Медведева С.Н. Курс лекций Математические задачи в энергетике

Подождите немного. Документ загружается.

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ

ПЕНЗЕНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

Медведева С.Н.

КУРС ЛЕКЦИЙ "МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ В

ЭНЕРГЕТИКЕ"

Тексты лекций

ПЕНЗА 2005

Введение:

При планировании развития, проектировании и управлении режимами

электроэнергетических систем (ЭЭС) необходимо решать круг технических и

технико-экономических задач, которые имеют аналитический и расчетный

характер.

Задачи электроэнергетики достаточно сложны, что обусловлено:

1) сложностью ЭЭС,

2) высокой скоростью и взаимосвязью процессов, протекающих в

различных элементах системы в нормальных и аварийных режимах

3) обеспечением

надежной работы при различных авариях

Как следствие, решаемые задачи электроэнергетики являются

многофункциональными, зависящими от многих параметров, громоздкими,

требующими сложных и объемных расчетов. По этой причине

электроэнергетика является одной из отраслей народного хозяйства, где нашли

широкое применение различные моделирующие и вычислительные

устройства.

Классификация областей применения и задач электроэнергетики

1) эксплуатационные расчеты. Задачи, решаемые здесь, можно

условно разделить на 3 группы:

– переработка оперативной информации;

– определение допустимой области управления;

– оптимизация режимов.

Каждая группа включает большой объем разнообразных расчетных

исследований. Например определение области допустимых режимов включает

в себя расчеты потокораспределения установившихся режимов (УР);

определение статической устойчивости и ее запасов; анализ

электромеханических переходных процессов (определение

динамической

усталости, исследование длительных переходных процессов, связанных с

аварийными нарушениями балансов мощности, расчеты асинхронных режимов

и т. п.); исследование электромагнитных переходных процессов (расчет токов

к.з., анализ самовозбуждения и др.); выбор настроек автоматических устройств

противоаварийного управления и др.

2) проектирование электроэнергетических объектов – кроме

упомянутых выше расчетов режимов и процессов, необходимых для

правильного решения проектных вопросов нужно вести вычисления связанные

с:

– выбором структуры генерирующих мощностей;

– размещение электростанций и их развитие во времени;

– выбором конфигурации сети: сравнение экономичности вариантов;

проведение оптимизационных расчетов экономически целесообразной

компенсации реактивной мощности; конструкторские расчеты проводов, опор

и других

сооружений, расчеты трасс ЛЭП;

3) планирование развития ЭЭС – решение широкого круга технико-

экономических задач с целью получения наиболее экономичного решения,

удовлетворяющего заданным техническим условиям;

4) научно-исследовательская работа: широкий круг задач –от физико-

технических вопросов, связанных с разработкой новых машин и аппаратов, до

разработки новых более эффективных алгоритмов и методик решения проблем

п.п.1-3;

5) применение методов моделирования в АСУ (АСДУ) – использование

вычислительных машин непосредственно в контуре управления ЭЭС как части

системы управления позволяет существенно увеличить надежность и

экономичность эксплуатации ЭЭС.

Итак, не только для проведения расчетов и исследования ЭЭС, но и

непосредственно для управления ими становятся необходимыми

вычислительные машины, различные моделирующие устройства.

Развитие устройств моделирования (экскурс в историю)

Разнообразие задач и их усложнение по мере развития ЭЭС обуславливает

все более широкое применение для их решения моделирующих и

вычислительных устройств. Методы решения задач, развивавшиеся

применительно к возрастающим требованиям практики, в значительной мере

определялись возможностями располагаемых устройств.

В 50-е и начале 60-х г.г. широкое применение в электроэнергетических

расчетах получили расчетные столы (статиче-ские модели) постоянного и

переменного тока, с помощью которых выполнялись расчеты установившихся

режимов и электромеханических переходных процессов в ЭЭС. Примерно в

этот же

период началось применение аналоговых вычислительных машин и

физических (электродинамических) моделей.

С 60-х годов в электроэнергетике началось широкое применение ЦВМ,

которые в настоящий момент являются основным расчетным средством.

Методы моделирования

Вид моделирующих и вычислительных устройств определяется методом

решения задачи. К этим методам относятся:

– физическое моделирование;

– математическое моделирование;

– численное решение.

Соответственно этому делению говорят о физических моделях и

математических моделях (к которым относят и АВМ) и о ЦВМ.

Физическое моделирование основано на том, что исследуемые

процессы воспроизводятся с помощью процессов той же физической природы,

но в другом, более удобном масштабе. Например, можно построить

синхронный генератор небольшой мощности, в котором процессы будут

протекать так же, как и в мощном генераторе, но в уменьшенном масштабе

(если ток и напряжение меньше в 100 раз

, то мощность будет меньше в 10

тысяч раз, и генератор 300 МВт будет воспроизводиться моделью мощностью

30 кВт).

Примером установок физического моделирования могут служить

динамические модели электрических систем, такие модели воспроизводят в

миниатюре мощные ЭЭС, содержащие синхронные генераторы, линии

электропередач (ЛЭП), трансформаторы, нагрузки. На динамических моделях

ЭЭС был проведен большой комплекс исследований по

отработке новых

систем регулирования противоаварийной автоматики, релейной защиты. Они

служат, по существу, экспериментальной базой (т.к. возможности проведения

эксперимента в реальных ЭЭС весьма ограничены) и наиболее эффективны

там, где не вполне ясно математическое описание исследуемых процессов.

Конструируемые на основе принципов теории подобия физические модели

помогают выяснить существо протекающих процессов, получить

адекватное

этим процессам математическое описание.

Физические модели незаменимы в условиях затрудненного применения

натурного эксперимента для решения тех задач, для которых математическое

описание не отработано должным образом. Результаты этих исследований

могут служить цели отработки этого описания с последующим проведением

массовых расчетов на АВМ и ЦВМ. Кроме того, физические модели являются

эффективным средством экспериментальной проверки новых систем (или их

элементов) регулирования, управления и защиты в условиях, близких к

натурным.

Преимущества

физической модели ясны – это, по существу,

экспериментальная установка, максимально приближенная к натуре (в смысле

рассматриваемых процессов).

Недостатки – уникальность и, следовательно, большая

стоимость, большая сложность подготовки работы, необходимость в

персонале высокой квалификации, практическая невозможность

моделирования очень сложных схем (ограничение по числу элементов, по

точности моделирования, по вариациям параметров модели; стремление к

преодолению последнего недостатка приводит к тому, что физические

модели становятся все более математическими).

Математическое моделирование уже требует полного знания

математического описания исследуемых процессов. Это моделирование

основано на аналогии между уравнениями, описывающими процессы

различной физической природы. Например, положение шарика, подвешенного

на пружине, описывается уравнением:

FAx

I =++

, (1)

где I – масса, D – коэффициент трения.

Процессы в электромагнитном

колебательном контуре описываются

уравнениями:

∫

=++ Eidt

;

по определению тока

i =

т.е.

cdt

L =++

(2)

Уравнение движения ротора синхронного генератора имеет вид:

турэлa

)( PP

T =δ+

(3)

Уравнения(1)-(3) по форме полностью совпадают, и из этого вытекает, что

с помощью (2) можно моделировать (1) и (3) и наоборот, важно иметь

численное совпадение параметров этих систем.

В силу простоты реализации для математического моделирования обычно

используют электрические цепи. Универсальные установки здесь –АВМ,

электрические цепи с операционными усилителями, которые выполняют

математические операции интегрирования, суммирования,

умножения на

постоянный коэффициент, изменение знака (см. курс «ИИТ и электроника»).

Например, дифференциальное уравнение (1) легко моделируется с помощью

трех ОУ.

Другой вид математических моделей, широко применявшихся в

электронике – расчетные столы. Здесь процессы в электрических системах

моделируется процессами в электри ческих цепях.

Математические модели (АВМ) весьма эффективны для решения

обыкновенных дифференциальных уравнений невысокого порядка. И, кроме

того, решающие элементы АВМ широко используются для моделирования

систем автоматического регулирования и управления ЭЭС в экспериментах на

физических моделях и в производстве этих систем.

Преимущества

: высокое быстродействие, относительная простота

(производственное обслуживание и соответствующие требования к

персоналу), высокая надежность и стабильность в работе, невысокая

стоимость.

Недостатки

: сравнительно невысокая точность решения и

алгоритмическая ограниченность, вытекающая из применяемых в них

структурных схем.

Численное решение задачи стало весьма эффективным с применением

ЦВМ. Широкое их применение в электроэнергетических расчетах относится к

началу 60-х, и в настоящее время ЦВМ являются основным расчетным

средством.

ЦВМ (компьютер или ПЭВМ) – универсальное устройство для решения

широкого круга задач большой размерности.

Преимущества

– быстродействие и развитая память, широкие

возможности реализации весьма сложных алгоритмов.

Недостатки

– высокая стоимость собственно машин и обслуживающего

периферийного оборудования, неполная надежность, необходимость

специалистов высокой квалификации для их обслуживания.

Итак, есть физические и математические модели (включая АВМ), есть

ЦВМ. Возникает вопрос: может быть стоит ограничиться чем-нибудь одним,

например, ЦВМ, и решать все задачи, проводить все исследования только на

ЦВМ. Это не

простой вопрос и в свое время он был темой дискуссий на

страницах журнала «Электричество». Результатом этой дискуссии был

очевидный сейчас вывод: каждое из устройств имеет право на существование

и имеет свою область наиболее эффективного применения.

Из приведенного обзора следует, что основным средством проведения

расчетов исследования в электроэнергетике в настоящее время является

ПЭВМ. Быстрое совершенствование компьютеров привело к постоянному

расширению области их применения в электроэнергетике: от проектных

расчетов к оперативным расчетам, к решению задач информативно-

вычислительного обслуживания диспетчера и даже к непосредственному

использованию в контуре автоматического управления и противоаварийной

автоматики ЭЭС.

Возрастающие к точности, надежности и быстродействию решения

электроэнергетических задач требуют разработки:

1) систем проблемно-ориентированных математических ЭЭС;

2) соответствующих программных комплексов с единой информационной

базой.

Решение технической задачи на ЦВМ включает следующие этапы:

1) техническая постановка задачи;

2) математическая;

3) выбор модели;

4) выбор алгоритма;

5) составление программы.

Задачи данного курса – изучение вопросов составления рациональных

математических описаний ЭЭС и алгоритмов решения характерных задач

электроэнергетики.

Лекция 2. Тема 1:УРАВНЕНИЯ СОСТОЯНИЯ УР ЭС

План Содержание

Литература по

дисциплине МЗ

новое издание!

1. Идельчик В.И. Электрические системы и сети:

Учебник для ВУЗов.– М.:Энергоатомиздат, 1989,

глава 9.

2. Электрические системы. Математические задачи

электроэнергетики: Учебник для студентов ВУЗов/

Под ред.В.А.Веникова.–М:,ВШ,1981, главы 1-2.

3. Конспект лекций

4. Электрические системы. Электрические сети.:

Учеб. Для электроэнерг. Спец. ВУЗов / Под

ред.

В.А.Веникова, В.А.Строева. – М.:ВШ, 1998, гл.8

Осн. понятия и

определения

электрическая

система

процесс

режим системы

установившийся

(УР)

– электрическая часть энергетической системы, т. е.

совокупность элементов, вырабатывающих,

преобразующих, передающих, распределяющих и

потребляющих электрическую энергию

– отдельные составляющие явлений в элементах

системы

– ее состояние в любой момент времени или на

некотором интервале времени

– такое состояние системы, при котором ток в

План Содержание

нормальный

послеаварийный

переходный

параметры

системы

любой ветви и напряжение в любом узле остаются

постоянными достаточно длительное время, причем

режим должен быть симметричным для любой фазы

трехфазной системы переменного тока.

– установившийся режим, применительно к

которому проектируется электрическая система и

определяются технико-экономические

характеристики;

– установившийся режим, наступающий после

аварийного отключения какого-либо элемента или

ряда

элементов системы

– режим, во время которого система переходит от

одного состояния к другому

– показатели, зависящие от изменения режима. К

параметрам режима относятся напряжения в

различных точках системы, токи в ее элементах,

углы расхождения векторов ЭДС и напряжений,

активные и реактивные мощности и т. д.

Схема замещения Совокупность схем замещения отдельных элементов

сети, соединенных в той же последовательности, что

и реальная схема. Св-ва сети не должны измениться.

Схема замещения для УР составляется на одну фазу

с нейтралью.

Для линии

Для

трансформатора

(одна фаза)

Продольные

R=r

l, X=x

l, b

, потери через изоляторы и на корону -

пренебрегают для УР; емкостной проводимостью

пренебрегают при для воздушных линий <35 кВ,

кабельных <10 кВ.

Активное сопротивление трансформатора

определяется на основании пасп. данных трансф-ра:

⋅⋅Δ

, где

кΔ

– потери активной мощности

в режиме короткого замыкания, кВт;

– ном. напряжение на основном выводе, кВ;

– ном. мощность трансформатора, кВА.

План Содержание

поперечные

Реактивное (индуктивное) сопротивление

представляет сумму индуктивного сопротивления

рассеяния первичной обмотки и приведенного к ней

индуктивного сопротивления вторичной обмотки.

Рассчитывается оно по формуле

нк

⋅

, где – падение напряжения на

индуктивном сопротивлении трансформатора, %.

Здесь

– напряжение короткого замыкания, %.

Активная проводимость, обусловленная потерями

активной мощности в стали трансформатора на

гистерезис и вихревые токи, определяется по

формуле

⋅

хх

, где

хх

– потери акт. мощности в

режиме холостого хода.

Реактивная проводимость трансформатора,

обусловленная основным магнитным потоком,

находится так:

. Здесь

100

нхх

хх

⋅

=Δ

– потери

реактивной мощности, а

I – ток холостого хода,

отнесенный к номинальному току и выраженный в

процентах.

Справочные данные! Учитесь искать

Математический

аппарат

Для расчета режима системы необходим

математический аппарат. Инженер может подобрать

его готовым из огромного накопленного веками

арсенала математических методов, может частично

сконструировать сам. Но это возможно в том случае,

если он ясно представляет себе физику работы

энергосистемы, обусловленную физическими

явлениями, одновременно происходящими во всех

План Содержание

элементах системы. Аналогично подобрать готовые

программные продукты = MathCAD

Определения

цепь замкнутая и

разомкнутая

По питанию в узлах

В замкнутой хотя бы один контур

Элементы

пассивные и

активные

Пасс –сопротивления и проводимости

Акт– источники э.д.с. и тока

нейтраль

Узел, имеющий нулевое напряжение

Ветви

продольные и

поперечные

Элементы

линейные и

нелинейные

R, L, C = const, т.е. не зависят от U и I, пренебрегаем

R=R

(1+at), L=L(i), C=C(U)– линейные

Источники эдс и тока –нелинейны, если дана

нагрузка в узлах или I=f(S)

СЛАУ, СНАУ Описание УР эл. сети системой уравнений

Способы

описания

состояния эл.сети

и и способы

задания

исх.данных

1) по законам Ома и Кирхгофа – сопротивления

ветвей,

2) метод узл напряжений – проводимости ветвей,

3) метод контурных уравнений – контурные

сопротивления

Далее рассмотреть каждый способ описания

Уравнения

состояния

линейной

электрической

цепи

На основе з-нов Ома и Кихгофа

По з-ну Ома для i–й ветви

iii

EIZU −

В общем случае между отдельными ветвями схемы

замещения могут существовать взаимные

сопротивления, обусловленные, например, взаимной

индуктивностью

, причем

jiij

Для ветвей, имеющих взаимное сопротивление,

связь между всеми указанными величинами будет

План Содержание

ijijjjjj

jijiiiii

IZEIZU

+−=

−

Величины Е и I являются исходными

(независимыми), Zii,Zij – параметрами системы.

З-ны Кирхгофа

Лекц. 2-2: Расчет схем электрической системы при наличии в них

трансформаторов

Существует два подхода к решению схем с разным уровнем напряжения в

них:

1 – стандартный

: сопротивления всех элементов схемы замещения

привести к одной ступени напряжения.

Известно, что коэффициент трансформации трансформатора определяется,

как

K ===

. (1)

Кроме того, по закону Ома

вх

; (2)

вых

. (3)

Из (1)

;

KII

⋅

, тогда в (2)

вых

вх

KIK

Z =⋅=

⋅⋅

(4)

вы х

вх

и наоборот

вх

вых

ZKZ ⋅=

. (5)

(трансформатор считаем идеальным)

Особенности расчета

при приведении элементов схемы замещения к

одному напряжению:

– подготовительная работа по пересчету параметров схемы

замещения к одному напряжению;

– считать проще;

– пересчет полученных результатов к реальным условиям.

2 подход

: составление матрицы узловых проводимостей с учетом

коэффициента трансформации без приведения к одной ступени напряжения. В

схему замещения помимо элементов схемы замещения трансформатора

вводятся идеальные трансформаторы.

Рассмотрим, как это учесть, на примере продольной ветви с

проводимостью

и идеальным трансформатором с коэффициентом

трансформации

(в общем случае

– комплексный) (6)

Режим этой ветви может быть описан

уравнениями

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

⋅

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

−

. (7)

Требуется заменить

U '

I '

на

соответственно.

Так как трансформатор идеальный, то

S '

или

U '

. (8)

Отсюда (из 8)

ˆˆ

или сопряженный ток

' =

. Из (6)

. Тогда

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

⋅

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

−

или

ijij

KIUYUKY

)

=−

ijij

IUYUKY =+

−

Умножив первое уравнений на

, получим

ijij

IUKYUKY =−

)

ijij

IUYUKY

−

или в матричной форме

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

⋅

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

ijijij

YKY

KYKY

тт

)

. (9)

Таким образом, трансформаторные связи можно учесть

соответствующим изменением соответствующих элементов матрицы

проводимостей. При этом при комплексных коэффициентах трансформации

получаемая результирующая матрица

становится несимметричной.

Отметим, что современные промышленные программы расчета

установившихся режимов электрических систем составлены без приведения

расчетной схемы к одной ступени напряжения.

i’

’

ЛЕКЦ. 2-3: УЗЛОВЫЕ УРАВНЕНИЯ УСТАНОВИВШЕГОСЯ РЕЖИМА

ЧЕРЕЗ МОЩНОСТИ НАГРУЗОК И ГЕНЕРАТОРОВ

Общий вид узловых уравнений УР через мощности

В общем виде узловые уравнения УР записываются в матричной форме

JYUY 3=+

бу

U . (1)

Дополняем уравнениями мощностей узлов

JUjQPS

)

3=+= - для i-го узла.

Вектор-столбец узловых мощностей

JUS

)

3= , (2)

где

U – диагональная матрица линейных напряжений независимых узлов.

Объединяем (1) и (2), т.е. из (2) находим

уд

SUJ

−

)

;

уд

SUJ

)

−

= .

Подставив в (1), получим основное уравнение УР через мощности

генераторов и нагрузок – СНАУ:

удб

бу

SUYUY

)

1−

=+ U . (3)

Об единственности решения СНАУ

Система (3) имеет бесконечное множество решений. Докажем это.

Доказательство для упрощения выкладок рассмотрим для случая

U .

Тогда выражение (3) будет выглядеть

уд

SUUY

)

1−

= или

SUYU

)

= . (4)

Будем считать, что решением является модуль напряжения U

* без

фазы. Тогда любой другой вектор, отличающийся от решения изменением фаз

всех компонент на одну величину δ, также будет решением, т.е.

UU –

решение.

Подставим в (4)

SUYU

)

δ−δ jj

ee . (5)

Произведение скалярных величин

δ−δ jj

ee , тогда из (5) получаем

тождество

SUYU

)

= - по определению, следовательно, U* – решение,

δj

U – тоже.

Физическое объяснение полученной множественности решений:

– в цепи переменного тока значения мощностей зависят не от

абсолютных значений напряжений узлов, а от разности фаз;

– в поперечных ветвях потоки мощности не зависят от фаз напряжений

узлов.

Математически

это отвечает вырожденности системы (4), т.е.

невозможности ее решения ни одним из методов. Для получения

невырожденной системы уравнений надо задать значение фазы одного из

напряжений, т.е. число неизвестных фаз будет (n-2), неизвестных модулей (n-

1). Уравнений должно быть (2n-3) отдельно для вещественных и мнимых

частей. То есть надо исключить одно

уравнение для любого узла.

Полученная система будет невырожденной, однако с технической

точки зрения ее решение не имеет смысла. Почему?

Уравнения (4): сумма правых частей равна сумме мощностей

генераторов и нагрузок, т.е. равна сумме потерь мощности и исключение

одного из уравнений означает, что мы задаем величину потерь мощности

(активной или реактивной

). Такое задание будет приводить к технически

недопустимым решениям.

Так, если величина потерь занижена, то решение будет получено при

завышенных уровнях напряжений, и наоборот. Может оказаться, что решения

нет, сумма генерируемых мощностей меньше суммы нагрузок. Для получения

технически обоснованного решения задачи расчета УР нелинейной сети,

соответствующего номинальным напряжениям, необходимо задать модуль

напряжения одного из активных узлов, того же, для которого

задавали фазу

напряжения, и исключить соответствующее уравнение баланса. В качестве

такого узла берется самый мощный генераторный узел, ведущий по частоте.

Таким образом задаются потери полной мощности в сети и их компенсация

возлагается на самый мощный генераторный узел.

Выводы: при составлении уравнений установившегося режима для

системы, схема замещения которой содержит поперечные ветви, в качестве

балансирующего, кроме узла нейтрали, необходимо выбрать еще один

активный узел, получив систему из (n-2) комплексных уравнений; если же в

схеме замещения нет поперечных ветвей, следовательно, в качестве

балансирующего выбран активный узел, то не требуется дополнительной

фиксации

модуля и фазы напряжения, т.е. число комплексный уравнений

будет (n-1).

Методы решения СНАУ

Применение метода Гаусса для решения СНАУ УР

Уравнение (3) можно записать в виде

UYSUUY −=

−

)

(3а)

Заметим, что система (3а) линейна слева и нелинейна справа, поэтому

можно применять метод Гаусса для какого-то сечения решения. Т. е. алгоритм

метода Гаусса для решения СНАУ таков:

1) произвольно задаем значения напряжений;

2) рассчитываем правую часть системы (3а) для данного вектора

напряжений;

3) считаем систему (3а) линейной для данной правой

части;

4) решаем СЛАУ методом Гаусса;

5) сравниваем полученный столбец решений с имеющимся на

предыдущем шаге. Если разность напряжения хотя бы одного узла от его же

значения на предыдущем шаге больше заданной точности решения, то

возвращаемся к пункту 2, если заданная точность достигнута, выходим из

цикла расчетов – решение получено.

Таким образом, процесс

итерационный, но подстановка значений

предыдущих напряжений только в правую часть системы уравнений.

Итерационные формулы имеют вид:

(

)

;

)()1(

)(

)U(IUY

YSU)U(I

−=

−

(6)

Применение метода простой итерации и метода Зейделя для решения

СНАУ.

Итерационные методы (простая итерация и по методу Зейделя) могут

применяться аналогично тому, как это производилось при решении СЛАУ,

только в правой части итерационных формул будут так же как и слева

переменные величины. Итерационные формулы примут вид:

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

−+−=

∑

≠

бб

)(*

)()1(

- простая итерация;