Медведев Г.А., Морозов В.А. Практикум на ЭВМ по анализу временных рядов
Подождите немного. Документ загружается.
определяемыми этими моделями, в двух вариантах: 1) белые шумы, порождаю-
щие обе компоненты, — независимые; 2) белые шумы, порождающие компонен-
ты временного ряда, — зависимые (один способ введения зависимости: белый
шум, порождающий в тор ую компоненту, это белый шум первой компоненты,
сдвинутый на несколько тактов вперед или назад, т.е. W
t,2
= W
t±τ,1
; другой
способ введения зависимости: если W
t
— вектор белых шумов из первого вари-
анта, то вектор белого шума во втором варианте
˜
W
t
= AW
t
, где A — матрица,
отличающаяся от д иаго нал ьн ой). В каждом варианте испытывать компоненты
временного ряда на незав иси мость с использованием декорреляции (6.24) и ана-
лиза остатков.
Задание 6. Задать модель многомерного процесса АРСС (p, q), определив
необходимые числовые величины для моделирования этого процесса в соответ-
ствии с (6.28), т.е. p, q, {A
i
, 1 ≤ i ≤ p}, {B
j
, 1 ≤ j ≤ q}, Q. Параметры дол жны
быть выбраны так, чтобы обеспечить каузальность и обратимость процесса x
t
.
Использовать два метода для определения КМ процесса x
t
, применяя формулы
(6.32)—(6.34) в одном случае и уравнение (6.36) — в другом. Провести сравни-
тельный анализ этих методов по сложности и точности.
Задание 7. Провест и моделирование двухмерного гауссовского процесса
АРСС (p, q) с небольшими значениями p и q. Получить КМ процесса выбороч-
ным методом и ММП. Провести сравнительный анализ этих методов по слож-
ности и точности.
6.2. Прогнозирование многомерных временных рядов и
оценка их параметров на основе предсказания
Пусть {x
t
= (x
t1
, x
t2
, . . . , x
tn
)
∗
, t = 1, 2, . . .} —n-мерный временной ряд со
средним значением M{x
t
} = 0 и функцией ковариации, задаваемой (n × n)-
матрицей R
0
(i, j) = M{x
i
x
∗
j
}. Как и в скалярном случае, наилучшая ли ней на я
оценка (НЛО) предсказания ˆx
(τ)
N+τ
значения вектора x
N+τ
по множе ству N на-
блюдений {x
t
, 1 ≤ t ≤ N } — оценка, которой соответствует минимальное зна-
чение среднеквадратичного отклонения
ˆ
x
(τ)
N+τ
от x
N+τ
при условии, что
ˆ
x
(τ)
N+τ
линейно связана с наблюдениями {x
t
, 1 ≤ t ≤ N }. Обозначим НЛО предсказа-
ния на один шаг
ˆ
x
N+1
≡
ˆ
x
(1)
N+1
=
N
X
j=1
C
Nj
x
N+1−j
, N = 1, 2, . . . , (6.40)
где C
Nj
— (n × n)-матрицы коэффициентов НЛО предсказания.
Для и нн ова ций компонент НЛО предсказания характерно, что они ортого-
нальны ко всем компонентам вектор ов наблюдаемой выборки, т.е. для всякого k,
1 ≤ k ≤ n, имеет место M{(x
N+1,k
− ˆx
N+1,k
)x
N+1−i,j
} = 0, 1 ≤ j ≤ n, 1 ≤ i ≤ N,
или в векторной форме M{(x
N+1
−
ˆ
x
N+1
)x
∗
N+1−i
} = 0, 1 ≤ i ≤ N. Отсюда и из
(
6.40) для матриц коэффициентов НЛО п ред сказания получаются соотношения
150
N
P
j=1
C
Nj
R
0
(N + 1 − j, N + 1 − t) = R
0
(N + 1, N + 1 − t), 1 ≤ t ≤ N. В слу-
чае, когда {x
t
} — стационарный СП с КМ, определяемой (
6.3), это соотношение
упрощается:
N
X
j=1
C
Nj
r(t − j) = r(t), 1 ≤ t ≤ N. (6.41)
Система N матричных уравн ени й (
6.41) экви вал ент на системе Nn
2
скалярных
уравнений относительно элементов матричных коэффициентов НЛО предска-
зания.
Более популярным представлением НЛО предсказания по сравнению с (6.40)
является представление ˆx
N+1
через инновации, так как оно позволяет построить
более удобную вычислительную процедуру определения коэффициентов. В этом
случае вместо (6.40) имеем
ˆ
x
N+1
=
N
X
j=1
θ
Nj
(x
N+1−j
−
ˆ
x
N+1−j
), (6.42)
где {θ
Nj
, 1 ≤ j ≤ N} — последовательность (n ×n)-матриц, которые могут быть
найдены рекуррентно при помощи следующей процедуры. Пусть МК ошибок
предсказания обозначена через V
N
:
V
N
= M{(x
N+1
−
ˆ
x
N+1
)(x
N+1
−
ˆ
x
N+1
)
∗
}. (6.43)
Тогда для НЛО предсказания
ˆ
x
N+1
в виде (
6.42) справедливы соотношения
ˆ
x
N+1
=
0, N = 0,
N
P
j=1
θ
Nj
(x
N+1−j
−
ˆ
x
N+1−j
), N > 0,
(6.44)
где матричные коэффициенты θ
Nj
вычисляются рекуррентно по формулам
V
0
= R
0
(1, 1);
θ
N,N−k
=
R
0
(N + 1, N + 1) −
k−1
X
j=0
θ
N,N−j
V
j
θ
∗
k,k−j
V
−1
k
, 0 ≤ k ≤ N − 1;
V
N
= R
0
(N + 1, N + 1) −
N−1
X
j=0
θ
N,N−j
V
j
θ
∗
N,N−j
. (6.45)
Здесь R
0
(i, j) = M{x
i
x
∗
j
}. Посл едов ате льн ост ь вычислений по рекуррентным
соотношениям (
6.45) следующая: V
0
; θ
11
, V
1
; θ
22
, θ
21
, V
2
; θ
33
, θ
32
, θ
31
и т.д.
В вычислительном отношении использование НЛО предсказания в виде
(6.44), (6.45) предпочтительнее, чем в виде (6.40), (6.41). При этом параллельно
151
находится МК ошибок предсказания V
N
, характеризующая точность предска-
зания отдельных компонент.
Рассмотрим пробл ему предсказания многомерных случайных процессов
АРСС (p, q). Пусть теперь x
t
— n-мерный процесс, определяемый разностным
уравнением (6.28).
Пусть
z
t
=
x
t
, 1 ≤ t ≤ max(p, q),
x
t
−
p
P
j=1
A
j
x
t−j
, max(p, q) < t.
(6.46)
Если, как и ранее, обозначить КМ стационарного процесса {x
t
} через r(τ )
(см.(
6.3)), то матричную АКФ процесса {z
t
} можно представить в виде
R
0
z
(i, j) =
r(i − j), 1 ≤ i ≤ j ≤ l = max(p, q),
r(i − j) −
p
P
k=1
A
k
r(i + k − j), 1 ≤ i ≤ l < j ≤ 2l,
q
P
k=0
B
k
QB
∗
k+j−i
, l < i ≤ j ≤ i + q,
0, l < i, i + q < j,
(R
0
z
(i, j))
∗
, j < i.
(6.47)
Здесь матрицы {A
k
}, {B
k
} и Q определены соотношением (
6.28) и предполага-
ется, что B
k
= 0, если k > q. С процессом {z
t
} удобнее работать потому, что его
АКФ R
0
z
(i, j) = 0 для |i − j| > q, i, j > l, l = max(p, q).
Оценка предсказания на один шаг вычисляется по формулам:
ˆ
x
N+1
=
N−1
P
j=1
θ
Nj
(x
N+1−j
−
ˆ
x
N+1−j
), 1 ≤ N ≤ l,
p
P
i=1
A
i
x
N+1−i
+
q
P
j=1
θ
Nj
(x
N+1−j
−
ˆ
x
N+1−j
), N > l;
(6.48)
M{(x
N+1
−
ˆ
x
N+1
)(x
N+1
−
ˆ
x
N+1
)
∗
} = V
N
. (6.49)
Коэффициенты θ
Nj
, 1 ≤ j ≤ N, и V
N
находятся по формулам (
6.45), куда вместо
R
0
(i, j) подставляются R
0
z
(i, j), вычисляемые по фор мулам (6.47). Как отмеча-
лось в гл.4, в скалярном случае коэффициенты θ
Nj
и V
N
не завис ели от диспер-
сии белого шума. В многомерном случае эти коэффициенты (уже матричные)
зависят от вида МК белого шума Q. В случае, когда {x
t
} является обратимым
процессом, инновации (x
N+1
−
ˆ
x
N+1
) могут рассматриваться как аппроксимации
W
N+1
для N À 1 в том смысле, что при N → ∞
M{(x
N+1
−
ˆ
x
N+1
− W
N+1
)(x
N+1
−
ˆ
x
N+1
− W
N+1
)
∗
} → 0.
Отсюда следует, что при N → ∞ θ
Nj
→ B
j
, 1 ≤ j ≤ q, и V
N
→ Q.
Рассмотрим важный случай процесса АРСС (1,1). При этом разностное урав-
нение (6.28) упрощается:
x
t
= Ax
t−1
+ W
t
+ BW
t−1
, t = 1, 2, . . . , (6.50)
152
det(I − Az) 6= 0, |z| ≤ 1. НЛО предсказания имеет вид
ˆ
x
N+1
= Ax
N
+ θ
N1
(x
N
−
ˆ
x
N
), N ≥ 1. (6.51)
Матричная корреляционная функция процесса (
6.46) определяется соотношеня-
ми
R
0
(i, j) =
r(0), i, j = 1,
QB
∗
, 1 ≤ i, j = i + 1,
Q + BQB
∗
, 1 < i = j,
0, 1 ≤ i, j > i + 1,
(R
0
(i, j))
∗
, j < i.
(6.52)
Рекуррентные соотношения (
6.45) упрощаются:
V
0
= r(0),
θ
N1
= BQV
−1
N−1
, N = 1, 2, . . . ,
V
N
= Q + BQB
∗
− θ
N1
V
N−1
θ
∗
N1
. (6.53)
Для того чтобы воспользоваться рекуррентными формулами, нужно вначале
получить r(0). Из уравнений Юла — Уолкера (6.36) имеем
r(0) − Ar
∗
(1) = Q + BQ(A
∗
+ B
∗
), r(1) − Ar(0) = BQ.
Определив r(1) из второго уравнения и подстав ляя его в первое, получим урав-
нение
r(0) − Ar(0)A
∗
= AQB
∗
+ BQA
∗
+ Q + BQB
∗
, (6.54)
являющееся линейным уравнением относительно n
2
элементов матрицы r(0).
Решив (6.54) и затем последовательно разрешая (6.53), получим необходимые
данные для построения НЛО предсказания в виде (6.51).
Предсказание многомерных процессов АРСС (p, q) на τ шагов вперед, τ > 1,
по выборке из N векторов производится также с использованием инноваций по
формулам
ˆ
x
(τ)
N+τ
=
N+τ−1
X
j=τ
θ
N+τ−1,j
(x
N+τ−j
−
ˆ
x
(1)
N+τ−j
), 1 ≤ τ ≤ l − N;
ˆ
x
(τ)
N+τ
=
p
X
i=1
A
i
ˆ
x
(τ−i)
N+τ−i
+
q
X
j=τ
θ
N+τ−1,j
(x
N+τ−j
−
ˆ
x
(1)
N+τ−j
), τ > l − N, (6.55)
где l = max(p, q). Для τ > q второе слагаемое в последней формуле исчезает.
НЛО предсказания
ˆ
x
(τ)
N+τ
, τ = 1, 2, . . ., определяются рекуррентно по форму-
лам (
6.55) для всякого фиксированного N. Понятно, что в большинстве прак-
тических случаев N > l, и поэтому для определения
ˆ
x
(τ)
N+τ
практически всегда
используется только второе соотношение (6.55).
153
В частном случае процесса АРСС (1,1) имеем
ˆ
x
(τ)
N+τ
= A
ˆ
x
(τ−1)
N+τ−1
= . . . = A
τ−1
ˆ
x
(1)
N+1
. (6.56)
В более общем случае АРСС (p, q) удобно при фиксированном N воспользо-
ваться обозначением
ˆ
x
(τ)
N+τ
= g(τ ). Тогда из (
6.55) д ля g(τ ) получаем векторное
разностное уравнение
g(τ) − A
1
g(τ − 1) − . . . − A
p
g(τ − p) = 0, τ > q, (6.57)
с начальными условиями g(q − i) =
ˆ
x
(q−i)
N+q−i
, 0 ≤ i ≤ p − 1.
Таким образом, для этого случая пробл ема нахождения НЛО предсказания
свелась к решению разностного уравнения (
6.57) относительно g(τ ).
На основе оценок предсказания может быть построена процедура оце нив ани я
неизвестных параметров многомерного процесса АРСС (p, q). Применяя много-
мерный инновационный алгоритм к процессу z
t
, определяемому (6.46), можно
убедиться, что x
t+1
− ˆx
t+1
= z
t+1
− ˆz
t+1
, t = 1, 2, . . . . Поэтому ГФП для реали-
зации {x
t
, 1 ≤ t ≤ N } может быть записана в виде
L(A, B, Q) = (2π)
−
nN
2
N
Y
j=1
detV
j−1
−1/2
e
−
1
2
N
P
j=1
(x
j
−
ˆ
x
j
)
∗
V
−1
j−1
(x
j
−
ˆ
x
j
)
, (6.58)
где матрицы V
j
и определяющие их матр иц ы θ
Nj
, вычисляемые по формулам
(
6.45), связаны с матрицами {A
i
}, {B
j
} и Q через соотношения (6.47). По срав-
нению с (6.39) такой вид ГФП является б олее предпочтительным, поскольку в
(6.58) вычислитель ные операции производятся с векторами и матрицами раз-
мерности n, а не nN, как это предусматривалось при использовании (6.39).
Таким образом, оценивание параметров процесса АРСС (p, q) сводится к за-
даче максимизации (6.58) в пространстве (n
2
(p + q) + n(n + 1)/2) переменных,
значения которых задают набор матриц {A
i
}, {B
j
}, Q. Такая максимизация мо-
жет быть произведена только численными методами. При этом могут возник-
нуть существенные трудности , связанные с т ем, что ГФП (6.58) имеет доволь-
но сложную структуру с несколькими локальными минимумами. Кроме того,
может оказ ать ся, что (6.58) имеет несколько глобальных максимумов. Это со-
ответствует тому, что наблюдаемый процесс порождается неидентифицируемой
моделью АРСС. Для оцениван ия параметров в таких случаях боль шое значение
имеет удачный выбор начального набора параметров, от которого отталкивает-
ся алгоритм максимизации. Опыт проведения вычислительных работ в области
максимизации подобных функций говорит о том, что, прежде чем осуществ-
лять многомерный процесс максимизации, полезно произвести анализ каждой
компоненты в отдельности как скалярного временного ряда. Это соответствует
тому, что в модели многомерного временного ряда (6.28) случайные векторы
W
t
имеют некоррелированные компоненты. Полученные таким образом пара-
метры обобщаются, по ним строятся оцениваемые матрицы {
ˆ
A
i
}, {
ˆ
B
i
}. Затем
154
максимизируется (6.58) по Q, что дает
ˆ
Q. Таким образом, данный набор мат -
риц {
ˆ
A
i
}, {
ˆ
B
i
},
ˆ
Q и принимается в качестве исходного набора параметров при
максимизации ГФП (6.58) в пространстве полной размерности.
Проблема идентифицируемости АРСС (p, q) возникает только тогда, когд а
p > 0 и q > 0. Для каузальной АР (p) или обратимого СС (q) матрицы ко-
эффициентов и МК белого шума Q определяются единственным образом. Для
нахождения параметров АР (p) модели по заданной выборке на блюдений мож-
но построить достаточно простую вычислительную процедуру, основанную на
уравнениях Юла — Уолкера (6.36). Для АР (p) они превращаются в уравнения
r(0) −
p
X
i=1
A
i
r(−i) = Q; r(τ) =
p
X
j=1
A
j
r(τ − j), 1 ≤ τ ≤ p. (6.59)
Подставляя в (
6.59) выборочные значения матриц ˆr(τ), подсчитанные по форму-
ле (6.19), получаем систему л ине йных уравнений относительно элементов мат-
риц {A
i
} и Q.
Если процесс {x
t
} является гауссовским, то, максимизируя (6.58), находим
оценки ММП неизвестных параметров. Если же {x
t
} не является гауссовским,
то получаемые описанным способом оценки можно рассматрив ать как много-
мерные М-оценки с функцией критерия, заданной в виде ГФП.
Оценка порядков p и q процесса АРСС (p, q) может быть произведена подоб-
но тому, как это было описано в § 4.3. Обычно используется информационный
критерий Акаике, статистика которого в д анн ом случае вычисляется в виде
AIC = −2ln L(A
1
, . . . , A
p
, B
1
, . . . , B
q
, Q) + 2k, (6.60)
где первое слагаемое в первой части вычисляется с помощью (6.58), а k равно
полному чис лу оцениваемых скалярных параметров (если все элементы оцени-
ваемых матриц неизвестны, то k = n
2
(p + q) + n(n + 1)/2).
Лабораторная работа 23. Прогнозирование многомерных временных
рядов
Цель работы. Ознакомиться с методами прогнозирования многомерных вре-
менных рядов. Исследовать проблему увеличения сложности алгоритмов пред-
сказания с увеличением размерности. Рассмотреть возможность оценивания
неизвестных параметров моделей временного ряда с использованием оценок
предсказания.
Порядок выполнения работы
Задать многомерную модель АРСС (p, q). Удобно в качестве модели взять
уже рассмотренную ранее модель при выполнении задания 6 лабораторной ра-
боты 22. Естественно также воспользоваться и выборкой наблюдений из этого
задания.
155
Задание 1. Построить одношаговые НЛО предсказания тремя способами:
с помощью формул (6.40), (6.41); (6.44), (6.45); (6.47)—(6.49). Представить про-
цессы оценок предсказания и предсказываемого процесса на одном графике и
провести сравнительный анали з по точности предсказания и по сложности вы-
числений. Рассмотреть скорость сходимости V
N
→ Q и θ
Nj
→ B
j
при увеличе-
нии N.
Задание 2. Задать модель процесса АРСС (1,1). Произвести имитацию про-
цесса в соответствии с этой моделью. Воспользоваться формул ами (6.50)—(6.54)
для построения НЛО предсказания. По формулам (6.55) построить НЛО пред-
сказания на τ шагов вперед. Исследовать точность пр едс казания от значения
величины τ. Рассмотреть возможность использования соотношения (6.57) для
построения НЛО предсказания при различных τ. Произвести сравнительный
анализ точности и сложности по сравнению с предыдущим подходом.
Задание 3. Использовать ре али зац ию процесса предыдущего задания для
построения оценок матриц A, B, Q с помощью максимизации ГФП (6.58). Рас-
смотреть различные способы определения начальных значений оцениваемых па-
раметров.
Задание 4. Рассмотреть применение информационного критерия Акаике
для оценивания порядков процесса АРСС. Изучить влияние информации о па-
раметрах на точность определения порядка модели.
6.3. Взаимные спектры и их оценивание
Пусть {x
t
} — многомерный ССП с матричной автоковариационной функцией
r(τ), элементы которой являются абсолютно с уммируемыми, r(τ) = (r
lj
(τ)).
Компоненты {x
tj
, 1 ≤ j ≤ n} имеют спектральные плотности. Определим
f
lj
(λ) =
1
2π
+∞
X
τ=−∞
r
lj
(τ)e
−iτλ
, −π ≤ λ ≤ π. (6.61)
Если l = j, то f
ll
(λ) представляет собой с пек тра льн ую плотность l-й компонен-
ты {x
tl
} временного ряда {x
t
}. Если l 6= j, то f
lj
(λ) будем называть взаимной
спектральной плотностью (кросс-спектром) компонент {x
tl
} и {x
tj
} времен-
ного ряда {x
t
}. Составим из f
lj
(λ) матрицу f(λ) = (f
lj
(λ)), которая называет-
ся матрицей спектральных плотностей (МСП) или спектром многомерного
временного ряда {x
t
}. Для вещественных ССП {x
t
} спектрал ьные плотности
f
ll
(λ) являются вещественными функциями. Однако f
lj
(λ), l 6= j, не обязатель-
но должны быть вещественными. Обычно они являются комплексными функ-
циями. С одной стороны, f
lj
(λ) = c
lj
(λ) + iq
lj
(λ), где c
lj
(λ) — коспектр или
коспектральная плотность; q
lj
(λ) — квадратурный спектр. В соответстви и с
этим f(λ) = c(λ) + iq(λ), где c(λ) и q(λ) — коспектральная и квадратурная МСП
соответственно. С другой стороны, f
lj
(λ) = u
lj
(λ)e
iv
lj
(λ), где u
lj
= |f
lj
(λ)| — ам-
плитуда спектра или амплитудный спектр; v
lj
(λ) — фаза спектра или фазовый
спектр.
156
Квадратичной функцией когерентности K
2
lj
(λ) называется отношение
K
2
lj
(λ) = |f
lj
(λ)|
2
/f
ll
(λ)f
jj
(λ), а K
lj
(λ) — коэффициентом когерентности
K
lj
(λ) = u
lj
(λ)
.
q
f
ll
(λ)f
jj
(λ). (6.62)
Справедливы соотношения f
lj
(λ) = f
jl
(λ), 0 ≤ K
lj
(λ) = K
jl
(λ) ≤ 1 для всех
−π ≤ λ ≤ π. Если {x
t1
} и {x
t2
} являются входом и выходом инвариантного по
времени (стационарного) линейного фильтра, то коэффициент когерентности
K
12
(λ) временных рядов {x
t1
} и {x
t2
} равен единице, K
12
(λ) = 1, −π ≤ λ ≤ π.
Если {y
t1
} и {y
t2
} являются выходами стационарных линейных фильтров, входы
которых — {x
t1
} и {x
t2
}, т.е.
y
t1
=
+∞
X
j=−∞
α
j
x
t−j,1
, y
t2
=
+∞
X
j=−∞
β
j
x
t−j,2
,
то коэффициент когерентности выходных рядов {y
t1
} и {y
t2
} в точности ра-
вен коэффициенту когерентности входных рядов. Коэффициент когерентности
некоррелированных временных рядов равен нулю.
Рассмотрим стационарный линейный фильтр с аддитивным шумом
x
t,2
=
+∞
X
j=−∞
α
j
x
t−j,1
+ y
t
. (6.63)
Тогда имеют место соотношения
f
22
(λ) = f
y
(λ) + |f
22
(λ)|
2
/f
11
(λ);
f
y
(λ) = (1 − K
2
21
(λ))f
22
(λ); (6.64)
σ
2
y
=
π
Z
−π
(1 − K
2
21
(λ))f
22
(λ) dλ.
Рассмотрим задачу оценивания МСП с помощью многомерной периодограм-
мы многомерного временного ряда {x
1
, x
2
, . . . , x
N
}, где x
t
— n-мерный выбо-
рочный вектор. Определим ДПФ J(ω) многомерного ряда соотношением
J(ω
j
) =
1
√
N
N
X
t=1
x
t
e
−itω
j
, (6.65)
где
n
ω
j
= 2πj/N : −
h
N − 1
2
i
≤ j ≤
h
N
2
io
— N частот Фурье. Период огр амма
временного ряда {x
t
} задается на множестве этих частот как совокупность мат-
риц
I
N
(ω
j
) = J(ω
j
)J
∗
(ω
j
), (6.66)
157
где ∗ обозначает не только транспонирование, но и комплексную сопряженность
элементов транспонированной матрицы. Этот смысл будет придаваться обозна-
чению и в дальнейшем.
Расширенную п ери одограмму определяем на всем множестве частот ω ∈
∈ [−π, π], по лагая, что для ω ∈ [0, π] вып олн яется равенство I
N
(ω) = I
N
(ω
k
),
если |ω −ω
k
| <
π
N
или ω = ω
k
+
π
N
, а для ω ∈ [−π, 0) считается I
N
(ω) = I
∗
N
(−ω).
Элементы матрицы I
N
(ω) будем за пис ывать I
lj
(ω), опуская д ля краткости ин-
декс N, 1 ≤ l, j ≤ n. Причем I
ll
(ω) представляет собой периодограмму l-й компо-
ненты многомерного ряда {x
t
}. Функция I
lj
(ω) называется взаимной или кросс-
периодограммой. На множестве частот Фурье она имеет значения
I
lj
(ω
k
) =
1
N
Ã
N
X
t=1
x
tl
e
−itω
k
!Ã
N
X
t=1
x
tj
e
−itω
k
!
. (6.67)
Если ω
k
— любая частота Фурье, не равная нулю, и ¯x — выборочное среднее
ряда {x
1
, x
2
, . . . , x
N
}, то
I
N
(ω
k
) =
X
|τ|<N
ˆr(τ )e
−itω
k
, ω
k
6= 0,
где ˆr(τ) =
1
N
N−τ
P
t=1
(x
t+τ
− x)(x
t
− x)
∗
, τ ≥ 0;
ˆ
r(τ) =
ˆ
r
∗
(−τ), τ < 0. Пе-
риодограмма на нулевой частоте I
N
(0) = N
¯
x
¯
x
∗
. Пусть m = M{x
t
}. Тогда
lim
N → ∞
(I
N
(0) − Nmm
∗
) = 2πf(0), lim
N → ∞
M{I
N
(ω)} = 2πf(ω), ω 6= 0, где f (ω) —
МСП процесса {x
t
}.
Если процесс {x
t
} допускает линейное разложение
x
t
=
+∞
X
j=−∞
c
j
W
t−j
, (6.68)
где W
t
— n-мерный случайный процесс НОР векторов, то M{W
t
} = 0,
M{W
t
W
∗
t
} = Q. Компоненты матриц c
j
удовлетворяют условию
+∞
P
j=−∞
|c
j
(k, l)|
p
|j| < +∞, 1 ≤ k, l ≤ n. Периодограмма I
N
(λ) = (I
ij
(λ)) про -
цесса {x
t
}, −π ≤ λ ≤ π. Тогда, если 0 < λ
1
< λ
2
< . . . < λ
k
< π, матрицы
I
N
(λ
1
), . . . , I
N
(λ
k
) при N → ∞ сходятся к независимым случайным матрицам,
j-я из которых распределена как V
k
V
∗
k
, где V
k
— n-мерный комплексный вектор
с нормальным распределением, M{V
k
} = 0, M{V
k
V
∗
k
} = 2πf(λ
k
).
Если ω
l
и ω
j
— частоты Фурье из [0, π], то при N → ∞
cov(I
αβ
(ω
l
), I
pq
(ω
k
)) =
=
(2π)
2
[f
αp
(ω
l
)f
qβ
(ω
l
) + f
αq
(ω
l
)f
βp
(ω
l
)], ω
k
= ω
l
= 0 или π,
(2π)
2
f
αp
(ω
l
)f
qβ
(ω
l
), 0 < ω
l
= ω
k
< π,
0, ω
l
6= ω
k
.
(6.69)
158
Состоятельную оценку МСП процесса (6.68) можно получить при помощи
сглаживания периодограммы. Пусть q
N
(k) — последовательность весовых ко-
эффициентов, определенных в § 5.1, g
N
(k) = g
N
(−k):
X
|k|<p
g
N
(k) = 1,
X
|k|<p
g
2
N
(k) → 0 при N → ∞. (6.70)
Определим оценку МСП f(λ) равенством
ˆ
f(λ) =
1
2π
X
|k|<p
g
N
(k)I
N
(λ + ω
k
), 0 < λ ≤ π. (6.71)
Число p, рассматриваемое при различных N, должно вести себя следующим
образом: при N → ∞ p → ∞, н о p/N → 0,
ˆ
f(0) =
1
2π
Re
(
g
N
(0)I
N
(ω
1
) + 2
p
X
k=1
g
N
(k)I
N
(ω
k+1
)
)
. (6.72)
Имеют место следующие асимптотические свойства этих оценок. Если весо-
вые коэффициенты для всех элементов
ˆ
f(λ) одинаковы, то
lim
N → ∞
M{
ˆ
f(λ)} = f(λ),
lim
N → ∞
cov(
ˆ
f
αβ
(λ),
ˆ
f
pq
(λ))
P
|k|≤p
g
2
N
(k)
= (6.73)
=
f
αp
(λ)f
qβ
(λ) + f
αq
(λ)f
βp
(λ), ω = λ = 0 или π,
f
αp
(λ)f
qβ
(λ), 0 < ω = λ < π,
0, ω 6= π.
Заметим, что для комплексных ве кто ров ковариация вычисляется по прави-
лу cov(X, Y) = M{X
¯
Y} − M{X}M{
¯
Y}. Коспектральная МСП c(λ) = (f(λ)+
+f
∗
(λ))/2 имеет состоятельную оценку вида ˆc(λ) = (
ˆ
f(λ) +
ˆ
f
∗
(λ))/2. Квад-
ратурная МСП q(λ) = (f(λ) − f
∗
(λ))/2 имеет состоятельную оценку ˆq(λ) =
= (
ˆ
f(λ) −
ˆ
f
∗
(λ))/2. Предположение об одинаковых весовых коэффициентах
g
N
(k) для всех элементов является несущественным, оно лишь упр ощает фор-
мулировку асимптотических свойств. Оценка
ˆ
f(λ) асимптоти чес ки нормально
распределена.
В качестве оценки амплитудного спектра u
lj
(λ) = |f
lj
(λ)| выберем
ˆu
lj
(λ) =
q
ˆc
2
lj
(λ) + ˆq
2
lj
(λ) ≡ h(ˆc
lj
, ˆq
lj
). (6.74)
Если u
lj
(λ) > 0, то при N → ∞ СВ ˆu
lj
(λ) асимптотически нормальна с матема-
тическим ожиданием M{ˆu
lj
(λ)} = u
lj
(λ) и дисперсией
D{ˆu
lj
(λ)} =
1
2
X
|k|≤p
g
2
N
(k)
³
µ
∂h
∂ˆc
¶
2
(f
ll
f
jj
+ c
2
lj
− q
2
lj
)+
159