Maxima - руководство на русском языке

Подождите немного. Документ загружается.

Пример с логикой и неравенством:

(%i1) [2*x # 3*x, not (2*x = 3*x)];

(%o1) [2*x # 3*x,true]

(%i2) is (2*x # 3*x);

(%o2) true

Оператор: and (логическое И)

Оператор логической коньюнкции. Его операнды есть Boolean-булёвые выражения и

он возвращает булёвое значение.

Оператор: or (логическое ИЛИ)

Оператор логической дизьюнкции. Его операнды есть Boolean-булёвые выражения и

он возвращает булёвое значение.

Оператор: not (логическое НЕТ)

Оператор логического отрицания. Его операнды есть Boolean-булёвые выражения и

он возвращает булёвое значение.

Функция: abs (expr)

Возвращает абсолютное значение выражения expr. Если expr комплексное, то

возвращает комплексный модуль expr. Пример:

(%i1) abs(-5);

(%o1) 5

Ключевое слово : additive

Если декларированое (f,additive) будет выполняться, то:

(1) Если f univariate-одномерное, всякий раз, когда f пересчитывается и есть

сумма, f будет разлагаться от суммы. Так, f(y+x) будет упрощаться до f(y)+f(x).

(2) Если f - функция из 2 или больше аргументов, аддитивность определена как

аддитивность в первом аргументе f, поскольку в случае суммы или интеграла, f (h (x)

+g (x), x) упростит к f (h (x), x) +f (g (x), x). Этого упрощения не

происходит, когда f применен к выражениям формы sum(x[i], i, нижний предел,

верхний предел).

Ключевое слово : allbut /* типа «всё, но за исключением» */

работает для части команды (см. также part, inpart, substpart, substinpart, dpart, и

lpart). Например,

(%i1) expr : e + d + c + b + a;

(%o1) e+d+c+b+a

(%i2) part (expr, [2, 5]);

(%o2) d+a

а это с ключевым словом allbut пример:

(%i1) expr : e + d + c + b + a;

(%o1) e+d+c+b+a

(%i2) part (expr, allbut (2, 5));

(%o2) e+c+b

и помогает также при работе с функцией очистки kill, пример:

(%i1) [aa : 11, bb : 22, cc : 33, dd : 44, ee : 55];

(%o1) [11,22,33,44,55]

(%i2) kill (allbut (cc, dd));

(%o0) done

(%i1) [aa, bb, cc, dd];

(%o1) [aa,bb,33,44]

а такая комбинация kill(allbut(a_1, a_2,...)) даёт эффект функции kill(all)

за исключением очистки от символов a_1,a_2,... .

Декларация (объявление): antisymmetric

Если declare(h,antisymmetric) сделано, то это говорит simplifier-упростителю, что h

есть antisymmetric-ассимметричное (с минусом). Например, h(x,z,y) будет simplify-

упрощаться в - h(x, y, z). Таким образом, это будет сделано (-1)^n раз и результат будет

symmetric или commutative, где n есть число итераций двух аргументов, необходимых для

преобразования в такую форму.

Функция: cabs (expr)

Возвращает комплексное абсолютное значение (комплексный модуль) выражения

expr. Пример:

(%i1) cabs(5+4*i);

(%o1) abs(4*i+5)

Функция: ceiling (x)

Когда x есть real-действительное число, возвращает наименьшее целое, которое

больше или равно x. Короче, округляет в большую сторону до целого.

Если x есть константа выражения (10*%pi, например), то ceiling вычисляет x,

используя big floating point число и применяет ceiling для результата big float. Поскольку

функция ceiling использует floating point вычисление, насколько это возможно, то вряд

ли, что ceiling может вернуть ошибочное значение для константы inputs-ввода. Чтобы

предохраниться от ошибок, floating point вычисление делается, используя три значения

для fpprec.

Для non-constant inputs-ввода, ceiling пытается вернуть simplified-упрощенное

значение. Пример:

(%i1) ceiling (ceiling (x));

(%o1) ceiling(x)

(%i2) ceiling (floor (x));

(%o2) floor(x)

(%i3) declare (n, integer)$

(%i4) [ceiling (n), ceiling (abs (n)), ceiling (max (n, 6))];

(%o4) [n,abs(n),max(6,n)]

(%i5) assume (x > 0, x < 1)$ /* assume – предположим */

(%i6) ceiling (x);

(%o6) 1

(%i7) tex (ceiling (a));

$$\left \lceil a \right \rceil$$

(%o7) false

Функция ceiling не делает автоматически map-карту для lists-списков или

matrices-матриц. Окончательно, для всех inputs-вводов, которые есть manifestly-явно

комплексные, ceiling возвращает форму noun-существительного.

Если range-область функции есть subset-подмножество integers-целых, то это может

быть декларировано с помощью параметра integervalued. Обе функции, и ceiling и

floor, могут использованы для этого. Пример:

(%i1) declare (f, integervalued)$

(%i2) ceiling (f(x) — 0.5);

(%o2) f(x) /* округлено в большую сторону */

(%i3) floor (f(x) — 0.5);

(%o3) f(x)-1 /* округлено в меньшую сторону */

Функция: charfun (p)

Возвращает 0 когда предикат p вычислен в false; возвращает 1 когда предикат

вычислен в true. Когда предикат вычислен в что-то другое, чем true или false (неизвестно),

то возвращает форму noun-существительного. Пример:

(%i1) charfun (x < 1);

(%o1) charfun(x<1)

(%i2) subst (x = -1, %); /* subst - подстановка */

(%o2) 1 /* 1 – значит верно true */

Декларация (объявление): commutative

Если declare(h,commutative) сделано, то это говорит simplifier-упростителю, что

h есть commutative-коммутативная функция. Например, h(x,z,y) будет simplify-

упрощено до h(x, y, z). Это называется symmetric-симметрия.

Функция: compare (x, y)

Возвращает оператор сравнения op (<, <=, >, >=, =, или #) так, что (x op y)

вычислено. Примеры:

(%i1) compare (1, 2);

(%o1) <

(%i2) compare (1, x);

(%o2) unknown

(%i3) compare (%i, %i);

(%o3) =

(%i4) compare (%i, %i + 1);

(%o4) notcomparable

(%i5) compare (1/x, 0);

(%o5) #

(%i6) compare (x, abs(x));

(%o6) <=

Функция compare не пытается определить, реальны ли domains-области непустых

аргументов.

Пример:

(%i1) compare (acos (x^2 + 1), acos (x^2 + 1) + 1);

(%o1) <

Real-реальная domain-область acos (x^2 + 1) есть empty-пустая.

Функция: entier (x)

Возвращает наибольшее целое, меньше или равно x, где x есть число. Функция

fix(x) делает тоже самое.

Пример:

(%i1) entier (1.67);

(%o1) 1

(%i2) entier (-1.67);

(%o2) -2

(%i3) fix (1.67);

(%o3) 1

(%i4) fix (-1.67);

(%o4) -2

Функция: equal (a, b)

Проверяет эквивалентность, то есть равные значения.

Функция equal не вычисляет и не упрощает. Функция пытается определить булёвое

значение равенства. Так is(equal(a, b)) возвращает true (или false) если и только

если a и b равны (или не равны) для всех возможных значений переменных, выполняя

ratsimp(a - b); если ratsimp возвращает 0, то два выражения эквивалентны . Два

выражения могут быть эквивалентны, даже если они синтаксически не равны.

Функция, обратная equal, есть notequal.

Примеры:

Функция equal не вычисляет и не упрощает.

(%i1) equal (x^2 - 1, (x + 1) * (x — 1));

(%o1) equal(x^2-1,(x-1)*(x+1))

(%i2) equal (x, x + 1);

(%o2) equal(x,x+1)

(%i3) equal (x, y);

(%o3) equal(x,y)

Функция пытается определить булёвое значение равенства:

(%i1) ratsimp (x^2 - 1 - (x + 1) * (x - 1));

(%o1) 0

(%i2) is (equal (x^2 - 1, (x + 1) * (x - 1)));

(%o2) true

(%i3) is (x^2 - 1 = (x + 1) * (x - 1));

(%o3) false

(%i4) ratsimp (x - (x + 1));

(%o4) -1

(%i5) is (equal (x, x + 1));

(%o5) false

(%i6) is (x = x + 1);

(%o6) false

(%i7) ratsimp (x — y);

(%o7) x-y

(%i8) is (equal (x, y));

(%o8) unknown

(%i9) is (x = y);

(%o9) false

Когда сравнение неудачно, то результат возвращается в глобальный флаг

prederror :

(%i1) [aa : x^2 + 2*x + 1, bb : x^2 - 2*x - 1];

(%o1) [x^2+2*x+1,x^2-2*x-1]

(%i2) ratsimp (aa - bb);

(%o2) 4*x+2

(%i3) prederror : true;

(%o3) true

(%i4) is (equal (aa, bb));

Maxima was unable to evaluate the predicate:equal(x^2+2*x+1,x^2-

2*x-1) -- an error. To debug this try debugmode(true);

(%i5) prederror : false;

(%o5) false

(%i6) is (equal (aa, bb));

(%o6) unknown

Некоторые операторы вычисляют equal и notequal в true или false:

(%i1) if equal (y, y - 1) then FOO else BAR;

(%o1) BAR

(%i2) eq_1 : equal (x, x + 1);

(%o2) equal(x,x+1)

(%i3) eq_2 : equal (y^2 + 2*y + 1, (y + 1)^2);

(%o3) equal(y^2+2*y+1,(y+1)^2)

(%i4) [eq_1 and eq_2, eq_1 or eq_2, not eq_1];

(%o4) [false,true,true]

Пример с notequal :

(%i1) [notequal (2*z, 2*z - 1), not equal (2*z, 2*z — 1)];

(%o1) [notequal(2*z,2*z-1),true]

(%i2) is (notequal (2*z, 2*z — 1));

(%o2) true

Функция: floor (x)

Когда x есть real-число, то возвращается наибольшее целое, которое меньше или

равно x. То есть округляет в меньшую сторону.

Если x есть константа выражения (10 * %pi, для примера), то floor вычисляет x,

используя big floating point числа и даёт floor в результате big float. Поскольку floor

использует floating point вычисление, то floor может вернуть ошибочное значение для

вводимой константы. Чтобы предохраниться от ошибок, floating point вычисление

делается, используя три значения для fpprec.

Для неконстантных inputs-вводов, floor пытается вернуть simplified-упрощаемое

значение. В этих примерах simplifications-упрощения, которые известны floor :

(%i1) floor (ceiling (x));

(%o1) ceiling(x)

(%i2) floor (floor (x));

(%o2) floor(x)

(%i3) declare (n, integer)$

(%i4) [floor (n), floor (abs (n)), floor (min (n, 6))];

(%o4) [n,abs(n),min(6,n)]

(%i5) assume (x > 0, x < 1)$ /* assume – предположим */

(%i6) floor (x);

(%o6) 0

(%i7) tex (floor (a));$$\left \lfloor a \right \rfloor$$

(%o7) false

Функция floor не делает автоматически map-карту (то есть к каждому элементу)

над lists-списками или матрицами. Окончательно, для всех inputs-вводов, которые явно

комплексные, floor возвращает форму noun-существительного.

Если range-область функции установлена как integers-целые, это может быть

декларировано с помощью integervalued. Обе функции, ceiling и floor, могут быть

использованы для этого, например:

(%i1) declare (f, integervalued)$

(%i2) floor (f(x));

(%o2) f(x)

(%i3) ceiling (f(x) — 1);

(%o3) f(x)-1

Функция: notequal (a, b)

Противоположна функции equal(a, b).

Примеры:

(%i1) equal (a, b);

(%o1) equal(a,b)

(%i2) maybe (equal (a, b));

(%o2) unknown

(%i3) notequal (a, b);

(%o3) notequal(a,b)

(%i4) not equal (a, b);

(%o4) notequal(a,b)

(%i5) maybe (notequal (a, b));

(%o5) unknown

(%i6) assume (a > b); /* assume – предположим */

(%o6) [a>b]

(%i7) equal (a, b);

(%o7) equal(a,b)

(%i8) maybe (equal (a, b));

(%o8) false

(%i9) notequal (a, b);

(%o9) notequal(a,b)

(%i10) maybe (notequal (a, b));

(%o10) true

Оператор: eval

Как аргумент в вызове функции ev(expr), оператор eval препопределяет extra-

внешнее вычисление выражения expr. Смотри функцию ev.

Функция: evenp (expr)

Возвращает true, если expr есть even-чётное integer и возвращает false во всех

других случаях.

Функция: fix (x)

Синоним функции entier(x), то есть делает то же самое. Смотри entier(x).

Функция: fullmap (f, expr_1, ...)

Similar-подобно функции map (применить к каждому элементу списка или матрицы),

но функция fullmap задерживает mapping для всех подвыражений.

Функция fullmap использует Maxima simplifier-упроститель для certain-известных

матричных манипуляций; иначе, Maxima генерирует сообщение об ошибке.

Примеры:

(%i1) a + b * c;

(%o1) b*c+a

(%i2) fullmap (g, %);

(%o2) g(b)*g(c)+g(a)

(%i3) map (g, %th(2));

(%o3) g(b*c)+g(a)

Функция: fullmapl (f, list_1, ...)

Similar-подобна функции fullmap, но fullmapl только maps (применяется к

каждому элементу) в lists-списках и matrices-матрицах.

Пример:

(%i1) fullmapl ("+", [3, [4, 5]], [[a, 1], [0, -1.5]]);

(%o1) [[a+3,4],[4,3.5]]

Функция: is (expr)

Пытается определить предикат ли выражение expr, сравнивая с возможной базой

данных.

Если предикат возможен с true или false, то возвращается true или false,

соответственно. Иначе, возврат значения есть global flag prederror. Когда флаг

prederror есть true, то возвращает error message-сообщение. Иначе, возвращает

unknown. Предикат – это выражение, которое может быть истиной или ложью.

Функция ev(expr,pred) эквивалентна функции is(expr).

Смотри также assume(предположим), facts и maybe.

Примеры:

вычисление предикатов

(%i1) %pi > %e;

(%o1) %pi>%e

(%i2) is (%pi > %e);

(%o2) true

попытки получить предикаты из предполагающейся базы данных

(%i1) assume (a > b);

(%o1) [a>b]

(%i2) assume (b > c);

(%o2) [b>c]

(%i3) is (a < b);

(%o3) false

(%i4) is (a > c);

(%o4) true

(%i5) is (equal (a, c));

(%o5) false

Если функция is ни не может prove-доказать, ни disprove-опровергнуть предикат от

предполагающейся базы данных, то глобальный флаг prederror управляет поведением

функции is.

Пример:

(%i1) assume (a > b);

(%o1) [a>b]

(%i2) prederror: true$

(%i3) is (a > 0);

Maxima was unable to evaluate the predicate:a>0 -- an error. To

debug this try debugmode(true);

(%i4) prederror: false$

(%i5) is (a > 0);

(%o5) unknown

Функция: maybe (expr)

Эта функция пытается определить предикат ли выражение expr по фактам в

предполагающейся базе данных.

Функция maybe функционально эквивалентна функции is с prederror: false, но

результат вычисляется без присвоения значения prederror.

Смотри также assume, facts и is.

Пример:

(%i1) maybe (x > 0);

(%o1) unknown

(%i2) assume (x > 1);

(%o2) [x>1]

(%i3) maybe (x > 0);

(%o3) true

Функция: isqrt (x)

Возвращает "integer square root – целый квадратный корень" абсолютного значения

x, которое есть integer-целое.

Примеры:

(%i1) isqrt(10);

(%o1) 3

(%i2) isqrt(10.3);

(%o2) isqrt(10.3)

Функция: lmax (L)

Когда L есть list-список или set-установка, то функция lmax возвращает

apply('max,args (L)). Когда L не есть list-список или set-установка, то сигнализирует

error-ошибку.

Пример:

(%i1) lmax(x^2);

Function lmax expects a list or a set, instead found x^2 -- an

error. To debug this try debugmode(true);

Функция: lmin (L)

Когда L есть list-список или set-установка, то функция lmin возвращает

apply('min,args (L)). Когда L не есть list-список или set-установка, то сигнализирует

error-ошибку.

Функция: max (x_1, ..., x_n)

Возвращает simplified-упрощенное значение для максимума выражений от x_1 до

x_n. Когда get(trylevel,maxmin), то есть 2 или больше, функция max использует

simplification-упрощение типа max (e, -e) --> |e|. Когда get(trylevel,maxmin)

есть 3 или больше, функция max пытается eliminate-устранить выражения, которые

находятся между двумя другими аргументами; например, max (x, 2*x, 3*x) --> max

(x,3*x). В функции set-устанавливается значение попыток 2, используется

put(trylevel,2,maxmin).

Функция: min (x_1, ..., x_n)

Возвращает simplified-упрощенное значение для максимума выражений от x_1 до

x_n. Когда get(trylevel,maxmin), то есть 2 или больше, функция min использует

simplification-упрощение типа min (e, -e) --> -|e|. Когда get(trylevel,maxmin)

есть 3 или больше, функция min пытается eliminate-устранить выражения, которые

находятся между двумя другими аргументами; например, min (x, 2*x, 3*x) --> min

(x,3*x). В функции set-устанавливается значение попыток 2, используется

put(trylevel,2,maxmin).

Функция: polymod (p)

Функция: polymod (p, m)

Конвертирует полином p в модульное представление. Функция polymod(p,m)

специфицирует модуль m быть использованым вместо текущего значения модуля p.

Смотри modulus.

Функция: mod (x, y)

Если x и y есть real числа и y не ноль, возвращает остаток от деления x-

y*floor(x/y). Далее для всех real x, мы имеем mod(x,0)=x. Для обсуждения

определения mod(x,0)=x, смотри главу 3.4 книги "Concrete Mathematics" авторов

Graham, Knuth и Patashnik («Конкретная математика», Грэхэм, Кнут, Паташник). Функция

mod(x,1) есть sawtooth-пилообразная функция с периодами 1 для mod(1,1)=0 и

mod(0,1)=0.

Чтобы найти основной аргумент (число в интервале (-%pi, %pi) комплексного

числа, используйте функцию |x|-> (%pi-mod %pi-x,2*%pi), где x есть аргумент.

Когда x и y константы выражения (10*%pi, например), функция mod использует

некоторую big float схему вычисления, которая примененяет floor and ceiling. В других

случаях mod может вернуть ошибочное значение.

Для нечисловых аргументов x или y, mod известно несколько правил simplification-

упрощений:

(%i1) mod (x, 0);

(%o1) x

(%i2) mod (a*x, a*y);

(%o2) a*mod(x,y)

(%i3) mod (0, x);

(%o3) 0

Функция: oddp (expr)

Возвращает true, если выражение expr есть odd-нечётное integer-целое.

Возвращает false во всех других случаях.

Примеры:

(%i1) oddp(10);

(%o1) false

(%i2) oddp(11);

(%o2) true

(%i3) oddp(11.0);

(%o3) false

Оператор: pred

Как аргумент в вызове функции ev(expr), pred связан с предикатами (то есть с

выражениями, которые вычисляются в true или false) для вычисления. Смотри

функцию ev.

Функция: make_random_state (n)

Функция: make_random_state (s)

Функция: make_random_state (true)

Функция: make_random_state (false)

Генератор случайных чисел. Включает 627 32-bit words-слов.

Функция make_random_state(n) возвращает новый random object, созданный из

integer-целого начального значения равного n по модулю 2^32. Число n может быть

отрицательным. Аналог RANDOMIZE в Visual Basic.

Примеры:

(%i1) make_random_state(10);

(%o1) Lisp structure: RANDOM-STATE

(%i2) random(10);

(%o2) 2

(%i3) random(10);

(%o3) 2

(%i4) make_random_state(10);

(%o4) Lisp structure: RANDOM-STATE

(%i5) random(10);

(%o5) 4

(%i6) make_random_state(10);

(%o6) Lisp structure: RANDOM-STATE

(%i7) random(10);

(%o7) 5

Функция make_random_state(s) возвращает копию random статуса s.

Функция make_random_state(true) возвращает новый random статус, используя

текущее компьютерное время в качестве исходного.

Функция make_random_state(false) возвращает копию random статуса

генератора случайных чисел.

Функция: set_random_state (s)

Копирует s в генератора случайных чисел state-статус.