Меньков А.В., Острейковский В.А. Теоретические основы автоматизированного управления
Подождите немного. Документ загружается.
200
3. О раничения, вытеающие из необходимости поддержания
внешних параметров в заданном диапазоне
m g
i
m ,i = .
4. О раничения, вытеающие из необходимости поддержания
внтренних параметров в заданном диапазоне:
m a
i
m ,j = .
Теперь сформлирем задач оптимально о проетирования:
ищется вариант проета (набор внтренних параметров) (6.1), о-
торый принадлежал бы множеств допстимых проетов (6.3) и
обращал бы в оптимм ветор внешних параметров (6.2).
Иначе оворя, требется найти
a
opt
= (a
j
,
opt
), j = ,
g(g
i
) = opt g(g
i
), i = ,
де opt — оператор оптимизации. Он определяет выбранный при-
нцип оптимизации.
6.2. Процесс принятия решений
Процесс принятия правленчесих решений — это преобразова-
ние исходной информации (информации состояния) в выходню
информацию (информацию правления) — приаз.
Принято делить решения на формальные и творчесие. Если
преобразование информации выполняется с помощью математи-
чесих моделей, то выработанное решение считается формаль-
ным; если решение принимается в резльтате срытой работы
интеллета лица, принимающе о решения, то это решение счи-
тается творчесим. Таое деление в достаточной степени слов-
но, посоль ни чисто формально о, ни чисто творчесо о ре-
шения в природе не сществет. Если решения принимаются с
помощью математичесих моделей, то знания и опыт человечес-
тва (элементы творчества) использются при создании этих мо-
делей, а интиция (элемент творчества) использется в момент,
о да лицо, принимающее решение, задает то или иное значение
исходной информации или из множества альтернативных вари-
антов в ачестве решения выбирает один. Если основным инс-
трментом выбора решений является интеллет человеа, то
g
i доп,
min
g
i доп,
max
1 n,
a
i доп,
min
a
i доп,
max
1 m,
1 m,
1 n,
201
формальные методы, носителем оторых является вся наа,
срыто пристствют в е о знаниях и опыте.
В соответствии с делением решений на творчесие и фор-
мальные все множество проблем, соответствющих любом
процесс принятия решений, делят на два принципиально раз-
личных ласса: это проблемы онцептально о харатера и про-
блемы формально-математичесо о, или вычислительно о, ха-
ратера.
К онцептальным проблемам относят сложные ло ичесие
проблемы, оторые невозможно решить с помощью тольо фор-
мально математичесих методов и ЭВМ. Очень часто эти пробле-
мы ниальны в том смысле, что они решаются впервые и не
имеют прототипов в прошлом. Обычно онцептальные пробле-
мы решаются на ровне роводителей с привлечением рппы
эспертов. В ачестве эспертов выстпают высоовалифици-
рованные специалисты из различных областей наи и технии.
При решении онцептальных проблем формально математичес-
ие методы и рают тольо вспомо ательню роль, а лавное зна-
чение придается эрдиции, опыт и интиции эсперта. К числ
онцептальных проблем относят, в частности, таие проблемы,
а анализ и выбор целей, выявление совопности поазателей,
харатеризющих следствия принято о решения, выбор из этих
поазателей ритерия оптимальности и т.п. Формализация эв-
ристичесих процедр является содержанием ново о начно о
направления, оторое называется «Неформальная теория приня-
тия решений». В дальнейшем мы бдем предпола ать, что цели
правления, соответствющие им ритерии оптимальности и о -
раничения заданы и обсждению не подлежат. Иначе оворя, в
дальнейшем мы бдем изчать оличественню, или формальню
теорию принятия решений.
Процесс принятия решений является сложной итерационной
процедрой. Основные этапы это о процесса и их последователь-
ность представлены на рисне 6.1. Процесс начинается с появ-
ления соответствющих стимлов. В том или ином виде осщест-
вляется первоначальная формлирова проблемы. Эта формли-
рова позволяет пристпить определению целей, ритериев,
о раничений, составляется списо альтернатив, производится
сбор информации и про ноз развития проблемы. На этом заан-
чивается 1-й этап. Вся эта работа позволяет точнить и онре-
тизировать проблем. После это о последовательно разрабатыва-
ется постанова задачи, математичесая модель, метод решения,
ал оритм решения, производится оцена альтернатив и выбор
среди них оптимальной. Проводимый в залючение 2- о этапа
202
Ñòèìóëû ê
ïîÿâëåíèþ
ïðîáëåìû
Îïðåäåëåíèå
öåëåé è
êðèòåðèåâ
Îïðåäåëåíèå
îãðàíè÷åíèé
Ñáîð
èíôîðìàöèè
è ïðîãíîç
Ñîñòàâëåíèå
ñïèñêà
Ðàçðàáîòêà
ïîñòàíîâêè
çàäà÷è
Ðàçðàáîòêà
ìàòåìàòè÷åñêîé
ìîäåëè
Îöåíêà
àëüòåðíàòèâ,
àëüòåðíàòèâ
âûáîð
îïòèìàëüíîé
Àíàëèç
ð
åøåíèÿ
Ïåðåñìîòð
ïîñòàíîâêè
çàäà÷
Ïåðåñìîòð
ïðîáëåìû
Ïðèíÿòèå
ðåøåíèÿ
Èñïîëíåíèå
ðåøåíèÿ
Îöåíêà
ïîëó÷åííîãî
ðåçóëüòàòà
Âûáîð ìåòîäà
ðåøåíèÿ,
ðàçðàáîòêà
àëãîðèòìà
Ôîðìóëèðîâêà
ïðîáëåìû
1-é ýòàï 2-é ýòàï 3-é ýòàï
Âûõîä
1
3
3
3
3
5
6
7
8
11
9
13
12
10
19
17
16
18
14
15
4
2
Рис. 6.1. Процесс принятия решений
203
анализ решения может привести либо пересмотр проблемы и,
следовательно, повторению 1- о и 2- о этапов, либо пере-
смотр постанови задачи и, следовательно, повторению толь-
о 2- о этапа. Уазанные возвраты мо т быть и неодноратны-
ми. В резльтате переходят 3-м этап: принятие решения, ис-
полнение решения, оцена полченно о резльтата. Последняя
процедра может привести точно таим же последствиям, а
и анализ решения. В резльтате проблема оазывается разре-
шенной.
6.3. Общая постанова задачи принятия решений
Псть эффетивность выбора то о или ино о решения опре-
деляется неоторым ритерием F , допсающим оличественное
представление. В самом общем слчае все фаторы, от оторых
зависит эффетивность выбора, можно разбить на две рппы:
— онтролиремые (правляемые) фаторы, выбор оторых
определяется лицом, принимающим решения. Обозначим
их через X
1
, X
2
, …, X
l
;
— неонтролиремые (неправляемые) фаторы. Они харате-
ризют словия, в оторых осществляется выбор; и лицо,
принимающее решение, не может повлиять на их величин.
В состав неонтролиремых фаторов влючают и время t.
Неонтролиремые фаторы, в зависимости от информи-
рованности о них лица, принимающе о решения, можно
разделить на три под рппы:
— детерминированные неонтролиремые фаторы — это
неслчайные фисированные величины, значение
оторых в точности известно. Обозначим их через A
1
,
A
2
, …, A
p
;
— стохастичесие неонтролиремые фаторы — слчай-
ные величины с известными заонами распределе-
ния. Обозначим их через Y
1
, Y
2
, …, Y
q
;
— неопределенные неонтролиремые фаторы, для аж-
до о из оторых известна тольо область, внтри о-
торой находится неизвестный заон их распределе-
ния. Обозначим эти величины через Z
1
, Z
2
, …, Z
r
.
В соответствии с выделенными фаторами ритерий опти-
мальности можно представить в следющем виде:
F = F (X
1
, X
2
, ..., X
l
, A
1
, A
2
, ..., A
p
, Y
1
, Y
2
, ..., Y
q
,
Z
1
, Z
2
, ..., Z
r
, t). (6.4)
202
Ñòèìóëû ê
ïîÿâëåíèþ
ïðîáëåìû
Îïðåäåëåíèå
öåëåé è
êðèòåðèåâ
Îïðåäåëåíèå
îãðàíè÷åíèé
Ñáîð
èíôîðìàöèè
è ïðîãíîç
Ñîñòàâëåíèå
ñïèñêà
Ðàçðàáîòêà
ïîñòàíîâêè
çàäà÷è
Ðàçðàáîòêà
ìàòåìàòè÷åñêîé
ìîäåëè
Îöåíêà
àëüòåðíàòèâ,
àëüòåðíàòèâ
âûáîð
îïòèìàëüíîé
Àíàëèç
ð
åøåíèÿ
Ïåðåñìîòð
ïîñòàíîâêè
çàäà÷
Ïåðåñìîòð
ïðîáëåìû
Ïðèíÿòèå
ðåøåíèÿ
Èñïîëíåíèå
ðåøåíèÿ
Îöåíêà
ïîëó÷åííîãî
ðåçóëüòàòà
Âûáîð ìåòîäà
ðåøåíèÿ,
ðàçðàáîòêà
àëãîðèòìà
Ôîðìóëèðîâêà
ïðîáëåìû
1-é ýòàï 2-é ýòàï 3-é ýòàï
Âûõîä
1
3
3
3
3
5
6
7
8
11
9
13
12
10
19
17
16
18
14
15
4
2
Рис. 6.1. Процесс принятия решений
203
анализ решения может привести либо пересмотр проблемы и,
следовательно, повторению 1- о и 2- о этапов, либо пере-
смотр постанови задачи и, следовательно, повторению толь-
о 2- о этапа. Уазанные возвраты мо т быть и неодноратны-
ми. В резльтате переходят 3-м этап: принятие решения, ис-
полнение решения, оцена полченно о резльтата. Последняя
процедра может привести точно таим же последствиям, а
и анализ решения. В резльтате проблема оазывается разре-
шенной.
6.3. Общая постанова задачи принятия решений
Псть эффетивность выбора то о или ино о решения опре-
деляется неоторым ритерием F , допсающим оличественное
представление. В самом общем слчае все фаторы, от оторых
зависит эффетивность выбора, можно разбить на две рппы:
— онтролиремые (правляемые) фаторы, выбор оторых
определяется лицом, принимающим решения. Обозначим
их через X
1
, X
2
, …, X
l
;
— неонтролиремые (неправляемые) фаторы. Они харате-
ризют словия, в оторых осществляется выбор; и лицо,
принимающее решение, не может повлиять на их величин.
В состав неонтролиремых фаторов влючают и время t.
Неонтролиремые фаторы, в зависимости от информи-
рованности о них лица, принимающе о решения, можно
разделить на три под рппы:
— детерминированные неонтролиремые фаторы — это
неслчайные фисированные величины, значение
оторых в точности известно. Обозначим их через A
1
,
A
2
, …, A
p
;
— стохастичесие неонтролиремые фаторы — слчай-
ные величины с известными заонами распределе-
ния. Обозначим их через Y
1
, Y
2
, …, Y
q
;
— неопределенные неонтролиремые фаторы, для аж-
до о из оторых известна тольо область, внтри о-
торой находится неизвестный заон их распределе-
ния. Обозначим эти величины через Z
1
, Z
2
, …, Z
r
.
В соответствии с выделенными фаторами ритерий опти-
мальности можно представить в следющем виде:
F = F (X
1
, X
2
, ..., X
l
, A
1
, A
2
, ..., A
p
, Y
1
, Y
2
, ..., Y
q
,
Z
1
, Z
2
, ..., Z
r
, t). (6.4)
204
Величины X, A, Y, Z в самом общем слчае мо т быть саля-
рами, веторами, матрицами.
Величины онтролиремых (правляемых) параметров в об-
щем слчае обычно о раничены естественным рядом причин, на-
пример, о раниченностью ресрсов. Математичеси эти о рани-
чения можно записать в следющем виде:
q
i
= q
i
(X
1
, X
2
, ..., X
l
, A
1
, A
2
, ..., A
p
, Y
1
, Y
2
, ..., Y
q
,
Z
1
, Z
2
, ..., Z
r
, t), (6.5)
причем это выражение может быть меньше или равно, равно,
больше или равно b
i
, i = .
Условия (6.5) определяют области , , ..., — про-
странства, внтри оторых расположены допстимые значения
правляемых фаторов X
1
, X
2
,..., X
l
. Совершенно анало ично
можно расписать о раничения и на области значений неонтро-
лиремых параметров. Посоль ритерий оптимальности F
есть оличественная мера достижения целей правления, то ма-
тематичеси цель правления выражается в стремлении маси-
мально возможном величению (или меньшению) значения
ритерия оптимальности F , т. е.
F → max(или min).
Средством достижения этой цели является выбор правлений
X
1
, X
2
, ..., X
l
, принадлежащих областям их допстимых значений
, , ..., .
Таим образом, общая постанова задачи принятия решений
может быть сформлирована следющим образом: при заданных
значениях фисированных и неонтролиремых фаторов A
1
,
A
2
, …, A
p
стохастичесих неонтролиремых фаторов Y
1
, Y
2
, …, Y
q
с четом неопределенных фаторов Z
1
, Z
2
, …, Z
Y
найти ,
, ..., , принадлежащее областям их допстимых значе-
ний W
x1
, W
x2
, …, W
xl
, оторые по возможности обращали бы в
масимм (минимм) ритерий оптимальности F.
6.4. Классифиация задач принятия решений
Воспольземся лассифиацией, в основ оторой положены
четыре важных лассифиационных признаа (рис. 6.2):
1) оличество целей правления и соответствющих им ри-
териев оптимальности;
2) наличие или отстствие зависимости ритерия оптималь-
ности и о раничений от времени;
1 n,
W
x
1
W
x
2
W
x
l
W
x
1
W
x
2
W
x
l
X
1 opt
X
2 opt
X
l opt
205
Çàäà÷è ïðèíÿòèÿ ðåøåíèé
(ÇÏÐ)
Îäíîêðèòåðèàëüíûå ÇÏÐ Ìíîãîêðèòåðèàëüíûå ÇÏÐ
Ñòàòè÷åñêèå ÇÏÐÄèíàìè÷åñêèå ÇÏÐ
ÇÏÐ â
óñëîâèÿõ
ÇÏÐ â
óñëîâèÿõ
ðèñêà
ÇÏÐ â
óñëîâèÿõ
íåîïðåäå-
ëåííîñòè
ëåííîñòè
ÇÏÐ â
óñëîâèÿõ
îïðåäå-
ëåííîñòè
îïðåäå-
ÇÏÐ â
óñëîâèÿõ
ðèñêà
ÇÏÐ â
óñëîâèÿõ
íåîïðåäå-
ëåííîñòè
Òåîðèÿ
ìàòåìàòè-
÷åñêîãî
ïðîãðàììè-
ðîâàíèÿ
(ÒÌÏ)
Òåîðèÿ
ñëó÷àéíûõ
ïðîöåññîâ +
ñòàòèñòè-
÷åñêàÿ
äèíàìèêà
ÑÓ +
ýêñïåðòíûå
ïðîöåäóðû
Âàðèàöèîí-
íîå èñ÷èñ-
ëåíèå +
òåîðèÿ
îïòèìàëü-
íûõ ñèñòåì
Òåîðèÿ
âåðîÿòíî-
ñòåé +
ÒÌÏ +
ýêñïåðòíûå
ïðîöåäóðû
Òåîðèÿ
èãð +
òåîðèÿ
ñòàòèñòè-
÷åñêèõ
ðåøåíèé +
ýêñïåðòíûå
ïðîöåäóðû
ïðîöåäóðû
Òåîðèÿ
ìíîãîêðèòå-
ðèàëüíûõ
ÇÏÐ +
ýêñïåðòíûå
ïðîöåäóðû
Ìàòåìàòè÷åñêèé
àïïàðàò
Ïðèçíàê
êëàññèôèêàöèè
Êîëè÷åñòâî
êðèòåðèåâ
îïòèìèçàöèè
Çàâèñèìîñòü
îò âðåìåíè
Îïðåäåëåííîñòü
—
íåîïðåäåëåííîñòü
ðèñê —
Òåîðèÿ
äèôôåðåí-
öèàëüíûõ
èãð +
ýêñïåðòíûå
Рис. 6.2. Классифиация ЗПР и методов их решения
204
Величины X, A, Y, Z в самом общем слчае мо т быть саля-
рами, веторами, матрицами.
Величины онтролиремых (правляемых) параметров в об-
щем слчае обычно о раничены естественным рядом причин, на-
пример, о раниченностью ресрсов. Математичеси эти о рани-
чения можно записать в следющем виде:
q
i
= q
i
(X
1
, X
2
, ..., X
l
, A
1
, A
2
, ..., A
p
, Y
1
, Y
2
, ..., Y
q
,
Z
1
, Z
2
, ..., Z
r
, t), (6.5)
причем это выражение может быть меньше или равно, равно,
больше или равно b
i
, i = .
Условия (6.5) определяют области , , ..., — про-
странства, внтри оторых расположены допстимые значения
правляемых фаторов X
1
, X
2
,..., X
l
. Совершенно анало ично
можно расписать о раничения и на области значений неонтро-
лиремых параметров. Посоль ритерий оптимальности F
есть оличественная мера достижения целей правления, то ма-
тематичеси цель правления выражается в стремлении маси-
мально возможном величению (или меньшению) значения
ритерия оптимальности F , т. е.
F → max(или min).
Средством достижения этой цели является выбор правлений
X
1
, X
2
, ..., X
l
, принадлежащих областям их допстимых значений
, , ..., .
Таим образом, общая постанова задачи принятия решений
может быть сформлирована следющим образом: при заданных
значениях фисированных и неонтролиремых фаторов A
1
,
A
2
, …, A
p
стохастичесих неонтролиремых фаторов Y
1
, Y
2
, …, Y
q
с четом неопределенных фаторов Z
1
, Z
2
, …, Z
Y
найти ,
, ..., , принадлежащее областям их допстимых значе-
ний W
x1
, W
x2
, …, W
xl
, оторые по возможности обращали бы в
масимм (минимм) ритерий оптимальности F.
6.4. Классифиация задач принятия решений
Воспольземся лассифиацией, в основ оторой положены
четыре важных лассифиационных признаа (рис. 6.2):
1) оличество целей правления и соответствющих им ри-
териев оптимальности;
2) наличие или отстствие зависимости ритерия оптималь-
ности и о раничений от времени;
1 n,
W
x
1
W
x
2
W
x
l
W
x
1
W
x
2
W
x
l
X
1 opt
X
2 opt
X
l opt
205
Çàäà÷è ïðèíÿòèÿ ðåøåíèé
(ÇÏÐ)
Îäíîêðèòåðèàëüíûå ÇÏÐ Ìíîãîêðèòåðèàëüíûå ÇÏÐ
Ñòàòè÷åñêèå ÇÏÐÄèíàìè÷åñêèå ÇÏÐ
ÇÏÐ â
óñëîâèÿõ
ÇÏÐ â
óñëîâèÿõ
ðèñêà
ÇÏÐ â
óñëîâèÿõ
íåîïðåäå-
ëåííîñòè
ëåííîñòè
ÇÏÐ â
óñëîâèÿõ
îïðåäå-
ëåííîñòè
îïðåäå-
ÇÏÐ â
óñëîâèÿõ
ðèñêà
ÇÏÐ â
óñëîâèÿõ
íåîïðåäå-
ëåííîñòè
Òåîðèÿ
ìàòåìàòè-
÷åñêîãî
ïðîãðàììè-
ðîâàíèÿ
(ÒÌÏ)
Òåîðèÿ
ñëó÷àéíûõ
ïðîöåññîâ +
ñòàòèñòè-
÷åñêàÿ
äèíàìèêà
ÑÓ +
ýêñïåðòíûå
ïðîöåäóðû
Âàðèàöèîí-
íîå èñ÷èñ-
ëåíèå +
òåîðèÿ
îïòèìàëü-
íûõ ñèñòåì
Òåîðèÿ
âåðîÿòíî-
ñòåé +
ÒÌÏ +
ýêñïåðòíûå
ïðîöåäóðû
Òåîðèÿ
èãð +
òåîðèÿ
ñòàòèñòè-
÷åñêèõ
ðåøåíèé +
ýêñïåðòíûå
ïðîöåäóðû
ïðîöåäóðû
Òåîðèÿ
ìíîãîêðèòå-
ðèàëüíûõ
ÇÏÐ +
ýêñïåðòíûå
ïðîöåäóðû
Ìàòåìàòè÷åñêèé
àïïàðàò
Ïðèçíàê
êëàññèôèêàöèè
Êîëè÷åñòâî
êðèòåðèåâ
îïòèìèçàöèè
Çàâèñèìîñòü
îò âðåìåíè
Îïðåäåëåííîñòü
—
íåîïðåäåëåííîñòü
ðèñê —
Òåîðèÿ
äèôôåðåí-
öèàëüíûõ
èãð +
ýêñïåðòíûå
Рис. 6.2. Классифиация ЗПР и методов их решения
206
3) наличие слчайных и неопределенных фаторов, этот
призна называют признаом «определенность — рис —
неопределенность»;
4) использемый для их решения математичесий аппарат.
По первом лассифиационном призна ЗПР делятся на
одноцелевые или одноритериальные (салярные) и мно оцеле-
вые или мно оритериальные (веторные) ЗПР.
По втором лассифиационном призна ЗПР делится на ста-
тичесие (не зависящие от времени) и динамичесие (зависящие от
времени) ЗПР. Динамичесим ЗПР присщи две особенности:
1) в ачестве ритерия оптимальности в динамичесих ЗПР
выстпает не фнция, а в статичесих ЗПР, а фнци-
онал, зависящий от фнций времени;
2) в составе о раничений обычно пристствют та называе-
мые дифференциальные связи, описываемые дифферен-
циальными равнениями.
По призна «определенность — рис — неопределенность»
ЗПР подразделяют на три больших подласса:
1) принятие решений в словиях определенности, или детер-
минированные ЗПР. Они харатеризются однозначной
детерминированной связью межд принятым решением и
е о исходом;
2) принятие решений при рисе, или стохастичесие ЗПР.
Любое принятое решение может привести одном из
множества возможных исходов, причем аждый исход
имеет определенню вероятность появления. Предпола а-
ется, что эти вероятности заранее известны лиц, прини-
мающем решения;
3) принятие решений в словиях неопределенности. Любое
принятое решение может привести одном из множест-
ва возможных исходов, вероятности появления оторых
неизвестны.
Деление задач принятия решений по использемом для их
решения математичесом аппарат поазано на рис. 6.2.
6.5. Одноритериальные задачи принятия решений
Псть исход правляемо о мероприятия зависит от выбранно-
о решения (страте ии правления) и неоторых неслчайных,
фисированных фаторов, полностью известных лиц, принима-
ющем решение. Страте ии правления мо т быть представлены
в виде значений n-мерно о ветора X = (x
1
, x
2
,…, x
n
), на омпо-
207
ненты оторо о наложены о раничения, обсловленные рядом
естественных причин и имеющие вид
g
i
= g
i
(A
i
, X) {m, =, l} b
i
;
i = ; m {m, =, l} n, (6.6)
де А
i
— неоторый массив фисированных неслчайных пара-
метров.
Условия (6.6) определяют область Ω
X
допстимых значений
страте ий X.
Эффетивность правления харатеризется неоторым чис-
ленным ритерием оптимальности F:
F = F (X, C ), (6.7)
де С — массив фисированных, неслчайных параметров.
Массивы A
i
и С харатеризют свойства объетов, частвю-
щих в правлении, и словия протеания правления.
Перед лицом, принимающим решение, стоит задача выбора
тао о значениях = ( , , ..., ) ветора правления X = (x
1
,
x
2
, …, x
n
) из области Ω
X
е о допстимых значений, оторое ма-
симизирет значение ритерия оптимальности F, а таже значе-
ние это о масимма
= F (, C ) = F(X, C ), (6.8)
де область Ω
X
представляется словием (6.6).
В (6.8) символы и обозначают масимально достижимое
в словиях (6.6) значение ритерия оптимальности F и соответс-
твющее ем оптимальное значение ветора правления X.
Совопность соотношений (6.6), (6.7) и (6.8) представляет
собой общий вид математичесой модели одноритериальной
статичесой детерминированной ЗПР.
Задача в таой постанове полностью совпадает с общей пос-
тановой задачи математичесо о про раммирования. Поэтом
весь арсенал методов, разработанных для решения задач матема-
тичесо о про раммирования, может быть использован для реше-
ния задач принятия решений данно о ласса. Мы не бдем здесь
останавливаться на обзоре соответствющих методов решения.
Рассмотрим пример одноритериальной статичесой детер-
минированной ЗПР.
Псть необходимо отображать неоторое оличество инфор-
мационных моделей (например, арто рафичесю информа-
цию). Для отображения любой из моделей все да требется ре-
шать n различных задач З
1
, З
2
, ..., З
n
(отображение символов,
1 m,
X x
1
x
2
x
n
F
F X max
X ° Ω
X
F X
206
3) наличие слчайных и неопределенных фаторов, этот
призна называют признаом «определенность — рис —
неопределенность»;
4) использемый для их решения математичесий аппарат.
По первом лассифиационном призна ЗПР делятся на
одноцелевые или одноритериальные (салярные) и мно оцеле-
вые или мно оритериальные (веторные) ЗПР.
По втором лассифиационном призна ЗПР делится на ста-
тичесие (не зависящие от времени) и динамичесие (зависящие от
времени) ЗПР. Динамичесим ЗПР присщи две особенности:
1) в ачестве ритерия оптимальности в динамичесих ЗПР
выстпает не фнция, а в статичесих ЗПР, а фнци-
онал, зависящий от фнций времени;
2) в составе о раничений обычно пристствют та называе-
мые дифференциальные связи, описываемые дифферен-
циальными равнениями.
По призна «определенность — рис — неопределенность»
ЗПР подразделяют на три больших подласса:
1) принятие решений в словиях определенности, или детер-
минированные ЗПР. Они харатеризются однозначной
детерминированной связью межд принятым решением и
е о исходом;
2) принятие решений при рисе, или стохастичесие ЗПР.
Любое принятое решение может привести одном из
множества возможных исходов, причем аждый исход
имеет определенню вероятность появления. Предпола а-
ется, что эти вероятности заранее известны лиц, прини-
мающем решения;
3) принятие решений в словиях неопределенности. Любое
принятое решение может привести одном из множест-
ва возможных исходов, вероятности появления оторых
неизвестны.
Деление задач принятия решений по использемом для их
решения математичесом аппарат поазано на рис. 6.2.
6.5. Одноритериальные задачи принятия решений
Псть исход правляемо о мероприятия зависит от выбранно-
о решения (страте ии правления) и неоторых неслчайных,
фисированных фаторов, полностью известных лиц, принима-
ющем решение. Страте ии правления мо т быть представлены
в виде значений n-мерно о ветора X = (x
1
, x
2
,…, x
n
), на омпо-
207
ненты оторо о наложены о раничения, обсловленные рядом
естественных причин и имеющие вид
g
i
= g
i
(A
i
, X) {m, =, l} b
i
;
i = ; m {m, =, l} n, (6.6)
де А
i
— неоторый массив фисированных неслчайных пара-
метров.
Условия (6.6) определяют область Ω
X
допстимых значений
страте ий X.
Эффетивность правления харатеризется неоторым чис-
ленным ритерием оптимальности F:
F = F (X, C ), (6.7)
де С — массив фисированных, неслчайных параметров.
Массивы A
i
и С харатеризют свойства объетов, частвю-
щих в правлении, и словия протеания правления.
Перед лицом, принимающим решение, стоит задача выбора
тао о значениях = ( , , ..., ) ветора правления X = (x
1
,
x
2
, …, x
n
) из области Ω
X
е о допстимых значений, оторое ма-
симизирет значение ритерия оптимальности F, а таже значе-
ние это о масимма
= F (, C ) = F(X, C ), (6.8)
де область Ω
X
представляется словием (6.6).
В (6.8) символы и обозначают масимально достижимое
в словиях (6.6) значение ритерия оптимальности F и соответс-
твющее ем оптимальное значение ветора правления X.
Совопность соотношений (6.6), (6.7) и (6.8) представляет
собой общий вид математичесой модели одноритериальной
статичесой детерминированной ЗПР.
Задача в таой постанове полностью совпадает с общей пос-
тановой задачи математичесо о про раммирования. Поэтом
весь арсенал методов, разработанных для решения задач матема-
тичесо о про раммирования, может быть использован для реше-
ния задач принятия решений данно о ласса. Мы не бдем здесь
останавливаться на обзоре соответствющих методов решения.
Рассмотрим пример одноритериальной статичесой детер-
минированной ЗПР.
Псть необходимо отображать неоторое оличество инфор-
мационных моделей (например, арто рафичесю информа-
цию). Для отображения любой из моделей все да требется ре-
шать n различных задач З
1
, З
2
, ..., З
n
(отображение символов,
1 m,
X x
1
x
2
x
n
F
F X max
X ° Ω
X
F X
208
отображение веторов, поворот и перемещение изображения,
масштабирование и т.п.). Все задачи взаимно независимы. Для
решения этих задач мо т быть использованы m различных ми-
ропроцессоров М
1
, М
2
, ..., М
n
. В течение времени T миропро-
цессор M
j
может решить a
ij
задач типа З
i
(i = ; j = ), т. е.
решить задач З
i
несольо раз по одном и том же ал оритм,
но для различных исходных данных.
Информационню модель можно отображать тольо в том
слчае, если она содержит полный набор резльтатов решения
всех задач З
1
, З
2
, ..., З
n
.
Требется распределить задачи по миропроцессорам та,
чтобы число информационных моделей, синтезированных за
время Т, было масимально. Иначе оворя, необходимо азать,
аю часть времени Т миропроцессор М
j
, должен занимать ре-
шением задачи З
i
.
Обозначим эт величин через x
ij
(если эта задача не бдет ре-
шаться на данном миропроцессоре, то x
ij
= 0).
Очевидно, что общее время занятости аждо о миропроцес-
сора решением всех задач не должно превышать обще о запаса
времени Т, «доля» — единицы. Таим образом, имеем следющие
о раничительные словия:
m 1, j = .
Общее оличество решений N
i
задачи З
i
, полченных всеми
миропроцессорами вместе,
N
i
= , i = .
Та а информационная модель может быть синтезирована
лишь из полно о набора резльтатов решения всех задач, то о-
личество информационных моделей F бдет определяться мини-
мальным из чисел N
i
.
Ита, имеем следющю математичесю модель: требется
найти таие x
ij
, чтобы обращалась в масимм фнция F .
F = min , i =
при
m 1,j = , x
ij
l 0.
1 n,
1 m,
x
ij
i 1=
n
∑
1 m,
a
ij
x
ij
j
1=
m
∑
1 n,
a
ij
x
ij
j
1=
m
∑
1 n,
x
ij
i 1=
n
∑
1 m,
209
6.6. Принятие решений в словиях риса
Ка отмечалось, аждая выбранная страте ия правления в
словиях рына связана с множеством возможных исходов, при-
чем аждый исход имеет определенню вероятность появления,
известню заранее челове, принимающем решение.
При оптимизации решения в подобной ситации стохасти-
чесю ЗПР сводят детерминированной. Широо использют
при этом следющие два принципа: иссственное сведение де-
терминированной схеме и оптимизация в среднем.
В первом слчае неопределенная, вероятностная артина
явления приближенно заменяется детерминированной. Для
это о все частвющие в задаче слчайные фаторы прибли-
женно заменяются аими-то неслчайными харатеристиа-
ми этих фаторов (а правило, их математичесими ожидани-
ями).
Этот прием использется в рбых, ориентировочных расче-
тах, а таже в тех слчаях, о да диапазон возможных значений
слчайных величин сравнительно мал. В тех слчаях, о да поа-
затель эффетивности правления линейно зависит от слчайных
параметров, этот прием приводит том же резльтат, что и «оп-
тимизация в среднем».
Прием «оптимизация в среднем» залючается в переходе от
исходно о поазателя эффетивности Q, являюще ося слчайной
величиной:
Q = Q(X, A, y
1
, y
2
, ..., y
q
),
де X — ветор правления; A — массив детерминированных фа-
торов; y
1
, y
2
, ..., y
q
— онретные реализации слчайных фиси-
рованных фаторов Y
1
, Y
2
, ..., Y
q
е о средненной, статичесой
харатеристие, например, е о математичесом ожиданию
M[Q]:
F = M[Q] = ... Q(X, A, y
1
, y
2
, ..., y
q
) ×
× f (y
1
, y
2
, ..., y
q
)d , dy
2
, ..., dy
q
= F (X, A, B). (6.9)
Здесь B — массив известных статистичесих харатеристи
слчайных величин Y
1
, Y
2
, …, Y
q
; f (y
1
, y
2
, …, y
q
) — заон распре-
деления вероятностей слчайных величин Y
1
, Y
2
, ..., У
q
.
При оптимизации в среднем по ритерию (6.9) в ачестве оп-
тимальной страте ии бдет выбрана таая, страте ия, оторая,
довлетворяя о раничениям на область
Q
x
допстимых значений
∫ ∫ ∫
y
1
X
208
отображение веторов, поворот и перемещение изображения,
масштабирование и т.п.). Все задачи взаимно независимы. Для
решения этих задач мо т быть использованы m различных ми-
ропроцессоров М
1
, М
2
, ..., М
n
. В течение времени T миропро-
цессор M
j
может решить a
ij
задач типа З
i
(i = ; j = ), т. е.
решить задач З
i
несольо раз по одном и том же ал оритм,
но для различных исходных данных.
Информационню модель можно отображать тольо в том
слчае, если она содержит полный набор резльтатов решения
всех задач З
1
, З
2
, ..., З
n
.
Требется распределить задачи по миропроцессорам та,
чтобы число информационных моделей, синтезированных за
время Т, было масимально. Иначе оворя, необходимо азать,
аю часть времени Т миропроцессор М
j
, должен занимать ре-
шением задачи З
i
.
Обозначим эт величин через x
ij
(если эта задача не бдет ре-
шаться на данном миропроцессоре, то x
ij
= 0).
Очевидно, что общее время занятости аждо о миропроцес-
сора решением всех задач не должно превышать обще о запаса
времени Т, «доля» — единицы. Таим образом, имеем следющие
о раничительные словия:
m 1, j = .
Общее оличество решений N
i
задачи З
i
, полченных всеми
миропроцессорами вместе,
N
i
= , i = .
Та а информационная модель может быть синтезирована
лишь из полно о набора резльтатов решения всех задач, то о-
личество информационных моделей F бдет определяться мини-
мальным из чисел N
i
.
Ита, имеем следющю математичесю модель: требется
найти таие x
ij
, чтобы обращалась в масимм фнция F .
F = min , i =
при
m 1,j = , x
ij
l 0.
1 n,
1 m,
x
ij
i 1=
n
∑
1 m,
a
ij
x
ij
j
1=
m
∑
1 n,
a
ij
x
ij
j
1=
m
∑
1 n,
x
ij
i 1=
n
∑
1 m,
209
6.6. Принятие решений в словиях риса
Ка отмечалось, аждая выбранная страте ия правления в
словиях рына связана с множеством возможных исходов, при-
чем аждый исход имеет определенню вероятность появления,
известню заранее челове, принимающем решение.
При оптимизации решения в подобной ситации стохасти-
чесю ЗПР сводят детерминированной. Широо использют
при этом следющие два принципа: иссственное сведение де-
терминированной схеме и оптимизация в среднем.
В первом слчае неопределенная, вероятностная артина
явления приближенно заменяется детерминированной. Для
это о все частвющие в задаче слчайные фаторы прибли-
женно заменяются аими-то неслчайными харатеристиа-
ми этих фаторов (а правило, их математичесими ожидани-
ями).
Этот прием использется в рбых, ориентировочных расче-
тах, а таже в тех слчаях, о да диапазон возможных значений
слчайных величин сравнительно мал. В тех слчаях, о да поа-
затель эффетивности правления линейно зависит от слчайных
параметров, этот прием приводит том же резльтат, что и «оп-
тимизация в среднем».
Прием «оптимизация в среднем» залючается в переходе от
исходно о поазателя эффетивности Q, являюще ося слчайной
величиной:
Q = Q(X, A, y
1
, y
2
, ..., y
q
),
де X — ветор правления; A — массив детерминированных фа-
торов; y
1
, y
2
, ..., y
q
— онретные реализации слчайных фиси-
рованных фаторов Y
1
, Y
2
, ..., Y
q
е о средненной, статичесой
харатеристие, например, е о математичесом ожиданию
M[Q]:
F = M[Q] = ... Q(X, A, y
1
, y
2
, ..., y
q
) ×
× f (y
1
, y
2
, ..., y
q
)d , dy
2
, ..., dy
q
= F (X, A, B). (6.9)
Здесь B — массив известных статистичесих харатеристи
слчайных величин Y
1
, Y
2
, …, Y
q
; f (y
1
, y
2
, …, y
q
) — заон распре-
деления вероятностей слчайных величин Y
1
, Y
2
, ..., У
q
.
При оптимизации в среднем по ритерию (6.9) в ачестве оп-
тимальной страте ии бдет выбрана таая, страте ия, оторая,
довлетворяя о раничениям на область
Q
x
допстимых значений
∫ ∫ ∫
y
1
X
210
ветора X, масимизирет значение математичесо о ожидания
F = М[Q] исходно о поазателя эффетивности Q, т. е.
= F (, A, B) = max F(X, A, B) =
= M [X, A, y
1
, y
2
, ..., y
q
]. (6.10)
В том слчае, если число возможных страте ий i онечно i =
и число возможных исходов j онечно j = , то выражение (6.10)
переписывается в виде
= F () = [F(X
i
)] = , (6.11)
де Q
ij
— значение поазателя эффетивности правления в слчае
появления j-то о исхода при выборе i страте ии правления; P
ij
— ве-
роятность появления j-то о исхода при реализации i-той страте ии.
Из выражений (6.10) и (6.11) следет, что оптимальная страте-
ия приводит арантированном наилчшем резльтат
тольо при мно оратном повторении ситации в одинаовых
словиях. Эффетивность аждо о отдельно о выбора связана
с рисом и может отличаться от средней величины а в лчшю,
та и в хдшю сторон.
Сравнение двх рассмотренных принципов оптимизации в
стохастичесих ЗПР поазывает, что они представляют собой де-
терминизацию исходной задачи на разных ровнях влияния сто-
хастичесих фаторов. «Иссственное сведение детерминиро-
ванной схеме» представляет собой детерминизацию на ровне
фаторов, «оптимизация в среднем» — на ровне поазателя эф-
фетивности.
После выполнения детерминизации мо т быть использова-
ны все методы, применимые для решения одноритериальных
статичесих детерминированных ЗПР.
Рассмотрим пример одноритериальной статичесой задачи
принятия решений в словиях риса.
Для создания арто рафичесой базы данных необходимо о-
дировать арто рафичесю информацию. Использование поэ-
лементно о одирования приводит необходимости использова-
ния чрезвычайно больших объемов памяти. Известен ряд методов
одирования, позволяющих сщественно соратить требемый
объем памяти (например, линейная интерполяция, интерполя-
ция лассичесими мно очленами, бичесие сплайны и т.п.).
Основным поазателем эффетивности метода одирования яв-
ляется оэффициент сжатия информации. Однао значение это-
F
X
max
X ° Ω
X
1 I,
1 J,
F X max
1 m i m I
max
1 m i m I
P
ij
Q
ij
j
1=
J
∑
X
211
о оэффициента зависит от вида одиремой арто рафичесой
информации ( идро рафия, раницы вида рафичесой одире-
мой информации и т. п.). Обозначим через Q
ij
i = ; j = зна-
чение оэффициента сжатия i-то о метода одирования для j-то о
вида информации. Конретный район, подлежащий одирова-
нию, заранее неизвестен. Однао предварительный анализ арто-
рафичесой информации все о ре иона и опыт предыдщих раз-
работо позволяет вычислить вероятность появления аждо о из
видов информации. Обозначим через P
ij
вероятность появления
j-то о вида, = 1. То да, использя метод оптимизации в
среднем, следет выбрать таой метод одирования, для оторо о
= max , i = .
6.7. Принятие решений в словиях неопределенности
Прежде все о отметим принципиальное различие межд сто-
хастичесими фаторами, приводящими принятию решения в
словиях риса, и неопределенными фаторами, приводящими
принятию решения в словиях неопределенности. И те, и др-
ие приводят разброс возможных исходов резльтатов п-
равления. Но стохастичесие фаторы полностью описываются
известной стохастичесой информацией, эта информация и поз-
воляет выбрать лчшее в среднем решение. Применительно не-
определенным фаторам подобная информация отстствет.
В общем слчае неопределенность может быть вызвана либо
противодействием размно о противниа, либо недостаточной
осведомленностью об словиях, в оторых осществляется выбор
решения.
Принятие решений в словиях размно о противодействия
является объетом исследования теории и р. Мы здесь не бдем
асаться этих вопросов.
Рассмотрим принципы выбора решений при наличии недо-
статочной осведомленности относительно словий, в оторых
осществляется выбор. Таие ситации принято называть «и ра-
ми с природой».
В терминах «и ры с природой» задача принятия решений мо-
жет быть сформлирована следющим образом. Псть лицо, при-
нимающее решение, может выбрать один из m возможных вари-
1 n,
1 m,
P
ij
j
1=
m
∑
F P
ij
Q
ij
j
1=
m
∑
1 n,