством это о омпромисса является то, что он не тре-

бет предварительной нормализации ритериев. Эта нормализа-

ция осществляется автоматичеси за счет деления на маси-

мальные значения в аждом столбце.

Принцип выделения одноо оптимизиремоо ритерия. Этот

принцип является самым простейшим: один из лоальных ри-

териев объявляется лавным и тольо по нем ищется наилчшее

решение. На остальные лоальные ритерии мо т наладывать-

ся (или не наладываться) о раничения.

Формально этот принцип может быть записан следющим

образом:

= F = maxf

; f

> или < f

q доп

, i ≠ q.

Принцип последовательной стпи. Псть теперь лоальные

ритерии имеют различню важность и псть, таже, самым важ-

ным является ритерий f

, вторым по важности является рите-

рий f

, третьим — f

и т. д.

Сначала отысивается вариант, обращающий ритерий f

масимм. После это о, исходя из неоторых соображений (на-

пример, из точности, с оторой мы знаем значение f

), на рите-

рий f

наладывается неоторая «стпа» ∆f

и при о раничении

1 max

– ∆ f

выбирается вариант, обращающий в масимм второй

по важности ритерий f

. Совершенно анало ично на ритерий f

может быть наложена «стпа» ∆f

, и при соблюдении словий

выбирается вариант, обращающий в масимм следющий по

важности ритерий

, и т. д.

opt

F ° ω

q 1=

∏

F opt

F ° ω

2 max

– ∆ f

1 max

– ∆ f

220

Способ хорош тем, что здесь отчетливо видно, ценой аой

стпи в одном ритерии можно полчить выи рыш в др их

ритериях.

Пример. Псть имеется табл. 6.2.

Таблица 6.2

1 max

= 30. Допстим, что мы со ласны допстить стп f

= 20.

То да, при словии f

l 30 – 20 = 10, просматриваем варианты по пер-

вом ритерию. В столбце «оставшиеся варианты» знаом «–» от-

мечен отбрасываемый вариант. Среди оставшихся вариантов на-

ходится лчший вариант по втором ритерию, стало быть, выби-

раем первый вариант.

Сверта лоальных ритериев. Весь вышеизложенный мате-

риал относился  слчаю, о да лчшими считались большие зна-

чения лоальных ритериев, или, иначе оворя, решалась задача

масимизации инте рально о ритерия.

Псть теперь лчшими бдт считаться меньшие значения

всех лоальных ритериев, т.е. псть необходимо решать задач

минимизации инте рально о ритерия.

В этом слчае исходню таблиц (все ее члены) необходимо

множить на –1 и, использя весь предыдщий аппарат, отыси-

вать масимм F′ = –F.

Псть теперь ряд лоальных ритериев необходимо масими-

зировать, а оставшиеся ритерии необходимо минимизировать.

В этом слчае для выбора наилчше о варианта можно использо-

вать любое из двх следющих соотношений:

= F = + , (6.14)

= F =

× . (6.15)

Оставшиеся

варианты

12114 +

21310 +

33010 +

4740 –

52813 +

Ло. р.

№ вар.

F opt

F ° ω

max

F ° ω

⎩

⎨

⎧

q 1=

∑

⎝

⎛

ql1+=

∑

⎠

⎞

1−

⎭

⎬

⎫

opt

F ° ω

max

F ° ω

⎩

⎨

⎧

q 1=

∏

⎝

⎛

ql1+=

∏

⎠

⎞

1−

⎭

⎬

⎫

221

В этих соотношениях f

q = — лоальные ритерии, ото-

рые необходимо масимизировать; f

q = — лоальные

ритерии, оторые необходимо минимизировать.

Соотношение (6.14) соответствет принцип абсолютной с-

тпи, соотношение (6.15) — принцип относительной стпи.

Способы нормализации лоальных ритериев. Проблема нор-

мализации лоальных ритериев возниает во всех задачах ве-

торной оптимизации, о да лоальные ритерии имеют различ-

ные единицы измерения (ило раммы, метры, сенды, рбли и

т. д.). Ислючение составляет лишь метод относительной стп-

и, в отором нормализация осществляется автоматичеси.

В основ нормализации положено понятие «идеально о вето-

ра», т. е. ветора с идеальными значениями лоальных ритериев

= (f

, f

, ..., f

В нормализованном пространстве ритериев вместо действи-

тельно о значения лоально о ритерия f

рассматривается без-

размерная величина f

q, n

= ,

— действительная величина, поделенная на идеальню величин.

В том слчае, если лчшим считается большее значение ри-

терия и если

q, u

≠ 0, то f

q, u

° (0,1).

Успешное решение проблемы нормализации во мно ом опре-

деляется тем, насольо дачным оажется выбор параметров

идеально о ветора. Мы рассмотрим три основных способа зада-

ния идеально о ветора.

1-й способ

. Идеальный ветор определяется неоторыми за-

данными значениями лоальных ритериев. Эти заданные значе-

ния может определить, например, заазчи разработи. Фор-

мальная запись:

= F

зад

= {f

q, зад

}, q = .

Недостато это о способа — полнейший сбъетивизм выбора.

2-й способ

. Идеальным считается ветор, параметрами оторо о

являются масимально возможные значения лоальных ритериев.

= F

max

= {f

q, max

}, q = .

1 l,

l 1+ k,

qu,

--------

1 k,