Маслова Т.Н., Суходский А.М. Справочник школьника по математике. 5-11 кл
Подождите немного. Документ загружается.
581
580
ÎÑÍÎÂÍÛÅ ÔÎÐÌÓËÛ Ãåîìåòðèÿ
Âûðàæåíèå
n
b
(ñòîðîíû ïðàâèëüíîãî îïèñàííîãî
n-óãîëüíèêà) ÷åðåç
n
a
è
:R
.
4
2
2
n
n
n
a
R
Ra
b
-
=
Âûðàæåíèå
n
a
2
(ñòîðîíû ïðàâèëüíîãî âïèñàííî-
ãî 2n-óãîëüíèêà) ÷åðåç
n
a
è
R
(ôîðìóëà óäâîåíèÿ):
.
4
122
2
2
2
R
a
Ra
n
n
--=
Âûðàæåíèå
n
r
2
÷åðåç
n
a
è R:
.
4
11
2
2
2
2
R
aR
r
n
n
-+=
15. Óãëû è ïðîïîðöèîíàëüíûå îòðåçêè â êðóãå
Öåíòðàëüíûé óãîë ÀÎÂ èçìåðÿåòñÿ äóãîé ÀÂ, íà
êîòîðóþ îí îïèðàåòñÿ (ðèñ. 333).
Âïèñàííûé óãîë ÀÌÂ èçìåðÿåòñÿ ïîëîâèíîé äóãè
ÀÂ, íà êîòîðóþ îí îïèðàåòñÿ (ðèñ. 333).
Ðèñ. 333
Ðèñ. 334
Óãîë KÌÀ ìåæäó êàñàòåëüíîé è õîðäîé èçìåðÿ-
åòñÿ ïîëîâèíîé äóãè AnM, ëåæàùåé âíóòðè äàííîãî
óãëà (ðèñ. 334).
Óãîë ÀÌÑ, îáðàçîâàííûé äâóìÿ õîðäàìè ÀÂ è CD,
ïåðåñåêàþùèìñÿ â òî÷êå Ì âíóòðè êðóãà, èçìåðÿåòñÿ
581
580
ÎÑÍÎÂÍÛÅ ÔÎÐÌÓËÛ Ãåîìåòðèÿ
Âûðàæåíèå
n
b
(ñòîðîíû ïðàâèëüíîãî îïèñàííîãî
n-óãîëüíèêà) ÷åðåç
n
a
è
:R
.
4
2
2
n
n
n
a
R
Ra
b
-
=
Âûðàæåíèå
n
a
2
(ñòîðîíû ïðàâèëüíîãî âïèñàííî-
ãî 2n-óãîëüíèêà) ÷åðåç
n
a
è
R
(ôîðìóëà óäâîåíèÿ):
.
4
122
2
2
2
R
a
Ra
n
n
--=
Âûðàæåíèå
n
r
2
÷åðåç
n
a
è R:
.
4
11
2
2
2
2
R
aR
r
n
n
-+=
15. Óãëû è ïðîïîðöèîíàëüíûå îòðåçêè â êðóãå
Öåíòðàëüíûé óãîë ÀÎÂ èçìåðÿåòñÿ äóãîé ÀÂ, íà
êîòîðóþ îí îïèðàåòñÿ (ðèñ. 333).
Âïèñàííûé óãîë ÀÌÂ èçìåðÿåòñÿ ïîëîâèíîé äóãè
ÀÂ, íà êîòîðóþ îí îïèðàåòñÿ (ðèñ. 333).
Ðèñ. 333
Ðèñ. 334
Óãîë KÌÀ ìåæäó êàñàòåëüíîé è õîðäîé èçìåðÿ-
åòñÿ ïîëîâèíîé äóãè AnM, ëåæàùåé âíóòðè äàííîãî
óãëà (ðèñ. 334).
Óãîë ÀÌÑ, îáðàçîâàííûé äâóìÿ õîðäàìè ÀÂ è CD,
ïåðåñåêàþùèìñÿ â òî÷êå Ì âíóòðè êðóãà, èçìåðÿåòñÿ
583
582
ÎÑÍÎÂÍÛÅ ÔÎÐÌÓËÛ Ãåîìåòðèÿ
ïîëóñóììîé äóã ÀÑ è DB, ëåæàùèõ âíóòðè äàííîãî
óãëà è âåðòèêàëüíîãî ñ íèì (ðèñ. 335).
Óãîë ÀÌÂ, îáðàçîâàííûé äâóìÿ ñåêóùèìè ÌÀ è
ÌÂ, ïðîâåäåííûìè èç òî÷êè Ì âíå êðóãà, èçìåðÿåò-
ñÿ ïîëóðàçíîñòüþ äóã ÀÂ è CD, ëåæàùèõ âíóòðè äàí-
íîãî óãëà (ðèñ. 336).
Åñëè äâå õîðäû À è CD ïåðåñåêàþòñÿ â òî÷êå Ì
(ðèñ. 335), òî ïðîèçâåäåíèå îòðåçêîâ îäíîé õîðäû ðàâ-
íî ïðîèçâåäåíèþ îòðåçêîâ äðóãîé õîðäû:
.MDCMMBAM ×=×
Ðèñ. 337Ðèñ. 336
Ðèñ. 335
Êâàäðàò êàñàòåëüíîé ðàâåí ïðîèçâåäåíèþ ñåêó-
ùåé íà åå âíåøíþþ ÷àñòü (ðèñ. 337):
.
2
MKMBMC =×
583
582
ÎÑÍÎÂÍÛÅ ÔÎÐÌÓËÛ Ãåîìåòðèÿ
ïîëóñóììîé äóã ÀÑ è DB, ëåæàùèõ âíóòðè äàííîãî
óãëà è âåðòèêàëüíîãî ñ íèì (ðèñ. 335).
Óãîë ÀÌÂ, îáðàçîâàííûé äâóìÿ ñåêóùèìè ÌÀ è
ÌÂ, ïðîâåäåííûìè èç òî÷êè Ì âíå êðóãà, èçìåðÿåò-
ñÿ ïîëóðàçíîñòüþ äóã ÀÂ è CD, ëåæàùèõ âíóòðè äàí-
íîãî óãëà (ðèñ. 336).
Åñëè äâå õîðäû À è CD ïåðåñåêàþòñÿ â òî÷êå Ì
(ðèñ. 335), òî ïðîèçâåäåíèå îòðåçêîâ îäíîé õîðäû ðàâ-
íî ïðîèçâåäåíèþ îòðåçêîâ äðóãîé õîðäû:
.MDCMMBAM ×=×
Ðèñ. 337Ðèñ. 336
Ðèñ. 335
Êâàäðàò êàñàòåëüíîé ðàâåí ïðîèçâåäåíèþ ñåêó-
ùåé íà åå âíåøíþþ ÷àñòü (ðèñ. 337):
.
2
MKMBMC =×
585
584
ÎÑÍÎÂÍÛÅ ÔÎÐÌÓËÛ Ãåîìåòðèÿ
16. Äëèíà îêðóæíîñòè.
Ïëîùàäü êðóãà è åãî ÷àñòåé
Îáîçíà÷åíèÿ (ðèñ. 338):
R
ðàäèóñ îêðóæíîñòè, êðóãà;
D
äèàìåòð;
C
äëèíà îêðóæíîñòè;
l
äëèíà äóãè ÀÌÂ îêðóæíîñòè;
a°a ,
öåíòðàëüíûé óãîë â ãðàäóñíîé, ðàäèàí-
íîé ìåðå;
S
ïëîùàäü êðóãà;
S
ñåêò
ïëîùàäü ñåêòîðà ÀÎÂ;
S
ñåãì
ïëîùàäü ñåãìåíòà ÀÌÂ;
Ôîðìóëû äëèíû îêðóæíîñòè:
.;2 DCRC p=p=
Ôîðìóëû äëèíû äóãè îêðóæíîñòè:
.;
360
a=
°
°ap
= Rl
R
l
Ôîðìóëû ïëîùàäè êðóãà:
S
êðóãà
;
2
Rp=
S
êðóãà
;
4
2
Dp
=
S
êðóãà
.
2
CR
=
Ôîðìóëû ïëîùàäè ñåêòîðà:
S
ñåêò
;
360
2
°
°ap
=
R
S
ñåêò
.
2
1
2
a= R
Ôîðìóëà ïëîùàäè ñåãìåíòà:
S
ñåãì
)sin(
2
1
2
a-a= R
(ýòà æå ôîðìóëà ñïðàâåäëèâà è äëÿ ñåãìåíòà ANB,
äîïîëíÿþùåãî ñåãìåíò ÀÌÂ, çàøòðèõîâàííûé íà ðèñ.
338, äî ïîëíîãî êðóãà).
17. Ïðÿìîóãîëüíàÿ äåêàðòîâà è ïîëÿðíàÿ
ñèñòåìû êîîðäèíàò íà ïëîñêîñòè
Ðàññòîÿíèå ìåæäó äâóìÿ òî÷êàìè
)
;
(
11
yxM
è
:);(
222
yxM
.
)
(
)
(
2
12
2
1221
yyxxMM -+-=
Ðèñ. 338
1
585
584
ÎÑÍÎÂÍÛÅ ÔÎÐÌÓËÛ Ãåîìåòðèÿ
16. Äëèíà îêðóæíîñòè.
Ïëîùàäü êðóãà è åãî ÷àñòåé
Îáîçíà÷åíèÿ (ðèñ. 338):
R
ðàäèóñ îêðóæíîñòè, êðóãà;
D
äèàìåòð;
C
äëèíà îêðóæíîñòè;
l
äëèíà äóãè ÀÌÂ îêðóæíîñòè;
a°a ,
öåíòðàëüíûé óãîë â ãðàäóñíîé, ðàäèàí-
íîé ìåðå;
S
ïëîùàäü êðóãà;
S
ñåêò
ïëîùàäü ñåêòîðà ÀÎÂ;
S
ñåãì
ïëîùàäü ñåãìåíòà ÀÌÂ;
Ôîðìóëû äëèíû îêðóæíîñòè:
.;2 DCRC p=p=
Ôîðìóëû äëèíû äóãè îêðóæíîñòè:
.;
360
a=
°
°ap
= Rl
R
l
Ôîðìóëû ïëîùàäè êðóãà:
S
êðóãà
;
2
Rp=
S
êðóãà
;
4
2
Dp
=
S
êðóãà
.
2
CR
=
Ôîðìóëû ïëîùàäè ñåêòîðà:
S
ñåêò
;
360
2
°
°ap
=
R
S
ñåêò
.
2
1
2
a= R
Ôîðìóëà ïëîùàäè ñåãìåíòà:
S
ñåãì
)sin(
2
1
2
a-a= R
(ýòà æå ôîðìóëà ñïðàâåäëèâà è äëÿ ñåãìåíòà ANB,
äîïîëíÿþùåãî ñåãìåíò ÀÌÂ, çàøòðèõîâàííûé íà ðèñ.
338, äî ïîëíîãî êðóãà).
17. Ïðÿìîóãîëüíàÿ äåêàðòîâà è ïîëÿðíàÿ
ñèñòåìû êîîðäèíàò íà ïëîñêîñòè
Ðàññòîÿíèå ìåæäó äâóìÿ òî÷êàìè
)
;
(
11
yxM
è
:);(
222
yxM
.
)
(
)
(
2
12
2
1221
yyxxMM -+-=
Ðèñ. 338
1
587
586
ÎÑÍÎÂÍÛÅ ÔÎÐÌÓËÛ Ãåîìåòðèÿ
Êîîðäèíàòû ñåðåäèíû îòðåçêà ñ êîíöàìè
)
;
(
111
yxM
è
:
)
;
(
222
yxM
)
.
(
5,0
)
,
(
5,0
2121
yyyxxx +=+=
Óðàâíåíèå ïðÿìîé â îáùåì âèäå:
,0=++ CByAx
ãäå
};{ BAn =
âåêòîð íîðìàëè ê ïðÿìîé.
Óðàâíåíèå ïðÿìîé ñ çàäàííûì óãëîâûì êîýôôè-
öèåíòîì k:
.bkxy +=
Óðàâíåíèå ïðÿìîé, ïðîõîäÿùåé ÷åðåç äàííóþ òî÷-
êó
);(
00
yxM
è èìåþùåé çàäàííûé óãëîâîé êîýô-
ôèöèåíò k:
).(
00
xxkyy -=-
Óðàâíåíèå ïðÿìîé, ïðîõîäÿùåé ÷åðåç äâå äàííûå
òî÷êè
);(
111
yxM
è
:);(
222
yxM
.
12
1
12
1
xx
xx
yy
yy
-
-
=
-
-
Óðàâíåíèå îêðóæíîñòè ñ öåíòðîì Î (0; 0) è ðà-
äèóñîì R:
.
222
Ryx =+
Óðàâíåíèå îêðóæíîñòè ñ öåíòðîì Ñ (à; b) è ðàäè-
óñîì R:
.)()(
222
Rbyax =-+-
Íàõîæäåíèå äåêàðòîâûõ êîîðäèíàò òî÷êè
);( yxM
ïî åå èçâåñòíûì ïîëÿðíûì êîîðäèíàòàì
j
,
r
(ðèñ. 339):
.sin,cos j=j= ryrx
Íàõîæäåíèå ïîëÿðíûõ êîîðäèíàò òî÷êè M (r; j)
ïî åå èçâåñòíûì äåêàðòîâûì êîîðäèíàòàì õ, ó
(ðèñ. 339):
,
22
yxr +=
.sin,cos
2222
yx
y
r
y
yx
x
r
x
+
==j
+
==j
Ðèñ. 339
:
:
587
586
ÎÑÍÎÂÍÛÅ ÔÎÐÌÓËÛ Ãåîìåòðèÿ
Êîîðäèíàòû ñåðåäèíû îòðåçêà ñ êîíöàìè
)
;
(
111
yxM
è
:
)
;
(
222
yxM
)
.
(
5,0
)
,
(
5,0
2121
yyyxxx +=+=
Óðàâíåíèå ïðÿìîé â îáùåì âèäå:
,0=++ CByAx
ãäå
};{ BAn =
âåêòîð íîðìàëè ê ïðÿìîé.
Óðàâíåíèå ïðÿìîé ñ çàäàííûì óãëîâûì êîýôôè-
öèåíòîì k:
.bkxy +=
Óðàâíåíèå ïðÿìîé, ïðîõîäÿùåé ÷åðåç äàííóþ òî÷-
êó
);(
00
yxM
è èìåþùåé çàäàííûé óãëîâîé êîýô-
ôèöèåíò k:
).(
00
xxkyy -=-
Óðàâíåíèå ïðÿìîé, ïðîõîäÿùåé ÷åðåç äâå äàííûå
òî÷êè
);(
111
yxM
è
:);(
222
yxM
.
12
1
12
1
xx
xx
yy
yy
-
-
=
-
-
Óðàâíåíèå îêðóæíîñòè ñ öåíòðîì Î (0; 0) è ðà-
äèóñîì R:
.
222
Ryx =+
Óðàâíåíèå îêðóæíîñòè ñ öåíòðîì Ñ (à; b) è ðàäè-
óñîì R:
.)()(
222
Rbyax =-+-
Íàõîæäåíèå äåêàðòîâûõ êîîðäèíàò òî÷êè
);( yxM
ïî åå èçâåñòíûì ïîëÿðíûì êîîðäèíàòàì
j
,
r
(ðèñ. 339):
.sin,cos j=j= ryrx
Íàõîæäåíèå ïîëÿðíûõ êîîðäèíàò òî÷êè M (r; j)
ïî åå èçâåñòíûì äåêàðòîâûì êîîðäèíàòàì õ, ó
(ðèñ. 339):
,
22
yxr +=
.sin,cos
2222
yx
y
r
y
yx
x
r
x
+
==j
+
==j
Ðèñ. 339
:
:
589
588
ÎÑÍÎÂÍÛÅ ÔÎÐÌÓËÛ Ãåîìåòðèÿ
18. Ïðÿìîóãîëüíàÿ äåêàðòîâà ñèñòåìà
êîîðäèíàò â ïðîñòðàíñòâå
Ðàññòîÿíèå ìåæäó äâóìÿ òî÷êàìè M
1
(x
1
; y
1
; z
1
)
è M
2
(x
2
; y
2
; z
2
):
.
)
(
)
(
)
(
2
12
2
12
2
12
zzyyxxAB -+-+-=
Êîîðäèíàòû ñåðåäèíû îòðåçêà ñ êîíöàìè
);;(
1111
zyxM
è
:
)
;;
(
2222
zyxM
),(5,0),(5,0
321321
yyyyxxxx ++=++=
)
.
(
5,0
321
zzzz ++=
Îáùåå óðàâíåíèå ïëîñêîñòè:
,0=+++ DCzByAx
ãäå
};;{ CBAn =
âåêòîð íîðìàëè ê ïëîñêîñòè.
Óðàâíåíèå ïëîñêîñòè, ïðîõîäÿùåé ÷åðåç çàäàííóþ
òî÷êó
)
;;
(
000
zyxM
è ïåðïåíäèêóëÿðíîé âåêòîðó
};;{ CBAn =
:
).()()(
000
zzCyyBxxA -+-+-
Óðàâíåíèå ïëîñêîñòè, ïðîõîäÿùåé ÷åðåç òðè
çàäàííûå òî÷êè
)
,;;
(
1111
zyxM
)
;;
(
2222
zyxM
è
:);;(
3333
zyxM
.0
131313
121212
111
=
---
---
---
zzyyxx
zzyyxx
zzyyxx
Óðàâíåíèå ñôåðû ñ öåíòðîì
);;( cbaC
è ðàäèó-
ñîì R:
.)()()(
2222
Rczbyax =-+-+-
19. Âåêòîðû è îïåðàöèè íàä íèìè
Êîîðäèíàòû âåêòîðà ñ íà÷àëîì
);;(
111
zyxA
è
êîíöîì
:);;(
222
zyxB
}
.;;
{
121212
zzyyxxAB ---=
Äëèíà âåêòîðà
:};;{ ZYXa
.
222
ZYXa ++=
Ðàâåíñòâî âåêòîðîâ
}
;;
{
111
ZYXa
è
:};;{
222
ZYXb
.;;
212121
ZZYYXX ===
Ñóììà âåêòîðîâ
};;{
111
ZYXa
è
:};;{
222
ZYXb
}.;;{
212121
ZZYYXXba +++=+
:
= 0.
M
1
M
2
589
588
ÎÑÍÎÂÍÛÅ ÔÎÐÌÓËÛ Ãåîìåòðèÿ
18. Ïðÿìîóãîëüíàÿ äåêàðòîâà ñèñòåìà
êîîðäèíàò â ïðîñòðàíñòâå
Ðàññòîÿíèå ìåæäó äâóìÿ òî÷êàìè M
1
(x
1
; y
1
; z
1
)
è M
2
(x
2
; y
2
; z
2
):
.
)
(
)
(
)
(
2
12
2
12
2
12
zzyyxxAB -+-+-=
Êîîðäèíàòû ñåðåäèíû îòðåçêà ñ êîíöàìè
);;(
1111
zyxM
è
:
)
;;
(
2222
zyxM
),(5,0),(5,0
321321
yyyyxxxx ++=++=
)
.
(
5,0
321
zzzz ++=
Îáùåå óðàâíåíèå ïëîñêîñòè:
,0=+++ DCzByAx
ãäå
};;{ CBAn =
âåêòîð íîðìàëè ê ïëîñêîñòè.
Óðàâíåíèå ïëîñêîñòè, ïðîõîäÿùåé ÷åðåç çàäàííóþ
òî÷êó
)
;;
(
000
zyxM
è ïåðïåíäèêóëÿðíîé âåêòîðó
};;{ CBAn =
:
).()()(
000
zzCyyBxxA -+-+-
Óðàâíåíèå ïëîñêîñòè, ïðîõîäÿùåé ÷åðåç òðè
çàäàííûå òî÷êè
)
,;;
(
1111
zyxM
)
;;
(
2222
zyxM
è
:);;(
3333
zyxM
.0
131313
121212
111
=
---
---
---
zzyyxx
zzyyxx
zzyyxx
Óðàâíåíèå ñôåðû ñ öåíòðîì
);;( cbaC
è ðàäèó-
ñîì R:
.)()()(
2222
Rczbyax =-+-+-
19. Âåêòîðû è îïåðàöèè íàä íèìè
Êîîðäèíàòû âåêòîðà ñ íà÷àëîì
);;(
111
zyxA
è
êîíöîì
:);;(
222
zyxB
}
.;;
{
121212
zzyyxxAB ---=
Äëèíà âåêòîðà
:};;{ ZYXa
.
222
ZYXa ++=
Ðàâåíñòâî âåêòîðîâ
}
;;
{
111
ZYXa
è
:};;{
222
ZYXb
.;;
212121
ZZYYXX ===
Ñóììà âåêòîðîâ
};;{
111
ZYXa
è
:};;{
222
ZYXb
}.;;{
212121
ZZYYXXba +++=+
:
= 0.
M
1
M
2