Maxima - руководство на русском языке

Подождите немного. Документ загружается.

(%o2) cos(w)+w^2+2*w+cos(1)+1.909297426825682

(%i3) programmode: false;

(%o3) false

(%i4) x+y, x: a+y, y: 2;

(%o4) y+a+2

(%i5) 2*x - 3*y = 3$

(%i6) -3*x + 2*y = -4$

(%i7) solve ([%o5, %o6]);

Solution

(%t7) y=-1/5

(%t8) x=6/5

(%o8) [[%t7,%t8]]

(%i9) %o6, %o8;

(%o9) -4=-4

(%i10) x + 1/x > gamma (1/2);

(%o10) x+1/x>sqrt(%pi)

(%i11) %, numer, x=1/2;

(%o11) 2.5>1.772453850905516

(%i12) %, pred;

(%o12) true

Свойство : evflag

Когда символ x имеет evflag свойство, то выражения ev(expr,x) и expr,x (в

интерактивной строке-prompt) эквивалентны ev(expr,x=true). Таким образом, x есть

true, пока expr вычисляется.

Выражение declare (x,evflag) дает evflag-свойство переменной x.

Флаги, которые имеют evflag-свойство по умолчанию, следующие: algebraic,

cauchysum, demoivre, dotscrules, %emode, %enumer, exponentialize,

exptisolate, factorflag, float, halfangles, infeval,

isolate_wrt_times, keepfloat, letrat, listarith, logabs, logarc,

logexpand, lognegint, lognumer, m1pbranch, numer_pbranch, programmode,

radexpand, ratalgdenom, ratfac, ratmx, ratsimpexpons, simp, simpsum,

sumexpand и trigexpand.

Примеры:

(%i1) sin (1/2);

(%o1) sin(1/2)

(%i2) sin (1/2), float;

(%o2) 0.4794255386042

(%i3) sin (1/2), float=true;

(%o3) 0.4794255386042

(%i4) simp : false;

(%o4) false

(%i5) 1 + 1;

(%o5) 1+1

(%i6) 1 + 1, simp;

(%o6) 2

(%i7) simp : true;

(%o7) true

(%i8) sum (1/k^2, k, 1, inf);

(%o8) sum(1/k^2,k,1,inf)

(%i9) sum (1/k^2, k, 1, inf), simpsum;

(%o9) %pi^2/6

(%i10) declare (aa, evflag);

(%o10) done

(%i11) if aa = true then YES else NO;

(%o11) NO

(%i12) if aa = true then YES else NO, aa;

(%o12) YES

Свойство: evfun

Когда функция F имеет evfun свойство, выражения ev(expr,F) и expr,F (в

командной строке) эквивалентны F(ev(expr)).

Если две и более evfun функций F, G и т.д., специфицированы, то функции

применяются в том порядке, в котором они специфицированы.

Выражение declare(F,evfun) придаёт evfun свойство функции F.

Функции, которые имеют evfun свойство по умолчанию следующие: bfloat,

factor, fullratsimp, logcontract, polarform, radcan, ratexpand, ratsimp,

rectform, rootscontract, trigexpand и trigreduce.

Примеры:

(%i1) x^3 - 1;

(%o1)

−1

(%i2) x^3 - 1, factor;

(%o2)

 x−1∗ x

x1

(%i3) factor (x^3 - 1);

(%o3)

 x−1∗ x

x1

(%i4) cos(4 * x) / sin(x)^4;

(%o4)

cos 4∗x/s in x 

(%i5) cos(4 * x) / sin(x)^4, trigexpand;

(%o5)

sin  x

−6∗cos  x

∗sin x

cos  x

/sin  x

(%i6) cos(4 * x) / sin(x)^4, trigexpand, ratexpand;

(%o6)

−6∗cos x 

/sin x

cos  x

/sin  x

1

(%i7) ratexpand (trigexpand (cos(4 * x) / sin(x)^4));

(%o7)

−6∗cos x 

/sin x

cos  x

/sin  x

1

(%i8) declare ([F, G], evfun);

(%o8)

done

(%i9) (aa : bb, bb : cc, cc : dd);

(%o9)

(%i10) aa;

(%o10)

(%i11) aa, F;

(%o11)

F cc

(%i12) F (aa);

(%o12)

F bb

(%i13) F (ev (aa));

(%o13)

F cc

(%i14) aa, F, G;

(%o14)

G  F cc 

(%i15) G (F (ev (aa)));

(%o15)

G  F cc 

Опциональная переменная: infeval

Делает доступным режим "infinite evaluation — бесконечные вычисления". Функция

ev повторяет вычисления выражения до тех пор, пока не прекратятся изменения. Чтобы

предотвращать переменную, скажем X, от того, чтобы быть вычисленным далеко в этом

способе, просто включают X='X как аргумент ev. Конечно, выражения типа

ev(X,X=X+1,infeval) произведут бесконечный цикл.

Функция: kill(a_1,..., a_n)

Функция: kill(labels)

Функция: kill(inlabels,outlabels,linelabels)

Функция: kill(n)

Функция: kill([m,n])

Функция: kill(values,functions,arrays, ...)

Функция: kill(all)

Функция: kill(allbut (a_1,..., a_n))

Удаляет все зависимости (значение, функцию, множество, или правило) от

аргументов a_1...,a_n. Аргументом a_k может быть символ или отдельный элемент

массива. Когда a_k — отдельный элемент массива, то стирает, отвязывает этот элемент,

не затрагивая никакие другие элементы array-массива.

Различные виды аргументов могут быть объединены, например, kill(inlabels,

functions, allbut (foo, bar)).

kill (labels) убирает связи input, output и labels-меток. kill (inlabels)

убирает связи только input labels-меток, которые начинаются с текущего значения inchar-

входного символа. Аналогично, kill(outlabels) убирает связи только output labels-

меток, которые начинаются с текущего значения outchar-выходного символа, и очищает

(linelabels) убирает связи только labels-меток выражений, которые начинаются с

текущего значения linechar-строчного символа (типа %t1). Типа %i1 — это inchar. Типа

%o1 — это outchar.

kill(n), где n есть integer-целое, убирает связи n input-входных и output-выходных

labels-меток.

kill([m,n]) убирает связи n input-входных и output-выходных labels-меток, от m до

kill(infolist), где infolist есть некоторые items-темы в infolists (такие как

values-значения, functions-функции, или arrays-массивы) убирает связи со всеми items в

infolist. Смотри также infolist.

kill(all) убирает абсолютно все связи (то есть перезапускает Maxima).

kill(allbut(a_1,..., a_n)) убирает все связи из всех infolists, НО (but) за

исключением для a_1,..., a_n. kill(allbut (infolist)) unbinds all items except for the ones on

infolist, где infolist есть values-значения, functions-функции, arrays-массивы и т.д.

Функция: labels(symbol)

Системная переменная: labels

Возвращает list-список input-входа, output-выхода, labels-меток выражений, которые

начинаются с символа. Обычно символом начинается inchar (%i1), outchar (%o1) или

linechar (%t1). В метке-label character-буква должна быть дана со знаком процента % или

без него, например, i и %i в поле некоторого результата.

Пример:

(%i1) labels;

(%o1) [%i1]

(%i2) labels;

(%o2) [%i2,%o1,%i1] /* то есть %i2,%o1,%i1 - переменные! */

Метки-label должны начинаться только с символа!

Продолжение примера:

(%i3) labels (''inchar);

(%o3) [%i3,%i2,%i1]

Метки функции указывают на ее аргумент. Оператор две одинарные кавычки ''

отменяет действие одной кавычки. Например, (''inchar) возвращает метку входа,

которая начинается с текущего знака метки входа.

Системная переменная: linenum , например (продолжение):

(%i4) linenum;

(%o4)

/* то есть 4-я строка расчёта (комментарий как в Си)*/

Функция: playback () - проигрывает вышележащие строки без пересчета

Функция: playback (n) - проигрывает n вышележащих строк без пересчета

Функция: playback ([m, n]) - проигрывает от и до

Функция: playback ([m])

Функция: playback (input) - проигрывает вышележащие inchar-строки

Функция: playback (slow)

Функция: playback (time)

Функция: playback (grind)

Эти функции проигрывают вышележащие строки без пересчета.

Функция: quit ()

Завершает сессию Maxima.

Функция: to_lisp ()

Запускает Lisp-интерпретатор под Maxima. Наоборот, команда (to-maxima)

возвращает из Lisp в Maxima. См. выше на стр. 4.

7. Operators-операторы

7.1. Арифметические операторы

Оператор: +

Оператор: -

Оператор: *

Оператор: /

Оператор: ^

Пример сложения и вычитания (обратим внимание на действие op и args):

(%i1) c + g + d + a + b + e + f;

(%o1) g+f+e+d+c+b+a

(%i2) [op(%), args(%)];

(%o2) [+,[g,f,e,d,c,b,a]]

(%i3) c * g * d * a * b * e * f;

(%o3) a*b*c*d*e*f*g

(%i4) [op(%), args (%)];

(%o4) [*,[a,b,c,d,e,f,g]]

(%i5) apply ("+", [a, 8, x, 2, 9, x, x, a]);

(%o5) 3*x+2*a+19

(%i6) apply ("*", [a, 8, x, 2, 9, x, x, a]);

(%o6) 144*a^2*x^3

Пример деления и возведения в степень (с функцией ):

(%i1) [a/b,a^b];

(%o1)

[a /b , a

]

(%i2) [map(op,%),map(args,%)];

(%o2) [[//,^],[[a,b],[a,b]]]

(%i3) [apply ("//",[a,b]), apply ("^",[a,b])];

(%o3)

[a /b , a

]

Вычитание и деление представлены внутренне в терминах сложения и умножения,

соответственно:

(%i1) [inpart (a - b, 0), inpart (a - b, 1), inpart (a - b, 2)];

(%o1) [+,a,-b]

(%i2) [inpart (a / b, 0), inpart (a / b, 1), inpart (a / b, 2)];

(%o2) [*,a,1/b]

Вычисления выполняются смешанно с буквами и числами, а также с integer-целыми

и float-числами:

(%i1) 17 + b - (1/2)*29 + 11^(2/4);

(%o1)

b



115/ 2

(%i2) [17 + 29, 17 + 29.0, 17 + 29b0];

(%o2) [46, 46.0, 4.6b1]

При вычислениях можно выключать или включать упрощение выражения с

помощью simp. Покажем на примере (двоеточие : как знак присвоения):

(%i1) simp : false;

(%o1) false

(%i2) '(17 + 29*11/7 - 5^3);

(%o2) 17+(29*11)/7-5^3

(%i3) simp : true;

(%o3) true

(%i4) '(17 + 29*11/7 - 5^3);

(%o4) -437/7

Арифметические действия можно выполнять поэлементно или нет в list-списках и

matrix-матрицах, в зависимости от вкл/выкл параметра listarith. Пример:

(%i1) matrix ([a, x], [h, u]) - matrix ([1, 2], [3, 4]);

(%o1) matrix([a-1,x-2],[h-3,u-4])

(%i2) 5 * matrix ([a, x], [h, u]);

(%o2) matrix([5*a,5*x],[5*h,5*u])

(%i3) listarith : false;

(%o3) false

(%i4) [a, c, m, t] / [1, 7, 2, 9];

(%o4) [a,c,m,t]/[1,7,2,9]

(%i5) [a, c, m, t] ^ x;

(%o5) [a,c,m,t]^x

(%i6) listarith : true;

(%o6) true

(%i7) [a, c, m, t] / [1, 7, 2, 9];

(%o7) [a,c/7,m/2,t/9]

(%i8) [a, c, m, t] ^ x;

(%o8) [a^x,c^x,m^x,t^x]

Оператор: **

Оператор степени. Maxima признаёт оператор ** как оператор ^ на input-входе и

выводит на экран как ^ в 1-мерном output-выходе, или размещает exponent-степень как

superscript в 2-мерном output-выходе.

Функция fortran выводит на экран экспоненциальный оператор как **, в

независимости было ли это введено как ** или ^.

Примеры:

(%i1) is (a**b = a^b);

(%o1) true

(%i2) x**y + x^z;

(%o2) x^z+x^y

(%i3) string (x**y + x^z);

(%o3) x^z+x^y

(%i4) fortran (x**y + x^z);

x**z+x**y

(%o4) done

7.2. Операторы отношений

Оператор: <

Оператор: <=

Оператор: >=

Оператор: >

7.3. General-общие операторы и функции

Оператор: ^^

Некоммуникативный экспоненциальный оператор. Выводит на экран ^^ в 1-мерном

output-выходе или размещает экспоненту как superscript без угловых скобок < > в 2-

мерном output-выходе.

Пример (видимо, комбинаторика):

(%i1) a . a . b . b . b + a * a * a * b * b;

(%o1) a^3*b^2+a^^2.b^^3

(%i2) string (a . a . b . b . b + a * a * a * b * b);

(%o2) a^3*b^2+a^^2 . b^^3

Оператор: !

Оператор факториала.

Для любого комплексного числа x (включая целое число, рациональные и

действительные числа) за исключением отрицательных целых чисел, факториал x!

определен как функция gamma(x+1).

Для целого числа x, факториал x! даёт произведение целых чисел от 1 до x

включительно. Факториал 0! равен 1. Для числа с плавающей точкой x, факторал x!

равен функции gamma(x+1). Для x равному n/2, где n - нечетное целое число,

факториал x! вычисляется к рациональному числу факториала sqrt (%pi) (так как

gamma(1/2) равна sqrt (%pi)). Если x - что - нибудь ещё, то факториал x! не

вычисляется.

Переменные factlim, minfactorial и factcomb управляют вычислением

выражений, содержащих факториал.

Функции gamma, bffac и cbffac - это варианты gamma-функции. Функция

makegamma заменяет gamma-функцию для факториалов и связанных с ними функций.

Смотри также binomial.

Факториал целого числа, полуцелого числа, или аргумента с плавающей точкой

вычисляется, если операнд не больше чем factlim.

Примеры:

(%i1) factlim : 10;

(%o1) 10

(%i2) [0!, (7/2)!, 4.77!, 8!, 20!];

(%o2) [1, (105*sqrt(%pi))/16, 81.44668037931206, 40320,20!]

Факториал комплексного числа, известной константы или общего выражения не

вычисляется. Однако даже в этом случае может быть возможно вычисление факториала

после преобразования операнда.

Пример:

(%i1) [(%i + 1)!, %pi!, %e!, (cos(1) + sin(1))!];

(%o1) [(%i+1)!,%pi!,%e!,(sin(1)+cos(1))!]

(%i2) ev (%, numer, %enumer);

(%o2) [(%i+1)!,7.188082728976037,4.260820476357002,1.227580202486819]

Оператор: !!

Оператор двойного факториала.

Для integer-, float- и rational чисел n, двойной факториал n!! вычисляется в виде

произведения n(n-2)(n-4)(n-6)...(n-2(k-1)), где k равно (n/2), причём большое

integer-целое число меньше или равно чем n/2. Заметьте, что это определение не

совпадает с другими данными определениями для аргументов, которые не являются

целыми числами.

Для even-чётных (или odd-нечётных) целых чисел n, двойной факториал n!!

вычисляется как произведение всех последовательных even-чётных (или odd-нечётных)

целого числа от 2 (или 1) до n включительно.

Пример:

(%i1) 5!!;

(%o1)

(%i2) 6!!;

(%o2)

Для аргумента n, который не является integer, float или rational числом, двойной

факториал n!! выводится в форме noun-существительного функцией

genfact(n,n/2,2).

Оператор: #

Представляет негативное синтаксическое неравенство =.

Заметьте, что действуют правила для вычисления выражений предикатов (в

частности, поскольку не expr причина вычисления expr), not a = b есть эквивалент

is(a # b) вместо a # b.

Пример:

(%i1) a = b;

(%o1) a=b

(%i2) is (a = b);

(%o2) false

(%i3) a # b;

(%o3) a # b

(%i4) not a = b;

(%o4) true

(%i5) is (a # b);

(%o5) true

(%i6) is (not a = b);

(%o6) true

Оператор: .

Оператор dot-точка, для матричного (некоммутативного) умножения. Когда "."

используется, то пробелы должны быть с обоих сторон около точки, например A .

B, где A и B – матрицы. Это отличает явно от десятичной точки во float-числе с

плавающей точкой типа 3.14.

Смотри также dot, dot0nscsimp, dot0simp, dot1simp, dotassoc,

dotconstrules, dotdistrib, dotexptsimp, dotident и dotscrules.

Оператор: :

Оператор присваивания. Например A:3 присваивает переменной A значение 3.

Оператор: ::

Оператор присваивания. Оператор :: присваивает значение выражения в его

правой части значению в его левой части, которое должно быть вычислено в atomic-

локальной переменной или в subscripted-индексированной переменной.

Оператор: ::=

Оператор определения макро-функции. Оператор ::= определяет функцию

(называемую как "macro" по историческим причинам), он который указывает на её

аргументы и выражение, которое это возвращает (названное "макро-расширением"),

вычисляется в контексте, от которого вызывали макрос. Макро-функция - иначе то же

самое как обычная функция (пользовательская функция).

Пример:

(%i1) x: %pi;

(%o1) %pi

(%i2) y: 1234;

(%o2) 1234

(%i3) z: 1729 * w;

(%o3) 1729*w

(%i4) printq1(x)::=block(print("(1) x is equal to",x),

'(print ("(2) x is equal to", x)));

(%o4) printq1(x)::=block(print((1) x is equal to,x),'(print((2) x

is equal to,x)))

(%i5) printq1 (y — z);

(1) x is equal to y-z

(2) x is equal to %pi

(%o5) %pi

Обычная функция оценивает - аргументы, таким образом сообщение (1) показывает

величину y - z. Возвращаемая величина не вычислена, таким образом сообщение (2)

не напечатано до явной оценки ''%.

Пример:

(%i1) x: %pi;

(%o1) %pi

(%i2) y: 1234;

(%o2) 1234

(%i3) z: 1729 * w;

(%o3) 1729*w

(%i4) printe1 (x) := block (print ("(1) x is equal to", x),

'(print ("(2) x is equal to", x)));

(%o4) printe1(x):=block(print((1) x is equal to,x),'(print((2) x

is equal to,x)))

(%i5) printe1 (y — z);(1)x is equal to 1234 - 1729 w;

(1) x is equal to 1234-1729*w

(%o5) print((2) x is equal to,x)

(%i6)''%;

Incorrect syntax: X is not an infix operator(1)

SpacexSpace /* Видимо, ошибка в документации */

(2) x is equal to %pi

(%o6) %pi

Оператор: :=

Оператор определения функции. Так f(x_1, ..., x_n) := expr определяет

имя функции f с аргументами x_1,...,x_n и тело функции expr. Оператор := никогда

не вычисляет тело функции (если явно не задано двумя одинарными кавычками '').

Функция может быть определена как обычная Maxima-функция (с аргументами,

заключёнными в обычные скобки) или как функция-массив (с аргументами, заключёнными

в квадратные скобки).

Примеры:

(%i1) expr : cos(y)-sin(x); /* выражение */

(%o1) cos(y)-sin(x)

(%i2) F1(x,y) := expr; /* определение функции */

(%o2) F1(x,y):=expr

(%i3) F1(a,b);

(%o3) cos(y)-sin(x)

(%i4) F2(x,y) := ''expr;

(%o4) F2(x,y):=cos(y)-sin(x)

(%i5) F2(a,b);

(%o5) cos(b)-sin(a)

а это пример обычной функции и функции-массива:

(%i1) G1 (x, y) := x.y - y.x;

(%o1) G1(x,y):=x.y-y.x

(%i2) G2 [x, y] := x.y - y.x;

(%o2) G2[x,y]:=x.y-y.x

Оператор: =

Оператор уравнения (равенства), но НЕ присвоения!

Выражение a = b, само по себе, представляет невычисленное уравнение.

Функции rhs и lhs возвращают правую и левую часть уравнения соответственно.

Пример:

(%i1) eq_1 : a * x - 5 * y = 17;

(%o1) a*x-5*y=17

(%i2) rhs(eq_1);

(%o2) 17

(%i3) lhs(eq_1);

(%o3) a*x-5*y

а вот пример решения системы из двух линейных уравнений:

(%i1) eq_1 : a * x - 5 * y = 17;

(%o1) a*x-5*y=17

(%i2) eq_2 : b * x + 3 * y = 29;

(%o2) 3*y+b*x=29

(%i3) solve ([eq_1, eq_2], [x, y]); /* решение */

(%o3) [[x=196/(5*b+3*a), y=(29*a-17*b)/(5*b+3*a)]]

(%i4) subst (%, [eq_1, eq_2]); /* подстановка */

(%o4) [(196*a)/(5*b+3*a)-(5*(29*a-17*b))/(5*b+3*a)=17,

(196*b)/(5*b+3*a)+(3*(29*a-17*b))/(5*b+3*a)=29]

(%i5) ratsimp (%);

(%o5) [17=17,29=29] /* Верно! */

Выражения могут быть эквивалентны, но синтаксически не равны. Это можно

продемонстрировать на примере отличия is (a = b) и is (equal (a, b)) так:

(%i1) a : (x + 1) * (x - 1);

(%o1) (x-1)*(x+1)

(%i2) b : x^2 - 1;

(%o2) x^2-1

(%i3) [is (a = b), is (a # b)];

(%o3) [false,true]

(%i4) [is (equal (a, b)), is (notequal (a, b))];

(%o4) [true,false]

Ещё интересный пример с логикой:

(%i1) if expand((x+y)^2) = x^2+2*x*y+y^2 then FOO else BAR;

(%o1) FOO

(%i2) eq_3 : 2*x = 3*x;

(%o2) 2*x=3*x

(%i3) eq_4 : exp(2) = %e^2;

(%o3) %e^2=%e^2

(%i4) [eq_3 and eq_4, eq_3 or eq_4, not eq_3];

(%o4) [false,true,true]