Медведев Г.А., Морозов В.А. Практикум на ЭВМ по анализу временных рядов

Подождите немного. Документ загружается.

исходное изображение, представляющее собой сумму неискаженного изображе-

ния f (x, y) и шумового сигнала n(x, y), g(x, y) = f (x, y) + n(x, y). Пр едп ола -

гается, что шум не коррелирован и имеет нулевое среднее значение. Тогда для

усредненного изображения

¯g(x, y) =

i=1

(x, y)

получим M{g(x, y)} = f(x, y), σ

¯g

(x, y) =

(x, y), где k — количество изобра-

жений; σ

¯g

(x, y) и σ

(x, y) — дисперсии усредненного изображения и шума соот-

ветственно. При во зра стании k функция ¯g(x, y) пр ибл ижается к неискаженному

изображению.

Специальный тип сглаживания изображений п ри меняет ся для бинарных

изображений, т.е. принимающих значения 0 для темных точек и 1 — для свет-

лых. Помехи в этом случае проявляются в виде таких эффектов, как н али -

чие размытых границ, небольших окружностей, стертых углов и отдельных то-

чек. Для сглаживания используется булева функция, вычисляемая в окрестно-

сти с центром в пикселе p. В процессе сглаживания, во-первых, заполняются

небольшие (размером в один пиксел) пробелы на темных местах изображения;

во-вторых, ликвидируются незначительные дефекты в виде трещин на пря-

моугольных сегментах; в-третьих, спрямляются небольшие выпук лос ти вдоль

прямоугольных сегментов; в-четвертых, удаляются изолированные одиночные

значения; в-пятых, восстанавливаются утраченные угловые точки. Используя

табл. 7.2, два первых процесса сглаживания можно осуществлять с помощью

булева выражения

= p + b · g · (d + e) + d · e · (b + g), (7.3)

где точка и плюс обозначают соответственно логические операции И и ИЛИ.

Таблица 7.2

a b c

d p e

f g h

Тогда, если B

= 1, присваиваем пикселу p значение 1, в противном случа е —

0. Уравнение (7.3) применяется одновременно ко всем пикселам.

Третий и четвертый результаты процесса сглаживания реализуются с помо-

щью определения булева выражения

= p · [(a + b + c) · (e + g + h) + (b + c + e) · (d + f + g)]. (7.4)

Восстановление точек верхних правых углов, нижних правых, верхних лев ых и

нижних левых производится с помощью функций:

= ¯p · (d · f · g) · (a + b + ¯c + e + h) + p; (7.5)

170

= ¯p · (a · b · d) · (c + e +

f + g + h) + p; (7.6)

= ¯p · (e · g · h) · (a + b + ¯c + d + f) + p; (7.7)

= ¯p · (b · c · e) · (a + d +

f + g + h) + p. (7.8)

Видоизменение гистограмм. Гистограмма распределения яркостей изоб-

ражения естественного происхождения, подвергнутого линейному кванто ван ию,

обычно имеет перекос в сторону малых уровней и яркость большинства элемен-

тов изображения ниже средней. На темных участках подобных изображений

детали часто оказываются неразличимыми. Метод видоизменения гист огр аммы

предусматривает преобразование яркостей исходного изображения с тем, что-

бы гистограмма распределения яркостей обработанного изображения приняла

желаемую форму.

Процедуру видоизменения гистограммы можно рассматривать как монотон-

ное поэлементное преобразование s

= T (r

) входной интенсивности r

в выход-

ную интенсивность s

Сначала рассмотрим задачу получения гистограммы обработанного изобра-

жения с равномерным распределением. Для этого используется преобразование

= T (r

) =

j=0

) (7.9)

для 0 ≤ r

≤ 1, k = 0, 1, . . . , L −1, где r

— нормализованное значение интенсив-

ности; n

— число появлений данной интенсивности на изображении; n — общее

число пикселов на изображении; p

) — оценка вероятности интенсивности r

;

L — число дискретных уровней интенсивности.

Если требуется получить изображение с заданной гистограммой (плотностью

вероятностей p

(z)), то применяются след ующи е преобразов ани я:

= T (r

) =

j=0

);

G(z

) =

j=0

); (7.10)

= G

−1

), (7.11)

где p

) вычисляется из исходного изображения, а гистограмма p

) задается

независимо от опыта. Два требуемых для определения гистограммы преобразо-

вания можно объединить в одно: z = G

−1

(s) = G

−1

[T (r)], которое связывает

интенсивности исходного изображения с интенсивностями выходного изображе-

ния.

Пороговое разделение. Один из путей отделения объектов от фона с силь-

но отличающимися интенсивностями — выбор порогового значения T , которое

171

разделяет эти группы интенсивностей. Тогда любая точка (x, y), для которой

f(x, y) > T , принадлежит объекту, а в противн ом случае — фон у. В общем

случае порог T является функцией T = T [x, y, p(x, y), f(x, y)], где f(x, y) — ин-

тенсивность точки (x, y); p(x, y) — некоторое частное свойство этой точки, на-

пример, средняя интенсивность окрестности с центром в точке (x, y). Пороговое

изображение получается путем определения

g(x, y) =

1, f(x, y) > T,

0, f(x, y) ≤ T.

Когда величина T зависит только от f(x, y), порог называется глобальным. Если

величина T зависит как от f(x, y), так и от p(x, y), то порог называется локаль-

ным. Если к тому же величина T зависит от пространственных координат x и

y, порог называется динамическим. Глобальный порог можно оценить по ги сто -

грамме изображения (рис. 7.3).

Рис. 7.3

Локальное улучшение качества. Приведенные методы преобразования

гистограмм являются общими в смысле изменения интенсивности пикселов с

помощью функции преобразования на всем поле изображения. Хотя методы да-

ют общее улучшение качества, часто необходимо выделять детали на достаточно

малых участках изображения. Решением данной проблемы является усовершен-

ствование функций преобразования, основанных на распределении интенсивно-

сти или на других свойствах, в окрестности каждого пи ксела заданного изобра-

жения.

В частности, рассмотренные в ыше гистограммные методы л егко трансфор-

мируются для локального улучшения качест ва. Трансфо рмация заключается в

определении окрестности размером n × m и перемещении ее центра от пиксе-

ла к пикселу. В каждом положении вычисляется гистограмма точек в данной

172

окружности и определяется функция преобразования гистограммы. Эта функ-

ция служит для отображения пиксела, расположенного в центре окрестности.

Затем цент р участка размерностью n × m перемещается на соседний пиксел и

процесс повторяется.

Лабораторная работа 27. Улучшение цифровых изображений

Цель работы. Преобразо ват ь цифровые и зоб ражения на ПЭВМ для улучше-

ния визуального восприятия.

Порядок выполнения работы

Использовать шесть цифровых изображений из лабораторной работы 25.

Задание 1. Осуществить операции подавления шума изображений №1 и 4,

используя линейный и медианный фильтры. Исследовать вопрос о влиянии вы-

бора размера и формы масок на каче ств о обработанного изображения. Сделать

вывод о применимости фильтров для подавления гладких и импульсных шумов.

Задание 2. Смоделировать K реализаций изображений №1 и 4 (K = 10,

50, 100). Получить усредненное изо бра жение. Сделать вывод о применимости

усреднения для подавления гладких и импульсных шумов.

Задание 3. Преобразовать яркость изоб ражений №1, 2, 4 с помощью проце-

дуры видоизменения гистограмм (формула (7.9)). Преобразованное изображе-

ние должно иметь равномерное на интервале (0,1) распределение. Вывести на

экран дисплея гистограммы исходных и преобразованных изображений.

Задание 4. Преобразовать яркость изображений №1, 2, 4 с помощью про-

цедуры видоизменения гистограмм (фо рмулы (7.9)—(7.11)). Преобразованное

изображение должно иметь гистограмму, изображенную на рис. 7.4.

Рис. 7.4

173

Задание 5. Получить из изображений №1 бинарное изображение с помощью

порогового разделения. В качестве порога исп оль зов ать среднее значение ярко-

сти на всем изображении. Затем провести бинарное сглаживание по формулам

(7.3)—(7.8).

Задание 6. Преобразовать яркость изоб ражений №1, 2, 4 с помощью проце-

дуры выравнивания гистограмм (см. задание 3) на локальных участках изобра-

жения. Сравнить полученное изображение с изображением из задания 3. Иссле-

довать вопрос об опти мальн ом выборе размеров локальных областей. Вывести

на экран дисплея гистограммы исходных и преобразованных изображений.

7.4. Выделение границ (кромок, краев) изображений

Основным принципом большинства методов определения границ яв ляет ся

вычисление частных производных. Поясним это положение с помощь ю рис. 7.5.

Отметим, что участки кривой, соответствующей г ран ице (переход от темной

области к светлой), представляют собой наклонные, а не вертикальные линии,

какие должны быть в случае изменения интенсивности. Это подтверждает тот

факт, что кромки на цифровом изображении в результате дискретизации обычно

слегка размыты.

В указанной модели границы, с одной стороны, первая пр оиз водная всех

участков кривой с п ост оянной интенсивностью равна нулю и является постоян-

ной величиной на уча стках изменения интенсивности. С другой стороны, вторая

производная равна нулю на всех участках, кроме начальных и конечных точек

изменения интенсивности. Поэтому величина первой производной может быть

использована для обнаружения наличия границы, а знак второй производной —

для определения того, на темной (фон) или на светлой (объект) стороне гран ицы

располагается пиксел границы.

Градиент изображения f(x, y) в точке (x, y) определяется как двухмерный

вектор

G[f(x, y)] =

∂f

∂x

∂f

∂y

Модуль данного вектора задается соотношением

G[f(x, y)] = [G

+ G

]

1/2

∂f

∂x

∂f

∂y

1/2

которое в дальнейшем будем называть градие нтом. На практике, как правило,

градиент аппроксимируется абсолютными значениями

G[f(x, y)]

∼

| + |G

|. (7.12)

Из уравнения (

7.12) следует, что вычисление градиента основано на нахожде-

нии первых произ водных. Для цифрового изображения это достигается несколь-

174

Рис. 7.5

кими путями. Один из подходов состоит в аппроксимации производных с помо-

щью конечных разностей:

∂f

∂x

= f(x, y) − f(x − 1, y); (7 .13)

∂f

∂y

= f(x, y) − f(x, y − 1). (7.14)

Несколько более сложный способ включает пикселы в ок рес тности размер-

ностью 3 × 3 с центром в точке (x, y):

= [f(x + 1, y − 1) + 2f(x + 1, y) + f (x + 1, y + 1)]−

175

− [f(x − 1, y − 1) + 2f(x − 1, y) + f(x − 1, y + 1)]; (7.15)

= [f(x − 1, y + 1) + 2f(x, y + 1) + f(x + 1, y + 1)]−

− [f(x − 1, y − 1) + 2f(x, y − 1) + f(x + 1, y − 1)]. (7.16)

Вычисление по формулам (7.15), (7.16) делает градиент менее чувствитель-

ным к помехам. В соответствии с изложенным в § 7.3 значения G

и G

можно

определить с помощью масок H

и H





−1 −2 −1

0 0 0

1 2 1





, H





−1 0 1

−2 0 2

−1 0 1





Эти маски обычно называют операторами Собеля. Перемещая маски по изоб-

ражению f(x, y), получают градиенты во всех его точках.

Существует ряд способо в формирования выходного изображения g(x, y), ос-

нованных на вычислении градиента. Простейшим способом являет ся задание

функции g в точке (x, y) значения, равного величине градиента входного изо-

бражения f в этой точке, т.е.

g(x, y) = G[f(x, y)]. (7.17)

Другой способ получения дискр етн ого изображения — применени е следую-

щих соотношений:

g(x, y) =

1, G[f(x, y)] > T,

0, G[f(x, y)] ≤ T,

(7.18)

где T — неотрицательная пороговая величина.

Данными способами задаются разрывы в инт енси вн ости представления об-

раза объекта. В идеальном случае этими методами определяются пикселы, ле-

жащие на границе между объектом и фоном. На практике данным рядом пиксе-

лов редко полностью характеризуется граница из-за шума, разрывов на границе

вследствии неравномерной освещенности и т.д. Требуются алгоритмы построе-

ния границ объектов из соответствующих последовательностей пикселов.

Локальный анализ. Все точки, являющиеся подобными в некоторой

окрестности, соединяются, образуя границу из пикселов, обладающих рядом

общих свойств. Для определения подобных точек необходимо н а йти градиент

и направление градиента. Пиксел контура (x

, y

) подобен по величине градиен-

та в определенной ранее окрестности (x, y) пикселу с координатами (x, y), если

справедливо неравенство

|G[f(x, y)] − G[f(x

, y

)]| ≤ T, (7.19)

где T — пороговое значение.

Направление градиента устанавливается по углу вектора градиента

θ = arctg

. (7.20)

176

Угол пиксела контура с координатами (x

, y

) в некоторой окрестности (x, y)

подобен углу пиксела с координатами (x, y) при выполнении неравенства

|θ − θ

| < A, (7.21)

где A — пороговое значение угла.

На основе этих определений подобия соединим точку (x

, y

) в некоторой

окрестности пиксела с точкой (x, y), если выполняются соотношения (7.19),

(7.21). Данный процесс применяется для каждой точки.

Глобальный анализ. Исследуем метод соединения граничных точек пу-

тем определен ия их расположения на крив ой специального вида. Первоначально

найдем подпоследовательность точек изображений, лежащих на прямых лини-

ях.

Существует бесконечное число линий, проходящих через точку (x

, y

), но

все они удовлетворяют уравнению y

= ax

+ b при различных значениях a и

b. Однако если записать это уравнение в виде b = −x

a + y

и рассмотреть

плоскость ab, то получается уравнение одной линии для фиксированной пары

чисел (x

, y

). Точка (x

, y

) также имеет в пространстве параметров связанную

с ней линию, которая пересекает другую линию, связ анн ую с точкой (x

, y

) в

точке (a

, b

), где значения a

, b

— параметры линии, на которой расположены

точки (x

, y

), (x

, y

) в плоскости xy. Фактически все точки, расположенные на

этой линии, в пространстве параметров будут иметь линии пересечения в точ-

ке (a

, b

) (рис. 7.6). Процедура определения точек, лежащих на прямых лини-

ях, состоит в следующем. Находятся допустимые величины параметров линий

min

, a

max

), (b

min

, b

max

) и k значений параметров в допустимых областях:

min

, a

min

+ h

, a

min

+ 2h

, . . . , a

max

min

, b

min

+ h

, b

min

+ 2h

, . . . , b

max

где h

max

− a

min

, h

max

− b

min

; матрица собирающих элементов

C =





. . . c

. . . . . . . . .

. . . c





Тогда для каждой точки (x

, y

) в плоскости образа полагаем параметр a рав-

ным каждому из допустимых значений на оси a и вычисляем соответствующее

значение b, используя уравнение b = −x

a + y

. Полученное значение b затем

округляется до ближайшего допустимого значения на оси b. Если выбор a

при-

водит к вычислению b

, то c

= c

+ 1 (н ачальные значения матрицы C —

нулевые). После завершения процедуры имеем c

координат точек, лежащих

на линии y = a

x + b

Если линия принимает вертикальное положение, то параметры a и b стре-

мятся к бесконечности. Для устранения этой трудности применяется нормальное

177

Рис. 7.6

Рис. 7.7

представление линии в виде

xcos θ + ysin θ = ρ. (7.22)

Смысл параметров поясняет рис. 7.7, на котором вместо параметров a и b ис-

пользуются параметры θ и ρ. Процедура выполняется по анало гии с выше-

178

изложенной.

Данная процедура применима к любой функции вида g(x, c) = 0, где x —

вектор координат; c — вектор коэффициентов. Например, геометрическое место

точек, лежащих на окружности

(x − c

)

+ (y − c

)

= c

, (7.23)

может быть определено с помощью подхода, изложенного выше. Основное от-

личие заключается в том, что имеются три параметра c

, c

Лабораторная работа 28. Выделение границ на изображении

Цель работы. Освоить методы выделения границ на идеальных и зашумлен -

ных изображениях, провести сравнительный анализ алгоритмов.

Порядок выполнения работы

Использовать шесть цифровых изображений из лабораторной работы 25.

Задание 1. Определить границы на идеальных (незашумленных) изобра-

жениях многоугольника, эллипса и сложного объекта и на зашумленных изоб-

ражениях этих же объектов (изображения №1—3) с помощью алгоритмов (

7.17),

(7.18). Вычисление градиентов произвести по формуле (7.12), а производных —

по формулам (7.13)—(7.16).

Задание 2. Определить границы на изображениях из задания 1 с помо-

щью алгоритма (7.19)—(7.21). Для вычисления градиента использовать фор-

мулы (7.12), (7.15), (7.16). Исследовать качество алгоритма в зависимости от

выбора параметров T, A и уровня шума.

Задание 3. Выделить границы на зашумленном изображении светлого квад-

рата на темном фоне, исп оль зуя глобальный анализ при условии, что уравнения

прямой задаются соотн ошен ием (7.22). Вывести на экран дисплея график преоб-

разования Хоуга (график зависимости ρ от θ). Исслед ова ть качество алгоритма

в зависимости от числа уровней квантования параметров θ и ρ.

Задание 4. Определить границы на зашумленном изображении светло-

го круга на темном фоне, используя глобальный анализ. Для представления

окружности применить уравнение (7.23). Исследовать качества алго рит ма в за-

висимости от числа уровней квантования параметров c

, c

и уровня шума.

7.5. Сегментация изображений

Сегментацией называется процесс подразделения изображения на состав-

ляющие части или объекты. Алгоритмы сегментации, как правило, основыва-

ются на дв ух принц ипа х разрывности и подобии. В первом случае методы сег-

ментации базируются на определении контуров, а во втором — на определении

порогового уровня и устранении шумовых искажений.

179