Маслова Т.Н., Суходский А.М. Справочник школьника по математике. 5-11 кл
Подождите немного. Документ загружается.
591
590
ÎÑÍÎÂÍÛÅ ÔÎÐÌÓËÛ Ãåîìåòðèÿ
 ïàðàëëåëîãðàììå ABCD, ïîñòðîåííîì íà âåêòî-
ðàõ
a
è
b
(ðèñ. 340), äèàãîíàëü
,AC
âûõîäÿùàÿ èç
èõ îáùåãî íà÷àëà, ðàâíà ñóììå
,ba +
à äèàãîíàëü
DB
ðàâíà ðàçíîñòè
.ba -
3
0
.
baba l+l=+l )(
(ðàñïðåäåëèòåëüíûé çàêîí
ïî îòíîøåíèþ ê âåêòîðíîìó ìíîæèòåëþ).
Ïðèçíàê êîëëèíåàðíîñòè âåêòîðîâ
};;{
111
ZYXa
è
:};;{
222
ZYXb
.
2
1
2
1
2
1
Z
Z
Y
Y
X
X
==
Ïðèçíàê êîìïëàíàðíîñòè âåêòîðîâ
};;{
111
ZYXa
,
};;{
222
ZYXb
è
:
}
;;
{
333
ZYXc
.0
333
222
111
==
zyx
ZYX
ZTX
cba
Ðàçëîæåíèå âåêòîðà
d
ïî òðåì íåêîìïëàíàðíûì
âåêòîðàì è
:c
.cbad
g
+
b
+a=
Îïðåäåëåíèå ñêàëÿðíîãî ïðîèçâåäåíèÿ âåêòîðîâ
}
;;
{
111
ZYXa
è
:};;{
222
ZYXb
.
212121
ZZYYXXba ++=
Ñâîéñòâà îïåðàöèè ñëîæåíèÿ âåêòîðîâ:
1
0
.
abba +=+
(ïåðåìåñòèòåëüíûé çàêîí).
2
0
.
)
(
)
(
cbacba ++=++
(ñî÷åòàòåëüíûé çàêîí).
Ïðîèçâåäåíèå âåêòîðà
};;{ ZYXa
íà ÷èñëî
:l
}.;;{};;{ ZYXdZYXa lll=l
Ñâîéñòâà îïåðàöèè óìíîæåíèÿ âåêòîðà íà ÷èñ-
ëî:
1
0
.
)()( aa ml=lm
(ñî÷åòàòåëüíûé çàêîí).
2
0
.
aaa m+l=m+l )(
(ðàñïðåäåëèòåëüíûé çàêîí
ïî îòíîøåíèþ ê ÷èñëîâîìó ìíîæèòåëþ).
Ðèñ. 340
a, b
b
:
X
3
Y
3
Y
1
Z
2
Z
3
:
591
590
ÎÑÍÎÂÍÛÅ ÔÎÐÌÓËÛ Ãåîìåòðèÿ
 ïàðàëëåëîãðàììå ABCD, ïîñòðîåííîì íà âåêòî-
ðàõ
a
è
b
(ðèñ. 340), äèàãîíàëü
,AC
âûõîäÿùàÿ èç
èõ îáùåãî íà÷àëà, ðàâíà ñóììå
,ba +
à äèàãîíàëü
DB
ðàâíà ðàçíîñòè
.ba -
3
0
.
baba l+l=+l )(
(ðàñïðåäåëèòåëüíûé çàêîí
ïî îòíîøåíèþ ê âåêòîðíîìó ìíîæèòåëþ).
Ïðèçíàê êîëëèíåàðíîñòè âåêòîðîâ
};;{
111
ZYXa
è
:};;{
222
ZYXb
.
2
1
2
1
2
1
Z
Z
Y
Y
X
X
==
Ïðèçíàê êîìïëàíàðíîñòè âåêòîðîâ
};;{
111
ZYXa
,
};;{
222
ZYXb
è
:
}
;;
{
333
ZYXc
.0
333
222
111
==
zyx
ZYX
ZTX
cba
Ðàçëîæåíèå âåêòîðà
d
ïî òðåì íåêîìïëàíàðíûì
âåêòîðàì è
:c
.cbad
g
+
b
+a=
Îïðåäåëåíèå ñêàëÿðíîãî ïðîèçâåäåíèÿ âåêòîðîâ
}
;;
{
111
ZYXa
è
:};;{
222
ZYXb
.
212121
ZZYYXXba ++=
Ñâîéñòâà îïåðàöèè ñëîæåíèÿ âåêòîðîâ:
1
0
.
abba +=+
(ïåðåìåñòèòåëüíûé çàêîí).
2
0
.
)
(
)
(
cbacba ++=++
(ñî÷åòàòåëüíûé çàêîí).
Ïðîèçâåäåíèå âåêòîðà
};;{ ZYXa
íà ÷èñëî
:l
}.;;{};;{ ZYXdZYXa lll=l
Ñâîéñòâà îïåðàöèè óìíîæåíèÿ âåêòîðà íà ÷èñ-
ëî:
1
0
.
)()( aa ml=lm
(ñî÷åòàòåëüíûé çàêîí).
2
0
.
aaa m+l=m+l )(
(ðàñïðåäåëèòåëüíûé çàêîí
ïî îòíîøåíèþ ê ÷èñëîâîìó ìíîæèòåëþ).
Ðèñ. 340
a, b
b
:
X
3
Y
3
Y
1
Z
2
Z
3
:
593
592
ÎÑÍÎÂÍÛÅ ÔÎÐÌÓËÛ Ãåîìåòðèÿ
Ôîðìóëà äëÿ âû÷èñëåíèÿ âåêòîðíîãî ïðîèçâåäå-
íèÿ âåêòîðîâ
a
{X
1
; Y
1
; Z
1
} è
b
{X
2
; Y
2
; Z
2
}:
.
222
111
ZYX
ZYX
kji
ba =´
Âåêòîðíûå ïðîèçâåäåíèÿ îðòîâ êîîðäèíàòíûõ
îñåé:
;,, jikikjkji =´=´=´
i ´ i = j ´ j = k ´ k = 0.
Ôîðìóëà äëÿ âû÷èñëåíèÿ ñêàëÿðíîãî ïðîèçâåäå-
íèÿ âåêòîðîâ
a
è
:b
).,(cos bababa =
Ôîðìóëà äëÿ âû÷èñëåíèÿ êîñèíóñà óãëà ìåæäó
âåêòîðàìè
a
è
:b
.),(cos
ba
ba
ba =
Ñâîéñòâà ñêàëÿðíîãî ïðîèçâåäåíèÿ (
cba ,,
ëþáûå âåêòîðû,
l
ëþáîå ÷èñëî):
1
0
.
,0³aa
ïðè÷åì
,0
2
>a
åñëè
.0¹a
2
0
.
abba =
(ïåðåìåñòèòåëüíûé çàêîí).
3
0
. (a + b) c = ac + bc (ðàñïðåäåëèòåëüíûé çàêîí).
4
0
.
)
(
)
(
baba l=l
(ñî÷åòàòåëüíûé çàêîí).
Óñëîâèå ïåðïåíäèêóëÿðíîñòè âåêòîðîâ
};;{
111
ZYXa
è
:};;{
222
ZYXb
.0
212121
=++= ZZYYXXba
Îïðåäåëåíèå âåêòîðíîãî ïðîèçâåäåíèÿ âåêòîðîâ
a
è
:b
ýòî òàêîé âåêòîð
,bac ´=
÷òî:
1)
j= sinbac (äëèíà âåêòîðà
c
÷èñëåííî ðàâ-
íà ïëîùàäè ïàðàëëåëîãðàììà, ïîñòðîåííîãî íà âåê-
òîðàõ
a
è
b
);
2) íàïðàâëåíèå âåêòîðà
c
ïåðïåíäèêóëÿðíî ïëîñ-
êîñòè, â êîòîðîé ëåæàò âåêòîðû
a
è
b
;
3) ïîâîðîò îò
a
ê
b
íà íàèìåíüøèé óãîë âèäåí
èç êîíöà âåêòîðà
c
ïðîèñõîäÿùèì ïðîòèâ ÷àñîâîé
ñòðåëêè (ðèñ. 341).
Ðèñ. 341
593
592
ÎÑÍÎÂÍÛÅ ÔÎÐÌÓËÛ Ãåîìåòðèÿ
Ôîðìóëà äëÿ âû÷èñëåíèÿ âåêòîðíîãî ïðîèçâåäå-
íèÿ âåêòîðîâ
a
{X
1
; Y
1
; Z
1
} è
b
{X
2
; Y
2
; Z
2
}:
.
222
111
ZYX
ZYX
kji
ba =´
Âåêòîðíûå ïðîèçâåäåíèÿ îðòîâ êîîðäèíàòíûõ
îñåé:
;,, jikikjkji =´=´=´
i ´ i = j ´ j = k ´ k = 0.
Ôîðìóëà äëÿ âû÷èñëåíèÿ ñêàëÿðíîãî ïðîèçâåäå-
íèÿ âåêòîðîâ
a
è
:b
).,(cos bababa =
Ôîðìóëà äëÿ âû÷èñëåíèÿ êîñèíóñà óãëà ìåæäó
âåêòîðàìè
a
è
:b
.),(cos
ba
ba
ba =
Ñâîéñòâà ñêàëÿðíîãî ïðîèçâåäåíèÿ (
cba ,,
ëþáûå âåêòîðû,
l
ëþáîå ÷èñëî):
1
0
.
,0³aa
ïðè÷åì
,0
2
>a
åñëè
.0¹a
2
0
.
abba =
(ïåðåìåñòèòåëüíûé çàêîí).
3
0
. (a + b) c = ac + bc (ðàñïðåäåëèòåëüíûé çàêîí).
4
0
.
)(
)
(
baba l=l
(ñî÷åòàòåëüíûé çàêîí).
Óñëîâèå ïåðïåíäèêóëÿðíîñòè âåêòîðîâ
};;{
111
ZYXa
è
:};;{
222
ZYXb
.0
212121
=++= ZZYYXXba
Îïðåäåëåíèå âåêòîðíîãî ïðîèçâåäåíèÿ âåêòîðîâ
a
è
:b
ýòî òàêîé âåêòîð
,bac ´=
÷òî:
1)
j= sinbac (äëèíà âåêòîðà
c
÷èñëåííî ðàâ-
íà ïëîùàäè ïàðàëëåëîãðàììà, ïîñòðîåííîãî íà âåê-
òîðàõ
a
è
b
);
2) íàïðàâëåíèå âåêòîðà
c
ïåðïåíäèêóëÿðíî ïëîñ-
êîñòè, â êîòîðîé ëåæàò âåêòîðû
a
è
b
;
3) ïîâîðîò îò
a
ê
b
íà íàèìåíüøèé óãîë âèäåí
èç êîíöà âåêòîðà
c
ïðîèñõîäÿùèì ïðîòèâ ÷àñîâîé
ñòðåëêè (ðèñ. 341).
Ðèñ. 341
595
594
ÎÑÍÎÂÍÛÅ ÔÎÐÌÓËÛ Ãåîìåòðèÿ
Ñâîéñòâà âåêòîðíîãî ïðîèçâåäåíèÿ (
cba ,,
ëþáûå âåêòîðû,
l
ëþáîå ÷èñëî):
1
0
.
,abba ´-=´
ò. å. ïðè ïåðåìåíå ìåñò ñîìíî-
æèòåëåé âåêòîðíîå ïðîèçâåäåíèå ìåíÿåò çíàê.
2
0
.
cbcacba ´+´=´+ )(
(ðàñïðåäåëèòåëüíûé
çàêîí).
3
0
.
)
(
)
(
baba ´l=´l
(ñî÷åòàòåëüíûé çàêîí).
Îïðåäåëåíèå ñìåøàííîãî ïðîèçâåäåíèÿ âåêòîðîâ
cba ,,
:
.
)
(
)
(
cbacbacba ´=´=
Ôîðìóëà äëÿ âû÷èñëåíèÿ ñìåøàííîãî ïðîèçâå-
äåíèÿ âåêòîðîâ
},;;{
111
ZYXa
};;{
222
ZYXb
è
:
}
;;
{
333
ZYXc
.
333
222
111
ZYX
ZYX
ZYX
cba =
Ñâîéñòâà ñìåøàííîãî ïðîèçâåäåíèÿ (
dcba ,,,
ëþáûå âåêòîðû,
l
ëþáîå ÷èñëî):
1
0
.
),()()( bcaabccabbacacbcba -=-=-===
ò. å. ñìåøàííîå ïðîèçâåäåíèå íå ìåíÿåòñÿ ïðè êðó-
ãîâîé ïåðåñòàíîâêå ñîìíîæèòåëåé è ìåíÿåò çíàê ïðè
ïåðåñòàíîâêå äâóõ ñîìíîæèòåëåé.
2
0
.
dcbdcadcba +=+
)
(
(ðàñïðåäåëèòåëüíûé
çàêîí).
3
0
.
)
(
)
(
cbacba l=l
(ñî÷åòàòåëüíûé çàêîí îòíî-
ñèòåëüíî ñêàëÿðíîãî ìíîæèòåëÿ).
20. Ïðèçìà è ïðîèçâîëüíûé ïàðàëëåëåïèïåä
Îáîçíà÷åíèÿ:
l
áîêîâîå ðåáðî;
h
âûñîòà;
P
ïåðèìåòð îñíîâàíèÿ;
S
ïëîùàäü îñíîâàíèÿ;
Ð
ñå÷
ïåðèìåòð ïåðïåíäèêóëÿðíîãî ñå÷åíèÿ
A
0
B
0
C
0
D
0
;
S
ñå÷
ïëîùàäü ïåðïåíäèêóëÿðíîãî ñå÷åíèÿ
A
0
B
0
C
0
D
0
;
S
áîê
ïëîùàäü áîêîâîé ïîâåðõíîñòè;
V
îáúåì.
Îáúåì ïðîèçâîëüíîé ïðèçìû (ðèñ. 342):
== VShV ;
S
ñå÷
l.
Áîêîâàÿ ïîâåðõíîñòü ïðîèçâîëüíîé ïðèçìû
(ðèñ. 342):
S
áîê
= P
ñå÷
l.
595
594
ÎÑÍÎÂÍÛÅ ÔÎÐÌÓËÛ Ãåîìåòðèÿ
Ñâîéñòâà âåêòîðíîãî ïðîèçâåäåíèÿ (
cba ,,
ëþáûå âåêòîðû,
l
ëþáîå ÷èñëî):
1
0
.
,abba ´-=´
ò. å. ïðè ïåðåìåíå ìåñò ñîìíî-
æèòåëåé âåêòîðíîå ïðîèçâåäåíèå ìåíÿåò çíàê.
2
0
.
cbcacba ´+´=´+ )(
(ðàñïðåäåëèòåëüíûé
çàêîí).
3
0
.
)
(
)
(
baba ´l=´l
(ñî÷åòàòåëüíûé çàêîí).
Îïðåäåëåíèå ñìåøàííîãî ïðîèçâåäåíèÿ âåêòîðîâ
cba ,,
:
.
)
(
)
(
cbacbacba ´=´=
Ôîðìóëà äëÿ âû÷èñëåíèÿ ñìåøàííîãî ïðîèçâå-
äåíèÿ âåêòîðîâ
},;;{
111
ZYXa
};;{
222
ZYXb
è
:
}
;;
{
333
ZYXc
.
333
222
111
ZYX
ZYX
ZYX
cba =
Ñâîéñòâà ñìåøàííîãî ïðîèçâåäåíèÿ (
dcba ,,,
ëþáûå âåêòîðû,
l
ëþáîå ÷èñëî):
1
0
.
),()()( bcaabccabbacacbcba -=-=-===
ò. å. ñìåøàííîå ïðîèçâåäåíèå íå ìåíÿåòñÿ ïðè êðó-
ãîâîé ïåðåñòàíîâêå ñîìíîæèòåëåé è ìåíÿåò çíàê ïðè
ïåðåñòàíîâêå äâóõ ñîìíîæèòåëåé.
2
0
.
dcbdcadcba +=+
)
(
(ðàñïðåäåëèòåëüíûé
çàêîí).
3
0
.
)
(
)
(
cbacba l=l
(ñî÷åòàòåëüíûé çàêîí îòíî-
ñèòåëüíî ñêàëÿðíîãî ìíîæèòåëÿ).
20. Ïðèçìà è ïðîèçâîëüíûé ïàðàëëåëåïèïåä
Îáîçíà÷åíèÿ:
l
áîêîâîå ðåáðî;
h
âûñîòà;
P
ïåðèìåòð îñíîâàíèÿ;
S
ïëîùàäü îñíîâàíèÿ;
Ð
ñå÷
ïåðèìåòð ïåðïåíäèêóëÿðíîãî ñå÷åíèÿ
A
0
B
0
C
0
D
0
;
S
ñå÷
ïëîùàäü ïåðïåíäèêóëÿðíîãî ñå÷åíèÿ
A
0
B
0
C
0
D
0
;
S
áîê
ïëîùàäü áîêîâîé ïîâåðõíîñòè;
V
îáúåì.
Îáúåì ïðîèçâîëüíîé ïðèçìû (ðèñ. 342):
== VShV ;
S
ñå÷
l.
Áîêîâàÿ ïîâåðõíîñòü ïðîèçâîëüíîé ïðèçìû
(ðèñ. 342):
S
áîê
= P
ñå÷
l.
597
596
ÎÑÍÎÂÍÛÅ ÔÎÐÌÓËÛ Ãåîìåòðèÿ
Îáúåì ïàðàëëåëåïèïåäà, ïîñòðîåííîãî íà âåêòî-
ðàõ
cba ,,
(ðèñ. 344), ðàâåí àáñîëþòíîé âåëè÷èíå
ñìåøàííîãî ïðîèçâåäåíèÿ ýòèõ âåêòîðîâ.
21. Ïðÿìîóãîëüíûé ïàðàëëåëåïèïåä
Îáîçíà÷åíèÿ (ðèñ. 345):
cba ,,
èçìåðåíèÿ ïàðàëëåëåïèïåäà;
d
åãî äèàãîíàëü;
Îáúåì:
.abcV =
Ðèñ. 342
Ðèñ. 343
Ðèñ. 344
Áîêîâàÿ ïîâåðõíîñòü ïðÿìîé ïðèçìû (ðèñ. 343):
.PhS =
áîê
Òå æå ôîðìóëû ñïðàâåäëèâû è äëÿ ïðîèçâîëüíî-
ãî ïàðàëëåëåïèïåäà.
597
596
ÎÑÍÎÂÍÛÅ ÔÎÐÌÓËÛ Ãåîìåòðèÿ
Îáúåì ïàðàëëåëåïèïåäà, ïîñòðîåííîãî íà âåêòî-
ðàõ
cba ,,
(ðèñ. 344), ðàâåí àáñîëþòíîé âåëè÷èíå
ñìåøàííîãî ïðîèçâåäåíèÿ ýòèõ âåêòîðîâ.
21. Ïðÿìîóãîëüíûé ïàðàëëåëåïèïåä
Îáîçíà÷åíèÿ (ðèñ. 345):
cba ,,
èçìåðåíèÿ ïàðàëëåëåïèïåäà;
d
åãî äèàãîíàëü;
Îáúåì:
.abcV =
Ðèñ. 342
Ðèñ. 343
Ðèñ. 344
Áîêîâàÿ ïîâåðõíîñòü ïðÿìîé ïðèçìû (ðèñ. 343):
.PhS =
áîê
Òå æå ôîðìóëû ñïðàâåäëèâû è äëÿ ïðîèçâîëüíî-
ãî ïàðàëëåëåïèïåäà.
599
598
ÎÑÍÎÂÍÛÅ ÔÎÐÌÓËÛ Ãåîìåòðèÿ
Ïëîùàäü áîêîâîé ïîâåðõíîñòè:
S
áîê
= Ph.
Ñâÿçü ìåæäó äèàãîíàëüþ ïàðàëëåëåïèïåäà è åãî
èçìåðåíèÿìè:
.
2222
cbad ++=
22. Êóá (à ðåáðî)
Îáúåì:
.
3
aV =
Ñâÿçü ìåæäó ðåáðîì è äèàãîíàëüþ:
.3ad =
23. Ïèðàìèäà
Îáúåì ïðîèçâîëüíîé ïèðàìèäû (ðèñ. 346):
,
3
1
ShV =
ãäå S ïëîùàäü îñíîâàíèÿ, h âûñîòà ïèðàìèäû.
Îáúåì ïèðàìèäû, ïîñòðîåííîé íà âåêòîðàõ
cba ,,
(ðèñ. 346), ðàâåí îäíîé øåñòîé àáñîëþò-
íîé âåëè÷èíû ñìåøàííîãî ïðîèçâåäåíèÿ ýòèõ âåê-
òîðîâ.
Áîêîâàÿ ïîâåðõíîñòü ïðàâèëüíîé ïèðàìèäû
(ðèñ. 347):
S
áîê
= Pm,
ãäå Ð ïåðèìåòð îñíîâàíèÿ,
m
àïîôåìà ïèðà-
ìèäû.
Ðèñ. 345
Ðèñ. 346
599
598
ÎÑÍÎÂÍÛÅ ÔÎÐÌÓËÛ Ãåîìåòðèÿ
Ïëîùàäü áîêîâîé ïîâåðõíîñòè:
S
áîê
= Ph.
Ñâÿçü ìåæäó äèàãîíàëüþ ïàðàëëåëåïèïåäà è åãî
èçìåðåíèÿìè:
.
2222
cbad ++=
22. Êóá (à ðåáðî)
Îáúåì:
.
3
aV =
Ñâÿçü ìåæäó ðåáðîì è äèàãîíàëüþ:
.3ad =
23. Ïèðàìèäà
Îáúåì ïðîèçâîëüíîé ïèðàìèäû (ðèñ. 346):
,
3
1
ShV =
ãäå S ïëîùàäü îñíîâàíèÿ, h âûñîòà ïèðàìèäû.
Îáúåì ïèðàìèäû, ïîñòðîåííîé íà âåêòîðàõ
cba ,,
(ðèñ. 346), ðàâåí îäíîé øåñòîé àáñîëþò-
íîé âåëè÷èíû ñìåøàííîãî ïðîèçâåäåíèÿ ýòèõ âåê-
òîðîâ.
Áîêîâàÿ ïîâåðõíîñòü ïðàâèëüíîé ïèðàìèäû
(ðèñ. 347):
S
áîê
= Pm,
ãäå Ð ïåðèìåòð îñíîâàíèÿ,
m
àïîôåìà ïèðà-
ìèäû.
Ðèñ. 345
Ðèñ. 346