Maxima - руководство на русском языке

Подождите немного. Документ загружается.

Функция: random (x)

Возвращает pseudorandom число. Если x есть integer, то random(x) возвращает

integer от 0 до x-1 включительно. Если x есть floating point число, то random(x)

возвращает неотрицательное floating point число меньше чем x. Функция random даёт

ошибку, если x ни целое, nor-ни float число, или если x не положительное.

Функции make_random_state и set_random_state устанавливают статус

генератора случайных чисел.

В Maxima генератор случайных чисел представлен как Mersenne twister MT 19937.

Примеры:

(%i1) s1: make_random_state (654321)$

(%i2) set_random_state (s1);

(%o2) done

(%i3) random (1000);

(%o3) 768

(%i4) random (9573684);

(%o4) 7657880

(%i5) random (2^75);

(%o5) 11804491615036831636390

(%i6) s2: make_random_state (false)$

(%i7) random (1.0);

(%o7) 0.23101272441071

(%i8) random (10.0);

(%o8) 4.394553645870825

(%i9) random (100.0);

(%o9) 32.28666704056853

(%i10) set_random_state (s2);

(%o10) done

(%i11) random (1.0);

(%o11) 0.23101272441071

(%i12) random (10.0);

(%o12) 4.394553645870825

(%i13) random (100.0);

(%o13) 32.28666704056853

Функция: rationalize (expr)

Конвертирует все double floats и big floats числа в Maxima выражениях expr в их

exact-точные рациональные эквиваленты. Если вы не разбираетесь с binary-двоичными

representation-представлениями floating point чисел, то вы будете удивлены, что функция

rationalize (0.1) не даёт равенства 1/10. Это behavior-поведение не только в Maxima –

число 1/10 не повторяется binary-двоичными представлениями (см. ассемблер).

Примеры:

(%i1) rationalize (0.5);

(%o1) 1/2

(%i2) rationalize (0.1);

(%o2) 3602879701896397/36028797018963968

(%i3) fpprec : 5$

(%i4) rationalize (0.1b0);

(%o4) 209715/2097152

(%i5) fpprec : 20$

(%i6) rationalize (0.1b0);

(%o6) 236118324143482260685/2361183241434822606848

(%i7) rationalize (sin (0.1*x + 5.6));

(%o7) sin((3602879701896397*x)/36028797018963968+3152519739159347/562949953421312)

Пример в использовании, более сложный:

(%i1) unitfrac(r) := block([uf : [], q], if not(ratnump(r)) then

error("The input to 'unitfrac' must be a rational number"),

while r # 0 do (

uf : cons(q : 1/ceiling(1/r), uf),

r : r - q),

reverse(uf));

(%o1) unitfrac(r):=block([uf:[],q],if notratnump(r) then error(The

input to 'unitfrac' must be a rational number) ,while r # 0 do

(uf:cons(q:1/ceiling(1/r),uf),r:r-q),reverse(uf))

(%i2) unitfrac (9/10);

(%o2) [1/2,1/3,1/15]

(%i3) apply ("+", %);

(%o3) 9/10

(%i4) unitfrac (-9/10);

(%o4) [-1,1/10]

(%i5) apply ("+", %);

(%o5) -9/10

(%i6) unitfrac (36/37);

(%o6) [1/2,1/3,1/8,1/69,1/6808]

(%i7) apply ("+", %);

(%o7) 36/37

Функция: sign (expr)

Пытается определить знак выражения expr на основе фактов в текущей базе

данных. Может вернуть один из следующих ответов: pos (positive), neg (negative), zero,

pz (positive или zero), nz (negative или zero), pn (positive или negative), или pnz (positive,

negative или zero-ноль, или ничего не известно).

Примеры:

(%i1) sign(3-2);

(%o1) pos

(%i2) sign(3-7);

(%o2) neg

(%i3) sign(3-3*2/2);

(%o3) zero

Функция: signum (x)

Для численного x возвращает 0, если x есть 0, иначе возвращает -1 или +1, если x

есть less-меньше или greater-больше чем 0, соответственно.

Если x не число, то simplified-упрощает, но эквивалентная форма возвращается.

Например, signum(-x) даёт -signum(x).

Функция: sort (L, P)

Функция: sort (L)

Сортирует list-список L соответственно в предикат P от двух аргументов, так, что

P(L[k],L[k+1]) есть true для некоторых двух найденных элементов. Предикат может

быть специфицирован как имя функции или бинарный infix-инфиксный оператор, или как

lambda выражение. Если специфицирован как имя оператора, то имя заключается в

"double quotes (двойные кавычки)".

Отсортированный list-список возвращается как новый объект; аргумент L не

модифицируется. Чтобы конструкция возвращала значение, сортировка делает shallow-

поверхностную копию элементов L.

Если предикат P не есть общий порядок элементов списка L, то сортировка должна

завершиться без ошибок, но результат не определен. Функция sort сообщает об ошибке,

если предикат вычисляется во что-то другое, чем true или false.

Функция sort(L) эквивалентна функции sort(L,orderlessp). То есть по

умолчанию порядок сортировки есть ascending – в порядке ВОЗРАСТАНИЯ, как

определенный параметром orderlessp. Все атомы и выражения Maxima есть

comparable-сопоставимые под orderlessp, although-хотя это изолирует примеры

выражений, для которых параметр orderlessp не есть transitive-переходный; это есть

bug-ошибка.

Примеры:

(%i1) sort([11,-17,29b0,7.55,3,-5/2,b+a,9*c,19-3*x]);

(%o1) [-17,-5/2,3,7.55,11,2.9b1,b+a,9*c,19-3*x]

(%i2) sort([11,-17,29b0,7.55,3,-5/2,b+a,9*c,19-3*x],ordergreatp);

(%o2) [19-3*x,9*c,b+a,2.9b1,11,7.55,3,-5/2,-17]

(%i3) sort([%pi,3,4,%e,%gamma]);

(%o3) [3,4,%e,%gamma,%pi]

(%i4) sort([%pi,3,4,%e,%gamma],"<");

(%o4) [%gamma,%e,3,%pi,4]

(%i5) my_list: [[aa,hh,uu], [ee,cc], [zz,xx,mm,cc], [%pi,%e]];

(%o5) [[aa,hh,uu],[ee,cc],[zz,xx,mm,cc],[%pi,%e]]

(%i6) sort (my_list);

(%o6) [[%pi,%e],[aa,hh,uu],[ee,cc],[zz,xx,mm,cc]]

(%i7) sort(my_list,lambda([a,b],orderlessp(reverse (a),reverse(b))));

(%o7) [[%pi,%e],[ee,cc],[zz,xx,mm,cc],[aa,hh,uu]]

Функция: sqrt (x)

Квадратный корень x. Это также можно записать как x^(1/2). Смотри также

rootscontract.

Функция radexpand если true, будет причиной nth n корней. Например,

sqrt(16*x^2) даст 4*x только, если radexpand есть true.

Примеры:

(%i1) sqrt(10);

(%o1) sqrt(10)

(%i2) sqrt(10.0);

(%o2) 3.16227766016838

(%i3) sqrt(-10.0);

(%o3) 3.16227766016838*%i+1.936272657596379*10^-16

(%i4) sqrt(%pi);

(%o4) sqrt(%pi)

(%i5) ev(sqrt(%pi),float);

(%o5) 1.772453850905516

Option variable: sqrtdispflag

Default value: true

When sqrtdispflag is false, causes sqrt to display with exponent 1/2.

Функция: sublis (list, expr)

Makes multiple parallel substitutions-замены into an expression- выражении.

The variable sublis_apply_lambda controls simplification-упрощением after sublis.

Example:

(%i1) sublis ([a=b, b=a], sin(a) + cos(b));

(%o1) sin(b)+cos(a)

Функция: sublist (list, p) /* подсписок */

Returns the list of elements of list for which the predicate p returns true.

Example:

(%i1) L: [1, 2, 3, 4, 5, 6];

(%o1) [1,2,3,4,5,6]

(%i2) sublist (L, evenp); /* evenp – для чётных */

(%o2) [2,4,6]

Option variable: sublis_apply_lambda

Default value: true - controls whether-ли lambda's substituted-замена are applied in

simplification after sublis is used или whether you have to do an ev to get things to apply. В

случае true means-средства do the application.

Функция: subst (a, b, c)

Substitutes (заменяет, подставляет) a for b in c. Причём b must be an atom or a

complete-полное subexpression-подвыражение of c. For example, x+y+z is a complete

subexpression of 2*(x+y+z)/w while x+y is not. When b does not have these characteristics, one

may sometimes use substpart or ratsubst (see below-ниже). Alternatively, if b is of the

form e/f then one could use subst(a*f,e,c) while if b is of the form e^(1/f) then one

could use subst(a^f,e,c). The subst command also-также discerns-различает the x^y in

x^-y so that subst(a,sqrt(x),1/sqrt(x)) yields 1/a. Величины a and b may also be

operators of an expression enclosed in double-quotes-кавычки " or they may be function

names. If one wishes-пожелает to substitute for the independent-независимой variable in

derivative-производных forms then the at function (see below-ниже) should be used.

Пример:

(%i1) 2^-1;

(%o1) 1/2

(%i2) 2^-1-1;

(%o2) -1/2

Название subst is an alias-псевдоним for substitute-замены.

Функция subst(eq_1,expr) or subst([eq_1,...,eq_k],expr) are other

permissible-допустимые forms. The eq_i are equations indicating substitutions to be made.

For each equation-уравнения, the right side will be substituted for the left in the expression

expr.

exptsubst if true permits-пропусков substitutions-замен like y for %e^x in %e^(a*x)

to take place.

When opsubst is false, subst will not attempt-пытается to substitute-заменить into the

operator of an expression. E.g. (opsubst: false, subst (x^2, r, r+r[0])) will work.

Examples:

(%i1) subst (a, x+y, x + (x+y)^2 + y);

(%o1) y+x+a^2

(%i2) subst (-%i, %i, a + b*%i);

(%o2) a-%i*b

Для более расширенного примера наберите example (subst) и нажмите ENTER:

(%i1) example (subst);

(%i1)

(%i2) subst(a,y+x,y+(y+x)^2+x)

(%o2) y+x+a^2

(%i1)

(%i3) subst(-%i,%i,b*%i+a)

(%o3) a-%i*b

(%i1)

(%i4) subst(x,y,y+x)

(%o4) 2*x

(%i1)

(%i5) subst(x = 0,diff(sin(x),x))

(%o5) 1

(%i1)

(%i6) errcatch(ev(diff(sin(x),x),x = 0))Non-variable 2nd argument

to diff:0

(%o6) []

(%i1)

(%i7) ev(integrate(x^i,x),i = -1)

(%o7) log(x)

(%i1)

(%i8) errcatch(subst(-1,i,integrate(x^i,x)))Is i+1 zero or

nonzero?zero;

(%o8) [log(x)]

(%i1)

(%i9) matrix([a,b],[c,d])

(%o9) matrix([a,b],[c,d])

(%i1)

(%i10) subst("[",matrix,%)

(%o10) [[a,b],[c,d]]

(%o10) done

Функция: substinpart(x,expr,n_1,...,n_k)

Similar-подобна функции substpart, but substinpart works on the internal-

внутренними representation-представлениями выражения expr.

Примеры:

(%i1) x . 'diff (f(x), x, 2);

(%o1) x.'diff(f(x),x,2)

(%i2) substinpart (d^2, %, 2);

(%o2) x.d^2

(%i3) substinpart (f1, f[1](x + 1), 0);

(%o3) f1(x+1)

If the last argument to a part function is a list-список of indices-индексов then several

subexpressions are picked out (выбираются), each one-по одному corresponding-передаётся

to an index of the list. Thus-так

(%i1) part (x + y + z, [1, 3]);

(%o1) z+x

piece-часть holds-считает the value of the last expression selected when using the part

functions. It is set during the execution-выполнения of the function and thus may be referred-

связано to in the function itself as shown-показано below-ниже. If partswitch-часть_ключа is

set to true then end is returned when a selected part of an expression doesn't exist, otherwise-

иначе an error message is given.

Примеры:

(%i1) expr: 27*y^3 + 54*x*y^2 + 36*x^2*y + y + 8*x^3 + x + 1;

(%o1) 27*y^3+54*x*y^2+36*x^2*y+y+8*x^3+x+1

(%i2) part (expr, 2, [1, 3]);

(%o2) 54*y^2

(%i3) sqrt (piece/54);

(%o3) abs(y)

(%i4) substpart (factor (piece), expr, [1, 2, 3, 5]);

(%o4) (3*y+2*x)^3+y+x+1

(%i5) expr: 1/x + y/x - 1/z;

(%o5) -1/z+y/x+1/x

(%i6) substpart (xthru (piece), expr, [2, 3]);

(%o6) (y+1)/x-1/z

Also, setting the option inflag to true and calling part or substpart is the same as

calling inpart or substinpart.

Функция: substpart(x,expr,n_1,...,n_k) /* подчасть */

Substitutes-подстановки x for the subexpression picked out (выбранного) by the rest-

отдыха(пропуска) of the arguments as in part. It returns the new value of expr. Величина x

may be some operator to be substituted-подставлена for an operator of expr. In some-

некоторых cases-случаях x needs to be enclosed-заключённым in double-quotes-кавычки "

(например, substpart("+",a*b,0) yields b+a).

Примеры:

(%i1) 1/(x^2 + 2);

(%o1) 1/(x^2+2)

(%i2) substpart (3/2, %, 2, 1, 2);

(%o2) 1/(x^(3/2)+2)

(%i3) a*x + f(b, y);

(%o3) a*x+f(b,y)

(%i4) substpart ("+", %, 1, 0);

(%o4) x+f(b,y)+a

Also, setting the option inflag to true and calling part or substpart is the same as

calling inpart or substinpart.

Функция: subvarp (expr)

Returns-возвращает true if expr is a subscripted-индексированная variable-

переменная, for example a[i].

Пример:

(%i1) subvarp (a[i]);

(%o1) true

(%i2) subvarp (a);

(%o2) false

Функция: symbolp (expr)

Returns true if expr is a symbol, else false. In effect-эффективнее, symbolp(x) is

equivalent to the predicate atom(x) and not numberp(x).

Пример:

(%i1) symbolp (expr);

(%o1) true

(%i2) symbolp (3);

(%o2) false

See also Identifiers.

Функция: unorder ()

Disables the aliasing created by the last use of the ordering commands ordergreat (в

порядке возрастания) and orderless (в порядке убывания). Команды ordergreat and

orderless may not be used more than one time each without calling unorder. See also

ordergreat and orderless.

Примеры:

(%i1) unorder();

(%o1) []

(%i2) b*x + a^2;

(%o2) b*x+a^2

(%i3) ordergreat (a);

(%o3) done

(%i4) b*x + a^2;

(%o4) a^2+b*x

Функция: vectorpotential (givencurl)

Returns the vector potential of a given curl-кривом vector, in the current coordinate

system. potentialzeroloc has a similar role as for potential, but the order of the left-hand sides of

the equations must be a cyclic permutation-перестановкой of the coordinate variables.

Функция: xthru (expr)

Combines-объединяет all terms-термы of expr (which should be a sum-суммой) over-

над a common denominator-знаменателем without expanding-расширения products-

произведений and exponentiated sums-сумм as ratsimp-упрощение does. Функция xthru

cancels-отменяет common factors (разложение на множители) in the numerator-числителе

and denominator-знаменателе of rational expressions but only if the factors (разложение на

множители) are explicit-явное.

Sometimes-иногда it is better to use xthru before ratsimping an expression in order to

cause explicit- явное factors of the gcd (общий делитель) of the numerator-числителя and

denominator-знаменателя to be canceled-отменённым thus simplifying the expression to be

ratsimped.

Примеры:

(%i1) ((x+2)^20 - 2*y)/(x+y)^20 + (x+y)^(-19) — x/(x+y)^20;

(%o1) 1/(y+x)^19+((x+2)^20-2*y)/(y+x)^20-x/(y+x)^20

(%i2) xthru (%);

(%o2) ((x+2)^20-y)/(y+x)^20

Функция: zeroequiv (expr, v)

Tests whether the expression expr in the variable v is equivalent to zero, returning true,

false, or dontknow. (Проверка выражения на равенство 0).

Функция zeroequiv has these restrictions-ограничения:

1. Do not use functions that Maxima does not know how to differentiate and evaluate.

2. If the expression has poles on the real line, there may be errors in the result (but this is

unlikely-вряд_ли to occur-происходить).

3. If the expression contains functions which are not solutions to first order differential

equations (e.g. Bessel functions) there may be incorrect results.

4. The algorithm uses evaluation at randomly-случайно chosen-выбранных points-точек

for carefully-тщательно selected subexpressions. This is always-всегда a somewhat-

несколько hazardous-опасное business-дело, although-хотя the algorithm tries-пытается to

minimize the potential for error.

For example zeroequiv(sin(2*x)-2*sin(x)*cos(x),x) returns true and

zeroequiv(%e^x+x,x) returns false. On the other hand (с другой стороны) zeroequiv

(log(a*b)-log(a)- log(b),a) returns dontknow because-поскольку of the presence-

присутствует of an extra-внешний parameter b.

Примеры:

(%i1) zeroequiv (sin(2*x) - 2*sin(x)*cos(x), x);

(%o1) true

(%i2) zeroequiv (%e^x + x, x);

(%o2) false

(%i3) zeroequiv (log(a*b) - log(a) - log(b), a);

(%o3) dontknow

8. Expressions-ВЫРАЖЕНИЯ

8.1 Introduction to Expressions — Введение в выражения

There are a number of reserved words which cannot be used as variable names. Their

use would cause a possibly cryptic syntax error. Зарезервированные ключевые слова:

integrate next from diff

in at limit sum

for and elseif then

else do or if

unless product while thru

step

Most-многие things-вещи in Maxima are expressions. A sequence-последовательность

of expressions can be made into an expression by separating-разделённое them by commas-

запятыми and putting-помещённые parentheses-круглые_скобки around-вокруг them-них.

This is similar-подобно to the C (язык) comma-запятая expression.

Примеры:

(%i1) x: 3$

(%i2) (x: x+1, x: x^2);

(%o2) 16

(%i3) (if (x > 17) then 2 else 4);

(%o3) 4

(%i4) (if (x > 17) then x: 2 else y: 4, y+x);

(%o4) 20

Even-даже loops-циклы in Maxima are expressions, although-хотя the value they return

is the not too-тоже useful done.

Примеры:

(%i1) y: (x: 1, for i from 1 thru 10 do (x: x*i))$

(%i2) y;

(%o2) done

(%i3) x;

(%o3) 3628800

whereas-тогда_как what you really want-хотите is probably-возможно to include-

включить a third-третий term-терм in the comma-запятой expression which actually gives

back the value.

(%i4) y: (x: 1, for i from 1 thru 10 do (x: x*i), x)$

(%i5) y;

(%o5) 3628800

8.2 Assignment - Присвоения

There are two-два assignment-присвоения operators-оператора in Maxima, : and ::.

E.g., a:3 sets the variable a to 3. Оператор :: assigns-присваивает the value-значение of

the expression on its right to the value of the quantity-количество on its left, which must

evaluate to an atomic variable or subscripted-индексированной variable-переменной. Смотри

стр. 18.

8.3 Complex - Комплексные числа

A complex expression is specified in Maxima by adding the real-действительная part-

часть of the expression to %i times the imaginary-мнимая part-часть. Thus-так the roots-

корни of the equation-уравнения x^2-4*x+13=0 are 2+3*%i and 2-3*%i. Note-заметьте

that simplification-упрощение of products-произведения of complex expressions can be

effected by expanding расширено the product-произведением. Simplification of quotients-

факториалов, roots, and other functions of complex expressions can usually be accomplished-

опытно by using the realpart, imagpart, rectform, polarform, abs, carg functions.

8.4 Nouns and Verbs - Существительные и глаголы

Maxima distinguishes-различает between operators which are "nouns-

существительные" and operators which are "verbs-глаголы". A verb-глагол is an operator

which can be executed-выполнен. A noun is an operator which appears-выглядит as a symbol

in an expression, without-без being executed-выполнения. By default-по_умолчанию, function

names are verbs-глаголы. A verb-глагол can be changed into a noun-существительное by

quoting-закавычиванием (перед) the function name or applying the nounify-необъединённой

function. A noun-существительное can be changed into a verb-глагол by applying the verbify

function. The evaluation flag-флаг nouns causes ev to evaluate-вычислить nouns-

существительное in an expression-выражении .

The verb-глагольная form-форма is distinguished-отличается by a leading dollar sign $

on the corresponding-передаваемом Lisp symbol. In contrast, the noun-существительная

form is distinguished-отличается by a leading percent sign % on the corresponding-

передаваемом Lisp symbol. Some-некоторые nouns-существительные have special display

properties-свойства, such as 'integrate-интегрирование and 'derivative-дифференцирование

(returned by diff), but most do not. By default-по_умолчанию, the noun-существительные

and verb-глагольные forms-формы of a function are identical when displayed. The global flag

noundisp causes Maxima to display nouns with a leading-предшествующая quote-кавычка

mark '.

Смотри также noun, nouns, nounify, and verbify.

Примеры:

(%i1) foo (x) := x^2;

(%o1) foo(x):=x^2

(%i2) foo (42);

(%o2) 1764

(%i3) 'foo (42);

(%o3) foo(42)

(%i4) 'foo (42), nouns;

(%o4) 1764

(%i5) declare (bar, noun);

(%o5) done

(%i6) bar (x) := x/17;

(%o6) bar(x):=x/17

(%i7) bar (52);

(%o7) bar(52)

(%i8) bar (52), nouns;

(%o8) 52/17

(%i9) integrate (1/x, x, 1, 42);

(%o9) log(42)

(%i10) 'integrate (1/x, x, 1, 42);

(%o10) integrate(1/x,x,1,42)

(%i11) ev (%, nouns);

(%o11) log(42)

8.5 Identifiers - Идентификаторы

Maxima identifiers-идентификаторы may comprise-включать alphabetic characters, plus

the numerals-числа от 0 through-до 9, plus any special character preceded-

предшествовавший by the backslash-обратный_слэш \ character-символ.