Определим последовательность случайных величин x
t
рекуррентным соот-
ношением
x
t
=
p
X
i=1
a
i
x
t−i
+
q
X
j=1
b
j
W
t−j
, (1.1)
где {a
i
}, {b
j
} — задаваемые наборы констант; {W
t
} — последовательность неза-
висимых одинаково распределенных (НОР) СВ. Заметим, что для определения
стационарности последовательности (
1.1) константы a
i
следует задавать, поль-
зуясь равенством
1 −
p
X
i=1
a
i
z
i
=
p
Y
i=1
(1 − α
i
z), (1.2)
где {α
i
} — набор вспомогательных констант, таких, что |α
i
| < 1. Задав набор
{α
i
} из (
1.2), определить набор параметров {a
i
}.
Основным содержанием работы является, во-первых, получение числового
материала; во-вторых, его анализ, связанный с формулировкой закономерно-
стей, которые проявляются в этом числовом материале; в-третьих, сравнение
числовых результатов, основанных на обработке полученных данных, с теоре-
тическими результата ми. Успех выполнения лабораторно й работы в бол ьшо й
степени зависит от качества датчика случайных чисел. Поэтому, приступив к
выполнению заданий, надо убедиться, что датчик обеспечивает необходимые
условия. Кроме того, выбрав конкретный вид соотношения (1.1), порождаю-
щего СП, следует взять такие его парамет ры, которые обеспечат возможность
аналитического получения характеристик СП x
t
, таких, как числовые харак-
теристики, нормированная ковариационная функция (НКФ) и нормированн ая
спектральная пло тн ость (НСП), эргодичность, стационарность, вид распределе-
ния.
Задание 1. Пользуясь формулой (1.1), получить реализацию СП, состоя-
щую из N выборочных значений, N = mn , X = {x
t
, 1 ≤ t ≤ N }. Расчле-
нить выборку на m подпоследовательностей Y
k
= {y
tk
, 1 ≤ t ≤ n} по правилу
y
tk
= x
t+n(k−1)
, 1 ≤ k ≤ m, 1 ≤ t ≤ n.
Задание 2. Определить след ующи е выборочные числовые характеристики
последовательностей X и Y
k
, 1 ≤ k ≤ m : ˆµ,
ˆ
d,
ˆ
δ, ˆγ,
ˆ
β (см. § 1.4). Провести их
сравнительный анализ для различных подпоследовательностей, провести про-
верку на нормальность.
Задание 3. Определить выборочные нормированные корреляционные функ-
ции последовательностей X и Y
k
, 1 ≤ k ≤ m.
Выборочная нормированная корреляционная функция находится п о форму-
ле
ˆr(τ ) =
1
ˆ
d(N − τ − 1)
N−τ
X
t=1
(x
t
x
t+τ
− ˆµ
2
), 0 ≤ τ ≤ τ
max
,
где τ
max
определяется из условия ˆr(τ ) < ε для всех τ > τ
max
и ˆr(τ
max
− 1) > ε.
Величина τ
max
называется временем корреляции на уровне ε. Для достаточно
16